Matematiska koncept för No-Limit Hold'em (3) - Fold equity och avancerad EV

Introduktion

I denna artikel

• Hur en möjlig fold påverkar EV
  
• En närmare titt på standardspel efter floppen
  
• Profitabla 4-bet-bluffar
  

I den andra delen av denna serie introducerades och beräknades både implicerade och omvända implicerade odds. Du såg den första riktigt komplexa EV-beräkningen av en syn för set-värde före floppen. I denna artikel kommer fokus ligga på dina motståndares spel, deras relaterade ranges och möjliga motdrag.

Förväntat värde med hänsyn till eventuella folds

Eftersom bluffar och semi-bluffar spelar en viktig roll i denna artikel, är det viktigt att introducera möjligheten till en motståndares fold i EV-beräkningen. Denna formel:

EV = Equity * (Vinst + Investering) - Investering

kommer inte vara tillräcklig. Det finns ingen variabel för en motståndares fold i denna formel. Vi behöver därför en mer generell formel för att beräkna EV:

EV = Pfold * Pot + (1 - Pfold) * (Equity * (Vinst + Investering) - Investering)

Sannolikheten att du vinner potten är Pfold; om du inte vinner potten direkt använder vi EV. Pfold är sannolikheten att din motståndare kommer lägga sig. Under de omständigheter då Equity = 0 kan formeln förenklas till:

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investering

Förlusten i detta fallet är ditt c-bet. Detta är även fallet för alla rena bluffar. Definitionen av en ren bluff - du kan endast vinna om din motståndare ger upp.

Standardspel efter floppen: C-bet

Efter höjningar före floppen är c-bets antagligen det mest frekventa standardspelet. När vi undersöker deras EV, tänker vi i synnerhet på hur ofta en spelare träffar en hand i en given kategori. På samma gång måste vi göra antaganden om ranges före floppen och beteende efter floppen med olika handkategorier. Låt oss titta på ett specifikt exempel:

SH, 100BB Stack size

Pre-flop: You are MP with XY
You raise 4BB, 1 fold, BU calls 4BB, 2 folds

Flop: (9.5BB) K, 5, 3 (2 Players)
You bet 7BB

Floppen är ganska okoordinerad, och därför en klassisk bräda för ett c-bet. Utan hänsyn till att du ofta bör träffa en hand här, analyserar vi nu följande situation.

Du förlorar om BU stannar i handen. Är en satsning fortfarande profitabel och i så fall, hur profitabel? Vilka antaganden måste göras?

Fastställandet av ranges är inte ämnet för denna artikel, men du kan inte komma ifrån att ge BU en viss hand-range. Med användandet av detta exempel introduceras ett annat koncept. Den frekvens i vilken en spelare utför något. Det kan vara möjligt att BU hade kallsynat med ett pocket-par och endast med 30% av alla sekvenskort i samma färg. Vissa spelare kommer naturligtvis inte kallsyna med några sekvenskort i färg medan andra kommer kallsyna med samtliga av dem.

Utan ytterligare information kan du fortfarande få mer realistiska resultat om du istället för att använda 0% eller 100% av kallsyner för en viss handkategori använder ett värde som ligger någonstans mellan dessa värden.  Du kan modifiera denna parameter senare för att se hur det totala EV varierar.

För att inte göra det komplicerat antar vi att det finns tre möjliga handkategorier för BU, med den relativa sannolikheten om han kommer spela dem (p(Category)):

• Pocket-par: 22-99: p(Pocket)
• Sekvenskort i samma färg: 45s-KQs: p(SC)
• Klädda kort: AQ, AJ, KQo: p(BW)

Hur många kombinationer ingår i dessa ranges? Som beräknats i den föregående artikeln finns det sex kombinationer av varje pocket-par, så det finns 42 kombinationer av pocket-paren kvar när vi har räknat bort 5:an och 3:an som redan träffat floppen.

Varje hand i samma färg kan sättas ihop på fyra olika sätt så det finns 33 kombinationer för sekvenskort i samma färg. Det finns 16 kombinationer för icke parade händer, så 41 kombinationer för klädda kort.

