Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (2) - Combos & odds Advanced

Inleiding

In dit artikel

• De handrange wiskundig bekeken
  
• De rol van implied en reverse implied odds
  
• Complexe EV-analyses
  

In het eerste artikel heb je geleerd hoe je de verwachtingswaarde in pokersituaties kunt berekenen en heb je daarvan een aantal eenvoudige voorbeelden gekregen. In de volgende artikelen zullen speciale situaties en aspecten worden behandeld, die een uitmaken van onze kijk op de verwachtingswaarde (EV-berekeningen).

In dit artikel wordt de handrange wiskundig benaderd en wordt ook in het bijzonder ingegaan op implied en reverse implied odds. Met deze content kan de EV in beduidend complexere situaties berekend worden dan in het eerste artikel. Ook zal het mogelijk zijn om andere vragen te beantwoorden dan met de analysemethodes van het eerste artikel..

De handrange wiskundig gezien

Het begrip 'handrange' werd al uitgelegd. Het vat een bepaalde groep handen samen. In de EV-berekeningen gaat het veelal om de vraag naar de waarschijnlijkheden. De Equilator kan in verschillende situaties de vraag beantwoorden hoeveel procent een bepaalde range aan handen uitmaakt van alle mogelijke handen. Zo krijg je voor de range TT+ AQ+ ongeveer de waarde 4,68%.

Een belangrijke vraag kan zijn: Hoe vaak heeft je tegenstander welke hand? Wanneer je zou vragen: 'Hoe vaak heeft een speler TT+, AQ+ in verhouding tot any two?' zou het antwoord 4,68% zijn. Nu kun je misschien ook vragen: Een speler heeft TT+, AQ+. Hoe vaak heeft hij AA, KK?

Zou je verder in procenten willen rekenen dan wordt het langzaam lastiger. Ten eerste kies je in Equilator alleen AA, KK uit. Daarbij gaat het om 0,9% van de handen. De kans voor AA, KK uit de groep TT+, AQ+ bedraagt daarmee 0,9/4,68 = 0,192 = 19,2%. Dit soort berekeningen worden snel gecompliceerder wanneer je bepaalde suits verschillend zou willen behandelen of een bepaalde hand slechts voor een gedeelte van een range wilt opvoeren. Bijvoorbeeld deze vraag: Een speler heeft TT+, AQ+. Hoe vaak heeft hij XsYs (Dus AsKs of AsQs)?

Voor het beantwoorden van dergelijke complexere vragen is een directe berekening mogelijk. Er zijn bij poker 1.326 verschillende handcombinaties, namelijk exact 52 * 51/2. De factor 52 staat voor het aantal mogelijkheden voor de eerste kaart. Wanneer je wilt weten hoeveel handen er in totaal zijn, moet je iedere kaart met iedere andere kaart  combineren. Heb je de eerste gekozen, dan blijven er 51 andere kaarten over om uit te kiezen, waarmee je op 52*51=2.652 combinaties zou komen.

Toch maakt het voor poker geen verschil voor of je AsKs of KsAs hebt, waardoor slechts de helft van de 2.652 combinaties als werkelijk verschillende handen bestaan, de genoemde 52*51/2 = 1.326. Zo kun je ook in een bepaalde range berekenen uit hoeveel verschillende combinaties deze bestaat. Daarvoor wat aantallen van combinaties:

Om later verder te kunnen rekenen moet hier ook worden verklaard hoe deze combinaties tot stand komen. Je kunt natuurlijk een kaartendeck nemen en aftellen. Dit is echter omslachtig. Het is beter om een logische berekening te maken, die in principe lijkt op de berekening van het totaal aantal mogelijke combinaties. Wanneer je een bepaald pair wilt maken heb je vier mogelijkheden om de eerste kaart te kiezen. Daarna zijn er nog drie mogelijkheden voor de tweede kaart. Het resultaat moet je door 2 delen, daar je anders AsAd en AdAs als twee combinaties telt.

Voor een suited hand heb je acht mogelijkheden om de eerste kaart te kiezen (voor 67s dus óf een 6 of een 7). Voor de tweede kaart hou je nog slechts één mogelijkheid over: de helft van 8, dus 4. Voor een offsuited hand als XsYd heb je bij de eerste kaart ook acht mogelijkheden (4X, 4Y), maar bij de tweede in dit geval 3 (heb je Xs gekozen, dan is Ys geen optie meer omdat de hand anders suited zou zijn). 8*3/2 is 12. Natuurlijk kun je het aantal mogelijke combinaties op willekeurige andere manieren berekenen.

