Wiskundige concepten voor No-Limit Holdem (1) - EV & ranges
Inleiding
In dit artikel
- Waarom wiskunde bij poker belangrijk is
- Wat er achter het begrip "equity" steekt
- Hoe je de verwachtingswaarde berekent
In deze serie artikelen zul je fundamentele en gevorderde wiskundige concepten in No-Limit Hold'em leren kennen. Aan de ene kant leer je de wiskundige combinaties kennen en begrijpen en aan de andere kant ook hun directe toepassingsmogelijkheden. Daarbij gaat het voor het grootste gedeelte om de exacte berekening of om de inschatting van resultaten van verschillende mogelijke beslissingen binnen een hand.
Vaak wordt bijvoorbeeld in een video, handbeoordelingsforum of ook hier in het artikel gezegd: "Het is +EV". Een exacte uitleg volgt later, maar wat dit betekent is duidelijk: Deze move zou goed/correct kunnen zijn. Hij zou winst kunnen opleveren.
Zover, zo goed. Er ontstaat echter een probleem wanneer twee meningen van elkaar afwijken. Speler A zegt: "Het is +EV" en speler B zegt: "nee het is -EV of maximaal +-0 EV". Hoe gaat het nu verder?
In een aantal situaties kan geen enkele wiskundig concept de vraag beantwoorden. Vaak is het echter mogelijk om deze vraag óf op te lossen, óf minstens op een gefundeerde basis te tillen. Vooral deze gevallen worden in 'Wiskundige concepten van No-Limit Hold’em' behandeld.
Deel 1 - EV & ranges
Het eerste deel bevat een wiskundige inleiding in begrippen en definities. De puur wiskundige onderbouwing is nogal simpel en hoeft niemand af te schrikken. Het gaat daarbij hoogstens om de basisstof wiskunde van de bovenbouw van het gymnasium en ook daarbij niet om het complexere deel. Dit is geen vereiste.
Na dit verklaren van wiskundige begrippen moet nog een belangrijker begrip uit poker worden geïntroduceerd en uitgelegd: de equity. Alleen al hiermee is het mogelijk om eerste analyses te berekenen en tot interessante resultaten te komen. Ter afsluiting wordt een aantal eenvoudige voorbeelden voorgerekend om de toepassing van de voorgestelde concepten te demonstreren.
Wiskundige basisprincipes
In dit deel van het artikel zullen formules opduiken. Deze zullen zowel in een wiskundig zo juist mogelijke vorm worden gezet en ook uitvoerig worden uitgelegd. Het is niet noodzakelijk om deze formules allemaal uit je hoofd te kennen.
We beginnen met de verwachtingswaarde (ook wel 'EV' ofwel 'Expected Value' genoemd). Dit roept natuurlijk de vraag op: Wat is de verwachtingswaarde?
Het gaat daarbij om een begrip uit de Stochastiek, een deel van de wiskunde dat zich bezig houdt met kansen. Hierbij horen zogenaamde toevalsexperimenten, bijvoorbeeld een worp met een munt. Deze toevalsexperimenten hebben mogelijke uitkomsten 'xi' (i is hierbij een index voor het doornummeren van de resultaten), in dit voorbeeld kop of munt.
Ze komen voor met een steeds bijbehorende kans 'p'(xi) (i is hierbij opnieuw de nummering), bijvoorbeeld 50%. De verwachtingswaarde van een toevalsexperiment is nu de waarde van de gemiddelde uitkomst van het veelvoudig herhaalde experiment.
In deze relevante afgezonderde situatie kom je op de verwachtingswaarde E(x), onder de aanname dat je N verschillende mogelijke resultaten hebt:
Wie deze benaderingen te wiskundig vindt kan ook in de pokertechnisch concretere hoofdstukken (beginnend met de handrange) verder gaan. Voor een beter begrip is echter ook het lezen van de wiskundige onderdelen aan te bevelen.
Daarbij moet er op worden gelet dat de afzonderlijke resultaten zelf ook samengesteld kunnen zijn, bijvoorbeeld wanneer er drie spelers betrokken zijn.
