Equilíbrio de Nash e Frequências de Bluff/Call

Introdução

Neste artigo

• Uma introdução à teoria do jogo
  
• O Equilíbrio de Nash e as suas implicações
  
• Frequências de Apostas e Calls

GA teoria dos jogos é um ramo da matemática que analisa determinadas situações de conflitos, ou os tão chamados jogos. Neste contexto, o termo 'jogo' é utilizado para várias situações em que vários participantes competem por recursos, cada qual seguindo uma estratégia, (possivelmente com aspectos cooperativos) e onde existe a possibilidade de lucro. 

Um conceito central na teoria dos jogos é o famoso Equilíbrio de Nash, que descreve um estágio de equilíbrio estratégico entre os jogadores, cada qual sabendo a melhor resposta para a ação do oponente, sem que algum jogador seja capaz de aumentar seu lucro se fizer uma alteração unilateral em sua estratégia.

Neste arquivo, você aprenderá as noções sobre a teoria dos jogos, equilíbrio de Nash como estratégia de solução e sua aplicação no exemplo de freqüências de apostas e calls. Para uma melhor compreensão deste artigo, é bom que o leitor tenha alguma noção básica da teoria de matrizes.

Breve Introdução à Teoria dos Jogos

Matematicamente falando, um jogo consiste em:

• um conjunto de jogadores
• um conjunto de todas as estratégias (puras) dos jogadores, individualmente
• uma função que se associa cada perfil estratégico (ou seja, cada jogador adota uma estratégia) a enupla de pagamento, que determina o pagamento para cada jogador. Esta função determina o resultado dos jogadores que selecionaram uma determinada estratégia e tipo de jogo.

O presente artigo abordará jogos envolvendo dois participantes. Um jogo pode ser facilmente representado por duas matrizes m x n, A e B. O Jogador 1 portanto possui  m estratégias (S1,...,S2) e o jogador 2 possui n estratégias (S'1,...,S'n). Se o jogador 1 adotar a estratégia Si e o jogador 2 adotar a S'j, conseqüentemente o pagamento será Aij para o jogador 1, e Bij para o jogador 2.

estrutura de pagamento do jogador 1:

Se, por exemplo, A=B=I2 (matriz unitária 2x2), ambos jogadores receberão o pagamento 1 se ambos escolherem a primeira ou segunda estratégia, e em outros casos ambos receberão o pagamento 0.

Os jogadores podem ainda adotar estratégias mistas. Isto significa que várias estratégias puras são adotadas com determinadas probabilidades, que obviamente somam até chegar aos 100%. Uma estratégia mista pode ser representada por um vetor p, em que pi representa a probabilidade do número de estratégia i ser jogado.

Se o jogador 1 adotar o elemento de estratégia mista p e o jogador 2 adotar o elemento de estratégia mista q, teremos as estruturas de pagamentos pAq e pBq. (Para estratégias puras, chegamos à entrada correspondente da respectiva matriz.)

A estratégia p do jogador 1 é conhecida como a 'melhor resposta' para uma estratégia q do jogador 2 se p produzir o melhor pagamento para o jogador 1, ou seja, temos o seguinte cenário:

pAq >= p'Aq para todas as estratégias p' do jogador 1.

Analogicamente, uma estratégia q por parte do jogador 2 será conhecida como a melhor resposta para a estratégia p do jogador 1 nos casos a seguir:

pBq >= pBq' para todas as estratégias q' do jogador 2.

Uma dupla de estratégias (p,q), em que p é a estratégia do jogador 1 e q é aquela do jogador 2, é conhecida como o 'Equilíbrio de Nash (NEQ)' se p for a melhor resposta para q e q for a melhor resposta para p.

Pode ser provado que existe pelo menos um NEQ para cada jogo (embora não necessariamente em estratégias puras).

Um NEQ não precisa ser Pareto ótimo (um NEQ é pareto ótimo se for impossível mudar o NEQ para que um dos dois jogadores receba um pagamento maior, sem que o outro jogador receba menos do que anteriormente).
Por outro lado, uma dupla de estratégias pareto ótimas não consiste em um NEQ. Um bom exemplo de tal dupla de estratégias é o dilema do prisioneiro. Entretanto, não abordaremos este assunto detalhadamente. Outro interessante conceito de equilíbrio, mas não abordado neste artigo, consiste nas estratégias evolucionárias estáveis e equilíbrio correlato.

Se ambos os jogadores adotarem apenas duas estratégias puras, existe um método bastante simples para a determinação das estratégias que produziriam o NEQ. O exemplo A=B=I2 acima pode ser usado neste caso.

