Насколько велик должен быть стартовый банкролл?

Введение

В данной статье:

• $50 лучше, чем $1000?
• Насколько велик должен быть банкролл новичка?

Каждый новый пользователь PokerStrategy.com получает бесплатный стартовый капитал размером в $50 в одном из партнёрских румов PokerStrategy.com. Эти $50 совершенно осознанно называются стартовым капиталом, а не просто „бесплатным банкроллом“ или „бездепозитным бонусом“, как обычно принято.

Эти деньги стали фундаментом покерной карьеры для многих наших пользователей. Однако возникает логичный вопрос, действительно ли этих $50 достаточно для старта? Может быть, амбициозному игроку лучше сразу вложить большую сумму из собственного кошелька?

Данная статья ответит на этот вопрос. Мы попытаемся указать на различия между игроком, который начинает с $50, и игроком, чей стартовый капитал составляет $1000. Имеет ли игрок с большим банкроллом преимущество?

Результаты применимы для любой стратегии, несмотря на то, что в статье мы использовали для анализа стратегию больших стэков в No-Limit Hold'em.

Подход

Успех игрока в покер в денежном плане базируется на двух основных факторах:

Скилл: Насколько хорошо он играет? Насколько велико его преимущество в мастерстве над оппонентами на текущем лимите? Это очень общее понятие, которое включает в себя также селекцию столов и психологические аспекты самоуправления.

Лимит: На каких лимитах он может играть? Чем выше он играет, тем, естественно, больше его выигрыш в денежном выражении, если, конечно, винрейт положителен.

Чтобы провести различия между игроками с тем или иным стартовым капиталом, в следующей главе мы смоделируем 4 игровых типа. Будут сделаны предположения касательно развития их скилла, роста по лимитам и банкролл-менеджмента.

Эти игровые модели будут использованы при симуляции покерной карьеры, и в итоге мы увидим, как они поведут себя в сравнении друг с другом.

Предположения для симуляции

Предположим, что существуют 4 игрока в покер: A, B, C и D:

• Игрок A начинает с $50, т.е. он типичный представитель PokerStrategy.com.
• Игроки B, C и D каждый начинают с $1000.

Все 4 игрока имеют одинаковую предварительную подготовку в плане покерной стратегии и являются стандартными новичками, которые только что познакомились с базисной стратегией игры.

Предположения касательно развития скилла и роста по лимитам

Чтобы иметь возможность провести симуляцию, определим покерные способности каждого игрока. Со временем они развиваются, но у всех игроков одинаковы. Представим их развитие с помощью квадратичной функции, которая сначала резко возрастает, но затем её рост становится всё более и более пологим.

Кроме этого, будем исходить из того, что для каждого лимита необходим определённый скилл, чтобы играть в ноль. Если скилл игрока ниже этого значения, то он проигрывает. Если выше, то выигрывает. Таким образом, выигрыш зависит как от индивидуального скилла, так и от играемого лимита (более высокая ставка означает больший финансовый рычаг). Для нашего анализа мы использовали лимиты NL2, NL5, NL10, NL25, NL50 и NL100.

Получаем следующий график:

Функция скилла: предположительный идеализированный рост скилла игроков с течением времени   y: Скилл x: Время

Параллельные оси х линии - это значения скилла, необходимые для побития того или иного лимита.

Предположения касательно банкролл-менеджмента

Игроки A и B будут играть, следуя банкролл-менеджменту в 20 стэков. Они всегда играют на самом высоком лимите, для которого у них есть 20 стэков. Если у них остаётся меньше 20-ти стэков, они спускаются на лимит ниже.

Игроки C и D - это, скорее, гипотетические игроки. Игрок С всегда предпочитает самый высокий лимит, на котором его винрейт неотрицателен. Игрок D всегда играет на том лимите, где больше всего зарабатывает в денежном выражении.

Итак:

Отсутствие дисперсии

Несмотря на то, что краткосрочные просадки являются неотъемлемой частью покера, для ответа на поставленные вопросы в данной статье мы абстрагируемся от возможной дисперсии.

Как работает симуляция?

