标准打法: 后门听牌的理论基础

前言

在这篇文章中

• 后门听牌真正有多少张补牌
  
• 为什么免费牌加注对我们是没有任何帮助的
• 为什么后门听牌对于无限下注游戏是没有吸引力的

后门听牌（Backdoordraw），有时也被称为Runner-Runner-Draws ，是必须在转牌圈和河牌圈都击中补牌才能成为成手牌的听型牌。 因此从翻牌圈到河牌圈你需要两张好牌才能使你的后门听牌成牌。

例如:

a) 在9 2 6 这样的翻牌圈你有A K 。
这里你有一个后门同花听牌 (BDFD).

b) 在J 4 6这样的翻牌圈你有Q T  。
这里你有一个后门顺子听牌 (BDSD).

后门听牌的强度相对来说是很小的，但是在一个模棱两可的游戏局面下，它是具有决定性的意义的。在翻牌圈有时很难在跟注和弃牌之间做出决定，于是一个额外的后门听牌就具有决定性的意义。

在这篇文章中，你将会学习到如何正确评估后门听牌的强度，也就是说，一个后门听牌实际上有多少张补牌。补牌数如表1所示，通过这个表格你已经对后门听牌有了一定的了解。

表 1: 后门听牌的补牌数 听型牌 补牌数 后门同花听牌 1.5 - 2 无间隔的后门顺子听牌 1 - 1.5 有一张牌间隔的后门顺子听牌  0.5 - 1 有两张牌间隔的后门顺子听牌  0 - 0.5

一篇专门讲解后门听牌的文章对你是有很有帮助的，因为后门听牌与一般的听型牌有质的不同。与一般的听型牌相比，为了改善你的后门听牌，你必须看转牌和河牌。这就意味着，你的底池成败比的计算必须包括翻牌圈和转牌圈的支出。确切的说，你要做的就是考虑转牌圈额外的支出。

为了解决这个问题必须对成败比和补牌数有一个更深的了解。下面我们就会讲解这些知识，并且一步一步的计算出表1中的数值。

从多大的底池起你跟注是有利可图的？

如果你有一个听型牌，但它并没有强到可以进行价值加注（Valueraise），并且对于对手的半诈唬，你也没有足够的弃牌盈率（Foldequity），那么就会有一个决定性的的问题：从多大的底池起你跟注是有利可图的？

用来衡量是否有利可图的标准是期望值 (EV). 数学可以证明，当EV > 0时，这个行为就是有利可图的。对于何时用后门听牌跟注是有利可图的这个具体问题，就意味着，你必须计算（跟注的）EV。因为在游戏时计算EV是一种奢望，因此成败比和补牌数（Odds & Outs ）被创造出来。通过对牌的强度的合理的评估找到与其相对应的补牌数，并且计算你的牌改善的可能性，即成败比，那么在游戏中很短的时间内你就可以估算出，跟注是否是+EV。

例如： 在翻牌圈你有一个带4张净补牌的内听顺子牌并且想知道，是否可以跟注到转牌圈。就像在 期望收益（EV）如何帮你决策？ 所描述的一样, 期望值的计算如下：
EV = 盈利* 获胜的可能性 - 亏损 * 失败的可能性

对于你的内听顺子牌: 在总共47张未知牌中，其中4张可以使你获得胜利，而其余43张对你的牌并没有改善。也就是说，你获胜的可能性是4/47 ，相应的失败的可能性是43/47。
盈利 = 底池
亏损 = 下注额
获胜的可能性 = 4 / 47
失败的可能性 = 43 / 47

-> EV(跟注, 4 张补牌) = 4 / 47 * 底池 - 43 / 47 * 下注额

当EV值是正的， 也就是 EV(跟注, 4 张补牌) > 0时，你的跟注是有利可图的。

当 底池 : 下注额 > 10.75 : 1时，你的内听顺子牌的跟注是有利可图的。也就是从10.75 : 1的底池成败比起你的跟注就是有利可图的。

直到这里，所有的内容都是很简单的。我们可以将上述的公式一般化到任意数目的补牌数，即n张补牌。

原始的公式: EV(跟注, 4 张补牌) = 4 / 47 * 底池 - 43 / 47 * 下注额

通用公式: EV(跟注, n 张补牌) = n / 47 * 底池 - (47 - n) / 47 * 下注额

我们再一次一步一步的推算何时EV = 0，也就是说，找到收支平衡点。

这些数值是每一个成败比和补牌数表格的基础。这里我们同样可以看到底池大小（底池成败比）和补牌数之间的基本联系。当你知道你的补牌数，你就可以立即计算出从多大的底池起你的跟注就是有利可图的。

在我们的例子中，我们是以你必须跟注一个下注额为基础的。也就是说: 下注额 = 1。在底池中至少有多少个下注额，你才能跟注一个下注额呢？ 将你支出的下注额代入到上面的公式中，计算得出如下的表格：

因此得出第一个重要的公式:

I 底池 = (47-补牌数) / 补牌数

底池指的是对手下注之后的底池大小。你知道到从多大的底池起跟注是有利可图的，与此同时，通过公式I的转换，可以得出你拥有多少张补牌。

如下是第二个重要的公式，它对我们进一步的研究有很大的帮助:

II 补牌数 = 47 / (底池+1)