Pot-odds implied odds en reverse implied odds

Met het concept van odds en outs is in ieder geval voor een call de verwachtingswaarde te berekenen waarmee je dan vervolgens ook een beslissing aan tafel kan nemen. We zien hier af van de directe uitleg van het odds & outs principe. Daarvoor verwijzen we naar onze strategiesectie vanaf brons. Het concept van implied odds en reverse implied odds is echter wat interessanter en is bij grotere EV-berekeningen vaak niet weg te denken.

Afgeleid van de pot-odds zijn implied odds een maatstaf voor een geldbedrag dat zich nog niet in de pot bevindt, maar dat naar verwachting door de tegenstander nog zal worden geïnvesteerd. Echt belangrijk worden implied odds bij het spel met draws. Vaak volgt op een pure EV-analyse, zonder rekening te houden met implied odds, dat een draw op de flop direct gefold moet worden. Hou je daarentegen de implied odds in de berekeningen, dan kom je op een meer realistische benadering en vaak tot een andere uitkomst.

Een voorbeeld van implied odds (of 'implieds') ken je met zekerheid: De call-20 regel voor pocketpairs preflop. Daarbij is een voorwaarde dat de mogelijke implied odds minstens het twintigvoudige zijn van het bedrag dat je moet betalen om de flop te zien. Voor EV-berekeningen zijn echter meer realistische implied odds van betekenis en dus niet wat je maximaal kunt winnen, maar alleen wat je gemiddeld zult winnen (waarbij natuurlijk beide groottes met elkaar in verband staan).

Eigenlijk precies het tegendeel van wat implied odds zijn. Ze stellen een maatstaf voor van het bedrag, dat je in het verloop van de hand nog zult verliezen wanneer je niet de beste hand hebt. Hiermee zijn vooral draws bedoeld die ondanks treffers niet de winnende hand zijn. Ook het spelen van gedomineerde handen heeft grote reverse implied odds tot gevolg, daar een eigen treffer wel sterk is, maar de pot niet wint.

Zowel de implied odds als ook de reverse implied odds kunnen meestal op zijn minst ingeschat of precies aangegeven worden en vinden zo hun toepassing in EV-berekeningen. Met behulp hiervan kun je veel situaties waarin je niet all-in bent beter omschrijven. Een voorbeeld daarvoor vind je in het volgende artikel.

Voorbeeldberekeningen

Zowel het meerekenen van de handrange en de implied en reverse implied odds zijn in eerste instantie slechts theoretische concepten met betrekking tot EV-berekeningen. Aan de hand van voorbeelden van stijgende complexiteit moet nu hun invloed duidelijker worden. Daarbij zal het ook nodig zijn om strakkere aannames van je tegenstander te maken, om zo realistische scenario’s te kunnen genereren.

Hier wordt geprobeerd om aan een setvaluecall onder een aantal aannames een verwachtingswaarde toe te kennen. Ten eerste de volgende situatie:

stacks:

UTG 100BB
Hero 100BB

Preflop: Hero is BU with4 4
UTG raises 4BB, folds, Hero calls 4BB, folds

Hier ziet je al de eerste aanname: De blinds worden genegeerd. Strikt genomen zou je bij EV-analyses iedere mogelijke situatie moeten meenemen, maar we beperken ons hier tot een vaak voorkomend speciaal geval want anders explodeert de berekening, zonder dat daardoor een grote meerwaarde aan informatie ontstaat.

De volgende inschatting betreft de speler UTG. Zijn range moet hier TT+, AQ+ zijn. Een verdere realistische aanname is dat UTG altijd op de flop bet en jij slechts met een set verder speelt.

De kans op een of beide overblijvende vieren op de flop te zien bedraagt

3 * (2 * 48* 47 )/( 50 * 49 * 48 ) + 3 * (2 * 1 * 48)/( 50 * 49 * 48 ) = 0.118

De kans om een overblijvende 4 te trekken bedraagt 2/50. Daarnaast moeten op de flop nog twee kaarten liggen die geen 4 zijn, dus 48/49 (één 4 ligt er en het moet niet de laatste 4 te zijn) en 47/48 (er ligt een 4 en een niet-4). Deze worden vermenigvuldigd om de kans voor een 4 op een bepaalde spot te berekenen.