Hier moeten de gevallen 'Geen speler callt', 'speler A callt', 'speler B callt' en 'speler A en B callen' apart behandeld worden en moet voor elk apart een analyse voor de mogelijke resultaten en de de bijbehorende kansen gemaakt worden. Hierbij wil ik ook wijzen op het volgende gedeelte over stroomdiagrammen, een overzichtelijke ordening van dergelijke berekeningen.
De verwachtingswaarde in geld wordt bij poker EV genoemd. Om dit goed te kunnen begrijpen is een indeling van uitkomst in getal mogelijk, bijvoorbeeld dat 'munt' overeenkomt met 1 en 'kop' overeenkomt met -1.
In het rekenvoorbeeld van de coinflip kun je gewoon de gehele uitkomst opschrijven. De mogelijke resultaten zijn dan x1 = 1, x2 = −1 en de bijbehorende kansen:
p(x1) = 0,5 , p(x2) = 0,5
p(x) betekent ongeveer zoiets als probability (= waarschijnlijkheid) van x. Voor de verwachtingswaarde kom je daarmee op:
EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0,5 • 1 + 0,5 • (−1) = 0
Hopelijk komt deze uitslag voor niemand als een verrassing. Het voorbeeld was, toegegeven, ook heel simpel gekozen. We nemen nu een wat lastigere om het concept te verduidelijken. Een casino biedt het volgende spel aan:
Voor 10 chips mag een speler één keer gooien met een dobbelsteen. Bij een 1, 2 of een 3 verliest hij zijn inzet, bij een 4 krijgt hij 5 chips terug, bij een 5 krijgt hij 20 chips en bij een 6 zelfs 30 chips terug. Is het spel +EV?
Om de verwachtingswaarde te bepalen hebben we eerst alle mogelijke resultaten nodig. Hier zijn er in eerste instantie zes, namelijk de getallen 1 t/m 6 op de dobbelsteen. Drie daarvan zijn echter hetzelfde en kunnen samengevoegd worden, waarmee we dus de volgende vergelijking krijgen:
x1 = −10, p(x1) = 1/6 +1/6 + 1/6 = 1/2
dus x2 = −5, p(x2) = 1/6 (hij verliest tenslotte de halve inzet),
x3 = 10, p(x3) = 1/6
en
x4 = 20, p(x4) = 1/6
Daarmee zijn ook alle benodigde waardes bekend en met rekenmachine, pen en papier of gewoon uit je hoofd, kun je snel de verwachtingswaarde berekenen. Die is in dit geval:
Maar je wist natuurlijk al dat casino's niet zo dom zijn om je een spel met positieve verwachtingswaarde aan te bieden dat je tegen de bank kunt spelen.
Ter extra illustratie nog een eenvoudig voorbeeld op het gebied van poker.
FR 100BB stacks
Preflop: Hero is BU with AA
6 folds, CO raises 4BB, Hero raises 12BB, 2 folds, CO is All-In.
Een leuke situatie. Je hebt twee azen en kun je geld voor de flop compleet in het midden krijgen; beter kan het nauwelijks. Dat je hier callt is duidelijk. Verder is het ook duidelijk dat je daarmee winst zult maken (De EV is hier groter dan 0).
Je kunt je echter misschien afvragen hoe groot de EV precies is. Daarvoor moet je allereerst verschillende resultaten bepalen. Je wint alles wat er al in de pot zit, dus 100BB van de CO, 12BB van jou en 1.5BB van de blinds, dus 113,5BB.
Deze uitkomst noem je x1 = 113,5BB.
De andere mogelijkheid is het verlies van de 88BB die je nog moet callen, dus x2 = −88BB.
Nu moet je nog de kans voor de beide uitslagen bepalen. Neem je aan dat CO hier met QQ, KK, AA en AKs all-in gaat, dan bedraagt jouw deel van de pot 80,4% en het deel van je tegenstander dus 19,5%.
De verwachtingswaarde wordt daarmee
EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113,5 • 0,804 − 88 • 0,195)BB = (91,25 − 17,16)BB = 74,09BB.
In gevallen waarbij individuele resultaten van de verwachtingswaarde, weer een verwachtingswaarde voor een bepaalde situatie opleveren, is het nuttig om de situatie te schetsen in de vorm van een stroomdiagram. Daarin kun je heel duidelijk alle resultaten en kansen opnemen en dan de verwachtingswaarde berekenen.