Obviamente uma estratégia p do jogador 1 possui o formato (a,1-a) com um elemento de [0,1]. A estratégia dos 2 jogadores deve ter o formato (b,1-b) com o elemento b de [0,1]. Agora vejamos a melhor resposta do jogador 1 para uma estratégia (b,1-b) do jogador 2. Fazemos isto comparando os pagamentos das estratégias (1,0) e (0,1). (ou seja, os pagamentos das estratégias puras em cada uma das duas linhas)

Se o jogador 1 escolher a primeira linha da matriz, seu pagamento será b, e se escolher a segunda linha, seu pagamento será 1-b. Para b > 1-b, equivalente a b > 0.5, a melhor resposta é a primeira linha, ou seja, a = 1. Assim, para b < 0.5, a segunda linha é a melhor, ou seja a = 0. Para b = 0,5, o jogador 1 receberá o pagamento de 1/2. Portanto, cada estratégia é a melhor resposta.

Repetimos este procedimento para o jogador 2. Devido à simetria no exemplo, temos b=1 para a > 0.5, b = 0 para a<0.5 e qualquer elemento b de [0,1] para a = 0.5.

Os NEQs são definidos como pares de estratégias, sendo cada estratégia a melhor resposta para a outra estratégia. É óbvio que no exemplo dado, as interseções dos conjuntos mostram onde estão os NEQs.

Os NEQs deste jogo são ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) e ((0.5,0.5),(0.5,0.5)).

Frequências de Aposta/Call

Agora vejamos a seguinte situação: O jogador 1 (fora de posição) e o jogador 2 (em posição) estão no river e a força da mão do jogador 2 ficou bastante óbvia. O jogador 1 sabe que está na frente e o jogador 2 sabe que o jogador 1 sabe isto.

Se o jogador 1 puder ganhar da mão do jogador 2, o jogador 1 obviamente fará uma value bet (o jogador 2 irá sempre fazer o check depois, já que sabemos que o jogador 1 está ganhando). A resposta à pergunta de qual a frequência o jogador 1 deve blefar depende do oponente. Por exemplo, ele obviamente não deve blefar contra um calling station, mas deve blefar contra um oponente fraco. Para o jogador 2, a decisão entre fazer o call e o fold da aposta do jogador 1 também depende do oponente.

Esta situação pode ser modelada como um jogo:

• O jogador 1 possui as estratégias (puras) de fazer ou não fazer "bluff".  Uma estratégia mista (a,1-a) consistiria em uma estratégia em que o jogador 1 iria fazer "bluff" com a probabilidade a ao apostar (e não uma estratégia em que o jogador 1 irá fazer "bluff" com a probabilidade a quando ele tem uma mão feita. Mais detalhes podem ser vistos na terceira seção).

• O jogador 2 possui as estratégias (puras), call e fold. Uma estratégia mista (b,1-b) consistiria naquela em que o jogador 2 fará o call com a probabilidade b quando o jogador 1 apostar.

As melhores respostas para as estratégias do oponente são relativamente fáceis de determinar, conforme demonstrado a seguir (o tamanho da aposta do jogador 1 será  x*potsize):

Para fazer um call lucrativo, o jogador 2 deve estar na frente em x*Pot / (x+2) * Pot = x/(1+2x) dos casos. Isto significa que a melhor resposta do jogador 2 à estratégia (a,1-a) é de fazer o fold (ou seja, (0,1) ou b=0) se  a < x/(1+2x). 

Se a>x/(1+2x), a melhor resposta do jogador 2 é um call (ou seja, (1,0) ou b=1). Se a=x/(1+2x), consequentemente cada estratégia (b,1-b) com elemento b de [0,1] será a melhor resposta.

Para que o jogador 1 seja capaz de blefar com sucesso, o bluff precisa ter êxito em x*Pot/((x+1)*Pot) = x/(x+1) dos casos, ou seja, o jogador 2 deve fazer o fold pelo menos em x/x+1 dos casos.

Isto significa que a melhor resposta do jogador 1 para (b,1-b) com b>x/x+1 é de nunca fazer bluff (ou seja (0,1) ou a=0). A melhor resposta do jogador 1 para b é de sempre fazer bluff (ou seja (1,0) ou a=1), e todas as estratégias são a melhor resposta para b=x/x+1.

Assim, obtemos precisamente um NEQ: ((x/(1+2x)),1-x/(1+2x)),(x/x+1,1-x/x+1)).

Implicações Práticas dos Equilíbrios de Nash

Agora vejamos a situação do ponto de vista do jogador 2. Assumimos que x = 1 é verdadeiro, ou seja, o jogador 1 faz uma potsize bet. Isto faz com que o (0.5,0.5) seja o NEQ. Se o jogador 2 fizer o call em 50% das vezes e fold 50% das vezes, neste caso o jogador 2 não é explorável na situação, ou seja, o oponente do jogador 2 não pode fazer uma decisão que irá melhorar seu valor esperado.