Omdat het niet uit maakt waar de 4 ligt wordt er met drie vermenigvuldigd. Ook zijn er drie mogelijkheden om twee vieren op drie kaarten te krijgen (1e en 2e, 2e en 3e of 1e en 3e kaart). Hier zijn de kansen dan steeds 2/49 voor de eerste 4, 1/48 voor de tweede 4 en 47/47 voor de laatste willekeurige kaart.

Een verdere gerechtvaardigde versimpeling is de volgende: We bekijken slechts gevallen met een 4. De kans daarop bedraagt 3 * (2 * 48* 47 )/( 50 * 49 * 48 ) = 0.1200, die voor een four of a kind ligt bij 0.00245. De kans om een set te floppen is dus 45 keer hoger dan het floppen van quads, de reden waarom we die quads ook gemakshalve negeren in de uitkomst. Hierdoor kunnen we voorlopig beginnen te rekenen:

 EV = 0.880 * (-4BB) + 0.120 * EV_(set)

We willen nog steeds het resultaat EV_(set) bepalen. Omdat dit afhangt van verschillende boardstructuren is het mogelijk om op grond van de relatief tighte range van de tegenstander, expliciet de EV tegen elke hand onder bepaalde aannames te bepalen en achtereenvolgens op te tellen. We beginnen met AQ en houden voor de eenvoud geen rekening met getroffen flushdraws.

AQ treft een pair azen of beter met P_(aas) = 2 * ( 3 * 46 )/( 47 * 46 ) = 0.12766, een pair vrouwen met P_(vrouw) 2 * ( 3 * 41 )/( 47 * 46 ) = 0.114 en een three of a kind vrouwen met P_{(trips-vrouw)} = 1 * ( 3 * 2 )/( 47 * 46 ) = 0.0028. Wanneer we verder gaan:

P_(aas+):=P_(aas)+P_{(trips-vrouw)}= 0.13046

De kans P_(vrouw) is kleiner dan die voor P_(aas) omdat de two pair combinaties al bij de aas zijn verrekend. In totaal zijn er bij deze benadering ook nog maar twee kaarten voor een treffer beschikbaar, want één kaart met de 4 ligt vast. Daaruit volgt P_(vrouw) = 2 * (3 * 44)/(47 * 46) = 0.12211.

Nu kan wat de EV_(set) betreft, de EV verder uitgeplozen worden. EV_(set) bestaat uit de aparte EV’s tegen de verschillende handen van de tegenstander. Het eerste gedeelte heb je net berekend, namelijk

EV_(set,AQ) = EV_(misser) * P_(misser) + EV_(aas+) * P_(aas+) + EV_(vrouw) * P_(vrouw)

de EV tegen AQ.

Verder zijn de EV-componenten nog onbekend. Om niet te complex te worden nemen we de mogelijkheid van een treffer op de turn niet mee in de berekening. Treft de tegenstander niet, dan krijg je slechts zijn continuationbet van ¾ van de pot dus 9.5*3/4 = 7.125BB en P_(misser) = 1 - P_(aas+) - P_(vrouw) = 0.74743.

In het geval van een aas met een treffer zul je zijn hele stack naar het midden krijgen, maar niet met 100% equity. Deze is nog te bepalen. Wanneer je heel precies wilt rekenen moet je de totale equity berekenen vanuit de kans voor de verschillende handen en de afzonderlijke equities.

Daar two pair en trips echter heel onwaarschijnlijk zijn, zoals we hierboven zagen, en de equity van een top-pairs ca. 3% bedraagt, ronden we deze gewoon af op 5% en negeren we de aparte gevallen. De EV_(aas+) komt daarmee op

EV_(aas+) = 0.95*(96+9.5)BB – 0.05 * 96BB = 100.225BB - 4.8BB = 95.4BB

Voor het geval van een treffer met de vrouw kun je nu onderscheid maken of het board koning-hoog is of niet. Of je daarmee rekening houdt of niet: het verschil zal bij de uitkomst klein zijn. Het gaat hierbij slechts om het principe hoe je een dergelijke berekening maakt.