De verwachtingswaarde van de gehele situatie is zoals altijd de som van de betreffende eindresultaten, vermenigvuldigd met met hun bijbehorende uitkomsten.
Denk daarbij aan:
De kans voor een uitkomst in het eerste vlak is direct aangegeven. De kans voor een resultaat in het tweede vlak bereik je door vermenigvuldiging van de waarschijnlijkheid in de tak van vlak 1 bij deze gebeurtenis, vermenigvuldigd met waarschijnlijkheid in de tweede tak.
Voor het overzicht schrijf je aan het eind van een pad zijn uitkomst en aan iedere tak de betreffende kans. De verwachtingswaarde is dan de som van alle resultaten, vermenigvuldigd met hun kansen.
Voor een dobbelspel met de volgende regels is hier een voorbeelddiagram:
De speler betaalt niets om deel te nemen. Gooit hij een 1, 2 of 3 dan heeft hij verloren. Gooit hij een 4 of 5 dan wint hij een chocolademunt en gooit hij een 6 dan mag hij nog een keer gooien. Gooit hij in de tweede worp nog een 6, dan wint hij drie chocolademunten. Gooit hij in de tweede worp geen 6, dan krijgt hij 2 chocolademunten.
De verwachtingswaarde is dan:
0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • 0,16 • 3+0,16 • 0,83 • 2 = 0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • (0,16 • 3+0,83 • 2) = 0,694.
Deze manier om een berekening van de verwachtingswaarde op te schrijven is bijzonder geschikt wanneer er veel gevallen moeten worden meegerekend. Hij is natuurlijk niet fundamenteel anders dan de puur schriftelijke berekening.
Het volgende gedeelte is puur wiskundig, maar nog te begrijpen. Wanneer het je helpt kun je eerst het voorbeeld bekijken.
Een ander belangrijk begrip is de variance. Die helpt je niet bij de berekening van verwachtingswaarde, maar is tijdens het spelen je voortdurende metgezel, de reden waarom hier ook iets over zal moeten worden uitgelegd. Wiskundig gezien is het een maatstaf voor de gemiddelde afwijking van een resultaat van een toevals-experiment van zijn verwachtingswaarde.
Bij poker wordt daarmee vaak het feit bedoeld dat iedere speler, hoe goed ook, swings in beide richtingen meemaakt, wat eigenlijk een uitwerking van de variance is. Deze is in de hier relevante situatie weergegeven door de volgende formule:
Het ziet er in eerste instantie niet zo leuk uit, maar zo is het. De variance mist de midden- quadratische afwijking van de verwachtingswaarde E(x). Daardoor kom je op de standaardafwijking:
Dus de wortel van de variance. Dit is geen nutteloze waarde, zoals je misschien zou kunnen denken, maar zorgt ervoor dat de standaardafwijking altijd een positieve waarde heeftvoor een positief voorteken van de standaardafwijking. De standaardafwijking is een vatbare grootte: ze geeft namelijk direct de gemiddelde afwijking van de verwachtingswaarde aan.
Laten we voor een beter begrip een keer een voorbeeld berekenen bij poker. Speler A heeft een bankroll van $2.000. Speler B biedt hem de volgende deal aan:
A krijgt AA, B krijgt een random hand en er wordt tot de showdown gespeeld. Speler A mag óf (scenario 1) éénmaal zijn hele bankroll, óf (scenario 2) tienmaal $200 zetten. Zonder vooringenomen stelling willen we nu een kijken wat we kunnen berekenen.
De verwachtingswaarde bedraagt voor scenario 1:
0,85 • $2000 + 0,15 • (−$2.000) = $1.400
In scenario 2 wordt tienmaal hetzelfde experiment uitgevoerd. De verwachtingswaarde is dus:
10 • (0,85 • $200 + 0,15 • (−$200)) = $1.400, net zoals in scenario 1.
De individuele standaardafwijkingen zijn echter (vanwege de ruimte niet voorgerekend) in scenario 1: $1.428.30 en in scenario 2 ca. $451. Het risico van een totaal verlies ligt bij scenario 2 op een lachwekkende 5,7665• 10−7% = 0,00000057665%, maar bij scenario 1 altijd nog op ca 15%.
