En matematisk synvinkel på draghänder

Introduktion

I denna artikel 

• starka drag och svaga drag
  
• missade drag
  
• finjustera din känsla för spelet
  

Om du varit uppmärksam när du läst artiklarna i Guldsektionen vet du redan hur man spelar starka och svaga drag, liksom hur man agerar på river med en missad draghand. Semibluffar, bluffbettar, balansering och gratiskort är heller inte nya begrepp. 

Denna artikel kommer att förse dig med en abstrakt reflektion hur man spelar draghänder. En rent matematisk återblick. Det hjälper dig att ta upp ditt NL-spel ett steg ytterligare och förbättra din känsla överlag för spelet. 

Definition

Innan vi börjar behöver du veta den exakta definitionen på ett drag. Du hittar det här till höger. 

Ur en matematisk synvinkel har du en draghand så fort din pottequity är mer än 0%. 

Det finns ingen maximal pottequity, vilket, när den väl är uppnådd, inte längre tillåter oss att prata om ett drag. 

Du kanske intuitivt tror att du inte längre kan prata om ett drag när en hands pottequity är högre än genomsnittet, men detta är inte korrekt. 

Ta en titt på följande exempel: 

Player 1: 7, 7
Player 2: 7, 5
Player 3: A, K

Flop: 2, 3, 4

Equity distribution:
Player 1 (7, 7): 27.461%
Player 2 (7, 5): 22.595%
Player 3 (A, K): 49.943%

Som du kan se är Player 1's equity mindre än snittet (33%), även om han skulle vinna en showdown just då. Hans hand motsvarar inte definitionen på ett drag som beskrivits ovan, men skulle kunna ses så om man tittar enbart på pottens equities. 

Se nu på Player 3. Han skulle inte vinna en showdown just nu, även om hans equity är över snittet. Han har helt tydligt ett drag på floppen. 

Det här exemplet kan verka en aning krystat, men en liknande situation kan uppstå i en konfrontation heads up: 

Player 1 (K, Q):Equity: 72.322%
Player 2 (2, 2): Equity: 27.678%

Flop: J, T, 5

Båda exemplen visar tydligt att det inte finns någon pottequity, som, när den nåtts, inte längre låter en hand definieras som ett drag. 

Vikten av drag i No Limit Hold'em

Det faktum att NL Hold'em är ett spel med drag är det som gör poker så spännande. Faktiskt så är de flesta olika former av pokerspel med drag, i vilka du drar mot en hand. Den enda populära formen som inte involverar draghänder är Kinapoker. 

Spelets natur som ett spel med drag ger upphov till konceptet av pottequity som tar det hela in i en helt ny riktning. Det kan vara matematiskt korrekt att betala x med en svagare hand när beloppet av döda pengar i potten är y. 

Du kan (re)agera på basen av framtida händelser som kan svänga balansen i handstyrka spelarna emellan. Koncepten av implicita odds och reverserade implicita odds baserar sig enbart på detta. 

Du kan klart och tydligt se att drag är den viktigaste delen av spelet, eftersom de kan ändra balansen i handstyrkor genom handens gång och låta dig justera ditt spel enligt de nya variabler som kommer upp. Det är här som spelarens skicklighet blir verkligt viktig. 

Att förstå koncepten som följer betyder också att man förstår spelet poker. 

Redraw

Equity berättar för dig sannolikheten (i %) av att vinna en showdown med hand range x mot hand range y. Både range x och y måste bestå av åtminstone en hand. 

Equilatorprogrammet kan simulera en situation och ge dig ett konkret (och nästan exakt) equityvärde på bara några sekunder. 

Du kan syna en satsning till och med som en underdog om du får de rätta pottoddsen tack vare din hands equity. Du lärde dig dessa koncept som en Bronsmedlem och vet hur du räknar ut equityn av olika händer baserat på antalet outs. 

Den här frågan har hittills inte beaktats i någon artikel och kommer nu att undersökas ur en matematisk synvinkel. 

Player 1: A, K
Player 2: Q, J

Board: K, 7, 2

Equity distribution:
Player 1 (A, K): 61.4%
Player 2 (Q, J): 38.6%

Player 2 kan vinna handen med en färg, tvåpar, triss eller en stege.