Knappen sitter med (hand-kombinationer) med (sannolikheten):

Sannolikheten av en kallsyn ligger mellan 0 och 1. Denna konstruktion kan illustreras genom att titta på en spelare som endast kallsynar med pocket-par. För honom p(SC)=p(BW)=0 och p(Pocket) = 1. Så sannoliketen att han sitter med ett pocket-par är:

42 * p(Pocket) / [33 * p(SC) + 41  * p(BW) + 42 * p(Pocket)] = 42 * 1 / (33 * 0 + 41  * 0 + 42 * 1) = 1

Vad kommer BU göra när han ställs inför en satsning? Detta beror på hans egen hand vilket leder oss till frågan: Hur ofta kommer BU träffa en typ av hand med sin range?

Med de ranges som angivits finns möjligheten att BU antingen har missat, dvs mindre än ess-hög, att han har ett hålstegdrag med 67s eller att han har ess-hög.

Ett annat alternativ är att han kan sitta med ett par/topp-par med 45s, 56s och 22, 44, 66-99. Dessutom är där topp-par med KQs och både trissar med 33 och 55. Eftersom vi endast är intresserade av EV för satsningen oavsett din egen equity, behöver vi endast fastställa sannolikheten av en fold för hans olika händer.

Alla missar kan summeras som pf(Miss), hålstegar som pf(Gutshot), ess-hög som pf(AceHigh), par som pf(Pair), topp-par som pf(TopPair) och trissar som pf(Set). De sista två kommer nästan alltid vara 0 och är endast listade för att ekvationen ska vara komplett.

Vi har samlat ihop alla nödvändiga variabler. Som nämnts så ser vi på c-bettet som en ren bluff, dvs EV av satsningen i sig själv utan att ha en chans att vinna potten på något annat sätt. EV kan beräknas genom fall-differentieringar baserat på handkategorier före floppen, så vi kan fortsätta att variera kallsyn-sannolikheterna.

Förklaring: Den första termen av de tre underavdelningarna representerar sannolikheterna för en av tre handkategorier för knappens range före floppen. Den del som blir multiplicerad med den första termen ger oss EV för en ren bluff efter floppen, mot motståndarens hand-range. De respektive sannolikheterna, det vill säga p(Set) måste fortfarande beräknas. Som nämndes ovan är pf(Set) fold-sannolikheten för denna handkategori.

BU träffar en triss om han sitter med 33 eller 55. Sannolikheten för 33 eller 55 av 22-99-rangen är inledningsvis 2/8. Dock måste vi ta i beräkning att en av 3'ornna och 5'orna faktiskt är på brädan, så det är egentligen bara tre, snarare än sex, möjliga kombinationer för 33 eller 55.

Totalt finns det (6*6 + 2*3 =) 42 möjliga kombinationer, sex av dem är en triss: 6/42 = 0.14. I alla andra fall har knappen ett par < topp-par. p(Pair1) är därför 36/42 = 0.86.

p(Pair2) är sannolikheten för ett par/topp-par med en av sekvenskorten i samma färg (träffar med 45s och 56s). Av de ursprungliga fyra för 45s, 56s och KQs är där tre kvar, så totalt 3*3+6*4 = 33 möjliga kombinationer. Som ett resultat p(Pair2) = 6/33 = 0.18.

För hålstege, är fyra av 33 kombinationer möjliga, så p(Gutshot) = 0.12. För topp-par är där 3/33 = 0.09. De andra 20/33 fallen har knappen inte träffat något så p(Miss) = 20/33 = 0.61.

För de klädda korten är där nio möjliga kombinationer för KQ (KQs beräknas med sekvenskort i samma färg) med den blockerade kungen. Lägg till 2 * 16 kombinationer av AQ och AJ och du får totalt 41 kombinationer. Av dessa ges möjligheten av ess-hög med p(AceHigh) = 32/41 = 0.78 och det för p(TopPairBW) = 9/41 = 0.22. Nu är alla sannolikheter kända. Innan vi börjar att diskutera resultatet illustrerar vi återigen alla sannolikheter i denna tabell.

Nu måste vi göra ett antagande för BU's beteende med avseende för hur ofta han lägger sig. Hans range på floppen har delats in i kategorier: triss, topp-par, par, hålstege och miss. Självklart kommer EV för en satsning att påverkas till stor grad av sannolikheten för en fold.

Eftersom ett så högt antal variabler inte kan illustreras i en graf, tittar vi på fem olika uppsättningar av värden tillsammans med deras respektive EV. Du kan även anta andra värden och använda dem i dina beräkningar.