Hoe verder de mogelijke resultaten van de verwachtingswaarde verwijderd zijn, des te groter zal ook de gemiddelde afwijking daarvan zijn. Een NL50-speler zal veel eerder bereid zijn om zijn gehele bankroll met scenario 2 te riskeren dan met scenario 1.
Interessanter dan een direct berekenen van standaardafwijkingen is echter de volgende benadering: Poker-analysetools zoals PokerTracker kunnen onder andere de standaardafwijking in BB/100 als waarde aangeven. Wanneer je dus beschikt over een voldoende grote database dan laten zich simulaties berekenen, die verschillende grafieken voor verschillende aantallen handen op basis de winrate en standaardafwijking simuleren.
Zonder hier nog verder in detail op in te willen gaan moeten we nog vermelden dat als uitkomst van wiskundige simulaties op basis van realistische standaardafwijkingen voor NL BSS spelers, swings van tot wel 60 stacks absoluut realistisch zijn en over het algemeen kunnen voor komen, zelfs bij spelers met een winrate van 4BB/100hands.
Met de verduidelijking van verwachtingswaarde, variance en standaardafwijking, naast de inleiding van stroomdiagrammen voor aanschouwelijke berekening van verwachtingswaarderen, zijn de inleidende wiskundige opmerkingen afgesloten. Nu zul je, na de introductie van de equity en handrange, de eerste eenvoudige voorbeelden van EV-berekeningen leren kennen.
De handrange
De handrange wordt uitvoerig behandeld in het tweede deel van deze serie, hier wordt slechts een uitleg gegeven. Wat is dus een handrange?
Een handrange omschrijft een hele verzameling handen waartussen een speler in een spelsituatie geen onderscheid meer maakt. Dit betekent dat hij iedere hand van deze verzameling precies zo zou spelen als hij hem heeft gespeeld. Het gaat daarbij om een belangrijk concept, omdat je ervan bewust moet worden dat iedere speler in iedere situatie niet een enkele hand kan spelen, maar een complete range.
Dit betekent dat de kans om te winnen ook altijd tegen de totale handrange zou moeten worden bekeken. Op dezelfde manier moet je jezelf bij elke beslissing altijd afvragen hoe de speler met welk deel van zijn range op je actie zal reageren (zijn range splitst zich namelijk niet altijd direct in zoverre, dat hij met een deel beslissing A en met een andere deel beslissing B zal nemen).
Handranges worden meestal zo aangegeven dat de zwakste hand een categorie met een + wordt aangeduid en tussen offsuited en suited ligt het onderscheidt bij de toevoeging 'o' en respectievelijk 's'. Wanneer die toevoeging ontbreekt dan worden beide mogelijkheden bedoeld. AK betekent bijvoorbeeld alle 16 mogelijke combinaties van AK. QQ+, AQs+, AK betekent QQ, KK, AA, de vier suited combinaties van AQ en alle combinaties van AK.
De equity
Je hebt vast al wat over 'equity' gehoord. Ook de equity is een meer wiskundig begrip. Het beschrijft de kans om te winnen van spelers in vooropgestelde situaties.
De equity is precies gezegd het gedeelte van de pot dat een hand of heleboel handen toebehoort, in een bepaalde situatie tegen een andere hand of heleboel handen. Dit gedeelte aan de pot bevat ook de situatie van een split pot en wijkt daarom meestal wat af van de exacte kans om te winnen.
In principe is het mogelijk om de equity ook met de hand te berekenen. Een heel eenvoudig voorbeeld, waarin dit met een nog redelijke inspanning mogelijk is:
Speler A heeft A
K
Speler B heeft A
2
Het board is 7 8 K
Hoe hoog is de equity van speler A en B?
Daarbij moet je alle mogelijke gebeurtenissen er in betrekken. Speler B wint wanneer hij een flush treft en speler A geen full house, of wanneer hij op de turn en river een 2 krijgt.
De kans voor een 2 op de turn en river is nu 3/45 * 2/44
Dit komt als volgt tot stand:
In het deck zijn drie tweeën over, namelijk 222. De kans dat er daar een van op de turn komt is dan gewoon het aantal de 'gewenste' kaarten, gedeeld door het aantal aanwezige kaarten. Dat zijn er hier 45. Je kent 4 kaarten van de handen van speler A en B en drie kaarten van de flop. Daarmee zijn er 52-4-3 = 45 onbekende kaarten in het deck.
