从博弈论的角度分析诈唬

介绍

这篇文章的主要内容

• 数学背景
  
• 最佳策略
  
• 纳什均衡点
  

诈唬是扑克游戏中的重要组成部分，每一个优秀的玩家都应该牢记它。从不诈唬或者太频繁地诈唬，对一个扑克玩家来说都是巨大的错误。如何找到适当的平衡点？什么时候诈唬才是理想的选择？什么时候，以什么样的频率对某些玩家诈唬才能打出有收益的扑克呢？

这篇文章会涉及到诈唬的数学背景，并利用博弈论阐述一些可能的策略。

我应该诈唬吗？

你正处在河牌圈，牌面是 。

你很确定你的对手有一手成手牌。从他的行动你认为他可能持有AA，KK或AK。你持有。

你的牌是一手失败的听牌。底池是$100，你和对手还各有$100。你首先行动。如果你过牌，你就输了。(你的对手也过牌，直接赢得摊牌，或者他下注，而你没有足够的钱去诈唬他。)

让我们假设你的对手已经对你做出了正确的解读，在河牌出现之前，他认为你有一手听型牌。为了简便，我们同时假设他认为你的同花或内听顺子听型牌失败的可能性是80%，有20%的可能你持有87，河牌让你拿到了顺子。

如果你有87，拿到了顺子，你应该做价值下注。但不幸的是你并没有87.你有两个选择：你放弃这手牌，选择过牌，或者试着用诈唬拿下底池。让我们假设当你诈唬时，你会用所有的$100全押，也就是一个底池大小的下注。你应该多久诈唬一次？

我们该如何回答这个问题？

为此我们需要利用一些数学工具。别担心，这不会太复杂。只需一点代数知识和一些常识。差点忘了，还有博弈论，但是只用到属于常识的部分。

把问题转化为数学

我们需要一些符号。P代表底池大小，B代表下注大小。q代表你的对手认为你会赢得这手牌的概率。所以在我们的列子中，P=$100，B=$100，q=0.20.如果你不喜欢我们设定的20%，可以改变这个数字，计算仍会是一样的，只是结果会改变。同样的，你也可以改变底池大小和下注大小。

我们需要用一些方式表示我们诈唬的频率，和对手会跟注的频率。前者用x，后者用y表示。所以x表示我们诈唬的概率。例如，如果我们有30%的概率诈唬(x = 0.3)，那从长期来看我们诈唬的频率就是30%。同样的，y表示对手会跟注我们的下注的概率。

所以我们初始的问题就变成了求x的最佳值。

预期回报和纯策略

首先，让我们追溯到最初始的问题。我们打扑克的目标是什么？是赢钱。更准确地说，是赢尽可能多的钱。在做决定的时候，我们要问问自己，哪个行动会有最大的预期回报？

在我们的例子中，如果你有一手能获胜的牌，你会做价值下注。在你下注以后，你的对手可能跟注(y)，也可能弃牌(1 – y)。当他跟注时，你会赢下现有的底池，加上你的对手跟注的钱，也就是P + B。当他弃牌时，你只会赢得现有的底池，也就是P。(`现有底池` 通常指在你下注之前，初始的底池大小。) 因此，如果你有一手获胜牌，你的预期回报Ew (w代表`获胜winning`)会是

Ew = y(P + B) + (1 – y)P.

如果是一手会失利的牌(你的听牌失败了)，情况就会变得更复杂一些。你有可能诈唬(x)，也可能过牌放弃这手牌(1 – x)。

如果你选择诈唬，你的对手还是有可能跟注(y)，或弃牌(1 – y)。当他跟注时，你会损失这次下注，所以你的净回报是负的，也就是–B。 当他弃牌时，你会赢得现有底池，也就是P。所以当你诈唬时，你的预期回报由这两部分组成：

(1 – y)P – yB.

如果你选择过牌(放弃这手牌)，你不会赢到一分钱，所以这种情况你的预期回报是0.综合这些，在你持有一手会失利的牌时，你的预期回报 El (l代表`失败losing`)会是

El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB]

(综合以上几种情况的可能性).

第一部分是0，我们可以直接忽略，公式变为

El = x[(1 – y)P – yB].