Player 1: K, K
Player 2: Q, J

Board: K, 7, 2

Equity distribution:
Player 1 (K, K): 73.5%
Player 2 (Q, J): 26.5%

I detta exempel har Player 1 en redraw för fyrtal och kåk. Detta ses genom den stora skillnaden i equity jämfört med Exempel 3. Denna stora hopp i equity kan dock inte bara spåras tillbaka enbart till Player 1's nya redraw; Player 2 har nu också en helt annan draghand. 

I Exempel 3, frånsett detta färgdrag, kunde Player 2 vinna med ett runner runner två-par eller en triss. Detta är dock inte möjligt i Exempel 4. Detta är orsaken till varför Player 1's stora hopp i equity inte bara kan spåras tillbaka enbart till hans nya redraws. 

Equilatorprogrammet tillåter dig att lägga in döda kort vilka sedan inte beaktas i uträkningarna av equity. Dessa kort är helt enkelt borttagna ur leken. Detta tillåter dig att jämföra equity i två konstellationer, vilka visar dig vilken påverkan en redraw kan ha. 

I Exampel 3 är följande kort döda:
Q, Q, Q, J, J, J, K, A, A, A

I Exempel 4 är följande kort döda:
Q, Q, Q, J, J, J, A, A, A, A

EXEMPEL 3:

Board: K, 7, 2

Player 1 (A, K): 57.98%
Player 2 (Q, J): 42.02%

EXEMPEL 4:

Board: K, 7, 2

Player 1 (K, K): 73.78%
Player 2 (Q, J): 26.22%

Det finns nu exakt 35 kort i leken. Player 2 har samma antal outs i båda konstellationerna; Player 1 däremot kan bara göra en redraw till kåk/fyrtal i Exempel 4. 

15.8 procent (en ökning av 27.25%) har flyttats över till Player 1.

Exakt hur hjälper denna redraw Player 1?

Hans outs på turn är sjuor, tvåor och den sista kungen, totalt sju stycken. Om han inte träffar på turn kommer han att ha 10 outs att träffa river.

Sannolikheten att Player 1 träffar sin redraw är: 

1 - ((28/35) * 24/34)) = 1 - (48/85) = 43.53%

Sannolikheten att Player 2 träffar sin färg är:

1 - ((27/35) * (26/34)) = 1- (351/595) = 41.01%

Detta betyder att Player 2 kommer att få sin färg och fortfarande förlora mot en kåk eller ett fyrtal vid 17.85% av alla tillfällen. 

Som du kan se, en redraw orsakar alltid en förändring i equity. Ju starkare din motståndares drag är, desto enklare kan du se hur en liten redraw påverkar. Denna förändring i equity beror givetvis på styrkan av redrawhanden. En redraw på floppen för kåk/fyrtal är den starkaste redraw du kan ha; dess påverkan på equityn är helt klart den starkaste av alla redraws. 

Blockeringskortet

Det finns ett sätt till du kan försvaga en motståndares drag - det så kallade blockeringskortet. Varje gång du har en av din motståndares outs är det mindre sannolikt att han får in sitt drag. 

Detta leder då till frågan: 

Ta en titt på följande exempel för att se hur blockeringskorten påverkar equityn. 

Board: K, 7, 2

Player 1 (7, 4): 59.66%
Player 2 (Q, J): 40.34%

Board: K, 7, 2

Player 1 (7, 4): 66.72%
Player 2 (Q, J): 33.28%

Du ser att förändringen i equity (7.06, eller en skillnad på 11,83%) beror på det faktum att Player 1 håller två blockeringskort. 

Givetvis är det så att ju större procent av hans outs som du blockerar, desto bättre är det för dig själv. Till exempel, om din motståndare har en gutshot + ett överkort och du har ett eller till och med två blockeringskort kommer du att märka en större förändring i equity än om din motståndare hade ett färgdrag + överkort och du bara hade en av hans outs för färgen. 

Binda sig till en draghand

Vissa spelare vet aldrig huruvida eller inte de bör binda sig själva till sina drag. Vissa är för oförsiktiga, andra är inte ens medvetna om konceptet. Denna sektion kommer att fokusera på bindande höjningar och att spela med draghänder. 

När vi pratar om att binda sig, betyder det att vi är i en situation där EV(Syn) > EV(Fold) efter din motståndares push tack vare pottoddsen. 

