全押或弃牌阶段的纳什范围

简介

主要内容

• 基于纳什范围的全押弃牌模式是否理想？
  
• 基于纳什范围的全押或跟注可能为-EV吗？
• 调整打法的时机及方式
  
• 这些调整是否基于ICM效应的大小（泡沫因素）?
  

如果你想在SNG领域取得成功，强大的单挑实力是很关键的。由于当你进入单挑阶段时盲注往往已经很大，你会发现自己主要处于要么翻牌前弃牌，要么翻牌前全押的状况——即全押或弃牌阶段。

在这种环境中，所谓的纳什范围（NR）扮演了一个重要的角色。但是，由于在单挑阶段常常会遇到一些通过疯狂行为积累起筹码的鱼，因此，你应用纳什范围时亦需要保持谨慎。

这篇文章作为以下文章的补充和扩展—— SAGE –即时锦标赛后期阶段系统 和 单挑阶段的全押或弃牌。

你并不需要阅读过它们之后才能理解本文。所谓的SAGE基本上是基于纳什平衡，并以某种方式简化了它们以便于记忆。但是，这同样也使这个系统变得很不灵活。

基础

首先，我们需要阐明一些基本的术语：

在单挑阶段全押或弃牌情况的分析中，有效筹码量（ES）是一个重要的参数。 它指的是在支付盲注（以及前注）之前，筹码较少一方的筹码量——以BB为单位。因此，ES对双方来说是一样的。

盲注级别（BL）为500/1000；你支付小盲注后，余下5500，你的对手在大盲注位，筹码量为8000。此时的ES = 6。

在扑克中，一个范围指的是一组特定的底牌。在全押或弃牌情况中，“x%的范围”特指：在1326种可能的起手牌中最强的x%。

但是，这个定义并不够清晰，因为一手牌的相对牌力总是取决于具体的环境，在全押或弃牌情况下也是如此。

设若 ES = 9，则42.7%的跟注范围（CR）包括：22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s。+号指的是，所有带有更强边牌的牌（或更大的对牌）也包含在此范围中。例如，K4就在这个范围中，而78s则不被包含在内。

与此相对，ES = 16时，43.3%的全押范围（PR）却包括22+, Ax+, K2s+, K7o+, Q5s+, Q9o+, J6s+, J9o+, T6s+, T9o, 96s+, 98o, 85s+, 75s+, 65s, 54s。你可以看到，这个组合不包含K4，K5和K6，而54s却处于其中。

这个例子说明了，ES = 9时43%（近似值）的跟注范围与ES = 16时43%的全押范围并不等同。故此，在随后的说明中，我们总会列出与范围相应的所有牌型。这些百分比及其准确范围系由 www.holdemresources.net提供的ICM计算器（ICM calculator）中获得。

下面的应用同样易于理解：

如果你向a%的范围内添加一手随机牌，当那手牌是此范围外最强的牌时，你将得到一个新的范围百分比。反过来讲，如果你从a%的范围中移除一手最弱的牌，你也将得到一个新的范围百分比。

你在之前一些文章中已经见到过独立筹码模型了，如：

独立筹码模型 （ICM） , ICM例子以及详解 以及 ICM高级理论

单挑阶段的特征是，ICM不再发生效用。因此，即时锦标赛（或多桌锦标赛）中的单挑与现金游戏中的单挑基本相同——其中每枚筹码的价值均为：

[（第一名奖金） - （第二名奖金）] / （双方筹码总量）。

于是，在单挑阶段，你应否全押或跟注对方的全押，主要基于以下因素：

• 有效筹码量
• 对手的跟注或全押范围

除了单挑阶段，在多桌锦标赛和即时锦标赛中总会存在某个特定级别的ICM效应。在即时锦标赛中，这种效应在泡沫期趋向峰值，因此，亦被称为泡沫因素并加以度量（参见 不同即时锦标赛种类的气泡因素）。

单挑中的纳什

本节中的大部分理论与实例都基于9-10人即时锦标赛中的单挑阶段，ES <= 20，且无前注。但是，相同的结论通常亦可应用于多桌锦标赛中的单挑阶段或现金游戏中的盲注争夺。一如既往，我们把你的对手称为Villain（反派）。本节中的所有结果和实例以（未来游戏中的）0%优势来计算。很多时候，我们会把百分比的数值近似为一个自然数，例如42.7%将被四舍五入为43%。

