Математический взгляд на розыгрыш дро

Введение

В данной статье 

• Сильные и слабые дро
  
• Несобравшиеся дро
  
• Улучшайте своё чувство игры!
  

 

Тщательно проработав прежде статьи из секции для золота, вы уже узнали, как разыгрывать сильные и слабые дро, а также, как действовать с несобравшимися дро на ривере. Вам знакомы такие понятия, как полублеф, блефовые ставки, баланс и бесплатная карта.

В данной же статье вас ожидает несколько более абстрактный взгляд на розыгрыш рук-дро. Взгляд исключительно математический. Это поможет вам чуть-чуть лучше понять безлимитный холдем и сделать ваше чувство игры более чутким.

Определение

Для начала, конечно же, разберёмся, где проходят точные границы понятия руки-дро. Приведём ещё раз определение данного понятия (см. справа).

С математической точки зрения, у вас рука-дро, если ваше пот-эквити превышает 0%.

Максимального значения эквити, превысив которое, вы уже не имеете права утверждать, что у вас рука-дро, не существует.

Интуитивно у вас могли появиться мысли, что рука перестаёт быть рукой-дро тогда, когда её эквити становится больше средней величины. Это не так.

Рассмотрим следующие два примера:

Игрок 1: 7, 7
Игрок 2: 7, 5
Игрок 3: A, K

Флоп: 2, 3, 4

Распределение эквити:
Игрок 1 (7, 7): 27.461%
Игрок 2 (7, 5): 22.595%
Игрок 3 (A, K): 49.943%

Как видите, эквити Игрока 1 меньше среднего (33%), хотя на данный момент на флопе у него лучшая рука, и он выиграл бы шоудаун. Его рука не соответствует определению руки-дро, однако, если отталкиваться от значений эквити, она относится именно к этому разряду.

То же самое и с Игроком 3. На данный момент он не выиграл бы шоудаун, хоть его эквити и больше среднего. Тем не менее, на флопе у него пока рука-дро.

Данный пример может выглядеть подстроенным. Однако похожая ситуация может случиться и в хедс-апе.

Игрок 1 (K, Q):Эквити: 72.322%
Игрок 2 (2, 2):Эквити: 27.678%

Флоп: J, T, 5

Оба данных примера наглядно демонстрируют, что не существует максимального значения эквити, определяющего руку-дро.

Значение дро в No-Limit Hold'em

Вся прелесть безлимитного холдема и, в целом, покера заключается в том, что в этой игре есть руки-дро. В большинстве разновидностей покера вы так или иначе тянете свою комбинацию, либо в открытую, либо в закрытую. Единственной популярной разновидностью покера, где отсутствует понятие дро, является китайский покер.

На основе дро строится концепция эквити, которая направляет стратегию игры в новое русло. Может быть математически корректно коллировать ставку "х" с худшей рукой, если в банке уже есть сумма "у" так называемых "мёртвых денег".

Ввиду того, что сила руки игрока может меняться, у вас есть возможность реагировать на будущие события, на свершение которых вы не можете повлиять. На этом базируются концепции предполагаемых оддсов и обратных предполагаемых оддсов.

Итак, вы видите, что дро являются важнейшей частью игры. Сила комбинации постоянно меняется, и вы всегда можете адаптироваться к этим изменениям. Здесь на первый план выступает скилл игрока, его умение, мастерство.

Правильное понимание дальнейших концепций автоматически будет означать понимание покера.

Редро

Эквити всегда показывает, сколько процентов банка вы выиграете с диапазоном "х" против диапазона "у" на шоудауне. При этом, диапазоны "х" и "у" всегда должны состоять минимум из одной руки.

Программа "Эквилятор" может за секунды произвести расчёт для каждой ситуации и выдать вам ваше приближённое значение эквити.

На основе этого эквити вы можете коллировать ставки оппонента, будучи андердогом, при подходящих пот-оддсах. В качестве бронзового пользователя вы уже познакомились с этими концепциями и узнали методы расчёта эквити против различных рук на основе аутов.

Ответ на этот вопрос ещё не был дан ни в одной статье, и сейчас мы восполним этот пробел, прибегнув к математике.

Игрок 1: A, K
Игрок 2: Q, J
<!--

Борд: K, 7, 2

Распределение:
Игрок 1 (A, K): 61.4%
Игрок 2 (Q, J): 38.6%

<!--

Игрок 2 может выиграть шоудаун, поймав флеш, две пары, трипс или стрейт.

