Nash Equilibrium och bluff-/synfrekvenser

Introduktion

I denna artikel

• En introduktion till spelteori
  
• Nashjämvikten och dess konsekvenser
  
• Satsnings- och synfrekvenser
  

Spelteori är en gren av matematiken som analyserar vissa typer av konflikter eller så kallade spel. I detta sammanhang är begreppet "spel" som används för situationer där flera aktörer konkurrerar om resurser med varje deltagare efter en strategi, (möjligen med kooperativa aspekter) och det finns en möjlighet till vinst.

Ett centralt begrepp inom spelteorin är den så kallade Nashjämvikten vilken beskriver ett tillstånd av strategisk balans mellan spelarna där varje spelare känner till den bästa åtgärden till motståndarnas handlingar och ingen spelare kan öka sin vinst genom att göra en ensidig förändring av sin strategi.

Denna artikel ger dig en inblick i spelteorin med Nashjämvikten som lösning inom strategierna och tillämpningen av Nashjämvikten med hjälp av satsnings- och synfrekvenser. Lite grundläggande kunskap inom matristeori krävs för att du skall kunna förstå denna artikel.

Kort introduktion till spelteori

Ett spel i matematisk mening består av följande:

• En uppsättning spelare
• en uppsättning av alla spelares "rena" strategier
• en funktion som associerar varje strategisk profil (varje spelare väljer en strategi) med en utbetalningstupel som avgör utbetalningen för varje spelare. Denna funktion avgör utgången för spelarna genom att välja en viss spelstrategi.

Resten av denna artikel kommer att hantera spel med två deltagare - ett spel kan då enkelt representeras av två m x n matriser A och B. Spelare 1 har då m strategierna (S1,...,Sm) och spelare 2 har n strategierna
(S'1,...,S'n). Om spelare 1 väljer Si strategin och spelare 2 väljer S'j, så blir utbetalningen Aij för spelare 1 och Bij för spelare 2.

Utbetalning spelare 1:

Om till exempel A=B= I2 (2x2 enhetsmatris), då får båda spelarna utbetalning 1 om de båda väljer den första eller om båda väljer den andra strategin.

Spelarna kan också välja blandade strategier: detta betyder att flera rena strategier spelas med en viss sannolikhet vilket naturligtvis kan vara upp till 100%. En mixad strategi kan representeras av vektor p med pi som representant av vilken strategi som sannolikt används.

Om spelare 1 använder blandad strategi p elementet av Rm och spelare 2 använder strategi q elementet av Rn, då får du utbetalningarna pAq och pBq. (För rena strategier så leder detta till motsvarande ingång i respektive matris.)

För spelare 1 kallas strategi P det "bästa svaret" på spelare 2s strategi q om p ger maximal utdelning för spelare 1 detta gäller om följande är fallet:

pAq >= p'Aq för alla strategier p' av spelare 1.

I likhet med detta kallas spelare 2s strategi q för det bästa svaret på spelare 1s strategi p om följande är fallet:

pBq >= pBq' för alla strategier q' av spelare 2.

Ett par strategier (p,q), med p varandes spelare 1s strategi och q den av spelare 2, kallas för "Nash Equilibrium (NGG)" om p är den bästa responsen till q och q är den bästa responsen till p.

Det kan bevisas att det finns minst en NGG i varje spel (trots att det inte nödvändigtvis är i rena strategier).

En NEQ behöver inte vara pareto optimal (en NEQ är pareto optimal om det är omöjligt för NEQ att förändras så att en av de två spelarna för en större utdelning utan att den andre får mindre än innan).
Å andra sidan så är ett pareto optimala strategier inte nödvändigtvis en NEQ. Ett välkänt exempel på sådana strategier är Fångarnas dilemma, men vi kommer inte att gå in djupare på detta ämne. Andra jämviktskoncept som är intressanta men inte kommer att diskuteras här innefattar evolutions stabila strategier (En) och motsvarande jämvikter.

Om båda spelarna endast har två rena strategier så finns det en enkel metod för att avgöra vilka strategier som skulle ge NEQ - ovannämnda exemplet A=B=I2  kan användas här.

Strategi p av spelare 1 har formen (a,1-a) med a
element av [0,1], medan spelare 2s strategi har formen (b,1-b) med b element av [0,1]. Nu kommer vi att söka efter spelare 1s bästa respons på strategi (b,1-b) av spelare 2: vi kan göra detta genom att jämföra utdelningarna från strategierna (1,0) och (0,1) (det vill säga utdelningen av de rena strategierna i de två raderna).