期望值（缩写： EV）指的是一组随机实验中的平均结果。对于单挑场合中的全押或弃牌打法，EV与参数“行动前的筹码量及行动后的平均筹码量（以BB为单位）”相关。

我们现在以一手具体的牌为例，来区分全押（或跟注）时的REV和HEV。二者皆取决于盲注额及对手的跟注范围（或全押范围）。

你处于BB位置，ES = 9，对手的跟注范围为42.7% （22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s）：

• 你以T8全押的HEV大约为0。
• 你以A2全押的HEV大约为1BB。（详细计算请参见附录）
• 你以58.7%的范围全押，包括（22+, Kx+, Q2s+, Q5o+, J2s+, J8o+, T5s+, T8o+, 95s+, 97o+, 85s+, 87o, 74s+, 64s+, 53s+），此时你的REV大约为0.5BB。（在下一节中将介绍更多这方面的内容）

大体上，范围期望（REV）的算法如下：

（1） REV（范围） = Sum_{范围中的牌型} HEV（牌型）* P（牌型）

P（牌型）指的是你拿到某牌型的可能性。

在上述的实例中，由于A2的HEV高于REV，因此它在此全押范围中是一手高于平均牌力的牌。

一个普遍的推论是：如果你向范围中加入一手+HEV的牌，REV增加；如果你向范围中加入一手-HEV的牌，REV减少。0HEV的牌对REV没有影响。

如果打算扩展你的范围，最合理的做法是首先添加范围外最强的牌。这样的牌具有最大的HEV，因此会比其它牌对REV的增效更大。如果连范围外最强的牌都是-HEV，那加入这手牌至少会比加入其他牌对REV的负作用小些。 如果你选择减小范围，你应该相应地先移除范围内最弱的牌。如同在“范围”一节中指出的，这就是从某一范围中衍生出新范围的方式。

现在，我们来看下纳什平衡是如何定义的。只是，我们的定义将是为单挑中的全押或弃牌情况量身定做的。

想像一下，你处于一场单挑中，比如说有效筹码为9BB。在这个场景中，你以x%的范围全押，而你的对手以y%的范围跟注你的全押。于是，你们都有一个特定的REV，但它们很可能是不同的。

一个纳什平衡（也称为纳什范围，NR）是由范围（x%, y%）组成的，所以，如果一方保持范围不变，则另一方不可能通过改变自己的范围来提升REV。此处称x为纳什全押范围（NPR），y为纳什跟注范围（NCR），玩家为基于纳什范围全押或跟注。

参考前一节的原理，我们得出推论：

纳什范围（NR）包含所有仅由+HEV牌型组成的范围。当然，前提是对手也基于纳什范围来跟注（谈到纳什跟注范围时，前提则是对手基于纳什范围全押）。

由此得出的推论是，当你的对手背离纳什范围时，你的REV增加。这是因为，“背离”意味着他向范围中加入了-HEV的牌或移除了+HEV的牌。由于他降低了自己的REV，则你的REV自然相应提升。

请至“纳什平衡的范围期望”一节阅读更多有关REV的内容。

最后需要补充一下，ICM模型中的纳什范围基本上仅取决于有效筹码量（ES）。如果你以5BB对抗10BB或100BB的筹码量，它则不起作用。

在前一节中讲述的纳什范围是非常易于计算的。表中的范围是由www.holdemresources.net上免费提供的ICM计算器（ICM calculater）中得出，当然也可以用PokerStrategy.com提供的 ICM-Trainer来计算。不同的程序之间可能产生比如0.5%左右的微小偏差，有时结果也可能有一手牌的差异。但是，这些细小差异并没什么大的影响。

下列表格提供了一个概览。包含前注的版本中，前注设为大盲注的10%。其它的前注结构，比如扑克之星（PokerStrars）上5%至12.5%的前注（根据级别变动），会导致结果上的些微差异。举例来说，如果前注为大盲注的5%，你可以采用两个表格的平均值。

表格 1 （无前注）:

表格 2 （有前注）:

每个ES值占据一行。在第二列你可以找到相应的纳什全押范围（SB位置），在第三列是相应的纳什跟注范围（BB位置）。

你可以在这里找到另一种表格，基本上包含着相同的内容，但是以另一种方式呈现。这种表格的优点是更加简洁。而上述表格的优点是，你对不同ES值对应的范围会获得更好的感觉。比如，你可以很容易地看到，在持有多少弱牌时，你仍然可以全押，或，你的牌需要好到什么程度才可以跟注。

我们现在来进一步了解现实中纳什平衡（NR）的范围期望（REV）。由于在理想的游戏中，期望值并不那么重要，所以你也可以略过这一节。唯一要谨记的是尽可能选择拥有最大REV的范围。