Игрок 1: K, K
Игрок 2: Q, J
<!--

Борд: K, 7, 2

Распределение эквити:
Игрок 1 (K, K): 73.5%
Игрок 2 (Q, J): 26.5%
<!--

В Примере 4 у Игрока 1 есть редро на каре и фулл хаус. Это выражается в небольшом скачке его эквити по сравнению с Примером 3. Однако этот скачок произошёл не только по причине появившихся редро, а также и потому, что у Игрока 2 теперь на руках совершенно другое дро.

В Примере 3 Игрок 2 мог выиграть шоудаун, собрав, помимо флеш-дро, также две пары или трипс, а в Примере 4 это невозможно. Таким образом, здесь неуместно проводить сравнение, чтобы выявить эффект, который оказывает появление редро на эквити.

Немного поиграв с Эквилятором, вы обнаружите, что он может делать больше, чем просто рассчитывать эквити. В этой программе заложена функция исключения из расчёта "мёртвых" карт. Грубо говоря, они просто выкладываются из колоды. С помощью этой маленькой уловки вы теперь можете сравнить эти два примера и в чистом виде выявить влияние редро на эквити.

Следующие карты являются "мёртвыми" в Примере 3:
Q, Q, Q, J, J, J, K, A, A, A

Следующие карты являются "мёртвыми" в Примере 4:
Q, Q, Q, J, J, J, A, A, A, A

Пример 3:

Борд: K, 7, 2

Игрок 1 (A, K): 57.98%
Игрок 2 (Q, J): 42.02%
<!--

Пример 4:

Борд: K, 7, 2

Игрок 1 (K, K): 73.78%
Игрок 2 (Q, J): 26.22%
<!--

Теперь в обеих колодах ровно 35 карт, из которых у Игрока 2 в обоих примерах одинаковое количество аутов. В Примере 4, однако, у Игрока 1 есть редро на каре/фулл хаус.

Эквити Игрока 1 изменилось на 15.8 процентных пунктов, т.е. выросло на 27.25%.

Но что же конкретно даёт Игроку 1 появление редро?

На тёрне у него теперь есть ауты на 7, 2 и короля. В сумме 7 аутов. Если на тёрне ни один из этих аутов не приходит, на ривере у него становится 10 аутов.

Вероятность, что редро Игрока 1 соберётся, составляет:

1 - ((28/35) * 24/34)) = 1 - (48/85) = 43.53%

Вероятность, что Игрок 2 соберёт флеш, составляет:

1 - ((27/35) * (26/34)) = 1- (351/595) = 41.01%

Также это означает, что Игрок 2 в 17.85% случаев, собрав флеш, проиграет шоудаун фулл хаусу/каре.

Вы видите, что наличие редро всегда несёт с собой увеличение эквити. Чем сильнее дро оппонента, тем очевиднее положительное влияние небольшого редро на ваши шансы на победу. Естественно, изменение вашего эквити также зависит и от силы вашего редро. Редро на флопе на фулл хаус/каре является сильнейшим из возможных.

Блокирующая карта (блокер)

Помимо редро, есть ещё возможности ослабить дро оппонента. Наличие у вас на руках карты, которая является аутом для дро оппонента, уменьшает шансы, что дро соберётся.

Сразу возникает вопрос, насколько в действительности важно иметь на руках карту-блокер?

Чтобы выявить влияние блокеров, рассмотрим следующие примеры.

Борд: K, 7, 2

Игрок 1 (7, 4): 45.25%
Игрок 2 (Q, J): 54.75%

Борд: K, 7, 2

Игрок 1 (7, 4): 51.31%
Игрок 2 (Q, J): 48.69%

Блокирующие карты позволили эквити Игрока 1 вырасти на 6.06 процентных пунктов или на 13.39%.

Естественно, чем большую процентную часть аутов оппонента вы блокируете, тем лучше для вас. Например, если у оппонента гатшот с оверкартой и у вас на руках один или два блокера, скачок в эквити будет гораздо более заметен, нежели когда у оппонента флеш-дро с оверкартами, и вы блокируете только один аут на флеш.

Привязанность к банку с рукой-дро

Некоторые игроки не знают, нужно ли привязывать себя к банку с рукой-дро или нет. Одни относятся к этому аспекту слишком легкомысленно, другие вообще не знают о его существовании. Из этой главы вы узнаете о рейзах, привязывающих вас к банку, и научитесь отличать ситуации, когда их нужно делать, а когда нет.

О привязанности речь идёт в тех случаях, когда в результате предыдущего экшена вы получаете на пуш оппонента такие пот-оддсы, что EV(колл) > EV(фолд).