当你知道以下注额形式表现出来的底池的大小时，根据公式II你可以算出，你至少必须有多少张补牌才能跟注一个下注额。

在实际游戏时，你会知道你的补牌数并期望知道从多大的底池起你可以跟注。因此在实际游戏时，公式I是很重要的，并且相应的数值也会在每一个成败比和补牌数的表格中被提及。

但是我们应该首先推导出一个后门听牌有多少张补牌，因此公式II对于我们的理论研究也是非常重要的。 它可以告诉我们，当你知道从多大的底池起跟注是有利可图时，如何转换这个值到相应的补牌数。

后门听牌有多少张补牌？

首先我们计算后门同花听牌的期望值，并通过它一步一步的前进直到问题的核心。为了计算后门听牌的期望值，你必须知道获胜的可能性。

一个好的后门同花听牌是在河牌圈会成为同花牌的。为此必须达到两个条件:

• 1. 你必须在转牌圈击中补牌，从而凑成同花听型牌。
• 2. 你必须在河牌圈击中补牌，从而凑成同花。

如下是这两个事件发生的可能性。

P₁ = 在转牌圈击中补牌，从而凑成同花听型牌的可能性
P₂ = 在河牌圈击中补牌，从而凑成顺子的可能性

P₁ = 10/47
P₂ = 9/46

在翻牌圈总共47张未知牌中有10张是你希望看到的，其可以在转牌圈使你凑成同花听型牌。在转牌圈总共46张未知牌中有9张可以使你凑成同花。

但我们需要的是这两个事件连续发生的可能性。

P_ges = 从翻牌圈到转牌圈击中补牌凑成同花听型牌，并在河牌圈同花成牌的可能性。

众多周知这个数值的计算是通过两个独立事件的可能性相乘得到的。

当你在翻牌圈有一个后门同花听牌，而在河牌圈成功的凑成同花的可能性是4.16%。 

与此相应的是，亏损的可能性是 1 - 0.0416 = 0.9584 或 95.84%。

现在我们将要计算后门同花听牌的期望值。

盈利 = 底池
亏损 = 下注额
获胜的可能性= 0.0416
失败的可能性 = 0.9584

如下是我们的第三个重要的公式，它是用于计算后门同花听牌的期望值:

III EV = 底池 * 0.0416 - 下注额 * 0.9584

仅仅只靠这个公式当然是不够的。你最后想要知道的是何时跟注是有利可图的，也就是何时EV>0 。

当你在翻牌圈拿到后门同花听牌，而底池大于23个小注时，跟注一个小注就是有利可图的。

你肯定还记得上文中的公式II。它告诉我们在一个 X 下注额大小的底池下，你最少有多少张补牌，跟注一个下注额就是有利可图的。

II 补牌数 = 47 / (底池 + 1)

通过这个公式你可以将底池大小转换到补牌数。你现在知道当底池最少大约有23.02222个小注时，你跟注一个小注就是有利可图的的。通过代入数值和计算得出后门同花听牌的补牌数。

后门同花听牌大约有2张补牌。 

这个简单的估算是《Weighting the Odds 》这本书中得出的， 但是它忽略了你在翻牌圈并没有全押 （All-In ）。你经常会在转牌圈被迫面对再下注，而我们之前的计算完全没有考虑到这点。因此仅仅只有这个简单的估算是不够的。在下面的章节我们会研究转牌圈可能存在的下注额如何影响总的下注额以及相应的补牌数的变化。

转牌圈可能存在的下注额有什么影响？

在之前的章节中我们一方面确定了在特定情况下一个后门顺子听牌大约有2张补牌，另一方面这只是在转牌圈没有钱再投入到底池中的情况。

当你有一个普通的听型牌时，并在转牌圈击中了补牌，那么你将赢得底池。以此相反当你有一个后门听牌时，在转牌圈你的牌只是改善为一个普通的听型牌。为了赢得游戏，你必须继续游戏直到河牌圈。因为只有很少的情况下可以免费看到河牌，那么之前章节中简化的EV计算就是不准确的了。

为了更好的理解这部分内容，我们先来看一个假设的无限下注游戏的情况。

假设: 你游戏满筹码的无限下注游戏并且除了一个后门同花听牌外什么都没有。

论题: 在这个特定的假设下，无论你的底池成败比有多好，在翻牌圈跟注都是无利可图的。即使在翻牌圈你有1000：1的底池成败比，跟注也是 -EV 的。

理由: 在无限下注游戏中你的对手可以自主决定下注多少。因此他可以在翻牌圈给你一个极好的底池成败比，但并不意味着他在转牌圈还可以给你同样的底池成败比。你的后门听牌必须跟注两次下注，而你的对手通过在转牌圈一个足够大的下注额，就可以提高总的下注额，从而使你的底池成败比变得很糟糕。你不能只是孤立的研究翻牌圈，因为后门听牌是要依靠转牌和河牌的。

当筹码足够多并且你的对手总是在转牌圈全押的话，你的后门同花听牌是毫无价值的。在翻牌圈你根据看起来很好的底池成败比而跟注，即使在转牌圈幸运的凑成了同花听型牌，但你还是必须弃牌，因为你没有足够的底池成败比来继续游戏你的同花听型牌。

这个例子第一眼看上去好像是虚构的，但是同时你也可以判断出在无限下注游戏中拿后门听牌跟注是无利可图的。

对转牌圈的游戏进行期望值（EV）计算是很必要的。假设在翻牌圈你有一个后门同花听牌并且你的对手总是在转牌圈下注。为了能够计算期望值，你需要用到期望收益（EV）如何帮你决策？这个策略文章中的一般化公式。

EV = 收支₁ * 可能性₁ + 收支₂ * 可能性₂ + ... + 收支_n * 可能性_n

在具体的例子中我们有三种可能的游戏方式，因此要处理三种收支情况及其相应的可能性。

• 在转牌圈你未击中。 

  收支₁ = - 翻牌圈下注额                                                                                         可能性₁ = 37/47