Ett ofta använt exempel är 4-betten pre-flopp i vilken en spelare binder sig själv till sin hand och måste syna om motståndaren ställer in. 

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
MP $130

Pre-flop: Hero is UTG with A, K
Hero raises to $7, MP reraises to $25, 4 folds, Hero reraises to $70, MP reraises to 130 (All-In)

Om du sätter din motståndare på en tajt hand-range (JJ+, AK) får du 42.14% equity med din AKs.

Eftersom din motståndare helt klart är i en raise-or-fold-situation kan du bespara dig de komplicerade uträkningarna av equity post-flop och förmoda att din motståndare aldrig bara kommer att syna din 4-bet. 

Du kan också titta på EV av en all-in syn och en ensam 4-bet: 

EV(All-In Call) = 0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60 = $85.5442 - $34.716 = $50.8282
EV(4-Bet) = f * $35 + (1-f) * (-$63)

Du måste sedan lägga till en ytterligare term för att räkna ut EV av båda händelserna tillsammans: 

EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * (EV(Call after commitment) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ((0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ($50.8282 - $63)

Du kan bara bestämma huruvida eller inte hela kedjan av händelser kommer att vara + eller - EV när du inkluderar fold-equityn du genererar. 

Let f = 0.3:

EV(4-Bet) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * (-$63) = $10.5 - $44.1 = -$33.6

EV(4-Bet + All-In Call) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * ($50.8282 - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = $10.5 - $8.52 = $1.97974

4-betten själv är -EV, medan all-in synen efter att ha bundit sig med en 4-bet är +EV. Du kan däremot inte bara lägga ihop båda värden för att bestämma EV av hela händelseförloppet. 

Du ser att du skapade en +EV situation ($1.97974) genom att 4-betta och att binda dig själv att syna en push om du tror att din motståndare lägger sig 30% av gångerna och ställer in vid övriga 70%. 

Det här exemplet visar dock inte riktigt ändamålet med en bindande höjning. Titta på ett mer komplicerat exempel som visar dig den verkliga styrkan av en bindande höjning. 

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
CO $129

Pre-flop: Hero is BB with T, 9
2 folds, CO raises to $7, 2 folds, Hero calls.

Flop: ($15) K, Q, 2
Hero checks, CO bets $12, Hero raises to $32, CO reraises to $122 (All-In)

Du har ett färgdrag + en gutshot, vilket ger dig 12 rena outs. Ditt färgdrag är inte speciellt högt och din gutshot är i svagaste laget så du bör dra bort två outs. Med 10 outs är din equity uppskattningsvis 40%. Du behöver därför pottodds på 1:1.5 för att göra en +EV syn. 

Du måste betala $90 för att stanna kvar i en $169 pott. Ditt pottodds är 1:1.87. En syn skulle vara +EV. Du kan därför anta att du skulle vara bunden i handen om du checkhöjer och motståndaren pushar all-in. 

Frågan är nu: skulle det vara ett bra spel att checkhöja och binda dig till ditt drag? 

I det här fallet menar vi att bra innebär att vi skapar en +EV kedja av händelser med din check/höjning på floppen. För att bestämma detta kan du se på det på samma sätt som vid vårt exempel med 4-betten pre-flopp. 

Antagande:

På floppen har du 40% equity mot din motståndares pushing range. 
f = fold equity.
c = sannolikhet att din motståndare synar din check/raise.

EV(All-In Call) = 0.4 * $169 - 0.6 * $90 = +$13.6
EV(opponent calls c/r) = EV(Post-flop)

Din EV(post-flop) är > 0, eftersom du alltid kan c/f turn och försöka spela plus minus noll om din motståndare synar. Eftersom du är en bra spelare kan du anta att du normalt kan vinna detta beroende på motståndaren och brädans utseende. Din EV(post-flop) kommer därför att vara större än 0. 