首先，在德州扑克中游戏一手牌，只要已经支付过盲注，就不再是传统的零和游戏。总的来说，你可以赢得盲注加上对手输赢的总和。它仅在你不必支付盲注时成为一个零和游戏。然而，在这种场景中，就只剩一种合理的打法了：除了用AA全押或跟注，其它牌都完全不玩。一种没什么优势可言的游戏。

在“底牌期望和范围期望”以及“单挑中的纳什平衡”两节中，你已经看到了在纳什范围中所有的牌都是+HEV（或0HEV）。那么，在例3中，T8的HEV几乎为零究竟是什么意思呢？它指的是针对对手43%的跟注范围，你的全押几乎赢不到任何东西。

相对的，这也意味着当你以T8全押时，对手的跟注范围有大约1.5BB的REV。由于他在57%的情况下弃牌，从而赢不到任何筹码，因此，他需要在其余的情况下平均赢得1.5BB / 43% = 3.5BB。于是，在你的全押被跟注时，你平均每次输掉3.5 - 1.5 BB = 2 BB。

假设你持有AA而非T8，情况当然就好得多了。你的全押有大约3.8BB的HEV——57%的情况下对手会弃牌，你赢得1.5BB，加上43%的情况下对手跟注，而你有大约6.9BB的EV。

其余所有牌的EV都在0至3.8BB之间。

你当然可以像我们在公式（1）中那样去计算REV，但这显然有些繁琐。另一个选择是，你可以直接在PokerStrategy.com提供的ICM trainer中查找结果：支付盲注前的赢率总是与翻牌后的赢率十分接近（前提为所有玩家都基于纳什范围游戏）。 ES < 7.5BB时，SB玩家的REV大于0。For bigger ESs, it is smaller than zero, somewhere around 0.1 BB for ES = 15 to 20. 这意味着SB位置的REV为0.5BB，而BB位置的REV为1BB。有趣的是，全押或弃牌阶段的EV，与你下一手处于SB或BB几乎是无关的。

纳什范围的应用与调整

如果严格遵守纳什范围，对你的游戏会有什么作用呢？在“范围”一节中，你已经了解到，当对手背离纳什范围时，你的REV因而上升。而即使他依照纳什平衡游戏，他也无法使你的REV下降到原本数值以下。这就是为什么人们会说“基于纳什平衡游戏是无法被利用的”。

但是，在单挑场景中，很少有对手会真的严格遵照纳什平衡游戏。如果对手选择不同的范围，这也意味着你的HEV会起变化。这反过来会导致这样一些状况——并非所有纳什范围内的牌型仍然都有+EV，同时，在纳什范围外的某些牌也可能拥有+EV。

我们来看一些实例，其中ES一概为9。于是，NPR（纳什全押范围） = 59%，而NCR（纳什跟注范围） = 43%。我们会区分说明，你是处于SB还是BB，你持有NR（纳什范围）中的一手强牌，还是NR中的一手弱牌，或是持有一手NR以外的牌。针对每种情况，我们来观察与你的对手范围相关的HEV的变化（以BB为单位）。关于具体算法的更多信息请参见附录。

你处于SB位置，且ES ＝ 9。

• 情况 1： 持有纳什全押范围中的强牌：

• 情况 2: 持有纳什全押范围中的弱牌：

• 情况 3: 持有纳什全押范围以外的牌：

你处于BB位置，且ES = 9。

• 情况 4: 持有纳什跟注范围中的强牌：

• 情况 5: 持有纳什跟注范围中的弱牌：

• 情况 6: 持有纳什跟注范围以外的牌：

这些例子显示了如下趋势：

• 如果你以强牌全押，对手跟注偏松则你的HEV增加。
• 如果你以弱牌全押，对手跟注偏松则你的HEV减小。
• 如果你是跟注方, 无论你持牌强弱，只要对手的全押偏松，你的HEV就增加。

因此，如果你总是按照纳什范围来游戏，在如下情况中你就会犯错：

• 错误 1: 情况 2， CR（跟注范围） = 55% 和 CR = 70%时： 你在做一个-HEV的全押。
• 错误 2: 情况 3， CR = 20% 和 CR = 30%时： 你错过了一个+HEV的全押。
• 错误 3: 情况 5， PR（全押范围） = 25% 和 PR = 40%： 你在做一个-HEV的跟注。
• 错误 4: 情况 6， PR = 70% 和 PR = 80%时： 你错过了一个+HEV的跟注。