Часто встречающимся примером является 4-бет-префлоп, который привязывает игрока к банку, и после которого игрок обязан коллировать пуш соперника.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
MP $130

Префлоп: Hero is UTG with A, K
Hero raises to $7, MP reraises to $25, 4 folds, Hero reraises to $70, MP reraises to $130 (All-In)

Если вы даёте оппоненту тайтовый диапазон, состоящий из АК, JJ+, то ваше эквити с АКs составляет 42.14%.

Так как у оппонента здесь очевидная ситуация рейз/фолда, вы можете пренебречь сложным расчётом величины ожидания постфлоп-розыгрыша и исходить из того, что соперник никогда не будет просто коллировать ваш 4-бет.

Рассмотрим ситуации итогового колла олл-ина и 4-бета изолированно:

EV(колл олл-ина) = 0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60 = $85.5442 - $34.716 = $50.8282
EV(4-бет) = f * $35 + (1-f) * (-$63)

Чтобы рассчитать EV обоих действий, выведем следующую формулу:

EV(4-бет + колл олл-ина) = f * $35 + (1-f) * (EV(колл в результате привязанности) - $63)
EV(4-бет + колл олл-ина) = f * $35 + (1-f) * ((0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60) - $63)
EV(4-бет + колл олл-ина) = f * $35 + (1-f) * ($50.8282 - $63)

Чтобы определить, является ли эта цепочка действий в итоге +EV или -EV, необходимо представлять, какое у вас фолд-эквити.

При f = 0.3 получаем следующее:

EV(4-бет) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * (-$63) = $10.5 - $44.1 = -$33.6

EV(4-бет + колл олл-ина) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * ($50.8282 - $63)
EV(4-бет + колл олл-ина) = $10.5 - $8.52 = $1.97974

Если рассматривать 4-бет изолированно, то он является -EV-действием, но последующий колл олл-ина, который вы обязаны сделать по причине привязанности к банку, уже становится +EV. Однако вы не можете просто складывать обе величины ожидания, чтобы получить итоговое EV всей цепочки.

Итак, вы видите, что когда оппонент в 30% случаев сбрасывается на ваш 4-бет, а в 70% пушит, ваш 4-бет с последующим коллом олл-ина имеет ожидаемую ценность в размере $1.97974, т.е. является +EV.

Тем не менее, данный пример оставляет открытым вопрос о смысле привязывающих рейзов. Приведём пример, полностью отвечающий этим требованиям. Изучив его, вы поймёте, в чём заключается сила привязывающих рейзов.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
CO $129

Префлоп: Hero is BB with T, 9
2 folds, CO raises to $7, 2 folds, Hero calls.

Флоп: ($15) K, Q, 2
Hero checks, CO bets $12, Hero raises to $32, CO reraises to $122 (All-In)

У вас флеш-дро и гатшот, что без дисконтирования даёт вам 12 аутов. Так как ваше флеш-дро не самое старшее, а гатшот даёт вам идиотский конец стрейта, вы должны дисконтировать 2 аута. С 10-ю оставшимися аутами ваше эквити составляет приблизительно 40%. Таким образом, вам необходимы пот-оддсы 1:1.5, чтобы колл был +EV.

В примере вы должны доставить 90$ в банк $169, т.е. пот-оддсы равны 1:1.87. Следовательно, колл здесь +EV. Можно говорить о том, что чек/рейз на флопе привязал вас к банку на случай, если соперник ответит олл-ином.

Однако главный вопрос в том, насколько это выгодно чек/рейзить флоп с рукой-дро подобным образом и привязывать себя к банку?

"Выгодно" в данном случае означает, что своей линией чек/рейза на флопе вы провоцируете цепочку действий, итог которой для вас +EV. Чтобы доказать это, вы можете, как и в примере с 4-бетом-префлоп, попытаться подсчитать ожидаемую ценность этой цепи действий.

Предположение:

Ваше эквити против диапазона пуша оппонента составляет на флопе 40%.
Пусть f - фолд-эквити;
         c - вероятность, что соперник заколлирует ваш чек/рейз.

EV(колл олл-ина) = 0.4 * $169 - 0.6 * $90 = +$13.6
EV(оппонент коллирует ч/р) = EV(постфлоп)

EV(постфлоп) > 0, так как после колла оппонента на флопе вы всегда можете сыграть чек/фолд на тёрне, что является надёжной околонулевой линией. Однако, ввиду того, что вы являетесь хорошим игроком, можно исходить из того, что, в целом, в зависимости от типа соперника и структуры борда вы сможете принять на тёрне решение, ожидаемая ценность которого будет выше, нежели ожидаемая ценность линии чек/фолда. Таким образом, EV(постфлоп) > 0.