Voor de river blijven twee 'gewenste' en 44 mogelijke kaarten over en dus volgt 1/330 = 0,3%.
Daarbij komt de kans van een flush. De flush komt op de turn met een kans van 9/45. Is deze kaart niet de K, dan heeft speler A geen winstkans meer en dus wordt vanaf hier op de meest geschikte manier onderscheid gemaakt:
In 8/45=17,7% van de gevallen wint speler B direct, in 1/45 kan speler A een full house of quads op de river treffen. Dit gebeurt in 9/44=20.5% van de gevallen voor 2xA, 1xK, 3x7 en 3x8.
Voor speler B komt er bij de kans om te winnen nog 1/45 (kans voor K op de turn) * 35/44 (kans dat speler A geen full house of quads treft) % = 1,7%.
Tot hier kom je voor speler B dus op een equity van 19,7%. Nu moeten we nog het geval berekenen dat er geen op de turn verschijnt. Is de turn een 7, 8, A of K, dan moet voor speler B op de river een behalve de K vallen. Is de turn geen van deze kaarten, dan helpen alle op de river speler B.
In het eerste geval kom je voor speler B op 9 (A, 7, 8 of K zonder K)/45 * 8/44 = 3,63%. In het tweede geval kom je op 24 (geen schoppen, geen A, 7, 8 of K noch 2, daar we dit geval al hebben afgedekt)/45 * 9/44 = 10,9%. In totaal heeft speler B dus 35,76% equity.
Zoals je ziet is dit enorm ingewikkeld, hoewel het een heel eenvoudige situatie was. Moeilijke gevallen, zoals preflop-equity of equity voor verschillende handranges, zijn zo niet meer practisch te berekenen. Hiervoor gebruik je verschillende tools. Deze berekenen meestal door numerieke integratie in seconden de equities, ook in lastige situaties.
Een tool als de PokerStrategy.com Equilator kan met eenvoudige methoden in willekeurige pokersituaties de equity berekenen. Er kan aan de ene kant gerekend worden met afzonderlijke handen, bijvoorbeeld AA tegen KK, maar ook de equityberekening voor ranges is mogelijk, zoals bijvoorbeeld QQ+, AK tegen JJ+, AQ, AK.
Ook verschillende boards en 'dode' kaarten die bij de berekening niet meerekend moeten worden zijn in te stellen. Om er een gevoel voor te krijgen wordt hier een aantal voorbeeldequities aangegeven:
| Situatie | Equity |
| Pair tegen kleiner pair | 80% |
| Pair tegen 2 overcards | 54% |
| Pair tegen over- & undercard | 70% |
| Pair tegen 2 undercards | 85% |
| QQ+ AK tegen 66 | 64% |
| Flushdraw tegen top-pair | 35% |
| Flushdraw + overcard tegen top-pair | 44% |
| Set tegen flushdraw | 75% |
| Set tegen flushdraw + gutshot | 66% |
Het is enorm belangrijk om een goed gevoel voor equity te krijgen. Het is weliswaar mogelijk om in een paar situaties met inschatting snel de equity te bepalen, maar vaak heb je daarvoor gewoon niet die tijd.
Daarom blijft je nauwelijks meer over dan scholing via de eigen ervaring. De equities zou je in je hoofd moeten hebben en ze in het spel juist en precies moeten kunnen inschatten. Je kunt je beslissingen echter achteraf controleren en daarmee in de toekomst je gevoel voor de equity verbeteren. Om nog een keer een begrip uit het eerste hoofdstuk aan te halen:
De equity staat in directe samenhang met de verwachtingswaarde.
Men laat in de uitgekozen situatie tot de showdown delen en geeft iedere deelnemende speler zijn winst in delen van 1. De gemiddelde winst van een speler bij veelvuldige herhaling is de equity.
Samen met de equity kun je nu je eerste eigen eenvoudige EV-berekeningen voor analyse uitvoeren. Een aanzet daarvoor en voorbeelden vormen de afsluiting van dit artikel.