如果你知道你的对手从来不跟注(y = 0)，你的预期回报公式会简化为：

El, y=0 = xP

为了最大化你的预期回报，你必须让x = 1，这意味着你应该一直诈唬。

而如果你的对手总是跟注(y = 1)，你的预期回报公式变为

El, y=1 = – xB

在这种情况下，为了最大化你的预期回报，你必须让x = 0，也就意味着你应该永远不要诈唬。(记住这条法则`永远不要诈唬一个跟注站`)

用博弈论的方法，我们只计算了你的最佳状况，知道你的对手在两种特殊情况时的策略。但是这是两种非常极端的情况，所以这被称为纯策略。在现实的扑克游戏中，对手们会更加难以预料。他会有一定的概率跟注你的下注(y不是0也不是1)。他会有一种混合策略。

最佳策略

你的对手可以选择一个跟注频率y，可以让你无论使用什么策略时(也就是无论x是多少)，你的预期回报都不会改变。我们用yopt表示这个跟注频率(在某种意义上yopt是y的最佳值).

yopt很容易计算。你可以在后面的附录里找到它的计算公式：

yopt = P/(P + B).

在我们的例子中，P = B = $100，所以yopt = 1/2。如果你的对手有恰好一半的时候会跟注，你就不能在策略上战胜他了。如果你的对手根据y = yopt的策略打牌，你的预期回报将会是

El,y=yopt = x[PB/(P + B) – PB/(P + B)] = 0.

(就是把yopt带入求El的一般公式中). 如果x没有出现在公式中，结果也不会发生变化，还是0，所以无论你选择什么策略(无论x是多少)，你都不能提高或降低你的预期回报。

有趣的是yopt只取决于底池大小和下注大小，不受q的影响。这表明yopt并不总是y的最佳值。例如当q=1时，也就是你的对手确定你有一手获胜牌，他就不会有一半的次数跟注，事实上他根本不会跟注。他会使用y=0的策略。我们会在以后的内容中看到，在什么意义上yopt才是最佳值。

同样的，你也可以选择一个x，而无论对手选择什么样的策略(无论y是多少)，他的预期回报都是一样的。我们用xopt表示这个x的特殊值。但是，求xopt的值会更复杂一些，它的公式是

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)].

(如果你对细节感兴趣，请参考下面附录的内容)如果你常常用会失败的牌诈唬，对手的预期回报为

Eop = (1 – q)P – qPB/(P + B).

这个公式里没有y，所以你的对手不能改变他的预期回报。

在我们的例子中P = B = $100，q = 0.2，所以xopt = 1/8。如果你有1/8的可能性诈唬，你的对手就不能在策略上战胜你了，即使他非常善于观察，了解你的策略(知道x = xopt)。如果你诈唬的可能性比1/8较多或较少，那些善于观察的对手就会发掘出你策略上的弱点。所以当你面对一个非常优秀的对手时，xopt可以确保你的策略是最佳的。

一个优秀的对手会多么频繁地跟注你的下注？yopt已经给出了答案。如果你根据x = xopt的策略打牌，他可以选择任何策略，但都不能提高或降低他们的预期回报。如果对手不使用y = yopt的策略打牌，作为一个善于观察的玩家，你就可以利用他的错误，选择最佳的回应方式。唯一不能利用他策略上的错误的情况是他的y = yopt，现在无论你使用怎样的策略，你的预期回报都不会改变。要记住，如果你不使用xopt的策略，你的对手也会调整策略来利用你的缺陷。

现在我们知道xopt和yopt在什么时候才是最佳的：在它们可以提供不可被对手利用的策略时。在博弈论中，这两个策略(xopt, yopt )被称为纳什均衡点。这在博弈论和经济学中都是非常重要的概念。(没错，就是电影‘美丽心灵’中的纳什，1994年诺贝尔经济学奖的获得者). 现在我们知道它在扑克中也扮演着重要的角色。

一些特殊情况中的预期回报

下面是两张展示特殊情况中的预期回报的图表。第一张图表显示当你的听型牌失败时的预期回报，用给定的例子计算：

你的对手的预期回报是你的预期回报的负数，加上已经在底池中的$100。(他会得到你在下注轮的净损失，加上现有的底池。当然如果你赢下底池的话，你的净损失是– $100，而他不会得到任何东西。来看看最简单的情况：当你的预期回报是0时，你的筹码量不会发生变化。因此你不会赢下底池，赢得底池的是你的对手。因为我们已经玩到了河牌圈，所以这不是一个零和博弈。)