Данная глава предназначена для тех читателей, кто в деталях заинтересовался, как это всё работает. Симуляцию можно провести различными способами, но в этой статье мы будем действовать следующим образом:

Функция скилла: skill(t) = t^(0.55)

Эта функция описывает рост покерного мастерства игрока. Строго говоря, это не квадратичная функция, а некая искусственная модель подобранная для того, чтобы значения скилла, необходимого для околонулевой игры на том или ином лимите, были более понятны.

В качестве альтернативы отдельные значения могли бы быть изменены, но эти перестановки оказывают слабое влияние на итоговый результат.

Итак:

Игроки должны достичь данных значений скилла, чтобы играть в ноль на том или ином лимите. Если их скилл выше, они выигрывают, если ниже, то проигрывают.

Для симуляции необходима функция, которая определяла бы играемый лимит для той или иной величины банкролла. Здесь следует провести различие между игроками А и В и игроками С и D.

Величина банкролла измеряется шагами. При шаге, равном 1, это выглядит следующим образом:

roll(0) = стартовый банкролл
roll(t+1) = roll(t) + limit( roll(t) ) * ( skill(t) - skill2( limit( roll(t) ) ) )

limit( roll(t) ) показывает, является ли игрок выигрывающим при следовании правилу 20-ти стэков.

skill2(limit) представляет собой значение, которое необходимо для того, чтобы играть на лимите в ноль. Таким образом, в любой отдельно взятый период времени банкролл увеличивается с винрейтом  (skill(t)-skill2(limit)), умноженным на текущий лимит. Тот же самый принцип, что и в покере.

Эти расчёты можно проводить непрерывно, используя как короткие отрезки времени, так и длинные. 

Предположим, что, согласно своему скиллу и размеру банкролла, игрок находится между двумя лимитами. Как только его банкролл становится достаточным для более высокого лимита и он на него переходит, он практически сразу спускается обратно, так как проигрывает небольшую сумму. Однако игрок быстро поднимается обратно, так как выигрывает на своём предыдущем лимите. Подобную череду спусков-подъёмов можно представить как прямую линию, обозначающую околонулевую игру на более высоком лимите до тех пор, пока игрок не начнёт его бить.

Теперь все необходимые функции объяснены. С их помощью можно проводить расчёт и строить графики для различных значений стартового капитала, длины шага и количества шагов.

Абсолютные результаты

Ну что ж, позволим нашим 4-м предполагаемым игрокам немного поиграть, вырасти по лимитам согласно их покерному скиллу и, соответственно, увеличить свой банкролл. Итак, как же выглядят их банкролл по истечении определённого периода времени?

Сначала рассмотрим игрока А, который начинал с $50.

Банкролл игрока A   y: Банкролл в $ x: Время

Если исключить дисперсию, то следует ожидать примерно такую картину. Выигрыш за единицу времени, т.к. угол кривой растёт ввиду роста покерного скилла, с одной стороны, и повышения играемых лимитов - с другой. Итак, со временем этот угол увеличивается. Но нам, прежде всего, важно сравнить этого игрока с другими, поэтому перейдём к игроку В.

Банкролл игрока B   y: Банкролл в $ x: Время

Как и следовало ожидать, согласно кривой скилла, этот игрок сначала проигрывал, так как начал играть на лимите, для побития которого его покерного мастерства было недостаточно.

В то время как игрок А проигрывал лишь на протяжении очень короткого промежутка времени и после побития NL2, очевидно, всегда являлся выигрывающим игроком, игроку В пришлось спуститься с NL50 на NL25, пока его скилл не вырос настолько, чтобы побить этот лимит.

Только с этого момента игрок В начал выигрывать деньги. После этого его кривая ведёт себя так же, как и кривая игрока А. Это логично, так как их скиллы и тип банкролл-менеджмента соответствуют друг другу.