EV-berekeningen algemeen
Waarvoor dient de EV-berekening eigenlijk wanneer je hem niet direct aan tafel kunt uitvoeren? Het is alleen om, zoals eerder vermeld, een beslissing achteraf te waarderen. Dit is belangrijk wanneer je als pokerspeler verder wilt komen, want vaak komen spelers niet verder dan een 'ik geloof...'-uitspraak die weinig gefundeerd is.
Wie het precies wil weten rekent en heeft aan het einde meer geleerd dan iemand die nog steeds op zijn geloof vertrouwt. Het doel van een EV-berekening is dan ook niet slechts een pure verwachtingswaarde te berekenen, maar een gevoel voor zijn opbouw te ontwikkelen. Hoeveel win je door een fold van je tegenstander, hoeveel door een treffer en zo verder.
Vaak zijn er aan de berekening bepaalde vragen verbonden, zoals: Hoeveel kan ik in deze situatie nog callen? Hoe groot mag zijn stack maximaal zijn opdat ik nog all-in zou willen gaan? Welke handen moet hij ongeveer zo spelen als hij doet opdat ik winstgevend kan callen? En zo verder. De mogelijkheid voor het beantwoorden van deze vragen ligt in de mogelijke interpretatie van de verwachtingswaarde.
Je stelt eerst een simpele eis, namelijk: 'heb een positieve verwachtingswaarde'. Dit komt voort uit een vergelijking met een fold.
Een fold heeft altijd de EV=0. Dit is ook gemakkelijk wiskundig te begrijpen. Heb je namelijk voor een fold gekozen, dan is de enige mogelijke uitkomst 'fold'. Het bijbehorende bedrag is 0. Folden kost niets en de kans daarop is 1, want je weet waar je aan toe bent.
Daardoor kom je op EV= 0 * 1 = 0. Een fold is altijd EV-neutraal. Zo is ook duidelijk dat iedere beslissing die je de voorkeur geeft boven een fold dus minstens een EV van 0 of groter moet hebben.
De 0-EV is vooralsnog de maatstaf. De eigenlijke eis is dus EV>=0. Je zet dus nu EV=0 neer en krijgt in plaats van een ongelijkheid een vergelijking. Deze kun je nu, zolang je andere variabelen fixeert, tot een variabele oplossen. Practisch betekent dat:
Wanneer je de pot en betsizes precies kent, kun je bijvoorbeeld de benodigde equity berekenen en omgekeerd. Op deze manier kun je verdere voorwaarden voor latere acties afleiden of direct een aanbeveling uitspreken. Zo krijg je in een bepaalde situatie bijvoorbeeld een voorwaarde voor de equity, of abstracter ook een voorwaarde aan speelwijzes van tegenstanders, opdat EV (>) = 0 vervuld is. Uiteraard weet je op dit moment ook dat je spel natuurlijk in de richting van meer +EV zou moeten gaan en je geen beslissingen moet nemen die een afwijking aan de kant van -EV veroorzaken.
Een richtlijn voor eenvoudige EV-berekeningen
Voor de EV-berekening ga je het beste systematisch te werk, zoals in de wiskundige inleiding. Ten eerste heb je alle mogelijke resultaten nodig. In eenvoudige gevallen is dat meestal de winst of het verlies van de pot, of van een bepaald bedrag dat je bijvoorbeeld moet callen.
Er zijn meerdere equivalente weergaven van de verwachtingswaarde. Hier zal ik met de volgende formule rekenen:
EV = Equity * (Win + Investment) - Investment
'Win' betekent daarbij al het geld dat je kunt winnen en 'Investment' het bedrag dat je moet betalen om een winkans te krijgen.
Laten we na na al die grauwe theorie een aantal voorbeelden berekenen:
Fullring, 100BB Stacks
Preflop: Hero is BU with A, 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks
Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB raises 10BB, UTG2 folds, MP1 raises 15BB, CO folds, Hero?
De vraag is: Kun je als Hero hier callen?
Wanneer je aan tafel zit dan zul je op een of andere manier een beslissing moeten nemen. Toch kun je dan achteraf ook even gaan zitten en eens proberen om de verwachtingswaarde uit te rekenen.
EV = equity * (Win + Investment) - Investment
In dit geval is alleen belangrijk wat je direct wint. Dus is de pot (6+5+10+15)BB = 36BB. Investment komt in dit geval overeen met de 15BB die je zal callen (waarbij Investment negatief is, want je verliest tenslotte 15BB).