Om spelare 1 väljer den första raden i matrisen blir hans utdelning b och om han väljer den andra raden så blir hans utdelning 1-b. För b >
1-b, vilket är lika med b > 0.5, den bästa responsen är den första raden med andra ord a = 1. Motsvarande för b < 0.5 så är den andra raden bäst med andra ord a = 0. För b = 0,5 får spelare 1 utdelningen 1. Därför är varje strategi den bästa responsen.

Vi repeterar denna procedur för spelare 2. Tack vare symmetrin i exemplet så får vi b=1 för a > 0.5, b = 0 för a < 0.5 och alla b
element av [0,1] för a = 0.5.

NEQs definieras som par av strategier med varje strategi motsvarande som den bästa responsen mot den andra strategin. Det är tydligt i illustrationen att där strategierna korsar varandra visar var NEQsen är.

NEQs på detta spel är ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) och ((0.5,0.5),(0.5,0.5)).

Satsnings-/synfrekvenser

Låt oss undersöka följande situation: Spelare 1 (ur position) och spelare 2 (i position) befinner sig på rivern och styrkan på spelare 2s hand är rätt så tydlig. Spelare 1 vet om han ligger före och spelare 2 vet att spelare 1 vet detta.

Om spelare 1 kan slå spelare 2s hand, då kommer spelare 1 naturligtvis göra en värdesatsning (spelare 2 kommer alltid att checka bakom eftersom han vet att spelare 1 vet vem som ligger före). Svaret på frågan är hur ofta spelare 1 bör bluffa beror naturligtvis på motståndaren. Till exempel så bör han inte bluffa mot en synstation men bör bluffa mot en svag motståndare. För spelare två så är beslutet om att syna eller lägga sig också beroende på motståndaren.

Denna situation kan modeleras som ett spel:

• Spelare 1 har de (rena)
  strategierna bluff och avstå från att bluffa. En blandad strategi
  (a,1-a) skulle då vara en strategi där spelare 1 kommer att bluffa med sannolikhet a när han satsar (och inte en strategi där spelare 1 kommer att bluffa med sannolikhet a när han har en dålig hand. Mer om detta i den tredje sektionen.)

• Spelare 2 har de (rena)
  strategierna syna och slänga. En blandad strategi (b,1-b) skulle då vara en strategi där spelare 2 kommer att syna med sannolikheten b när spelare 1 satsar.

Bästa responsen på motståndarnas strategier är relativt enkelt att avgöra som vi nu kommer att visa (låt spelare 1s satsningsstorlek vara x*pottstorleken):

För att kunna göra en lönsam syn måste spelare 2 ligga före i  x*Pott /
(x+2) * Pott = x/x+2 av fallen. Detta betyder att spelare 2s bästa respons på strategin (a,1-a) är en läggning (det gäller om (0,1) eller b=0) om a .

Om a>x/x+2, så är spelare 2s bästa respons en syn (det vill säga (1,0) eller b=1). Om a=x/x+2, så är varje strategi (b,1-b) med b
element av [0,1] den bästa responsen.

För att spelare 1 ska kunna bluffa lönsamt måste bluffen lyckas i x*Pott/(x+1)*Pott = x/x+1 av fallen, det vill säga att spelare 2 måste lägga sig i minst
x/x+1 av fallen.

Detta betyder att spelare 1s bästa respons till (b,1-b) med b>x/x+1 är att aldrig bluffa (det vill säga (0,1) eller a=0). Spelare 1s bästa respons till b är att alltid bluffa (det vill säga (1,0) eller a=1), och alla strategierna är bästa responsen för b=x/x+1.

Vi uppnår precis en NEQ: ((x/x+2),1-x/x+2),(x/x+1,1-x/x+1)).

De praktiska konsekvenserna av Nashjämvikten

Låt oss undersöka situationen från spelare 2s sätt att se det. Låt x = 1 vara sant, det vill säga att spelare 1 gör en satsning i pottens storlek. Detta ger (0.5,0.5) i NGG. Om spelare 2 synar 50% av gångerna och lägger sig i 50% av gångerna, då är inte spelare 2 förutsägbar i denna situation, det vill säga att spelare 2s motståndare kan inte ta ett beslut som förbättrar hans förväntade värde.