EV(ч/р флоп) = f * $27 + (1-f) * -$32

EV(цепи действий) = f * $27 + (1-f) * (c * (EV(постфлоп)-$32) + (1-c) * (EV(колл олл-ина) -$32))
EV(цепи действий) > f * $27 + (1-f) * (c * (-$32) + (1-c) * ($13.6 -$32)

Возможные значения c и f:

c = 0.6, f = 0.2

EV(цепи действий) > 0.2 * $27 + (1-0.2) * (0.6 *(-$32) + (1-0.6) * ($13.6 -$32))
EV(цепи действий) > $5.4 + 0.8 * ((-$19.2) - $7.36)
EV(цепи действий) > $5.4 - $21.248 = -$15.848
 

Для выведения общей формулы добавим следующие переменные:

• Фолд-эквити : f
• Размер банка : p
• Размер ставки : b
• Вероятность, что оппонент заколлирует ч/р : c
• EV(колл олл-ина) : y
• EV(постфлоп) : x

Получим следующую формулу для расчёта EV:

EV(цепи действий) > f * p + (1-f) * (c * (x-b) + (1-c) * (y-b)

Если вы будете получать, как и в примере, отрицательное число для EV(цепи действий), то с помощью следующей формулы вы сможете подсчитать, насколько плюсовой должна быть ваша игра на тёрне и ривере после колла оппонента, чтобы ч/р на флопе провоцировал, в целом, выгодную для вас цепь событий:

x > (f * ((1-c) * y - p - b) - (1-c) * y + b)/(c(1-f))

В примере вы получаете значение x > $33.016. Это означает, что при данных вероятностях колла и пуша оппонента, ожидаемая ценность вашей игры на тёрне и ривере должна быть больше $33.016, что чек/рейз на флопе был +EV-решением.

Теперь пример с несколько более реалистичными значениями вероятностей колла и пуша соперника:

c = 0.25, f = 0.55

EV(цепи действий) > 0.55 * $27 + (1-0.55) * (0.25 *(-$32) + (1-0.25) * ($13.6 -$32))
EV(цепи действий) > $14.85 + 0.45 * ((-$8) -13.8)
EV(цепи действий) > $14.85 - $9.81 = +$5.04

Вы видите, что с этим значением чек/рейз на флопе будет плюсовым даже при условии, что после колла оппонента на флопе вы всегда будете играть чек/фолд на тёрне, что, очевидно, невозможно, так как, поймав на тёрне флеш, вы вряд ли когда-либо будете его сбрасывать.

Теперь, чтобы узнать, является ли чек/рейз и привязывание себя к банку на флопе лучшей возможной линией, вам необходимо просчитать EV всех остальных линий и сравнить получившиеся значения. Однако это уже к делу не относится.

Но всё же, действительно ли привязывающий рейз в данном примере является хорошим выбором? Какой вывод нам позволяют сделать все эти расчёты?

Вы узнали, что привязывающий рейз может быть плюсовым при определённых вероятностях колла и пуша со стороны оппонента. Однако данный пример должен был вам продемонстрировать, что прямой пуш с вашей стороны, очень вероятно, был бы лучшей линией. Не проводя расчёты, можно предположить, что, играя по линии чек/рейз/колла, вы очень часто провоцируете оппонента на пуш с более сильными дро. К сожалению, ваше эквити против более сильных дро меньше, чем против готовых рук.

Если бы в этом примере вы сами сразу сделали бы овербет на флопе, пушнув, ваш оппонент, скорее всего, сбросил бы более сильные флеш-дро. Если же слегка изменить пример и дать вам натсовое флеш-дро с гатшотом, то ваше эквити выросло бы, и вам было бы выгодно, чтобы оппонент пошёл олл-ин с дро, так как вы их доминируете.

Таким образом, чистая сила привязывающих рейзов заключается в том, чтобы так повлиять на диапазон оппонента, чтобы выросло ваше собственное эквити по сравнению с прямым пушем с вашей стороны. Данная аргументация подразумевает, что с обеими линиями у вас одинаковое %-е фолд-эквити, но вам противостоят два разных диапазона.

Замечание:

При данных математических размышлениях мы совсем не учли проблему легкочитаемости вашей комбинации. Если вы будете постоянно одинаково играть по обеим линиям, то оппонент быстро поймёт, что:

• Прямой пуш = Слабое дро
• Привязывающий рейз = Натсовое дро + Монстры

Ввиду этого рида, который будет у вашего оппонента, частоты его колла и пуша настолько изменятся, что вам понадобится очень высокое EV постфлоп-розыгрыша, чтобы привязывающий рейз был +EV.

Насколько важен баланс собственного диапазона?