Dan blijft de vraag van de equity over. Om deze te kennen heb je echter kennis nodig over de handen van je tegenstander. Zonder hier inschattingen te maken kun je echter al een keer de benodigde equity voor EV=0 uitrekenen, wat je al een beetje een idee geeft:
EV = 0 = Equity * (36BB + 15BB) - 15BB
15BB = Equity * ( 51BB )
15/51 = Equity
Je hebt dus een kans om te winnen nodig van iets minder dan 33%, om precies te zijn slechts 29%. Dat is allemaal mooi. Je hebt tenslotte aan het begin geleerd dat de equity van een nutflushdraw meestal juist in deze orde van grootte ligt. Ga je er nog vanuit dat je misschien bij een treffer op de turn nog geld kunt winnen, dan moet een call dus goed zijn. De situatie is duidelijk een call, correct?
Nee!
Deze analyse mist twee relevante feiten. Ten eerste kun je er niet zeker van zijn dat je met de 15BB-call de turn zult zien. Vaak zal de SB of BB bijvoorbeeld nog een keer reraisen, waarna je opnieuw zou moeten analyseren. Om precies te zijn zou je de EV complexer moeten berekenen met het volgende onderdeel:
EV = P(Nobodyraise) * (equity * (Win + Investment) - Investment) + P(Somebodyraise) * (uitkomst van Somebodyraise)
P(Somebodyraise) is hierbij de kans van een extra raise. Het resultaat is vanzelfsprekend niet verder geanalyseerd. Dit is ook lastig, omdat je hier alle mogelijkheden met een eigen verloop zou moeten bedenken. Dit gaat weliswaar, maar is enorm omslachtig.
Er is nog een tweede probleem: Je kunt er niet van zeker zijn dat je jouw volle aandeel aan de pot ook krijgt. De equityberekeningen in Equilator gaan er vooral van uit dat er een showdown komt. Deze zou voor jou echter over het algemeen meer kunnen kosten dan de inzet op de flop, ook wanneer er geen reraise meer komt, gewoon omdat er op de turn gebet wordt.
Dit betekent in het voorbeeld dat je in plaats van de equity van de flop tot aan de river, in dit geval slechts met de kans voor een treffer op de turn zou moeten rekenen. Deze vind je óf door een raming van 8/45=17% (je wilt graag een die geen pair op het board brengt) of je gebruikt de equity die van de flop tot aan de turn zou gelden.
| Situatie | Equity tot aan de river | Equity van flop tot turn |
| Pair tegen kleiner pair | 80% | 95% |
| Pair tegen 2 overcards | 54% | 86% |
| Pair tegen over- & Undercard | 70% | 93% |
| Pair tegen 2 Undercards | 85% | 100% |
| QQ+ AK tegen 66 | 64% | 57% |
| Flushdraw tegen top-pair | 35% | 20% |
| Flushdraw + overcard tegen top-pair | 44% | 26% |
| Set tegen flushdraw | 75% | 84% |
| Set tegen flushdraw + gutshot | 66% | 78% |
Dit is duidelijk minder dan je nodig hebt om een direct winstgevende call te maken. Een tot nog toe niet meegerekende reden voor een call zou de mogelijkheid zijn dat je in het geval van een treffer op de turn niet slechts de bestaande pot wint, maar ook nog extra geld kunt winnen.
Toch is hier het feit dat je de actie niet afsluit en er na jou nog een keer geraised kan worden (en wat ook best waarschijnlijk is), samen met het feit dat je lang geen direct winstgevende call kunt maken, voldoende reden om hier fold als beste beslissing te bestempelen.
De formule EV = equity * (Win + Investment) - Investment geldt alleen voor het geval dat er geen andere mogelijkheid bestaat dan dat je wint (Win) of verliest (Investment). Zijn er ook andere mogelijkheden, dan zal de formule complexer worden. In de zin van een stroomdiagram moet je dan ieder geval in de berekening meerekenen. We zullen ze later in deze serie nog toepassen.
Fullring, 100BB Stacks
Preflop: Hero is BU with A 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks
Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB calls 5BB, UTG2 folds, MP1 calls 5BB, CO folds, Hero?