Båda hans strategier är lika bra respons på vår strategi. Strategin (0.5,0.5) är naturligtvis inte alltid den bästa responsen på spelare 1s strategi. Idealiskt sätt skulle vi alltid välja den bästa responsen. Om till exempel motståndaren är en klippa så är det ganska enkelt att förutse hans strategi och välja den bästa responsen. I denna situation skulle du inte ens tänka på att syna i 50% av fallen mot en klippa.

Bra motståndare kommer hela tiden att ändra sin strategi och försöka anpassa sig till vår stil medan vi naturligtvis själva försöker att anpassa oss till justeringarna motståndaren gör och så vidare. Det vore idealt om vi hela tiden kan ligga ett steg före, att tänka en nivå högre än vår motståndare. Vi kommer då att kunna förutse motståndarens strategi rätt så exakt, det vill säga att vi kan bedöma om motståndaren sannolikt bluffar vid detta tillfälle i spelet (termen "spel" används här i vardaglig betydelse).

Tyvärr kommer vi ibland att möta motståndare som är bättre än oss på detta, det vill säga de tänker på en nivå högre än oss. Mot sådana motståndare så är det bättre att spela en strategi som inte är exploaterbar. På detta sätt kan inte motståndaren tjäna på att han kan läsa oss bättre än vad vi kan läsa honom. Om vi bytte kort med vår motståndare så skulle vi vinna exakt samma summa som motståndaren har vunnit från oss eftersom vi återigen kan välja strategin som finns i NGG.

Slutkommentarer

a) Om du till exempel har beslutat dig för att göra en viss handling i 50% av fallen så bör tillfällena som du väljer att göra dem eller inte vara så slumpmässiga som möjligt och inte förutbestämda av ett lättupptäckt system. Det finns många saker som du kan använda som enkla slumpgeneratorer, till exempel sekundvisaren på din klocka eller riverkortet genom att syna när värdet på riverkortet är jämt. Denna typ av slumpgeneratorer kan också bli förutsägbart om det är för uppenbart och din motståndare är för uppmärksam.

b) Som redan har nämnts i den andra sektionen så använder spelare 1 strategin (a,1-a) vilket betyder att sannolikheten att spelare 1 bluffar generellt är a och inte sannolikheten att spelare 1 bluffar är a om han har en dålig hand. Därför så talar värdet på a direkt om för oss hur ofta vi ska bluffa om vi är spelare 1. Du måste veta hur ofta du faktiskt skulle ha handen som du vill representera med en bluff.

Föreställ dig, till exempel en bräda med JsTs4 2, att du uppenbart har ett drag (stege eller färg), och att spelare 2 har en färdig hand. Om river är en 6s, som fullbordar ett möjligt färgdrag och du har KQ när du ska bestämma hur ofta du ska bluffa så bör du överväga hur ofta du skulle ha en färg.

(As9s-As5s, As3s, As2s, 9s7s, 8s7s, 8s6s, 7s6s, 7s5s, 6s5s, 5s3s) är ett exempel på en realistisk range vilket uppgår till 14 olika händer. Du kommer att ha ett missat drag precis lika många gånger (sju kombinationer var av
KQ och 98 antaget att du skulle ha spelat en OESD+FD annorlunda tidigare).

Om du nu vill bluffa med en sannolikhet på 1/3, det vill säga en bluff i ett av tre fall så behöver du sju olika händer att bluffa med (7/(14+7)=1/3). Därför bör du bluffa med ett missat drag i 50% av fallen: (7/14 = 1/2).

Om du kan ta bort 98 i denna situation (kanske tack vare händelser före floppen) då har du ingen färg i 33% av fallen vilket betyder att du bör bluffa varje gång som du inte har en färg.

c) Om du är i spelare 2s position och förväntar dig att spelare 1 kommer att bluffa med en frekvens som grovt motsvarar NEQ så bör du alltid syna om du har en *blockerare* i din hand. En blockerare är ett kort som är en del av de händer som motståndaren representerar vilket gör det mindre sannolikt att motståndaren faktiskt har det som han representerar.

Om du till exempel har AsJd i exemplet från punkt b), då är sju av de 14 färghänderna omöjliga eftersom de innehåller As och därmed är *blockerat*. Om motståndaren använder metoden som beskrivs i b) så kommer han att beräkna en felaktig bluffrekvens på sitt missade drag eftersom han tror att han skulle ha en färg oftare än vad som är fallet i detta fall. Detta skulle göra att han bluffar i 50% av fallen istället för 33%.

Situationen är liknande om river är en 9:a stället för en 6:a och du håller QQ. om motståndaren satsar så skulle de representera KQ och hälften av alla KQ kombinationer kan elimineras.