Cada uma das estratégias do jogador 2 é uma boa resposta à estratégia do jogador 1. Entretanto, a estratégia (0.5,0.5) é obviamente nem sempre a melhor resposta para a estratégia do jogador 1. Idealmente, é óbvio que devemos sempre reagir com a melhor resposta. Se, por exemplo, o oponente for um rock, é muito fácil prever sua estratégia e escolher a melhor resposta. Nesta situação, você sequer pensará em fazer o call em 50% das vezes contra um rock.

Entretanto, bons oponentes tendem a mudar suas estratégias constantemente e adaptar ao nosso estilo, enquanto tentamos adaptar aos ajustes feitos pelo oponente, etc. Idealmente, estaremos sempre um passo à frente de nosso oponente, pensando um nível à frente. Assim, podemos prever a estratégia do oponente com precisão, ou seja, podemos julgar se o oponente tende a blefar neste ponto do jogo (o termo 'jogo' é utilizado no sentido aplicado no cotidiano em nosso caso).

Infelizmente, algumas vezes enfrentaremos oponentes que são melhores do que nós neste aspecto, ou seja, que estão pensando um nível a frente do nosso. Contra estes oponentes, é melhor adotar uma estratégia que não seja explorável. Assim, o oponente não pode se beneficiar do fato de que ele pode ler nosso jogo melhor do que nossa leitura em relação ao seu jogo. Se trocarmos de cartas com nosso oponente, ganharíamos exatamente o mesmo valor que o oponente teria ganho de nós, já que podemos novamente adotar a estratégia que está no NEQ.

Observações Finais

a) Se, por exemplo, você decidir realizar uma determinada ação em 50% dos casos, você deve fazê-la de forma que pareça sempre aleatória, e não de forma pré-determinada, como um sistema facilmente previsível. Há vários fatores que podem ser utilizados como um simples gerador aleatório, como, por exemplo, as mãos secundárias de sua leitura ou a carta do river, ao fazer o call se o calor da carta for equivalente. Este tipo de gerador aleatório também pode ser previsível se for muito óbvio e se seus oponentes estiverem muito atentos.

b) Conforme previamente determinado na segunda seção, o jogador 1 utilizando a estratégia (a,1-a) significa que a probabilidade de o jogador 1 em fazer o bluff é a no geral, e não que a probabilidade do jogador 1 em fazer bluff é a se ele tiver uma mão ruim. Portanto, saber o valor a não nos diz imediatamente qual a frequência em que devemos fazer bluff se formos o jogador 1. Você precisa saber a frequência em que de fato você teria a mão que você deseja representar com um bluff.

Por exemplo, imaginemos um board com JsTs42, que você obviamente está num draw (straight ou flush) e o jogador 2 tem uma mão feita. Se o river for um 6s, completando possíveis flush draws, e você tem seu KQ, então, para determinar a frequência em que devemos "bluffar", devemos considerar a frequência em que teríamos um flush.

(As9s-As5s, As3s, As2s, 9s7s, 8s7s, 8s6s, 7s6s, 7s5s, 6s5s, 5s3s) é um exemplo realista de mãos para o flush, somando 14 mãos diferentes. Você terá um straight draw sem sucesso com a mesma freqüência (7 combinações cada de KQ e 98, assumindo que você teria jogado o OESD+FD de maneira diferente).

Se você deseja "bluffar" com uma probabilidade de 1/3, ou seja, um terço dos casos, você precisa de 7 diferentes mãos pra fazer o bluff (7/(14+7)=1/3). Assim, se você tem um draw que não completou, você deve blefar em 50% dos casos: (7/14 = 1/2).

Você pode eliminar 98 nesta situação (talvez devido à ação pré-flop), quando você não terá o flush em apenas 33% dos casos, o que significa que você deve blefar sempre que não tiver o flush.

c) Se você estiver no lugar no jogador 2 e esperar que o jogador 1 irá "bluffar" com uma frequência que corresponde aproximadamente ao NEQ, você deve fazer o call se você tiver um *blocker* em sua mão. Um blocker é uma carta que faz parte de uma das mãos que seu oponente pode estar representando, fazendo com que seja menos provável que o oponente de fato tenha a mão que ele representa ter.

Se, por exemplo, você tem AsJd no exemplo do ponto b), então 7 das 14 mãos de flush são impossíveis, já que elas teriam As, e portanto estão *bloqueadas*. Se o oponente utilizar o método descrito em b), então devemos calcular uma frequência de bluff incorreta para seus draws incompletos, já que ele pensará que ele teria um flush mais frequentemente do que o normal . Isto faria com que ele blefasse em 50% dos casos, ao invés de 33%.

Esta situação é similar se o river for um 9 no lugar no 6 e você tiver QQ. Se o oponente apostar, eles estariam representando KQ, e a metade das combinações com KQ pode ser eliminada.