Ten eerste moet de kans van een king-high board worden berekend. Deze bedraagt 4/46 = 0.09. Verder heb je een inschatting nodig van het bedrag dat de speler gemiddeld zal investeren. Dit bedraagt hier 30BB. Daardoor kom je dan op

EV_(vrouw) = 0.09*30BB + 0.91*( 0.975 * (96+9.5)BB – 0.025 * 96BB) = 94.1BB

Dus is de berekening volledig:

EV_(set,AQ) = EV_(misser) * P_(misser) + EV_(aas+) * P_(aas+) + EV_(vrouw) * P_(vrouw) = 7.125BB * (0.75) + 95.4BB * (0.130) + 94.1BB * (0.120) = 28.4BB

Heeft je tegenstander de AQ dan win je onder de gemaakte aannames gemiddeld 28.4BB. Hetzelfde moet nu ook voor AK worden gedaan. De EV is gelukkig ongeveer hetzelfde als die van AQ, omdat het verschil slechts ontstaat door de onwaarschijnlijke situatie van een 2nd pair met AQ. Wanneer je dat negeert kom je op de EV van EV_{(set, AK)} = 29.7BB.

Nu berekenen we de EV tegen pocketpairs. Hierbij is de aanname: De tegenstander gaat met een overpair broke en met een second pair investeert hij gemiddeld 30BB. Deze waarde zou ook anders kunnen zijn, de reden waarom we hem niet vast invoeren om aan het eind resultaten bij variatie van deze waardes te kunnen onderzoeken. Veranderingen in boardstructuur op de turn worden genegeerd. Voor alle pocketpairs is de EV daarmee in drie delen op te splitsen:

• De speler treft een overpair op de flop en jij een set P_{(set, overpair)}
• De speler treft een second pair op de flop en jij een set P_{(set, second pair)}
• De speler treft een set op de flop en jij een set P_{(set, overset)}

Daaruit vormt zich de totale EV tegen een pocketpair als formule zo:

EV_(set,pocket) = P_{(set,overpair)} * EV_(overpair) + P_{(set,2ndpair)} * EV_(2ndpair) + P_{(set,overset)} * EV_(overset)

De EV tegen alle pockets is dan de som van de verwachtingswaarde tegen de afzonderlijke pairs, vermenigvuldigd met de kans dat UTG de betreffende hand heeft.

Allereerst worden de betreffende kansen berekend en aansluitend de bijbehorende verwachtingswaarde. P_{(pocket,overset)} is voor alle pairs hetzelfde. Het is samen met de kans op quads P_{(set over-set)}= 2 * ( 2 * 44 )/( 47 * 46 ) + ( 2 * 1 )/( 47 * 46 ) = 0.08233, de kans om één of beide overblijvende kaarten van de pocketpairs op de flop te zien wanneer de derde kaart je een set geeft.

De speler heeft alleen een overpair getroffen wanneer

• hij geen set treft
• er geen overcard op zijn pair ligt

De kans voor een set werd bepaald als P_{(set,overset)}=0.0823. Voor azen is het niet mogelijk om een hogere kaart op de flop te zien, waardoor dus in ieder geval waarin de speler geen set treft, een overpair wordt getroffen. De kans van de overpairs is dus 1- 0.0823.

Voor koningen zijn er precies vier azen als mogelijke overcards en de kans voor een overpair is dus 1-0.0823-2*(4*44)/(47*46).

2*(4*44)/(47*46) geeft de kans aan dat een van de beide boardkaarten een aas laat zien. Zo zijn er voor vrouwen twee mogelijke overcards waaruit de kansen voortkomen. In tabelvorm zijn deze kansen:

We moeten nog de verwachtingswaarde bepalen tegen de afzonderlijke pairs.

Treft de tegenstander een overpair, dan wordt het volgens onze aannames altijd een all-in. De equity van je tegenstander is in dit geval ongeveer 10%. De verwachtingswaarde EV_(overpair) komt daarmee op:

EV_(overpair) = 0.9 * (96+9.5)BB – 0.1 * 96BB = 85.3BB. Heeft je tegenstander een overset getroffen, dan heb je nog ongeveer 5% equity. De verwachtingswaarde EV_(overset) is daarmee 0.05*(96+9.5)BB-0.95*96BB = -85.92BB.

Beide waardes zijn onafhankelijk van de exacte hand van de tegenstander omdat het alleen aankomt op de aanwezige outs. In tabelvorm is daardoor de EV tegen pairs alsvolgt:

Nu zijn alle benodigde kansen en verwachtingswaardes berekend en hoeven ze alleen nog maar samengevat te worden.