При розыгрыше дро часто возникает вопрос, насколько важно балансировать собственный диапазон. Плохо ли это, когда ваш оппонент знает, что ваш диапазон на 100% состоит из рук-дро, или ему эта информация всё равно даст мало чего полезного?

Попробуем ответить на эти вопросы с теоретической точки зрения. Представим следующий пример:

Вы остались хедс-ап на тёрне в позиции на оппонента, и он делает ставку.

• Диапазон a) У вас только дро, и ваше эквити против диапазона ставки соперника составляет 25%.
• Диапазон b) Он состоит из несколько натсовых комбинаций и нескольких слабых дро; ваше эквити против диапазона соперника составляет 25%.

Какой диапазон предпочтительнее, и в чём отличие? Что касается шоудаун-вэлью, то с обоими диапазонами ваше эквити одинаково? Если бы вы запушили со всеми руками из каждого диапазона, и оппонент заколлировал бы пуш со всеми руками из своего диапазона ставки, то с каждым из своих диапазонов вы бы выигрывали шоудаун в 25% случаев. Таким образом, на первый взгляд, особой разницы здесь нет.

Если же вы теперь попытаетесь сыграть оптимально против диапазона оппонента, то увидите, что диапазон а) очень сужает ваше пространство для творчества. Играя оптимально, вы бы коллировали ставки оппонента, исходя из своих оддсов и аутов, чтобы затем на ривере сыграть бет или рейз. Если вы соберёте своё дро, то эта ставка/рейз будут для вэлью; если нет, то вы будете блефовать в оптимальной пропорции, чтобы оппонент не мог читать ваши вэлью-рейзы. Недостаток в том, что вы должны ждать до ривера, чтобы заставить оппонента принимать сложное решение, которое ведёт к ошибкам.

Однако если у вас сбалансированный диапазон, состоящий из дро и сильных готовых рук, то при оптимальной игре вы можете начинать проявлять активность уже на тёрне, делая рейзы с готовыми руками для вэлью и балансируя их полублефами. У вас по-прежнему есть опция колла на тёрне, чтобы потом ставить на ривере для вэлью как с собравшимися дро, так и с натсовыми комбинациями, балансируя свой диапазон блефами.

Широкий диапазон даёт вам больше вариантов розыгрыша, и вам становится легче балансировать свой спектр в каждой отдельно взятой ситуации. Предпосылкой для этого как раз и является тот факт, что вы можете изображать своими действиями различные типы рук.

Если оппонент будет в состоянии каждый раз дать вам конкретный тип комбинации, то ему будет проще сыграть оптимально против столь узкого диапазона, в то время как вам будет гораздо сложнее балансировать свои линии. В целом, со сбалансированным диапазоном ваше EV всегда будет выше.

Полублеф и частота блефа

На тему полублефов в секции для золота есть специальная статья. Здесь же вы найдёте математическое обоснование того, как можно анализировать эффективность полублефа.

Для начала рассмотрим ситуацию полублеф-олл-ина.

При полублефе вам необходима следующая информация для расчёта своего EV:

• Фолд-эквити: f
• Эквити против диапазона колла оппонента: E
• Размер банка: p
• Размер собственной ставки : b

EV(полублеф-олл-ин) = f * p + (1-f) * (E * (p+b) - (1-E) * b)

Данная формула построена таким образом, что сначала вы рассчитываете свой выигрыш в тех случаях, когда оппонент сбрасывается, а затем складываете его с прибылью/потерями в тех случаях, когда оппонент коллирует. Таким образом, вы видите, что в ситуациях, когда оппонент сбрасывается на ваш полублеф-олл-ин, вы всегда остаётесь в выигрыше, так как забираете банк. Величина ожидания полублеф-олл-ина может стать отрицательной только с учётом тех ситуаций, когда соперник делает колл вашего пуша. Как раз здесь важную роль играет ваше эквити против диапазона оппонента. Именно от эквити зависит ответ на вопрос, плюсов ли ваш полублеф.

Итак, проанализируем следующую часть полученной выше формулы:

EV(оппонент делает колл) = E * p - (1-E) * b

Если EV>0, то вы получите прибыль. Для проведения анализа упростим данное выражение, приведя его к отношению между размером ставки и размером банка с одной стороны, и эквити с другой стороны.

0 < E * p - (1-E) * b
(1-E) * b < E * p
b/p < E / (1-E)

Составим таблицу соотношений ставки и размера банка и соответствующим им минимальным эквити:

Итак, сразу видно, что чем больше ваше эквити, тем ближе к 1 может быть отношение между размером ставки и размером банка, позволяющее получать прибыль.