EV(c/r flop) = f * $27 + (1-f) * -$32

EV(chain of action) = f * $27 + (1-f) * (c * (EV(Post-flop)-$32) + (1-c) * (EV(All-In Call) -$32))
EV(chain of action) > f * $27 + (1-f) * (c * (-$32) + (1-c) * ($13.6 -$32)

Möjliga antaganden för c och f:

c = 0.6, f = 0.2

EV(chain of action) > 0.2 * $27 + (1-0.2) * (0.6 *(-$32) + (1-0.6) * ($13.6 -$32))
EV(chain of action) > $5.4 + 0.8 * ((-$19.2) - $7.36)
EV(chain of action) > $5.4 - $21.248 = -$15.848

Vi använder oss av följande variabler för att göra termen mer allmän: 

• Fold equity : f
• Pottstorlek : p
• Betstorlek : b
• Sannolikhet att din motståndare synar din c/r : c
• EV(All-In syn) : y
• EV(Post-flop) : x

Vilket ger oss följande formel för att räkna ut EV: 

EV(chain of action) > f * p + (1-f) * (c * (x-b) + (1-c) * (y-b)

Om du får ett negativt värde av ovanstående uträkning, kan du använda följande för att bestämma hur stort EV ditt spel post-flop måste ha (utifall du blir synad) för att kedjan av händelser ska vara +EV: 

x > (f * ((1-c) * y - p - b) - (1-c) * y + b)/(c(1-f))

I detta exempel får du ett värde för x av 'x > $33.016'. Det betyder att du måste, mot denna frekvens av syner och pushar, skapa så här mycket EV på turn för att göra din check/höjning lönsam. 

Nu ser vi på detta exempel igen med den något mer realistisk frekvens av syner och pushar::

c = 0.25, f = 0.55

EV(chain of action) > 0.55 * $27 + (1-0.55) * (0.25 *(-$32) + (1-0.25) * ($13.6 -$32))
EV(chain of action) > $14.85 + 0.45 * ((-$8) -13.8)
EV(chain of action) > $14.85 - $9.81 = +$5.04

Som du kan se, med dessa värden har du en +EV check/höja när du check/slänger på turn om din motståndare synar (detta är, förstås, orealistiskt eftersom du inte skulle ge upp på turn om du sätter din färg). 

Om en bindande check/höjning verkligen är det bästa spelet eller inte har ännu inte fått något svar. Detta eftersom vi först måste räkna ut EV av alla andra möjliga spel innan vi kan bestämma vilket som är det bästa. 

Så var det korrekt att höja och binda sig i det här exemplet? Varför behövde vi ens göra alla dessa uträkningar? 

Du har sett att en bindande höjning kan vara +EV beroende på din motståndares frekvenser av att syna och pusha. Detta exempel borde dock ha visat att en push direkt troligtvis skulle varit det bästa spelet. Utan att behöva räkna ut EV för en push kan vi anta att du ofta skulle leda din motståndare till att ställa in med ett bättre drag om du check/höjer. Din equity mot ett bättre drag är, tyvärr, sämre än mot en färdig hand. 

Om du därför skulle göra en överstor bet på floppen och pusha kan du anta att din motståndare skulle vara mer benägen att lägga ett bättre färgdrag, vilket är bra med tanke på din equity mot hans synrange. Å andra sidan, om du skulle sitta på ett drag mot nötfärgen + en gutshot, skulle din equity öka när din motståndare är villig att gå all-in med ett drag, tack vare att du har hans drag dominerat. 

Styrkan av en bindande höjning ligger i att påverka din motståndares hand range, så att din equity är större än vad den skulle vara om du skulle ställt in direkt. Då antar vi att du genererar lika mycket fold equity med båda spel, men spelar till slut mot två olika hand ranges. 

Notera:

Vi har ignorerat problemet med genomskinligheten för att fokusera på den matematiska aspekten. Om ditt spel är för uppenbart kommer du att ge din motståndare information: 

• Push direkt = svagt drag
• Bindande höjning = Nötdrag + monster

Med en korrekt read kan din motståndare justera sin syn- och pushfrekvens till att skapa situationer i vilka du behöver ha en väldigt hög EV(post-flop) för en bindande höjning för att vara +EV (se exempelhanden med T, 9).

Hur viktigt är det att balansera din egen hand range?

När det gäller att spela med drag uppstår frågan: hur viktigt är det att balansera din egen hand range? Är det ett problem om din motståndare vet att din hand range består till 100% av drag, eller kan han inte göra så mycket med denna information? 

Vi använder följande exempel för att ta upp frågan ur en teoretisk synvinkel: 

Du är heads up och i position på turn. Din motståndare bettar rakt in i dig. 