EV = 0.88 * (-4BB) + 0.12 * EV_(set) = 0.88 * (-4BB) + 0.12 *(P_(AK) * EV_(AK) + P_(AQ) * EV_(AQ) + P_(AA) * EV_(AA) + P_(KK)* EV_(KK) + P_(QQ)*EV_(QQ) + P_(JJ)*EV_(JJ) + P_(TT)*EV_(TT))

Om op een concrete waarde uit te komen moeten we nog oplossen hoe vaak de speler de verschillende handen steeds heeft. In totaal heeft de speler 62 verschillende combinaties in zijn range. Telkens 16 daarvan zijn AK en AQ en steeds 6 op de pairs. P_(AK) = P_(AQ) = 16/62 = 0.258 P_(AA) = P_(KK) … = 6/62 = 0.097.

Dus volgt als totale EV met alle ingevoerde waardes

EV=0.88*(-4BB) + 0.12 *(0.258*29.7BB + 0.258*28.4BB + 0.097*71.2BB + 0.097* 62.2BB + 0.097*52.3BB + 0.097*41.5BB + 0.097*29.9BB ) = 1.27BB

De waarde is relatief klein, hij ligt onder een realistische waarde voor een goede fullringspeler. De reden hiervoor kan zijn dat een goede fullring-speler vaak genoeg een spot vindt om ook zonder zijn set te treffen winstgevend te spelen. Daarom is voor hem de verwachtingswaarde voor het geval dat hij geen set treft, groter dan -4BB.

Ook in onze berekening zijn er andere variabelen, die we nog kunnen variëren om te zien hoe het resultaat verandert. Ten eerste zou het kunnen dat je over het algemeen van AK en AQ zonder pair, meer dan slechts een continuationbet krijgt.

Je tegenstander zou op de turn kunnen bluffen en ook kunnen treffen. Hier kun je de EV iets verhogen om te zien wat er verandert. Ook zou hij bijvoorbeeld met zijn second pairs meer kunnen investeren. Met de waardes die we kunnen variëren is de gehele EV compleet aangegeven, dus:

Tref je niet dan verlies je de preflopcall: EV=(1-P_(set))*(-4BB)

Wanneer je de set treft:

- en je tegenstander heeft AK:

P_(set)*(P_(AK)*(EV_(AK,miss)*P_(AK,miss)+P_(AK,king+)*EV_(AK,king+)

De odds en verwachtingswaardes worden al berekend.

- je tegenstander heeft AQ:

P_(AQ)*(EV_(AQ,misser)*P_(AQ,misser)+EV_(AQ,aas+)*P_(AQ,aas+)+EV_(AQ,vrouw)*P_(AQ,vrouw)

- je tegenstander heeft AA:

P_(AA)*(P_{(AA,overpair)}*EV_(overpair)+P_(AA,2ndpair)*EV_(2ndpair) +P_(over-set)*EV_(over-set)

P_(AA,2ndpair) is 0.

- je tegenstander heeft KK:

P_(KK)*(P_{(KK,overpair)}*EV_(overpair)+P_(KK,2ndpair)*EV_(2ndpair)+P_(over-set)*EV_(over-set)

- je tegenstander heeft QQ, JJ of TT:

Dezelfde berekening voor alle pocketpairs. De kans voor een second pair wordt naar beneden natuurlijk groter:

+P_(QQ)*(P_{(QQ,overpair)}*EV_(overpair)+P_(QQ,2ndpair)*EV_(2ndpair)+P_(overset)*EV_(overset))+ P_(JJ)*(P_{(JJ,overpair)}*EV_(overpair)+P_(JJ,2ndpair)*EV_(2ndpair)+P_(overset)*EV_(overset))+ P_(TT)*(P_{(TT,overpair)}*EV_(overpair)+P_(TT,2ndpair)*EV_(2ndpair)+P_(overset)*EV_(overset)))

Hier zie je de lijst van de opgetreden kansen die al berekend worden en een lijst met de betrokken EV-waardes, die voor het grootste deel discutabel zijn:

Voor de veranderde waardes van EV_{(AK misser)} EV_{(AQ, misser)} en EV_(2ndpair) is de gehele verwachtingswaarde:

EV = 1,62BB

Zoals je ziet hangt de verwachtingswaarde dus juist sterk af van deze waardes. Zou je nog de verwachtingswaarde verbeteren voor het geval dat je niet treft, dan kwam je in een gebied dat ook realistische waardes geeft. Dit is echter heel moeilijk in te schatten, de reden waarom ik het hier ook niet wil doen.