Если диапазон колла оппонента вам известен настолько хорошо, что вы можете точно рассчитать своё эквити, то с помощью этой таблицы вы можете делать идеальные полублеф-олл-ины, так как будете уверены, что этот ход принесёт вам только прибыль. Но не забывайте: Чтобы EV полублефа было положительным, необязательно, чтобы обе части выражения были больше нуля. Необходимо лишь, чтобы положительной была их итоговая сумма.

Второй, более сложный случай: ваш полублеф-рейз не является олл-ином.

Произвести математический анализ подобной ситуации гораздо тяжелее, так как нужно будет сделать очень много предположений касательно возможных постфлоп-действий. Если у вас очень сильное натсовое дро, то вы можете просто сделать рассмотренный ранее привязывающий рейз и математически анализировать ситуацию уже из этой плоскости.

Со слабыми дро всё сложнее, так как в этом случае у вас больше опций на постфлопе:

• Вы можете просто расстаться со своей рукой;
• Вы можете блефовать при выходе на борд подходящих карт, т.е. изображать другие руки/дро.

Таким образом, подвести математическую базу здесь непросто.

Большой проблемой при розыгрыше дро является то, что когда ваш рейз не привязывает вас к банку, и оппонент делает ререйз, вы обязаны сброситься. Так, вы должны учитывать, что не исполняя полублеф, вы обычно можете спокойно посмотреть следующую карту, в то время как есть вероятность, что полублеф лишит вас этой возможности при определённом развитии событий, и вы потеряете всё своё эквити, будучи вынужденным сбросить своё дро.

Попробуем произвести некоторые расчёты, чтобы лучше понять подобные ситуации.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Префлоп: Hero is Button with 5, 4
3 folds, Hero raises to $7, SB folds, BB calls.

Флоп: ($15) K, T, 2
BB checks, Hero bets $12, BB calls.

Тёрн: ($39) A
BB checks, Hero ?

Должны ли вы полублефовать со своим гатшотом или сделать ответный чек в надежде, что на ривере закроется ваш стрейт? При ответном чеке вы сможете продолжать игру, только если ваш стрейт действительно закроется, так как в противном случае у вас будет рука-мусор.

Однако на данный вопрос пока нельзя ответить, так как нет информации о размерах стэков. Перед началом розыгрыша стэки были глубокими:

Hero $409
BB $500

Сейчас у вас две опции: либо ставка в размере банка, либо ответный чек.

Чтобы произвести математический анализ, будем исходить из того, что ваш оппонент на тёрне в 1/3 случаев будет играть чек/рейз олл-ин, а в 2/3 случаев будет сбрасываться. В ответ на чек/рейз вы, конечно, будете вынуждены выкинуть карты.

EV блефа, при этом, посчитать достаточно легко:

EV(блеф) = 2/3 * $39 - 1/3 * $39= +$13

Полублеф, таким образом, +EV. А если сделать ответный чек? Если вы поймаете стрейт, то предположим, что в x% случаев вы будете забирать у соперника стэк. Ваши оддсы поймать на тёрне гатшот 4:44 -> 1:11.

EV(чек) = 10/11 * 0 + 1/11 * (x * $429 + (1-x) * $39)

Если в 33% случаев вам будет удаваться стэкнуть оппонента, то EV чека выглядит следующим образом:

EV(чек) = 10/11 * 0 + 1/11 * (1/3 * $429 + (1-1/3) * $39)
EV(чек) = 0 + 1/11 * 1/3 * $429 + 1/11 * 2/3 * $39
EV(чек) = 0 + $13 + $2.36 = +$15.36

Чек в данной ситуации имел бы бОльшую ожидаемую ценность, нежели полублеф. Несколько преобразовав данную формулу, можно очень легко подсчитать, в скольких процентах случаев вы должны выигрывать у оппонента стэк, чтобы EV(чек) > EV(полублеф).

13 < 1/11 *429x + 1/11 * 42.9 *(1-x)
13 < 39x + 39/11 - 39/(11x)
13 < 39x + 3.54 - 3.54x
9.45 < 35.46x
x> 9.45/35.46
x > 0.2667 -> 27%

Таким образом, если на ривере вы будете забирать у оппонента стэк в >27% случаев, поймав стрейт, то при принятых условиях чек будет прибыльнее полублефа.

В данном примере опция чек бихайнда даже несколько недооценена, так как существует вероятность, что на ривере вы поймаете пару, будет сыграно чек-чек, и вы выиграете банк. Также не учтена возможность того, что на ривере вы можете блефовать и забирать банк.