Vi förväntade oss denna tendens: ju lösare motståndare, desto lägre EV. Dock är det relativt höga EV för ett c-bet mot medium-spelaren ganska anmärkningsvärt. Han lägger sig inte ofta och en bluff mot honom, utan hänsyn till vår equity, är profitabel. Gränsfallet ligger mellan medium- och den lösa spelaren. Mot honom bör du på allvar tänka över om ett c-bet är profitabelt eller om du helt bör utelämna rena bluffar.

Standardspel efter floppen: Bluff vs. c-bets på floppen

Nu tittar vi på det omvända scenariot. Tänk på en liknande situation där kallsynar före floppen: om du kan bluffa, och hur profitabelt det skulle vara.

Metoden för att beräkna resultatet liknar den i föregående exemplet. Vi börjar med att definiera sannolikheterna för vissa händer efter floppen med tanke på hand-range och bräda. Med de olika möjliga utfallen kan vi uppskatta vårt EV. I motsats till föregående exempel, kommer vi inte titta på varje steg i detalj.

6max, 100BB Stacks

Pre-flop: You are BU
2 folds, CO raises 4BB, You call 4BB, 2 folds

Pot: 9.5BB

Flop A: K, 9, 7

Flop B: A, T, 9

Flop C: 2, 7, 9

CO bets 7BB, You raise 23BB

Det ska inte finnas någon särskild historia mellan CO och dig. CO's range före floppen antas vara 22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o, 76o, vilket motsvarar ungefär 31% av händerna. Vi kan anta att CO inte vet något om dig, och att han då kommer att c-betta 100%. Denna situation är mycket enklare att förklara och kräver färre antaganden än ett check-call, check-fold, och check-raise scenario. Följande handkategorier kommer i spel:

• Topp-par+
• Mellanpar
• Par < Mellanpar (P < MP)
• Öppet stegdrag, färgdrag (sDraw)
• Hålstege (wDraw)
• Övriga (Air)

I detta scenario bör inte ess-hög mot CO's okända motståndare inte vara värd mer än någon annan hand med outs för topp-par. För enkelhetens skull använder vi formeln:

pf * Pot – (1 – pf ) * Raise = pf * (Pot + Raise) – Raise

Höjning i detta fall är 23BB, Potten är 9.5 + 7BB.

Precis som i det förra exemplet:

EV =
P(TopPair+) * ( pf(TopPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(MidPair) * ( pf(MidPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(P < MP) * ( pf(P < MP) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(sDraw) * ( pf(sDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(wDraw) * ( pf(wDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(Air) * ( pf(Air) * ( Pot + Raise ) - Raise)

Sannolikheterna som krävs för olika floppar:

På Flopp B behandlas små stegdrag och små färgdrag som svaga drag. Topp-par + färgdrag räknas som topp-par. Även här märker vi stora skillnaden mellan flopparna. På Flopp A existerar alla olika kategorier av färdiga händer, men inte många drag och bara några helt missade händer. På Flopp B har aggressorn oftast träffat något, medan hans hand-range på den flop som innehåller låga kort är väldigt polariserad.

För bättre förståelse, finns även de kombinerade sannolikheterna av air-liknande händer (air, svaga drag och par/mellanpar) med i tabellen för varje flopp.

För att beräkna EV måste du uppskatta fold-sannolikheterna för de möjliga händerna. Delen av pf(TopPair) ≠ 0 kommer från situationer där tighta spelare kan lägga svaga topp-par (speciellt på Flopp B och C med svaga ess eller en 9 med svag kicker).

Detta resultat eller ett liknande var väntat. Några spelare hade kanske upplevt Flopp C som den bästa floppen att bluffa på. Det faktum att så inte är fallet beror till stor del på den är 9-hög. På en 7-hög flopp hade en bluff varit mycket mer profitabel eftersom ett topp-par är mycket mindre sannolikt.

Allt som allt, blir det tydligt att endast en c-bet inte är en tillräcklig strategi efter floppen. En spelare måste spela tillbaka ibland (som medium-spelaren) och sällan lägga sina drag eller färdiga händer, för att inte vara för lätt att bluffa.