• 你在转牌圈击中同花听型牌，但在河牌圈未击中。                                                  收支₂ = - (翻牌圈下注额 + 转牌圈下注额)
  可能性₂ = 10/47 * 37/46

• 你在转牌圈击中同花听型牌，并在河牌圈凑成同花。                                              收支₃ = 底池 + 转牌圈下注额                                                                                 可能性₃ = 10/47 * 9/46
  收支是由底池和对手在转牌圈的下注组成。

将数值代入到方程中来计算EV :

IV EV = - 翻牌圈下注额 * 37/47 - (翻牌圈下注额 + 转牌圈下注额) * 10/47 * 37/46 + (底池 + 转牌圈下注额) * 10/47 * 9/46

为了使同花听型牌能够有利可图的从转牌圈游戏到河牌圈，你需要在转牌圈有4.1：1的底池成败比。这就意味着，在转牌圈你的对手最大只能下注1/3底池大小。假设对手在转牌圈下注非常少，只有1/4底池大小。我们将转牌圈下注额= 1/4 * (底池 + 翻牌圈下注额)代入到上面的公式中。底池是指对手在翻牌圈下注之后的底池大小。

代入数值并进行一些转换:

EV = 10/1081 * 底池 - 1071/1081 * 翻牌圈下注额

当 EV > 0时，跟注就是有利可图的。两边都乘以1081后得到:

10 * 底池- 1071 * 翻牌圈下注额 > 0

最终:

Pot > 107.1 * 翻牌圈下注额

即使对手在转牌圈只下1/4底池大小，在翻牌圈你也需要至少107:1的底池成败比。因此你可以判断出，在无限下注游戏中，后门听牌是没有价值的，除非在翻牌圈是一个全押的状况或者在转牌圈对手总是给你免费牌 。因此我们进一步的研究只局限在有限下注游戏。

在有限下注游戏中，翻牌圈的下注额是一个小注，转牌圈的下注额是两个小注。当我们将数值代入公式 IV 时，就得出如下的计算。

当 EV > 0时，跟注就是有利可图的。

当底池成败比大约是29.3：1甚至更好时，即使在转牌圈再付出一个大注，你拿后门同花听牌在翻牌圈跟注也是有利可图的。首先我们必须有超过23个小注的底池才可继续游戏到转牌圈。对手在转牌圈的下注使我们只有在底池大于6个小注的情况下跟注才是有利可图的。现在我们根据公式II将29.2444 个小注的底池大小转换成相应的补牌数。

当对手每次都在转牌圈下注时，后门同花听牌有1.55张补牌。

转牌圈的游戏大约减少了0.4张补牌。首先这里看似是矛盾的，转牌圈的游戏怎么会改变了补牌数呢？在转牌圈补牌数也是满足“只有底池成败比足够大时跟注才是EV>0 ”这个条件的。其实是在转牌圈额外的支出使你的底池成败比变得糟糕，这样你就可以明白这是怎么回事了。

当人们将EV方程转换一下时，就会发生很有趣的事情。我们从上面的公式中得到:

EV = 45/1081 * 底池 - 28/23 小注

45/1081 的获胜可能性就是0.0416 或 4.16%。因此失败的可能性就是0.9584 或 95.84%。

为了可以将公式再次转换到: EV = 盈利* 获胜的可能性 - 亏损* 失败的可能性这样的形式, 我们将上述方程中的28/23 小注转换成1.2703 * 0.9584。

得到:

EV = 0.0416 * 底池 - 0.9584 * 1.2703 小注

这个公式并没有新的结果，而只是转换到我们需要的形式。在这个公式中我们可以更简单的看出在转牌圈额外的支出。我们将要对比两个方程，一个是对手在转牌圈总是过牌的情况，另外一个则是总是下注的情况。

• 对手在转牌圈过牌:
  EV = 0.0416 * 底池 - 0.9584 * 1 小注
• 对手在转牌圈下注:
  EV = 0.0416 * 底池 - 0.9584 * 1.2703 小注

转牌圈额外的支出合计大约是0.27个小注。转牌圈的支出比一个大注少很多可归于如下的两个原因：

• 你并不是每次都在转牌圈都下两个小注，而只是当你的牌凑成同花听型牌时才这样做。
• 当你在转牌圈支出两个小注时，根据盈率，其中的20%是属于你的。

因此转牌圈平均支出大约0.27个小注。由此我们可以得出如下这个重要的发现。

在翻牌圈的免费牌加注是基于如下原因，在翻牌圈多下一个小注* ，可以节省下转牌圈的一个大注。但是后门听牌在转牌圈的支出总共才0.27个小注，而且当你的后门听牌在转牌圈没有击中任何牌时，后门听牌就失去了价值，你也不再需要一张免费牌了。因此当你平均只需要支出0.27个小注时，在翻牌圈付出一个小注来获得一张免费牌是不值得的。而且你还要面对对手在翻牌圈的第三次下注或转牌圈可能的反主动下注的危险。免费牌的游戏并不是总能成功而且即使成功，从中也得不到任何利益。

但是这并不意味着后门听牌就不会在翻牌圈加注。当你有弃牌盈率（Foldequity)或者有可以进行价值加注的强初始听型牌时（译者注：在翻牌圈你除了后门听牌外，拥有的普通听型牌称为初始听型牌），你就应该在翻牌圈加注。它们可以对翻牌圈加注给出很好的理由。但是当理由仅仅是因为免费牌时，你应该放弃加注。