De situatie is vergelijkbaar, maar nu sluit Hero de actie af. Of Hero callt en ziet de turnkaart, of hij foldt.
We gebruiken opnieuw:
EV = 0 = Equity * (6BB + 5BB*4) - 5BB
Equity = 5BB/(6BB+5BB*4) = 0.19 = 19%
Let je nu op de equity van flop tot turn voor een flushdraw dan is het bij deze exacte situatie bijna voldoende voor een call, omdat we naar de nuts drawen. Kijk je ook naar de mogelijkheid om af en toe gratis de river te zien of om op de turn nog geld te kunnen winnen, dan heeft Hero nu een duidelijke call.
De vraag is natuurlijk: Wat is dan het nut van de EV-analyse? De EV-analyse helpt je om je spel wiskundig in te schatten. Je kunt controleren of een beslissing die je in het spel hebt getroffen ook een latere exacte analyse doorstaat, met inachtneming van de exacte pot- en betgrootte en de equity.
De mening van andere (goede) spelers is het belangrijkste wanneer een gehele EV-analyse bijna onmogelijk is omdat er teveel mogelijke gevallen meegerekend zouden moeten worden en er daarmee teveel onbekende variabelen meewerken. Hier bestaat er, behalve statistische benaderingen in databases, geen ander beslissingscriterium dan de persoonlijke inschatting van spelers.
Ter afsluiting nog een voorbeeld met een all-in-situatie.
Fullring, 100BB Stacks
Preflop: Hero is CO with Q J
UTG+1 calls 1BB, 5 folds, Hero raises 5BB, BU calls 5BB, SB folds, BB folds, UTG+1 calls 4BB
Flop: A, K, 5 (Pot: 16,5BB)
UTG+1 checks, Hero bets 14BB, BU raises 36BB, UTG+1 is All-In, Hero?
De vraag is of Hero hier een winstgevende call heeft of niet. Laten we eerst de variabelen berekenen. Wanneer je je draw niet treft verlies je 81BB.
Een (realistische) inschatting moet nog worden gemaakt: BU zal zijn hand niet meer folden wanneer je callt. Hij moet nog 59BB voor een ongeveer 300BB grote pot bijleggen en dat zal hij zo goed als altijd doen. We hebben daarmee dus bij 215,5 BB (100BB voor UTG+1 en BU, 1,5BB dead money en 14BB die Hero zelf al heeft gebet). Hiermee kom je op de benodigde equity voor een breakeven call van:
81/( 296,5 ) = 0,27 = 27%
Heb je dus meer dan 27% equity in deze situatie dan kun je callen. Hier is bijvoorbeeld een gangbare benadering mogelijk om de equity in te schatten, een 'Worst-Case'-analyse. Daarbij kies je voor beide tegenstander de slechtst mogelijke combinatie van handen voor jou uit.
Is je equity daartegen voldoende (of ontbreekt er slechts een heel klein deel) dan kun je van een winstgevende call uitgaan, omdat het worst-case scenario niet de regel is. De slechtste realistische combinatie voor jou zou waarschijnlijk een set of een andere flushdraw zijn. De flushdraw zorgt ervoor dat je minder outs hebt en de set heeft de beste hand en heeft zelfs een redraw. Het kan bijvoorbeeld geven:
| Equityanalyse | |||||
| Board | AK5 |
||||
| Equity | Win | Split | Loss | hand | |
| Speler 1 | 28,57% | 28,57% | 0% | 71,43% | QJ |
| Speler 2 | 70,43% | 70,43% | 0% | 29,57% | AA |
| Speler 3 | 1% | 1% | 0% | 99% | T9 |
Daarmee is duidelijk: Een call is winstgevend. Slechter dan dit geval wordt je equity niet meer. Belangrijk is hierbij ook het feit dat zowel de straight- als de flushdraw naar de nuts gaan. Is dat niet het geval, dan wordt de berekening complexer.
Samenvatting
Je hebt nu in dit artikel de fundamentele wiskundige begrippen en concepten van No-Limit Hold'em leren kennen en weet hoe je ze praktisch kunt gebruiken.
In het tweede deel van de serie zullen we ons nader met de handrange en de foldequity bezighouden, naast implied en reverse implied odds en complexere voorbeelden daarvoor berekenen.
| LINKS | |||||
|
|||||