• Hand range A) Din range består helt och hållet av drag och du har 25% equity mot din motståndarens satsningsrange. 
• Hand range B) Din range består av några nöthänder och några svaga drag och du har 25% equity mot din motståndares hand range.

Vilken hand range är bättre och vad är det verkliga skillnaden? Du har samma EV med båda ranges när det kommer till showdownvärde. Om du då skulle pusha med hela din range och din motståndare syna med hela sin satsningsrange skulle du i båda fall vinna 25% av alla showdowns. Vid en första titt verkar det inte vara någon direkt skillnad. 

När du sedan funderar över hur du ska spela mot din motståndares hand range kommer du att se att dina valmöjligheter är begränsade med Hand range A. Det bästa sättet att spela din hand skulle vara att syna turn på basen av odds och outs och sedan bluff/höja på river. Om du träffar, satsar/höjer du för värde. Om du missar har du fortfarande en korrekt bluffrekvens för att få din motståndare att syna dina värdehöjningar när du faktiskt träffar. Den huvudsakliga nackdelen för dig är att du måste vänta till river för att få din motståndare att fatta ett svårt beslut som kan få honom att begå misstag. 

Om, som i fallet med Hand range B, din range består av några nöthänder och svaga drag, kan du hitta en korrekt linje att spela på turn och höja dina starka händer för värde och semibluffa med dina drag. Du har också chansen att syna en satsning på turn och sedan höja för värde på river med dina nöthänder och balansera din hand range genom att bluffa med dina drag. 

Du kommer att ha fler valmöjligheter och överlag lättare at spela din hand och balansera dina hand ranges i vissa specifika situationer när du har en mixad range. Detta eftersom du då kan representera ett antal olika typer av händer. 

Varje gång din motståndare kan sätta dig på en viss typ av hand kommer han att ha lättare att spela mot din range och du kommer att få det svårare att balansera dina spel. Du kommer att alltid att ha en högre EV med en mixad range än med en polariserad sådan. 

Semibluffande och bluffrekvenser

Du kan hitta ett flertal artiklar tillägnade semibluffar i Gold-sektionen. Just nu håller vi dock oss till en rent matematisk infallsvinkel till semibluffar. 

Vi börjar med att titta på all-in semibluffar. 

För att kunna bestämma EV av en semibluff behöver du följande information: 

• Fold equity: f
• Equity kontra motståndarens synrange: E
• Pottstorlek: p
• Din storlek på satsningen: b

EV(All-In Semibluff) = f * p + (1-f) * (E * (p+b) - (1-E) * b)

Med denna formel kan du bestämma din vinst efter en läggning och sedan lägga till din vinst/förlust efter en syn. Du gör självklart en vinst varje gång din motståndare lägger sig, vilket betyder att en semibluff endast kan vara -EV när din motståndare synar. Nu råkar det vara så att denna del av formeln visar att din equity mot din motståndares hand range spelar en stor roll när det gäller huruvida du gör en vinst eller en förlust. 

Nyckelformeln är därför:

EV(Motståndaren synar) = E * p - (1-E) * b

Du gör en vinst när denna term är större än 0. Skriv om det hela med b och p till vänster för att se vilken roll equity spelar. 

0 < E * p - (1-E) * b
(1-E) * b < E * p
b/p < E / (1-E)

Här är en tabell med förhållandet mellan satsningsstorlek/pottstorlek och den minsta storleken av equity som behövs för +EV: 

Du ser direkt: ju större din equity, ju större behöver b/p-förhållandet vara för att ditt semibluffande ska vara lönsamt. 

Om du kan uppskatta din motståndares synrange tillräckligt exakt för att också uppskatta din equity mot hans range, kan du använda den här tabellen för att göra perfekta höjningar genom att semibluffa all-in. Då kan du skapa situationer i vilka du bara kan göra vinst. Kom ihåg: båda termer behöver inte ha ett positivt värde. Det som är betydelsefullt är den slutliga EV efter att ha lagt till båda termer. 

Det andra och mer komplicerade fallet är semibluffhöjningar där du inte går all-in. 

En matematisk reflektion över situationen blir väldigt svår, eftersom det finns så många möjliga antaganden att göra över framtida agerande. Om du har ett starkt nötdrag kan du hänvisa till stycket om bindande höjningar för att undersöka ditt spel ur en matematisk synvinkel. 