* 因为人们拥有底池盈率，所以并不是支出完整的一个小注。后门同花听牌在翻牌圈两人底池下有平均46%的盈率，三人底池有29%，四人底池有21%等等。 因此支出总共是从0.92个小注(两人）到 0.84个小注(四人）。但是获得免费牌的支出仍然高于转牌圈平均支出0.27个小注。

小结

你已经学到了什么？

在扑克游戏中是根据期望值（EV）来做出每一个决定的。现在的问题是，没有弃牌盈率，没有进行价值加注潜力的听型牌跟注是否是+EV。当你知道补牌数时，你可以立即计算出从多大的底池起跟注是有利可图的。

底池 = (47-补牌数) / 补牌数

当你并不知道后门听牌补牌数的时侯，在EV计算的帮助下你就能确定出所需要的底池大小。然后将上式中的底池转换到相应的补牌数。

补牌数 = 47 / (底池+1)

在无限下注游戏中，在转牌圈你的对手会下注很大，因此即使在翻牌圈有很好的底池成败比，跟注还是无利可图的。在有限下注游戏中对手在转牌圈的下注也会导致你额外的支出。为了使你的后门听牌成为最好的牌，你必须看到转牌和河牌，因此转牌圈的下注会使你的总成败比变的糟糕。

当在翻牌圈一对一游戏，且你的对手下注时，你的后门顺子听牌有1.5到2张补牌。如果换算到底池大小的话，那么在对手下注之后，你需要23.02+ 到 29.3+ 个小注的底池才可以跟注。如果对手在转牌圈没有下注的话，那么23.02个小注就足够了。与此相反，如果对手每次都在转牌圈下注的话，那么你至少需要29.3个小注。在实际游戏时，事实也是这样的。

直到这里我们讨论的情况都没有特别的实际意义。一方面：通常我们的对手都不止一个。这有什么不同呢? 至少存在着下面这种危险的情况，在转牌圈被加注，你必须支出最高到4个大注的下注额才能继续游戏下去。但是当更多的对手游戏到河牌圈时，作为补偿，你可以赢得一个更大的底池。

另一方面: 在只有后门听牌的情况下，何时才能够得到24：1的底池成败比来跟注呢? 通常情况下是你有一个有3或4张补牌的普通（初始）听型牌，另外还有一个后门听牌。那么这个后门听牌有几张补牌呢？补牌数可以简单的相加吗？

这个问题会在下一章得到解释。我们也将会对后门顺子听牌进行深入的研究。后门顺子听牌究竟有什么不同，它有多少张补牌？这些问题在下一章都将会找到答案。

转牌圈多次下注

直到现在我们都是基于你拿着后门同花听牌在转牌圈得到一张免费牌或是只支出一个大注的基础上。但是在多人底池中，你在转牌圈一定会被迫面对两次或是多次下注。期望值（EV）的计算公式也要相应的作一些改变。

我们再次从期望值（EV）的的一般化公式开始:

EV = 收支₁ * 可能性₁ + 收支₂ * 可能性₂ + ... + 收支_n * 可能性_n

设在转牌圈对手的数量为m，大注的数量为z。

各种情况的可能性如下:

• 你在转牌圈未击中。 

  收支₁ = - 1 小注                                                                                                 可能性₁ = 37/47

• 你在转牌圈凑成了同花听型牌，但是在河牌圈未击中。                                            收支₂ = - (1 小注 + 2*z 小注)
  可能性₂ = 10/47 * 37/46 
  在翻牌圈需要支出1个小注，然后在转牌圈还要支出z个大注。当出现第三次下注时 (z=3), 你在转牌圈必须支出2*3 = 6 个小注。

• 你在转牌圈凑成同花听型牌，然后在河牌圈你的同花成牌。                                    收支₃ = 底池 + 2*m*z 小注
  可能性₃ = 10/47 * 9/46 
  除了底池你还会赢得对手在转牌圈的下注额。当你在转牌圈有两个对手(m=2) 并且第三次下注 (z=3), 那么你的盈利=底池+ 12 小注。

因此对于转牌圈多次下注，期望值（EV）的计算公式如下:

EV = -37/47 * 1 小注 - 10/47 * 37/46 * (1 + 2*z) 小注+ 10/47 * 9/46 * (底池 + 2*m*z 小注)

现在你可以再次像前面的章节一样计算EV>0时需要多大的底池。结果如表2所示：

表 2: 对手数量和转牌圈下注次数所对应的后门同花听牌所需的底池大小   转牌圈下注次数 对手数量 0 1 2 3 4 1 23.0 29.3       2 23.0 27.3 31.5 35.7 39.9 3 23.0 25.3 27.5 29.7 31.9 4 23.0 23.3 23.5 23.7 23.9

在转换公式 补牌数 = 47 / (底池+1)的帮助下 ，从底池大小转换到相应的补牌数。

表3: 转换到补牌数   转牌圈下注次数 对手数量 0 1 2 3 4 1 1.96 1.55       2 1.96 1.66 1.45 1.28 1.15 3 1.96 1.78 1.65 1.53 1.43 4 1.96 1.93 1.92 1.90 1.89

表2显示，两个对手在转牌圈互相加注直到封顶，对于这样的极端情况，你需要40：1的底池成败比。但是当另外一个对手也参与进来的时候，情况并没有变得更糟糕，因为你至少有20%的盈率。在有4个对手时，你甚至拥有平均盈率并且由于有更高的潜在成败比而获得盈利。在有更多的的对手时，后门同花听牌甚至近似有两张补牌。对抗两个疯狂玩家（Maniacs），后门同花听牌可能有1.3张补牌，而对抗更多的跟注站玩家（Calling Stations）补牌数则接近2张（表3）。