Mot en 'Medium'-motståndare, trots det positiva EV i två av tre fall, är det inte alltid smart att investera 23BB för att slåss om en osäker vinst på 0.7BB (när man tittar på de uppskattade variablerna).

Som en ytterligare möjlighet mot den tighta spelaren bör ett float-spel övervägas på Flopp C. På grund av det ökade antalet antaganden om motståndarens beteende, går det enbart att beräkna float-spelet mot en motståndare som väljer väldigt enkla linjer. Vi antar fortfarande att vår equity är 0%. Om spelaren satsar igen, bör du ge upp. Om spelaren checkar, bör du satsa 15BB in i en 23.5BB pott och om han blir synad, kommer han förlora.

Därför är EV:

EV=p(Check/Fold)*(Pot+BetFlop) - p(Bet)*(YourCallFlop) - p(Check/Call(Raise))*(YourCallFlop+YourBetTurn)

Nu måste vi fastställa sannolikheterna för att CO kommer spela följande linjer på turn:

• Check-fold
• Check-call(raise)
• Bet

Detta är våra beräkningar. Nu till den något mer komplicerade delen: fastställandet av sannolikheter beroende på olika hand-kategorier för olika turnkort.

EV för float-spelet uppgår till +5.28BB. Det är mindre än bluff-höjningen i samma situation, dock är den generellt även mindre riskfylld. EV är lägre, i synnerhet eftersom antagandet ger honom en mindre chans att ge upp händer ~topp-par på floppen. Om du frekvent förväntar dig en en Check/Fold och inte Check/Call av en 9:a, kommer EV för ett float-spel att förbättras.

4-Bet-bluffen

Short-handed 4-bet-bluffar är ett väldigt viktigt ämne. På grund av aggressiviteten före floppen, är det viktigt att titta på 4-betar som bland annat en bluff. Dina motståndares ranges kommer till stor del bero på en kombination av din image och din historia. Av den anledningen måste du vara försiktig vad gäller dina motståndares 3-bet-ranges eller en all-in mot dig om du vill använda det resultat du får här i ditt spel.

Naturligtvis kommer resultatet endast stämma överens med ditt om ranges är relativt realistiska. Situationen är följande:

SH, 100BB Stacks

Pre-flop: You are BU with ??
3 folds, You raise 4BB, fold, BB raises 14BB, You raise 31BB

Låt oss titta på ditt Ev med antagandet att du alltid kommer förlora om din motståndare inte ger upp (vilket är ett realistiskt antagande i detta fall):

Du hade synat 69BB in i en 131.5BB pott så du behöver minst 34.41% i equity. I jämförelse kan du titta på denna tabell med equities för olika hand-ranges. Händers equity anges i hand-raden.

Som du kan se, i denna situation kan du inte spela 4-bet/fold med små pocket-par mot någon range, men det kan du alltid med A2s och 67s, och med AQ endast mot den tighta rangen. Notera att om du 4-betar måste du även folda mot den tighta rangen. Mot den lösa rangen kan du få in dina pengar med AQ. Du bör veta detta för att inte göra ett misstag om din bluff misslyckas. Uppernbarligen måste vi fortfarande fastställa EV av bluffen. Det kan enkelt beräknas genom att använda formeln från inledningen av denna artikeln:

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investment

Potten är de 18.5BB vi kan vinna, förlusten är de -27BB som kommer förloras om BB inte ger upp. Den behövda fold-sannolikheten ligger därför runt 59%. För möjliga ranges betyder detta följande.

Om din motståndare går all-in med QQ+, AK (34 kombinationer) måste han 3-beta minst 83 kombinationer för att göra ett 4-bet profitabelt. Detta skulle motsvara en range som 77+, T9s, AQ+, en range som 44+, AK eller en range som TT+, AJ+, KQ+. Om han går all-in före floppen med ett range som består av AQ+, TT+ (62 kombinationer) dock, måste han 3-beta minst 151 kombinationer för att det profitabelt ska gå att bluffa. Det hade varit som 22+, A2s-A5s, A9s+, AQo+, KQ+ eller 22+, AQ+, A2s+, T9s eller liknande ranges.

"The Card Removal Effect" - Effekten av att räkna bort kort ur en motståndares range

Förutom din hands equity mot din motståndares all-in range, finns det en annan faktor som påverkar lönsamheten för ett 4-bet: sannolikheten att det lyckas.