Далее, игрок С. Он всегда играет на самом высоком лимите, на котором, по крайней мере, не проигрывает, т.е. выигрывает хотя бы за счёт рейкбека. Его график выглядит следующим образом:

Банкролл игрока C   y: Банкролл в $ x: Время

В отличие от игрока В, он не проигрывал каких-либо больших сумм денег, но и не смог достичь лучших результатов. Кроме этого, видна очевидная ошибка, которую допустил этот игрок: его винрейт довольно длительное время был нулевым, так как он поднимался на лимит выше, как только начинал играть в ноль на своём текущем лимите. Каждый раз ему было необходимо время, чтобы получить преимущество над оппонентам на более высоком лимите и начать выигрывать.

И, наконец, оптимальный игрок D. Он всё время играл на том лимите, где у него был наибольший винрейт в денежном выражени, поэтому он выиграл больше всех. Вопрос: насколько больше? Ответ:

Банкролл игрока D   y: Банкролл в $ x: Время

Его кривая имеет значительно меньше спадов, так как его подъём по лимитам никогда не подразумевал сколько-нибудь значительное снижение винрейта. Он всегда менял лимит в оптимальный момента времени. Его результаты выглядят гораздо более привлекательно.

Теперь попробуем сравнить результаты каждого из игроков С, В и D, которые начинали с большим стартовым капиталом, с результатами игрока А, который начинал с $50.

Сравнение результатов

Так как сравниваемые игроки начинали свою карьеру с различными размерами банкролла, анализ результатов за рассматриваемый период времени должен ответить на вопрос, влияет ли разница в размере банкролла на денежный успех игрока. Кроме этого, каковы же стали итоговые банкроллы игроков?

Игрок A vs. Игрок B

Сначала сравним игроков A и B. A начал с $50, B - с $1000. При банкролл-менеджменте оба использовали правило 20-ти стэков.

На графике показана разница между банкроллами игроков А и В. Очевидно, что стартовая точка - это разница в $950 ($1000 - $50).

Разница между банкроллами игроков А и B   y: Разница между банкроллами игроков A и B в $ x: Время

Игрок В сразу начал с довольно высокого лимита и поначалу проиграл часть своего банкролла, поэтому разница существенно сократилась до значения в ~$300. Как только игрок В стал играть лучше и начал выигрывать, разница опять начала расти за счёт большего финансового рычага (игрок В играл на более высоком лимите, нежели игрок А).

Разница в банкроллах, в итоге, зафиксировалась на отметке в $700. В будущем она останется неизменной, так как оба игрока теперь играют одинаковые лимиты и с одинаковым винрейтом.

Вывод: Игрок B, имея в начале карьеры отрыв в $950 перед игроком А, не смог реализовать его в своё преимущество. Более того, если бы он наигрывал свою $1000, начиная с $50, то в конце его банкролл был бы даже больше на $150. Причина, очевидно, состоит в том, что он играл слишком высокие лимиты, которые были ему не по зубам.

Игрок A vs. Игрок C

Теперь сравним игроков С и А. Игрок С - это, скорее, теоретический персонаж, но его стиль игры, по крайней мере, позволяет не проигрывать большие суммы денег.

Из графика видно, что разброс результатов здесь значительно меньше. По истечении примерно половины дистанции игрок С получил преимущество, так как игрок А уже мог бить NL25, но его банкролл не позволял ему играть на этом лимите.

Когда игрок А перешёл на этот лимит, преимущество исчезло. Итоговая разница составила $900. Игрок А в итоге показал несколько лучшие результаты, так как начинал с $50, что на $950 меньше.

Разница между банкроллами игроков А и С   y: Разница между банкроллами игроков A и С в $ x: Время

Игрок A vs. Игрок D

Наконец, сравним игрока А с оптимальным игроком D, который начал с $1000 и всегда играл на том лимите, где выигрывал больше всего денег. Здесь разница выглядит следующим образом:

Разница между банкроллами игроков А и D   y: Разница между банкроллами игроков A и D в $ x: Время

Игрок D со временем смог создать преимущество в $1500, что на $550 долларов больше, чем изначальная разница. Больший банкролл позволял игроку D переходить на более высокий лимит сразу, как только его скилл развивался до достаточно уровня. Игроку А приходилось накапливать для этого банкролл на более низком лимите.

Означает ли это, что оптимальный старт покерной карьеры - это вложение $1000 из собственного кармана?