通常也许会发生对抗两个玩家时只付出1个大注的情况。可以肯定的是，在转牌圈人们有时会支出2个大注，有时也会得到免费牌。为了能够得到具体的数值，我们做了一个切合实际的估算，那就是后门同花听牌需要有27.3个小注的底池大小（也就是1.65张补牌）的情况下才可以跟注。

如下的内容你应该作为规则而牢记于心：在转牌圈下注次数越多，对手数量越少，那么后门听牌的价值就越小。换句话说就是：你在转牌圈的游戏只有反向潜在成败比(RIO)，而反向潜在成败比越高，你的补牌数就越少。

当人们仅仅只有后门听牌时，有+EV从而可以跟注的情况是很少的。因此下一章我们将会考虑同时拥有弱听型牌和后门听牌的情况。
                                  
同时拥有弱听型牌和后门听牌时如何游戏 

经常会出现如下的情况，人们拿到一个弱听型牌，不知道应该是跟注还是弃牌。此时一个后门听牌就会起到决定性的作用。但是在之前的章节中我们研究的是只有后门听牌的情况。那么现在就要验证是否可以将弱听型牌的补牌数和后门听牌的补牌数简单的进行相加。

例子: 除了后门同花听牌你还有两个大单张，设两个大单张有n张净补牌。在转牌圈当你什么都没击中时，你必须弃牌；击中了n张补牌时，你就是赢家；凑成同花听型牌时，你就有9+n 张补牌。我们再次给出期望值的一般化公式:

EV = 收支₁ * 可能性₁ + 收支₂ * 可能性₂ + ... + 收支_n * 可能性_n

各种情况的可能性如下:

• 你在转牌圈未击中。

  收支₁ = - 1 小注                                                                                                    可能性₁ = (37 - n)/47
  当你在转牌圈什么都没击中时，你的牌太弱以至于不能继续游戏到河牌圈。因此支出只有1个小注。

• 你在转牌圈凑成了同花听型牌，但是在河牌圈未击中。

  收支₂ = - 3 小注
  可能性₂ = 10/47 * (37 - n)/46
  在转牌圈有9+n 张补牌，另外的37-n 张牌对你没有任何帮助。你有(37 - n)/46 的可能性未击中，并支出3个小盲注。

• 你在转牌圈凑成同花听型牌，然后在河牌圈你的同花成牌。

  收支₃ = 底池+ 2 小注
  可能性₃ = 10/47 * (9 + n)/46
  除了9张同花听型牌的补牌外，你还有n张大单张的的补牌。当你获胜时，底池和对手在转牌圈的下注额都是你的盈利。                                                                            

• 你在转牌圈击中了n张补牌。                                                                                收支₄ = Pot
  可能性₄ = n/47

现在整理所有的变量并计算期望值（EV）:

EV = - (37-n)/47 * 1 小注 - 10/47 * (37-n)/46 * 3 小注 + 10/47 * (9+n)/46 * (底池 + 2 小注) + n/47 * 底池

你再次将盈利的条件 EV(跟注) > 0 代入，并将表达式转换成我们需要的形式，得到:

底池 > (1316 - 48n) / (45 + 28n)

将 n = 0 代入公式，你可以很快的验证这个公式的正确性。对此我们已经有了熟悉的结果，底池 > 29.3。我们利用公式II 将底池大小转换到补牌数。

这里的补牌数就是总补牌数。我们只对后门听牌的补牌数感兴趣，因此减去n张弱听型牌的补牌后得到后门听牌的补牌数：

补牌数= (2115 +1316n) / (1361 - 20n) - n

由上式我们得到下面这个图，其显示出后门同花听牌的补牌数是随着弱听型牌的补牌数的变化而变化的。

n张补牌对应的后门同花听牌的补牌数 y轴: 后门同花听牌的补牌数 x轴: 初始听型牌的n张补牌

你的初始听型牌有越多的补牌，你的后门听牌就越有价值。原因在于，当你的初始听型牌在转牌圈未击中时，一般情况下由于糟糕的底池成败比你必须弃牌，也就是说，你放弃了底池盈率，但当后门同花听牌凑成同花听型牌时，你在转牌圈有足够的补牌数，那么此时跟注就是有利可图的，并且你也不会失去初始听型牌的盈率。这个概念仅对弱的初始听型牌起作用，因为当你拿着例如像有8张补牌的两端顺子听牌时，无论在转牌圈你的后门同花听牌是否凑成同花听型牌，你都会跟注的。因此上图只对补牌数小于等于6张的情况起作用。

后门顺子听牌

后门顺子听牌 (BDSD) 的强度变化很大。当你的后门同花听牌凑成同花时，你总是会取得胜利，因为更强的同花出现的可能性不大并且葫芦也不是经常出现（除非公共牌是很不利的，如存在两对或是三条）。但是后门顺子听牌存在着这样的问题，它没有同花牌强。因此后门顺子听牌只在彩虹公共牌下才是真正强的。在两张同花的公共牌下你必须削减你的补牌数，在三张同花的公共牌下，你的后门顺子听牌是没有价值的。