Detta är inte så lätt när det gäller svaga drag då du till och med har fler valmöjligheter efter floppen. Du kan ... 

• Antingen fortfarande komma bort från din hand, eller
• se ett kort du kan använda som bluffkort och representera en annan färdig hand eller ett annat drag.

En enkel matematisk analys är, tyvärr, inte möjlig. 

Ett problem som kan uppstå med icke-bindande semibluffar är det att din motståndare kan höja och tvinga dig till en läggning. Detta lämnar en speciellt bitter eftersmak i munnen när du skulle kunnat få ett gratis kort om du inte semibluffat. I stället blir du tvungen att lägga dig och ge bort hela din pottequity. 

Här är några matematiska funderingar som borde få dig att se situationen ur ett klarare ljus. 

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Pre-flop: Hero is Button with 5, 4
3 folds, Hero raises to $7, SB folds, BB calls.

Flop: ($15) K, T, 2
BB checks, Hero bets $12, BB calls.

Turn: ($39) A
BB checks, Hero ?

Borde du semibluffa med din gutshot eller checka bakom och hoppas på en träff? Fortsätter du bara spela om du träffar stegen efter att ha checkat bakom? 

Detta är inte en enkel fråga att besvara utan någon information om stackstorlekarna. Du och din motståndare började båda handen med mycket djupa stackar: 

Hero $409
BB $500

Dina två valmöjligheter på turn är antingen en semibluff i pottstorlek eller att checka bakom. 

För vår matematiska analys antar vi att din motståndare kommer att check/höja all-in 1/3 av gångerna och lägga sig 2/3 av gångerna. Du kommer, naturligtvis, att lägga dig mot en check/höjning. 

EV av en bluff är enkel att bestämma: 

EV(Bluff) = 2/3 * $39 - 1/3 * $39= +$13

En semibluff skulle vara +EV. Vad händer med din EV efter att du checkat bakom? Om du träffar stegen kan du anta att du skulle kunna stacka din motståndare x% av gångerna. Oddsen av att träffa en gutshot är 4:44 -> 1:11. 

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (x * $429 + (1-x) * $39)

Om du lyckas stacka din motståndare 33% av gångerna du träffar, skulle din EV för att checka bakom vara: 

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (1/3 * $429 + (1-1/3) * $39)
EV(check) = 0 + 1/11 * 1/3 * $429 + 1/11 * 2/3 * $39
EV(check) = 0 + $13 + $2.36 = +$15.36

Semibluffande är därför +EV. Att checka bakom då? Om du träffar stegen skulle det vara möjligt för dig att stacka din motståndare x% av gångerna. 

Chansen att träffa är 4/44
EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (x * 1100 + (1-x) * 100)

Om du kan stacka din motståndare 33% av gångerna (som i den 33% c/r all-in satsningen), skulle din EV vara: 

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (1/3 * 1100 + 2/3 * 100)
EV(check)= 0 + 1/11 * 1/3 * 1100 +1/11 * 2/3 * 100
= 0 + 33.33 + 6.06 = 39.39

Att checka har ett högre EV än att semibluffa, även om en semibluff också skulle vara +EV. Du kan flytta omkring siffrorna för att se exakt hur ofta du måste stacka din motståndare för att EV(check) ska vara större än EV(semibluff). 

13 < 1/11 *429x + 1/11 * 42.9 *(1-x)
13 < 39x + 39/11 - 39/(11x)
13 < 39x + 3.54 - 3.54x
9.45 < 35.46x
x> 9.45/35.46
x > 0.2667 -> 27%

Enligt våra antaganden är en check bakom mer lönsam än en semibluff när du kan stacka din motståndare 27% av gångerna som du träffar. 

Det här exemplet tog en relativt negativ syn på att checka bakom, då vi medvetet inte övervägde möjligheten att träffa ett par på river och vinna potten (efter att ha checkat ner). Vi tog heller inte upp möjligheten till +EV lägen att bluffa på river. 

Vi har fortfarande inte svarat på frågan: när är det bäst att riskera att ställas mot en check/höjning och tvingas lägga sig? Vi börjar med att lista de faktorer som spelar en roll i att besvara den här frågan: 

• Sannolikheten av att få din motståndare att lägga sig.
• Sannolikheten av att bli check/höjd ur handen.
• Sannolikheten av att träffa ditt drag.
• Dina implicita odds i de fall du träffar.