Verder kun je hier een belangrijke eigenschap zien van NL Hold’em poker: Wat er zonder showdown gebeurt is enorm belangrijk voor het gehele spelresultaat. Dit betekent vooral dat je na deze lange berekening wel over je spel zou moeten nadenken, vooral in het geval dat je zelf niet treft en in hoeverre je daar de EV van een sets kunt reproduceren.

Analyses in deze richting zullen het onderwerp van het volgende artikel worden. Voorlopig wil ik graag nog de opmerkzame lezer feliciteren die de analyse tot hiertoe heeft kunnen volgen en hem heeft begrepen: Ik wed dat niet iedereen dat heeft gedaan.

Daaraan zie je ook nog twee facetten waarmee ik deze benadering zou willen beëindigen: wiskundige analyses zijn belangrijk en kunnen je als speler verder brengen. Ze kunnen echter nooit de ervaring en de uitwisseling daarvan met andere spelers vervangen. Ook kunnen ze nogal omslachtig zijn.

Implied odds

Hier nemen we het spel met draws nog een keer onder de loep. Voor de exactere benadering heb je hier de implied odds nodig. De volgende situatie analyseren we eens gezien vanuit een callingstation:

100BB Stacks

Preflop: Hero is CO with XYo, Callingstation is BU with A,2
Folds, Hero raises 4BB, BU calls 4BB, SB calls 3.5BB, BB calls 3 BB.

Flop: (16BB) 5, 9, K (4 Players)
SB checks, BB checks, Hero bets 14BB, BU calls 14BB, SB calls 14BB, BB folds

Turn: (58BB) 6 (3 Players)
SB checks, Hero bets 45BB, BU calls

We geven Hero hier eens een range van 55, 99, KK, AA, AK, KQ. Daar tegen heeft BU een equity van 21.5%. De laatste call van BU wordt hier geanalyseerd. Een callingstation zal hier altijd callen, jij eventueel niet? Weet je zeker dat een call hier fout is? We zullen zien. De EV, zonder implied odds, volgt uit

EV = equity * (Win + Investment) - Investment

Waarbij Win in dit geval (58+45)BB is en Investment -45BB. De benodigde equity komt in dit geval uit de bekende formule equity = Investment/(Win + Investment). Villain wint 58BB + 2*45BB en verliest 45BB wanneer hij niet treft.
Zijn benodigde equity ligt daarmee bij 30%. De EV is dan op grond van de te kleine equity -13.2BB.

Wat gebeurt er echter op de river wanneer BU treft? De pot zal 148BB zijn en Hero heeft 37BB behind. Onafhankelijk van de riverkaart kan Hero geen hand uit zijn sterke range op de river folden. Dit noemen we ook wel potcommitted zijn. Daarom moet echter de win-variable in de EV-formule worden aangepast, want in het geval van een treffer wint BU niet slechts de pot en de bets van de turn, maar ook de extra 37BB reststack van Hero.

In de meegerekende situatie krijg je dan Win = (58+45+37)BB. Investment blijft echter op 45BB, daar BU ook bij goede odds de river niet met aas-hoog zal callen. Zo gecorrigeerd bedraagt de equity voor een breakeven call nog maar 24% en de EV gaat omhoog naar -5BB. En dat terwijl de pot op de river in verhouding tot de stack enorm groot is, namelijk viermaal groter.

Goed, het callingstation maakt dus een fout want een fold is in dit voorbeeld de juiste keuze. Draaien we nu een beetje aan de variabele om te zien hoe algemeen deze speciale waarde is. Van turn tot river kom je op de verwachtingswaarde met implied odds:

   EV = equity* (Win+implieds + Investment) - Investment

De implieds kunnen zowel de resterende stack zijn als ook een bepaald gedeelte van de pot dat je gemiddeld kunt verwachten te winnen. Hoe zou de zaak eruit zien wanneer Hero in plaats van 45BB iets van 3/4e pot, slechts 40BB en dus ongeveer 2/3 pot zou hebben gebet? De implieds zouden van 37BB naar 42BB groeien, de benodigde equity naar 22,2% dalen en de call zou een EV hebben van -1.3BB. Dan wordt het dus ook al krapper.