根据间隔数，将后门顺子听牌分为3种： 无间隔, 有一张牌间隔和有两张牌间隔。

表 4: 后门顺子听牌的种类 你的起手牌: J9 翻牌圈  在转牌圈可能的改善 无间隔  T32 8 张补牌凑成两端顺子听牌 (Q, 8) 8 张补牌凑成内听顺子牌 (K, 7) 有一张牌间隔 832 4 张补牌凑成两端顺子听牌 (T) 8 张补牌凑成内听顺子牌 (Q, 7) 有两张牌间隔 732 8 张补牌凑成内听顺子牌(T, 8)

但是要注意的是: KQ 在J32 的翻牌圈只有一张牌的间隔，因为一张T可以凑成两端顺子听牌 。 而A和J只能凑成内听顺子牌。另一个例子是AK 在Q64 的翻牌圈。这里后门顺子听牌是有两张牌间隔的，因为它只有8张补牌凑成内听顺子牌。

第二点（不是很重要）是你的起手牌的大小，它显示出后门顺子听牌的强度。在922的翻牌圈，它区分开QT和86这两种不同的情况。除了可能的对子补牌外，QT有凑成两个坚果顺子牌(QJT98, KQJT9)的可能， 然而86只是偶尔有凑成坚果顺子的可能 (98765 = 坚果顺子, T9876 = 第二大的坚果顺子)。

注意: 你的后门顺子听牌的间隔数越大，你拥有顺子更大的那一端就越重要。

但是我们也要计算补牌数。因此必须先计算期望值。

设k是间隔数。各种情况的可能性如下:

• 你的牌凑成两端顺子听牌                                                                                    收支₁ = 8/46 * (底池+ 2 小注) - 38/46 * 3 小注                                                      两端顺子听牌有8/46 的可能性凑成顺子，并可以赢得底池以及对手在转牌圈的下注额，但也有38/46 的可能性白白付出3 个小注。
  可能性₁ = (8 - 4*k)/47
  无间隔的后门顺子听牌有8张补牌凑成两端顺子听牌，有一张牌间隔的只有4张补牌，有两张牌间隔的根本不可能凑成两端顺子听牌。

• 你的牌凑成内听顺子牌。 

  收支₂ = 4/46 * (底池 + 2 小注) - 42/46 * 3 小注                                                    内听顺子牌有4/46 的可能性凑成顺子并可以赢得底池以及对手在转牌圈的下注额，但也有 42/46的可能性白白付出3 个小注。
  可能性₂ = 8/47

• 你未击中                                                                                                           收支₃ = - 1 小注
  可能性₃ = (31 + 4 * k)/47
  当你既没有两端顺子听牌也没有内听顺子牌时，其可能性就是用一减去以上所有情况的可能性 : 可能性 = 1 - (8 - 4k)/47 - 8/47 = (31 + 4 * k)/47

我们再次将这些数值也就是方程代入期望值的一般化公式中。

EV = [8/46 * (底池 + 2 小注) - 38/46 * 3 小注] * (8 - 4 * k)/47 + [4/46 * (底池 + 2 小注) - 42/46 * 3 小注] * 8/47 - 1 小注 * (31 + 4 * k)/4

盈利的条件 EV(跟注) > 0 可以导出如下的式子:

底池 > [(1673 - 136 * k) / (48 - 16 * k)] - 2

根据公式 II Outs = 47/(Pot + 1)，我们将底池大小转换到补牌数，得到表5。

表 5: 在有利的条件下，后门顺子听牌必需的底池成败比及其相应的补牌数 底池成败比 补牌数 无间隔 33:1 1.39 有一张牌间隔 46:1 1.00 有两张牌间隔 86:1 0.54

有利的条件: 你在彩虹公共牌下听坚果牌，在转牌圈并没有过高的反向潜在成败比并且底池足够大，即使当你的牌只是改善为内听顺子牌时也可以在转牌圈跟注并续游戏下去。

第三点也是最重要的一点，为什么后门顺子听牌有时会很弱呢。当你的后门同花听牌在转牌圈改善为同花听型牌时，在有限下注游戏中你总是可以得到很好的底池成败比以继续游戏到河牌圈。当你的后门顺子听牌改善为两端顺子听牌时也是同样的情况。但是当你只是击中内听顺子牌时，情况就完全不同了。
 
你在转牌圈不可能得到得到46:1 的底池成败比，因此当你只有有一张牌间隔的后门顺子听牌时，你就不能再继续游戏下去了。在实际情况中，通常是你的初始听型牌（例如两个大单张）附带一个后门顺子听牌 。在下面这个例子中，我们会具体讲解这种情况。

0.5/1 Fixed-Limit Hold'em (5 handed)

Preflop: Hero is MP3 with J, T
Hero raises, CO folds, BU 3-bets, SB folds, BB calls, Hero calls.

你被紧凶风格（TAG）的BU玩家第三次下注，并且BB玩家跟注。当你被紧凶的玩家（TAG）再加注时，他的起手牌范围大约是11%。BB玩家通常会有一个更广的起手牌范围，但是他也不会太松的。实际上大约是25%，如果他拿着QQ+这样的牌的话，他会封顶的。

切合实际的起手牌范围如下:

BU: 77+, A9s+, KTs+, QJs, ATo+, KQo
BB: 22-JJ, A2s+, K7s+, Q8s+, J8s+, T8s+, 97s+, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, KTo+, QTo+, JTo

Flop: (9.50 SB) 8, 3, 5 (3 players)
SB checks, Hero checks, BU bets, BB calls, Hero calls?