Dessa faktorer är alla nära besläktade med varandra och kan inte analyseras individuellt. Däremot kan du komma fram till några allmänna slutsatser: 

Vid det här läget måste vi definiera värdet av ett drag och vilka faktorer som kan påverka värdet av ett drag. 

• Ditt drag har många outs.
• De effektiva stackarna är stora.
• Din motståndare är en synstation.
• Du drar mot nötterna.

De sista tre punkterna beror mycket på de implicita oddsen, vilka givetvis endast är viktiga om du ser riverkortet och kan få mer action. 

Detta kanske kan verka motsägelsefullt mot din intuition; du kanske tror att du borde satsa för värde och bygga upp potten, eftersom din hand verkligen har ett visst värde. Du kunde då göra en ännu större värdebet om du förbättrar på river. 

Det är inte helt korrekt. Kom ihåg, när du räknar ut EV (semibluff) är värdet av din hand oväsentligt. Din lönsamhet kommer när din motståndare lägger sig. Värdet av ditt drag spelar ingen roll när du checkar bakom, eftersom du kan göra en större vinst på river om ditt värde ökar, vilket betyder att den totala EV (check) ökar. 

Jämför dessa brädors utseende i denna exempelhand:

Board 1: Q, 9, 9, 5
Board 2: Q, 9, 5, 2

Du har J, T vid båda tillfällen.

På vilken bräda skulle du checka bakom, och på vilken skulle du fundera på en semibluff? 

Kom ihåg argumenten som nämndes ovan. Du har lägre implicita odds på den första brädan, vilket betyder att ditt drag har mindre värde. Du drar bara för en stege, medan dina motståndare kunde dra för en färg eller en kåk. Detta betyder att du kunde träffa och fortfarande förlora en dyr showdown. 

Detta minskar EV av en check på denna bräda. Du har dock inte detta problem på den andra brädan. Här drar du för nötterna och behöver inte vara rädd för att förlora mot en bättre hand om du träffar. Därför är bräda 1 mer passande för en semibluff med en OESD än bräda 2. 

Ju svagare ditt drag är, desto mer passar det för en semibluff. Om du blir check/höjd kan du enkelt lägga dig (och ge upp mindre equity genom att slänga korten). 

Ett annat koncept du bör hålla i minnet när du sitter på ett drag och inte semibluffar all-in är "pressen av flera satsningar". 

Du kan använda en semibluff till att sätta press på svaga spelare och möjligtvis generera mer fold equity. Detta eftersom din motståndare ofta har en marginell hand och möter reverserade implicita odds när du har en stor stack att skjuta ifrån. 

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Du spelar live. Du befinner dig på turn och har glömt bort vad som hände i de tidigare rundorna. Du har till och med glömt bort din egen hand, men vill inte ta en andra titt eftersom det kan ge din motståndare en read. Det som är helt säkert är att du inte kan satsa för värde. 

Turn: J, T, 7, 6

Din motståndare checkar till dig och du överväger att göra en satsning i pottstorlek. Låt oss titta på den här situationen med två olika scenarior: 

• Du har inte några chips kvar i din stack och är all-in.
• Du har fortfarande fyra gånger pottens storlek i din stack efter att ha satsat pott på turn.

I vilket scenario sätter du mer press på en motståndare med en hand som KJ, KT (eller till och med en svagare färdig hand)? 

Din motståndare kommer att ha betydligt svårare att fatta ett korrekt beslut när du har en stor hög med marker kvar i din stack, även om han har samma hand på samma bräda. Han måste tänka efter en extra gång för att syna turn och även hur han kommer att reagera på en ny satsning på river. Såvida han inte har två-par/triss kommer i stort sett vilket kort som helst på river att vara dåligt för honom. 

I det första scenariot skulle han få oddset 1:2 efter att du ställt all-in och skulle troligen kunna syna med topp-par. Han har ett problem i det andra scenariot. Inte nog med att han måste syna den här satsningen, men han riskerar även att tvingas betala ännu mera för att ta sig till showdown - och allt detta medan han sitter i en situation med reverserade implicita odds. 