Än så länge har vi ignorerat ett aspekt i denna kontext: sannolikheten av en push är inte oberoende av din egen hand (vi kommer att anta att motståndaren till 100% kommer att lägga sig eller gå all-in). Med hänsyn till det, består din motståndares range i huvudsak av två delar, "all-in range" och "fold range". Det faktum att du håller vissa kort eller inte kommer starkt att skifta sannolikheterna mellan de två ranges mer eller mindre. Denna effekt är känd som "the card removal effect". Specifika kort plockas bort från motståndarens range eftersom de är en del av din egna hand.

Om du tvekar i en potentiell 4-bet-bluff situation, bör du alltid spela de händer som kommer att minimera sannoliketerna för att din motståndare går all-in. Om du vill kvantifiera denna skillnad istället för att bara säga "Jag har ett ess, detta är bra eftersom motståndaren kommer gå all-in med många AX-händer", kommer du också vara tvungen att räkna med att sannolikheterna för olika 3-betting ranges har skiftat på grund av din egen hand.

I praktiken gör du detta genom att räkna alla existerande kombinationer. Vi kommer introducera några tabeller som representerar sannoliketerna för olika 3-betting ranges och all-in ranges. Vi kommer titta på två olika all-in ranges, en tight med QQ+, AK och en löst med TT+,AQ+.

Vi kommer även titta på två 3-betting ranges (som kan se extremt olika ut i praktiken). En som i huvudsak betonar par med 22+, AQ+ och en annan med få sekvenskort: 77+, AQ+, 67s-89s. Följande tabell visar antalet möjliga kombinationer för specifika ranges, med och utan card removal effect. Detta görs för 4 olika händer: AQ, AJ, KQ, A2.

För en bättre överblick, kommer vi referera till respektive ranges som 1) & 2) och a) & b). Som du redan kan se, kan antalet möjliga kombinationer skifta extremt. Till exempel, AQ kommer minska sannolikheterna för den tighta all-in rangen med (34-24) / 34 = 0.294, dvs med nästan 30%.

Från denna tabell kan vi även erhålla andra tabeller för olika sannolikheter. Dessa kommer visa hur sannolikt det är för motståndaren att gå all-in för vardera av de 4 möjliga kombinationerna i 3-betting-rangen och all-in rangen. För att kunnda göra en jämförelse, kommer vi titta på varje scenario med och utan card removal effect. Procenten räknas ut genom att dividera antalet kombinationer av all-in rangen med antalet kombinationer av 3-betting rangen. Om en motståndare 3-betar med a) och går all-in med 1), är sannolikheten för detta 34/110 = 0.309, dvs runt 31%, om du inte tar hänsyn till card removal effect.

Om du hade suttit med AJ, hade du fått följande tabell:

Om du har A2, hade tabellen sett ut såhär:

Om du har KQ, kommer det se ut såhär:

I de flesta fall kommer sannolikheterna av en all-in att minska med 10% på grund av blockerings-korten. Det bör vara klart att i spel-teorin kommer de händer du inte kan syna prifitabelt med att vara bättre lämpade för 4-bet-bluffar. Ur position är detta ofta fallet för alla händer vi har nämnt här. I position bör du naturligtvis överväga att syna med starkare händer.

Kom alltid ihåg din egen hands equity under spelet. Som vi har illustrerat tidigare, är det inte möjligt att spela 4-bet/fold med händer som presterar bra mot olika ranges. Istället kommer du ofta vara tvungen att syna en all-in som inte märkbart kommer förbättra din EV (din syn är bara en aning +EV). Dock hade detta ökat variansen enormt. Huruvida du bör spela 4-bet/call med AQ eller 4-bet/fold med A2 i en specifik situation måste bestämmas under spelet. För- och nackdelarna med vardera kommer inte vara en del av vår analys.

Sammanfattning

Detta var allt för den tredje delen. I nästa del kommer vi att titta på 4-bet-bluffen från ett annat aspekt. Vi kommer även analysera flera situationer efter floppen och titta på G-Buck-analyser.

LÄNKAR
Relaterade artiklar: Matematiska koncept för No-Limit Holdem (1) - EV & Ranges Matematiska koncept för No-Limit Holdem (2) - Combos & Avancerade odds Diskussionsforum: Diskutera innehållet i denna artikel i forumet