为了粗略的估算出补牌数，在这里进行盈率分析是值得的。当转牌圈来J或是T时，你大约有49%的盈率。因此你的大单张补牌最少打一半的折扣。另外你在对抗翻牌前的激进玩家时，是处于不利位置的并且根据起手牌的强度，你的大单张是有反向潜在成败比的。因此你的大单张有2.5张补牌。

对于11.5：1的底池成败比，你的后门顺子听牌只要有一张补牌就可以跟注。总共3.5张补牌，如果完全按照成败比和补牌数的公式，是需要12.4：1的成败比的，但是你还是有机会在转牌圈获得一张免费牌的，这可以弥补两者之间的差值。

此外通过上文中的计算已经得出有一张牌间隔的后门顺子听牌是有1张补牌的。因此在这里是可以跟注的。可是这个计算只适合于有利的条件下。计算是基于当你在转牌圈凑成顺子听型牌时，在任何情况下都会继续游戏到河牌圈的基础上的。但是在实际游戏时，在不同的转牌圈的情况下，我们又会怎么做呢？

• a) Turn: (6.25 BB) Q (3 players)
  BB checks, Hero checks, BU bets, BB calls, Hero calls.

  你在转牌圈凑成内听顺子牌，并得到8.25：1的底池成败比。在这样的公共牌下你也有2个大注的潜在成败比并且你的大单张也许还有一些价值。转牌圈的跟注是正确的。

• b) Turn: (6.25 BB) Q (3 players)
  BB bets, Hero folds, ...                                                                                        你的牌在转牌圈改善为内听顺子牌。因为BB玩家在出现Q之后反主动下注，因此你之前的大单张补牌已经完全没有价值了。而且也存在着被激进的BU玩家加注的危险。AA, KK, AQ, KQ都在他的起手牌范围内。你只有7.25：1的底池成败比，因此只能弃牌。

• c) Turn: (6.25 BB) 7 (3 players)
  BB checks, Hero checks, BU bets, BB raises, Hero folds, ...                                    这里出现了一个类似的情况。如果没有BB玩家的加注，你的大单张是有补牌的，但是加注之后它们的价值就降低了很多。BB玩家有可能是拿着一手强牌在慢打或是转牌的7使他凑成了三条。即使他拿着T9或是同花听型牌半诈唬时，你的补牌也不全是净补牌。BU玩家会拿高对进行第三次下注，因此在9.25：2的底池成败比下轻松弃牌。

在转牌圈尽管你的牌得到了改善但还是要弃牌，因为你的牌只是改善为内听顺子牌，并没有合适的底池成败比继续游戏。这种情况完全不用考虑通过期望值的计算来推导补牌数。但是为了你可以在转牌圈跟注，假设你得到合适的成败比，然后可以得出你必须削减内听顺子牌的补牌数。只有后门顺子听牌在凑成两端顺子听牌时才是真正的强牌。

因此在翻牌圈的跟注是错误的。与此相反的是如下的情况跟注是正确的。

0.5/1 Fixed-Limit Hold'em (5 handed)

Preflop: Hero is MP3 with J, T
Hero raises, CO folds, BU 3-bets, SB folds, BB calls, Hero calls.

Flop: (9.50 SB) 9, 3, 5 (3 players)
SB checks, Hero checks, BU bets, BB calls, Hero calls!

这里的后门顺子听牌至少有一张补牌。任何Q和8都会使你的牌成为两端顺子听牌，因此在转牌圈你可以获得足够的成败比来继续游戏。两端顺子听牌只在特殊情况下才会弃牌。

基于如上的3个原因，后门顺子听牌的补牌数只需要削减一点即可。 另一方面多人底池（也就是有更高的平均潜在成败比）和转牌圈出现的免费牌是有利于后门顺子听牌的。实际条件下后门顺子听牌的补牌数如表6所示。

表 6: 在实际条件下后门顺子听牌的补牌数 翻牌圈彩虹公共牌 翻牌圈2张同花牌 无间隔  1.5 1 有一张间隔 0.75 0.5 有两张间隔 0.25 0

实际条件: 底池并不是很大，因此只有两端顺子听牌才可以跟注。内听顺子牌必须弃牌。在转牌圈有时你会面对多次下注（更高的反向潜在成败比），有时也会出现很有利的状况，例如有很多被动的对手（高潜在成败比）或是出现免费牌。

后门顺子听牌和初始听型牌的补牌数可以简单的相加。

后门同花听牌有如下的效果，它会随着初始听型牌的不断增强而增强，因为初始听型牌的盈率会保持不变并且当你的牌在转牌圈改善为同花听型牌的时候也不必弃牌。与此相反后门顺子听牌就几乎没有很强的初始听型牌。

通常的情况是除了后门顺子听牌外你还有大单张。例如拿J9在T53的翻牌圈上。当转牌圈来K或是Q时，你的牌改善为顺子听型牌，但你J和9的大单张补牌就失去了价值。此外当你在河牌圈击中你的对子补牌时，公共牌就有很强的连续性。拿J9在T5389的公共牌下会被QJ, J7 和76击败。当你在转牌圈改善为顺子听型牌时，你的初始听型牌的补牌数经常会削减的很厉害，因此与后门同花听牌不同的是，后门顺子听牌有更小的盈率可以在河牌圈取得优势。

而且后门同花听牌可以和内听顺子牌结合起来。作为初始听型牌的内听顺子牌是很强的，因为无论转牌圈来什么牌，只要内听顺子牌在河牌击中牌，你通常就会有坚果牌。可是后门顺子听牌和内听顺子牌的结合是不可能的，因为两者会相互阻碍。