Han vet att du är en bra spelare och att du gör rätt antal bluffar på river med missade drag, vilket är orsaken till att han inte vet om han bör syna dig den här gången eller inte. 

Som du kan se, din egen hand är sekundär (du kunde ha QJ, 88, 85 etcetera) när ett stort antal svaga och starka drag är möjliga. Den stora skillnaden är beslutet din motståndare tvingas ta, även om han har samma TP i båda scenarior. De kvarvarande stackarna får din motståndare att tänka noga efter om han ska syna turn och igen betala av på river, eftersom han vet att riverkortet inte kommer att vara till någon hjälp och han inte kan förbättra sin hand speciellt mycket. 

I det första scenariot får han oddset 1:2 och kan göra en bekväm syn, eftersom han inte behöver bekymra sig över att dra på sig mer kostnader. Hans reverserade implicita odds är: 

(Satsa pott på turn + belopp x) : (Satsa pott på turn + belopp x + Pottstorlek turn)

Om du checkar river skulle det vara samma 1:2 efter en push. Däremot, om du går all-in på river, skulle det vara 5:6. Detta är en enorm skillnad och en väldigt obekväm situation för din motståndare att befinna sig i. 

Det du bör komma ihåg av allt detta är att du bör tendera till att satsa på turn igen när du har ett drag och en stack bakom då du tror att din motståndare kommer att lägga sig mot en satsning av storleken x på turn. Detta på grund av pressen av kommande satsningar, när han i annat fall skulle ha synat en satsning av storleken x på river efter att ha checkat bakom på turn, eftersom han inte längre skulle behöva oroa sig för reverserade implicita odds. 

Bluffrekvenser

Vi har nämnt bluffrekvenser några gånger redan i den här artikeln, varför vi vill avsluta med att säga exakt vad som menas med bluffrekvenser. 

Orsaken till varför du lägger in en och annan bluff med ett missat drag även om du inte har någon equity är för att sätta din motståndare i situationer där han inte vet om han ska syna din satsning, då han är rädd att betala av dina värdesatsningar för ofta. Om du kan hitta ett korrekt förhållande mellan bluff- och värdesatsningar kommer dina motståndare inte att kunna utnyttja din strategi. 

Du behöver två parametrar för att räkna ut en sådan bluffrekvens: 

• Pottstorleken: p
• Storleken på din satsning: b

Bluffrekvensen bestäms sedan av dessa parametrar: 

B = b / (b + p)

Din motståndare kommer aldrig att veta om han ska syna din satsning på river eller inte när du spelar med denna bluffrekvens. För din motståndare, EV(Syn) = EV(Fold). 

Frånsett att vilja göra din motståndare osäker vill du också göra en direkt vinst när du bluffar. För att räkna ut denna vinst behöver du uppskatta sannolikheten att din motståndare lägger sig mot din bluff. Med andra ord, fold equity. 

EV(Bluff) = f * p - (1-f) * b
0 > f * p - (1-f) * b
f > b/(b+p)

Om din motståndare lägger sig oftare än b / (b + p), går du i vinst med din bluff. Om han lägger sig mindre ofta, kommer du att göra vinst med dina värdesatsningar. Din motståndare kommer inte att kunna anpassa sig till den perfekta bluffrekvensen. 

Bluffar är enkla att beskriva ur en matematisk synvinkel, konsten ligger i att omsätta teorin i praktiken. Du kommer helt enkelt inte att kunna veta exakt hur ofta du måste bluffa för att på ett perfekt sätt balansera dina värdesatsningar. Du kommer heller inte att kunna uppskatta din fold equity 100% korrekt, eftersom detta varierar ifrån en motståndare till en annan och ökar heller inte per automatik med storleken på satsningarna. 

Slutsats

Kom också ihåg att läsa de andra artiklarna i Guldsektionen för att hjälpa dig utveckla en konkret förståelse för att spela med drag. Den här artikeln fokuserade endast på den matematiska aspekten och siktade på att förbättra din förståelse av No Limit Hold'em. 

Du har knappast tid att räkna ut EV av alla dina valmöjligheter när du spelar; lyckligtvis är detta inte nödvändigt. Det viktiga är att ta dig tid att studera teorin utanför spelet, eftersom detta kommer att hjälpa dig att fatta korrekta beslut vid borden.