当你知道什么时候诈唬，什么时候价值下注，而对手却不知道时，对他来说(也可能对你)，下面的这个图表会更有用。这张表显示的是，综合你的获胜牌和失败牌之后的你的预期回报。在类似的情况中，你有20%的时候会领先，80%的时候会落后。因此你的平均预期回报是 qEw + (1 – q)El. (这个结果的负值加上底池现有的$100是你的对手的预期回报Eop。)

结论

当你面对一个优秀的对手时，最好的选择就是利用纳什均衡点为你提供的策略：xopt。在这种情况你的对手会用yopt的策略打牌。如果他没有，他就犯了错误(也说明他不是一个优秀的玩家)，你可以利用他的错误找到最佳的打法。如果他经常跟注，就少诈唬他，如果他很少跟注，就多诈唬他。如果你能猜测他的跟注频率，就可以根据预期回报最大化的原则，计算自己应该诈唬的频率。

附录

如果y = yopt，你的预期回报不会改变，无论x是多少。让我们先让x = 0，这时你什么牌也赢不了，公式是：

El, x=0 = 0.

现在让x = 1. El的公式变为

El, x=1 = (1 – yopt)P – yoptB.

因为x=0和x=1时的预期回报是一样的，所以

(1 – yopt)P – yoptB = 0,

所以

(1 – yopt)P = yoptB,
P – yoptP = yoptB,
P = yopt(P + B),

最后

yopt = P/(P + B).

现在让我们以对手的视角看看这个问题。首先我们要列出他的预期回报Eop。因为他不知道你是领先还是落后，所以他的预期回报还受q的影响，因此公式有一点复杂：

Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P].

第一项表示你有能取胜的牌，你下注，他跟注，并损失了这个跟注。第二项表示你持有能获胜的一手牌，但是他弃牌，没有赢到或损失任何东西。剩下的部分表示他领先时的情况。方括号中的第一部分表示你诈唬，他跟注，他赢得底池和你的下注的情况。中间部分表示当你诈唬，他弃牌时的情况，没有盈利和损失，最后一部分表示当你弃牌时，他赢得底池的情况(可能是他在你之后过牌，赢得摊牌，也可能是他下注，迫使你弃牌).

省略其中为0的部分，我们得到

Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB.

如果你的对手知道你从不诈唬(x = 0)，那他的最佳打法是什么？他永远不会跟注，在上面的公式中如果用0代替x，我们得到

Eop x=0 = (1 – q)P– qyB.

为了使结果最大化，我们必须让y = 0 (永远不跟注)。

另一方面，如果你的对手知道你总是诈唬(x = 1)，那他最好的回应就不那么明显了。如果x = 1，我们得到

Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB].

如果

(1 – q)(P + B) – qB > 0,

y = 1 (总是跟注)会最大化对手的预期回报。

如果

(1 – q)(P + B) – qB < 0,

他就应该使用 y = 0 (永远不跟注)的策略。

(1 – q)(P + B) – qB < 0

意味着

(1 – q)(P + B) < qB,
P + B – qP – qB < qB,
P + B < q(P + 2B),

最后

q > (P + B)/(P + 2B).

在我们的例子中，P = B = $100，如果q > 2/3，你的对手应该永不跟注(即使他知道你总是下注;因此在这种情况中你总是应该诈唬)， 当q < 2/3时，他应该总是跟注(如果他知道你总是诈唬)。记住，这个q的值也仅取决于底池大小和下注大小。

如果x = xopt，你的对手的预期回报不会改变，无论y是多少。和之前一样，先让y = 0。Eop的公式为

Eop y=0 = (1 – q)(1 – xopt)P.

现在让y = 1。我们得到

Eop y=1 = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB.

因为y=0和y=1时的Eop是一样，我们得到

(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB,

因此

qB = (1 – q) xopt (P + B)

(两边都有(1 – q)(1 – xopt)P，因此可以消掉)，所以最终我们得到

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)].

当我们讨论可能性时，我们通常用 0.2代替20%，用0.5代替50%等等。一件不可能的事件发生的可能性是0 (0%)，一件确定的事发生的可能性是1 (100%)。剩下的其他事件发生的可能性在0和1之间。