Анализ результатов

Здесь необходимо рассмотреть ещё ряд факторов. Во-первых, игроки В и С ведут себя довольно глупо. Игроку В из-за своего плохого банкролл-менеджмента придётся смириться с тем, что он проиграет большую часть своих денег, прежде чем спуститься вниз.

Игрок C, каждый раз уходя с лимита, который он уверенно бьёт, теряет часть своего винрейта в денежном выражении. Это хорошо видно на графике: присутствует значительное количество отрезков, на которых его банкролл не рос (линии, параллельные оси х). Если бы он не торопился и какое-то время играл на своём лимите, то он выиграл бы гораздо больше.

Оба игрока: как довольно реалистичный игрок В, так и, скорее, гипотетический игрок С, несмотря на больший банкролл, в итоге показали более плохие результаты, нежели игрок А. Только оптимальный игрок D c ходом времени может превратить бОльший размер стартового банкролла в преимущество.

Можно сделать итоговый вывод: при сделанных предположениях больший размер стартового капитала не даёт новичку никаких преимуществ в начале карьеры. Только когда игрок в состоянии точно оценивать свой винрейт на том или ином лимите, появляется 20%-е преимущество, тогда как изначальный задел в размере стартового банкролла составлял 2000%.

Подобный вывод объясняется тем, что игрок с меньшим стартовым капиталом довольно редко будет иметь более высокий винрейт на том лимите, для которого ему не хватает банкролла, нежели на том лимите, для которого у него достаточно денег.

Таким образом, система оптимально сама себя регулирует. Тем не менее, больший стартовый капитал имеет-таки определённое преимущество, не учтённое в данной модели: он позволяет сглаживать влияние даунсвингов. Идеальным началом карьеры с таким банкроллом была бы игра на самым низких лимитах и постепенный подъём на усмотрение игрока.

Так, дисперсия была бы несколько сглажена, чего не может позволить себе новичок со стартовым капиталом в $50. Такой игрок мог бы достаточно нейтрально оценивать свой собственный скилл, не переживая, что он проиграет весь банкролл.

Однако нельзя сказать, что подобное преимущество является необходимым для того, чтобы успешно начать играть в покер. Важно отметить, что стартовые $50, которые вы получаете от PokerStrategy.com, бесплатны, в то время как $1000 пришлось бы вкладывать из собственного кармана. Подобная инвестиция особенно неприятна, когда, к примеру, начинаются свинги на том или ином лимите (NL10).

Заключение

Итак, старт с $50 выглядит вполне оптимально. При определённых условиях больший стартовый капитал позволяет достичь чуть лучших результатов. Но насколько воплотимы в жизнь эти идеальные условия, остаётся под вопросом.

Относительное преимущество в 20% при том, что стартовый капитал был больше на целых 2000%, выглядит не так уж убедительно. Очевидно, что относительное преимущество банкролла, который меньше $1000, но больше $50, будет меньше 20%. Таким образом, гораздо большая изначальная инвестиция обещает лишь незначительный гандикап в будущем.

Единственный существенный аргумент в пользу большего банкролла, который не был учтён в данной модели, заключается в сглаживании дисперсии. Если противопоставить данное преимущество большему размеру изначальной инвестиции, а значит, большему риску, а также риску ложной оценки собственного скилла и игре на слишком высоких лимитах, то можно заключить, что стартовый банкролл в $50 или $100 является оптимальным для минимизации дисперсии.

В заключение ещё раз представим выигрыши всех 4-х игроков в виде графика.

• Жёлтый: Игрок A - $50 стартовый банкролл, банкролл-менеджмент - 20 стэков
• Зелёный: Игрок B - $1000 стартовый банкролл, банкролл-менеджмент - 20 стэков
• Красный: Игрок C - $1000 стартовый банкролл, всегда играет на самом высоком лимите, на котором он может играть, по крайней мере, в ноль
• Синий: Игрок D - $1000 стартовый банкролл, всегда играет на том лимите, где он может выигрывать максимум денег

Рост выигрыша всех 4-х игроков   y: Выигрыш в $ x: Время