Тем не менее, всегда имеет место исходный вопрос, когда нужно рисковать возможностью получить чек/рейз от оппонента быть выбитым из розыгрыша. Чтобы оценить данную ситуацию, необходимо рассмотреть факторы, которые здесь играют роль:

• Вероятность, что полублеф будет иметь успех.
• Вероятность, что оппонент выбьет вас из розыгрыша чек/рейзом.
• Ценность, которую имеет ваша комбинация в случае, если ваше дро не соберётся.
• Вероятность, что дро соберётся.
• Предполагаемые оддсы в случае, если вы соберёте свою комбинацию.

Все эти факторы тесно связаны друг с другом, поэтому анализировать их по отдельности не имеет смысла. Однако обратим ваше внимание на следующие общепринятые закономерности:

Здесь необходимо прояснить, как точно определяется ценность вашего дро, и благодаря чему, она может уменьшаться или увеличиваться.

• У вашего дро много аутов.
• Эффективные стэки велики.
• Оппонент является автоответчиком.
• У вас дро на натсы.

Вы видите, что последние три аргумента в пользу повышения ценности вашего дро также в прямой зависимости увеличивают ваши предполагаемые оддсы, но они важны лишь в том случае, когда вы имеете возможность посмотреть карту ривера и дальнейший экшен.

Это может расходиться с вашей интуицией, так как вы можете думать, что при большой ценности вашего дро вы, с одной стороны, можете ставить для вэлью, а с другой стороны, увеличивать банк, чтобы, в случае попадания в нужную карту на ривере, иметь возможность сделать бОльший вэлью-бет.

Это, однако, не совсем так. Обратите внимание, что при расчёте EV(полублеф) ценность вашей руки не играет никакой роли. Ваша прибыль складывается из пасов соперника. При ответном же чеке ценность вашей руки очень важна, так как при её росте растёт и ваш ожидаемый выигрыш на ривере и, соответственно, EV(чек).

В качестве заключительного примера сравним два борда:

Борд 1: Q, 9, 9, 5
Борд 2: Q, 9, 5, 2

На обоих бордах у вас J, T

На каком борде вы бы предпочли сделать ответный чек, а на каком полублефовать?

Вспомнив приведённые выше аргументы, можно заключить, что на первом борде ваши предполагаемые оддсы ниже, и ваше дро, следовательно, имеет меньшую ценность, ведь вы тянете только стрейт, а структура общих карт стола предполагает и флеш-дро, и фулл хаус. Для вас это означает, что иногда, собрав стрейт, вы будете проигрывать очень дорогой шоудаун, так как у оппонента будет оказываться лучшая рука.

Так, снижается и EV чека. На втором борде этой проблемы нет. У вас дро на натсы, и если вы поймаете свой стрейт, у оппонента никогда не будет лучшей руки. Таким образом, первый борд лучше подходит для полублефа, нежели второй.

Чем слабее ваше дро, тем лучше для вас будет разыграть его подобным образом, так как вам будет проще сброситься на чек/рейз, и вы потеряете гораздо меньше эквити.

Ещё одна концепция, на которую вам следует обратить внимание при розыгрыше слабых и сильных дро полублефом (но не олл-ином) -  "давление будущих ставок".

Ввиду больших стэков полублефом, вы можете спровоцировать оппонента на более слабый розыгрыш и получить больше фолд-эквити, так как соперник с маргинальными готовыми руками часто будет попадать в ситуацию, где у него будут обратные предполагаемые оддсы.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Идёт живая игра, и вы находитесь на тёрне, однако, полностью забыли, как развивался экшен перед этим. Также вы забыли, какие у вас карты, но не хотите их проверять, так как боитесь, что можете выдать информацию своим внимательным оппонентам. Тем не менее, вы точно знаете, что у вас нет комбинации, с которой вы могли бы ставить для вэлью.

Тёрн: J, T, 7, 6

Оппонент чекает, и вы обдумываете возможность ставки в размере банка. Представим два различных сценария:

• У вас не осталось стэка, и вы фактически идёте олл-ин.
• После ставки на тёрне у вас в стэке останется ещё 4 банка.

В каком из сценариев вы оказываете на соперника больше давления, если у него KJ, KT или даже ещё более слабая готовая рука?

При условии, что у оппонента в обоих сценариях одинаковая рука, во втором сценарии ему будет тяжелее принимать решение. Ввиду оставшихся стэков, ему придётся думать, как он будет реагировать на вашу ставку на ривере, если заколлирует тёрн. На ривере для него может открыться много неприятных карт, если ему, конечно, не откроются две пары или трипс.

В первом сценарии он получал бы на ваш бет-олл-ин оддсы 1:2 и, в принципе, мог бы достаточно спокойно коллировать с топ-парой. Во втором же сценарии возникает загвоздка. Ему, вероятно, придётся коллировать не только эту ставку, но и ещё одну ставку на ривере, чтобы увидеть шоудаун, что загоняет его в ситуацию с обратными предполагаемыми оддсами.