Wat zou er nu kunnen gebeuren wanneer beide spelers in plaats van 100BB met 130BB de hand begonnen? Met een 45BB bet op de turn heeft Hero op de river (130-4-14-45) = 67BB over en de pot is verder al 148BB groot. Ook hier zal Hero zijn hand ook na een schoppen op de river niet kunnen opgeven. Hoe verschuift nu de EV?

Equity, Win en Investment blijven verder nog onveranderd, maar de implieds groeien van 37BB naar 67BB. Onder deze veronderstelling kom je voor de benodigde equity voor een breakeven call op 20%. De EV van de call wordt dus positief met +1.225BB. Een lichte verandering de variabele leidt er dus toe dat de pure call voor een treffer op de turn van een bet groter dan ¾ pot winstgevend wordt. Het callingstation maakt dus geen fout meer. Aan de andere kant heb je onder de gegeven aannames in een dergelijke situatie ook een call, al is het geen mooie.

Om ook een algemene uitspraak te kunnen afleiden onderzoek je het volgende scenario:

De pot op de turn heeft grootte 1. Je rekent alle extra bets in delen van de pot op de turn. De vraag is nu welke samenhang er is tussen de equity, de betgrootte op de turn en de implied odds voor de river. Daarom weer wat basis wiskunde:

EV = equity * (pot + 2 * bet + implieds ) - bet

Om de samenhang tussen de verschillende groottes op te stellen moet de aanname wederom EV >= 0 zijn, in het extreme geval dus EV=0. Nu zijn er voor een tweedimensionale voorstelling drie mogelijkheden:

• Een verhouding tussen equity en bet bij gegeven implieds (in de situatie van voorbeeld 2, waar de implieds de reststack voorstellen)
• Een verhouding tussen bet en implieds bij een gegeven equity (wanneer je jouw equity tegen de range van je tegenstander goed kunt inschatten)
• Een verhouding tussen implieds en equity bij een gegeven bet (om een gevoel voor de benodigde equity en de benodigde implieds tegen een vaste betsize te krijgen)

Deze samenhang geeft aan welke betgrootte je nog winstgevend kunt betalen wanneer je weet hoeveel je zeker op de river krijgt. Voor de hier getekende grafieken zijn de implieds bepaald op 0.5, dus een bet van een halve potsize.

Daarmee krijg je een gevoel voor welke inzetten winstgevend te callen zijn en welke niet.

Hiermee zie je bij welke equity je hoeveel implieds nodig hebt om een ¾ potsizebet op de turn te kunnen callen.

Ook met deze grafiek kun je een gevoel voor je spel krijgen. Ook bij relatief hoge implieds van een potsizebet op de river heb je voor de breakeven call nog ca. 15% equity nodig.

In de laatste mogelijke uitkomst is de equity op 20% bepaald en wordt bekeken hoe zich de benodigde implieds tot de betgrootte verhouden. Het snijpunt met 0 benodigde implieds is in dit geval gewoon het deel dat je slechts op grond van je aandeel aan de pot met je draw kunt callen. Het ligt in dit geval bij 1/3 potsize.

Daarmee zijn ook de algemenere gevallen afgehandeld. Deze benaderingen en grafieken zijn enorm belangrijk voor je begrip van het samenspel van de equity van een hand en de betsize op een street, samen met de te verwachten betsizes op latere streets.

Wanneer je echter flop-> river wilt berekenen wordt het wat ingewikkelder. Hier zijn er twee gevallen om rekening mee te houden: Of je treft op de turn, waarvoor je implieds moet inschatten, of je treft niet. Hier moet je inschatten hoe vaak je nog met een extra bet van welke grootte wordt geconfronteerd om ook de implieds voor ‘miss turn, hit river’ te kunnen inschatten. Daarmee is ook een dergelijke EV-analyse volgens dezelfde principes mogelijk.

Samenvatting

Hiermee is het tweede deel van de serie afgesloten. Je hebt hier de eerste complexe EV-analyse van een move gelezen en uitgewerkt en ook de invloed van de (reverse) implied odds leren kennen. Beide zul je in de volgende delen nodig hebben. In het volgende deel worden moves van tegenstanders in verwachtingswaarde tegen jouw hand behandeld en vooral blufspots gezocht.

LINKS
Verwante artikelen: Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (1) - EV & ranges Discussieforum: Discussieer over de inhoud van dit artikel in het forum