因为初始听型牌不会从后门顺子听牌中得到任何好处，因此两者的结合就是补牌数的简单相加。

实际意义

后门听牌的潜在成败比和正常的听型牌是一样的。当你有1个大注的潜在成败比并在对手下注之后底池有8个小注时，你的有效底池成败比就是10：1。和正常的听型牌不同的是，后门听牌潜在成败比只在河牌圈才能实现。

当你拿一个正常的听型牌时，例如内听顺子牌，在转牌圈成牌，那么你可以在两轮游戏中获利，但是后门听牌最早只能在河牌圈成牌。因此处理后门听型牌的补牌时要更谨慎。

当你除了后门听牌外还有初始听型牌，那么两个听型牌的潜在成败比是和它们各自的数据相关联的。假设你有一个4张补牌的内听顺子牌，它有3个大注的潜在成败比，并且你的后门同花听牌还有1个大注的潜在成败比。后门同花听牌有2张补牌。你总共有6张补牌。你的潜在成败比的平均值是(4 * 3 大注 + 2 * 1 大注) / 6 = 2.33 大注。这里你平均有2.33个大注的潜在成败比。

很明显，潜在成败比是由初始听型牌主导的。当初始听型牌强时，人们就有很大的潜在成败比。反之亦然。而后门听牌的潜在成败比变化很小。

只有一张牌可以改善你的听型牌，因此你的牌很弱。后门顺子听牌成牌后平分底池的可能性也会随之增强。潜在成败比减少很多，因为在4张连牌或4张同花牌的公共牌下，存在顺子或是同花的可能性很大。

当你只用一张起手牌时，死听型牌的危险增大了，除非你的后门同花听牌是在听坚果同花牌。而最重要的因素是对手的数量。此时我们的指导准则是，单张后门同花听牌就像单张同花听型牌一样，在有3张同花的翻牌圈要削减补牌数。

在多人底池，你后门同花听牌的高牌如果是小于Q的，那么是没有价值的。与此相反一对一游戏时，任何同花都有价值，但是你的弱后门同花听牌要打一半的折扣。甚至弱同花牌在对抗任意牌时也只有大约2/3的盈率。

每种情况都是不一样的，都要对其单独评估。因此表7只是给大家一个大致的指示。

表 7: 单张后门同花听牌的净补牌数 后门同花听牌 多人底池  一对一和3人底池 高牌A 1.5 1.5 高牌k 1 1.25 高牌Q 0.5 1 高牌9到J  0 0.75 高牌8及以下 0 0.5

后门顺子听牌和后门同花听牌的补牌可以简单的相加。

有时会发生你的后门顺子听牌成牌但是也有了同花牌，因此获胜的可能性中有一部分是重叠的，但是两者的结合在转牌圈就是大听型牌。就像在之前的章节中解释的那样，一部分的后门顺子听牌是很弱的，因为它们只能使你的牌改善为内听顺子牌。但是当你同时也拥有同花听型牌时，那么你就有9+3张补牌，可以继续游戏下去。获胜可能性的重叠并没有负面的影响。

两个后门顺子听牌的相加是减弱的。例如 A5 在KT2的翻牌圈上。这里有两个有两张牌间隔的后门顺子听牌。但是两个有两张牌间隔的后门顺子听牌比一个有一张牌间隔的更糟糕，因为没有可能成为两端顺子听牌，而只能成为内听顺子牌。

另外一个例子是 98 在J62的翻牌圈上。这里有两个有一张牌间隔的后门顺子听牌。T 和7 可以使你凑成两端顺子听牌, Q 和 5 成为内听顺子牌, 而且你各有8张补牌成为两端顺子听牌或是内听顺子牌。实际上无联系的两个有一张牌间隔的内听顺子牌是有8张补牌成为两端顺子听牌，同时也有16张补牌成为内听顺子牌。因此内听顺子牌补牌的丢失是因为两个听型牌部分重叠了。但是消失的8张内听顺子补牌实际上是很弱的，因此你的补牌数不必打折扣。

总结

注意: 在转牌圈你的反向潜在成败比越高，你的后门听牌就越没有价值。

最好的情况是在翻牌圈全押，那样就没有反向潜在成败比。在这种情况下后门同花听牌有2张补牌。但是对抗松而被动的玩家时你也有2张补牌，尤其是在多人底池下，并且你还有额外的补牌。对抗一个或多个松凶的玩家时你就要小心了。由于反向潜在成败比的存在，你的后门同花听牌的补牌数要削减到1.5张。 

对于后门顺子听牌，你首先要注意的是间隔数。最强的是在彩虹公共牌下的无间隔后门顺子听牌，它有1.5张补牌。在有两张同花牌的公共牌下，要根据对手的数量最大削减0.5张补牌。

后门顺子听牌的劣势是在转牌圈并不是总能成为强听型牌（8+张补牌），而是有时只能成为有4张补牌的听型牌。对抗激进的玩家时，有时在转牌圈牌得到了改善还是要弃牌。因此有一张牌间隔的后门顺子听牌仅有大约0.5张补牌，有两张牌间隔的几乎没有价值。

通过之前的考虑，你已经知道了重点：后门听牌常常就像天平上的指针一样，在跟注和弃牌之间来回摆动。你只有后门听牌时几乎是不会跟注的。

其他的方面也对翻牌圈的决定有很大的影响：你有弃牌盈率吗？你的牌有摊牌价值吗？你可以通过一些付出换取到补牌吗？你的初始听型牌有多强？甚至你可以进行价值加注吗？你的潜在成败比或是反向潜在成败比有多大？当你首先考虑完这些因素，还是无法做决定时，你就应该考虑你的后门听牌了。

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