Так как он считает вас хорошим игроком, который в состоянии в оптимальной пропорции блефовать на ривере с несобравшимися дро, ему будет очень некомфортно коллировать две большие ставки.

Важно то, что вы понимаете, насколько сильно отличаются друг от друга решения оппонента в этих двух сценариях, хотя и там, и там у него топ-пара. Ваш оставшийся стэк заставляет соперника задуматься, так ли уж он хочет коллировать тёрн, и затем платить ривер, при условии, что на ривере для него, по идее, могут открыться только плохие карты, которые вряд ли могут особо сильно улучшить его комбинацию.

В первом сценарии он получает оддсы 1:2, и может довольно комфортно делать колл, так как над ним не висит молот будущих ставок. Таким образом, его обратные предполагаемые оддсы выглядят так:

(Ставка в размере банка на тёрне + Ставка x) : (Ставка в размере банка на тёрне + Ставка x + Размер банка на тёрне)

Если вы чекнете на ривере, то как и при вашем пуше в размере банка на тёрне они составляют 1:2. Если же на ривере вы поставите олл-ин, то они составят 5:6. Это огромная разница и очень неприятная ситуация для противника.

Из этого можно сделать вывод, что если у вас глубокий стэк, то вам выгоднее продолжать ставить с рукой-дро, так как оппонент под давлением будущих ставок будет охотнее сбрасываться на ставку х, в то время как, в случае вашего ответного чека на тёрне, на ривере он эту ставку будет спокойно коллировать, так как обратные предполагаемые оддсы будут отсутствовать.

Частота блефа

Несколько раз мы уже упоминали это понятие в данной статье, и теперь необходимо на 100% прояснить, что же за ним скрывается.

Исполняя блефы с несобрашимися дро, с которыми у вас не осталось эквити, всегда необходимо ставить оппонента в такую ситуацию, когда он не знает, стоит ли ему коллировать вашу ставку, так как есть опасность проплатить ваш бет для вэлью. Если вам удастся достигнуть математического равновесия между блеф- и вэлью-бетами, то противник не сможет приспособиться к вашей стратегии.

Чтобы рассчитать такую частоту блефа, нужно два параметра: 

• Размер банка : p
• Размер вашей ставки : b

Частота блефа B выглядит следующим образом:

B = b / (b + p)

Если данная частота блефа сбалансирована с вашим диапазоном, то оппонент не будет знать, коллировать ли ему вашу ставку на ривере или нет. Для него верно следующее: EV(колл) = EV(фолд).

Помимо того, чтобы оставить оппонента в неведении по поводу корректности его решений, вам, конечно, хотелось бы, чтобы ваши блефы приносили вам прямую прибыль. Чтобы рассчитать её, вам необходимо предполагать вероятность, с которой оппонент сбросится на вашу блефовую ставку, т.е. вам необходимо иметь представление о своём фолд-эквити.

EV(блеф) = f * p - (1-f) * b
0 > f * p - (1-f) * b
f > b/(b+p)

Так, если оппонент сбрасывается чаще, чем b / (b + p), то ваши блефы приносят вам прибыль. Если оппонент сбрасывается реже, то прибыль вам будут приносить ваши вэлью-беты. Для оппонента практически невозможно идеально приспособиться к вашим блефам и их частоте.

Математически описать эффективность блефовых ставок довольно просто, но искусство заключается в их корректном применении. Вам вряд ли удастся всегда иметь точное представление о своём диапазоне, и, соответственно, вы не будете знать, как часто вам необходимо блефовать, чтобы идеально сбалансировать свои ставки для вэлью. То же самое касается и фолд-эквити, которое очень сильно варьируется от соперника к сопернику и, по сути, никогда не находится в прямой зависимости от размера ставки.

Заключение

В любом случае, для того чтобы заучить конкретные линии розыгрыша рук-дро, к вашим услугам статья из секции для золота. Цель данного же труда в том, чтобы вы глубже разобрались в математическом аспекте розыгрыша дро и укрепили своё понимание безлимитного холдема.

Вам вряд ли удастся проводить математические расчёты ожидаемой ценности своих действий прямо во время игры. Достаточно заниматься этим во время анализа сессий, чтобы улучшить своё чувство игры. Впоследствии это поможет вам принимать за столом наиболее прибыльные решения.

Ссылки
Близкие по теме статьи: Статистические показатели и их применение Блок-ставки Форум: Обсудите эту статью с другими игроками в форуме