在这些情况下，你需要调整你的范围。

在"底牌期望和范围期望"一节中已经解释过，你应该用+HEV的牌全押或跟注。再参考前例中阐述的趋势，我们可以对你的范围调整设定如下准则（基于错误1-4）：

• 准则 1： 如果相对纳什范围，对手跟注偏松，你就不该以NPR（纳什全押范围）中最弱的一部分牌全押。以这些牌全押的HEV可能为负。
• 准则 2： 如果相对纳什范围，对手的跟注偏紧，你则可以加入一些NPR中本没有的弱牌。不然，你可能会错过一些+HEV的全押。
• 准则 3： 如果相对纳什范围，对手的全押偏紧，你就不该以NCR（纳什跟注范围）中最弱的一部分牌跟注。以这些牌跟注的HEV可能为负。
• 准则 4： 如果相对纳什范围，对手的全押偏松，你则可以添加一些NCR以外的相对强牌到你的范围中。否则，你可能错过一些+HEV的跟注。

通常来说，你会更喜欢面对一些偏紧的对手（准则2、3中的情况），但极少常规玩家会严格遵照纳什范围游戏，更极少有对手会做比纳什范围更松的全押或跟注（准则1、4中的情况），即使是在他们情绪失控的时候。

因此，针对不熟悉的对手，以如下范围作为缺省打法似乎是适合的：基本按照纳什范围全押；但跟注要先比纳什范围所示稍紧一些，直到你确信对手至少能够按照纳什范围全押。

对抗打得很紧的对手时，如果你的全押和跟注也稍紧些，会有如下益处：你减少了输赢对半的局面，从而延长了游戏的平均时间，使你有更多机会去利用对手的漏洞来获利。

你处于SB位置，持有2,800筹码，你的对手有10,700，盲注级别为250/500。接下来的七手牌中，你全押三次对手均弃牌，你弃牌一次，而每次对手处于SB时，都弃牌给你。现在，你的筹码增长为6,550，你的对手还剩6,950，并且盲注级别增长到了300/600。此时ES = 11，对手全押。你认为他的范围远紧于54%的NPR，大约仅为28%。这时你自问是否可以拿A7跟注。在ICM Trainer中显示，这个跟注有微小的+EV。但是，你的对手已经暴露出一个很大的漏洞——全押或跟注范围过于的紧。因此，你应该弃牌，以便于继续利用这个漏洞获利。

总结一下，基于纳什范围的游戏表现出如下特性：

• 你获得一个正的REV。
• 如果对手背离纳什范围，则你的REV增加。

但是：

• 你的REV不再是理想值。
• 有些牌甚至会拥有-HEV。

因此，你应该注意调整范围。如果你只与对手玩一手牌，那么即使REV为正，你也当然不希望HEV为负。

单挑以外的情况

只要没有ICM效应介入，前述的很多结论都可以很容易地应用到单挑以外的情况中。比如在现金游戏或赢家独得全部奖金的MTT或SNG。

一般来讲，你仍然可以用ICM calculator或ICM trainer来计算3-10名玩家群集时的纳什范围。在这种新环境中，上述的调整准则也仍然适用。

BU = 3200， SB = BB = 5000，盲注级别为200/400。第一名可以获得一张门票，其余名次什么都没有。

ICM calculator提供了下列纳什范围：

这表明，除非你认为至少一名对手跟注范围偏松，且另一名对手亦不偏紧，你就仍然可以在BU位全押K4s。更精确一点说：就是没有一位过紧的玩家来过度补偿另一位对手偏松的跟注范围。在那种情况下，你应该应用准则1，即，全押得稍紧些，因而略过K4s的全押。

ICM效应、或者说泡沫因素（BF）大于0.5时的情况更为有趣。这些情况下赢得筹码的价值，小于输掉相应筹码的价值。如下等式适用于此：

BF = $价值 （筹码量） / $价值 （2*筹码量）。

因此，在单挑时的泡沫因素为0.5，在极端的ICM环境中，这个数值可以趋近于1。高泡沫因素环境的典型例子如MTT的决赛桌、资格赛中快要得到门票的时刻、或SNG中的泡沫期。

现在我们来详细讨论一下SNG的泡沫期。得出的结论亦可应用于其它两种情况。在例8中，我们会向例7的场景中添加一名处于CO位置的小筹码玩家。

CO = 1800， BU = 3200， SB = BB = 5000， 盲注级别为200/400。CO弃牌。

我们得到下列纳什范围:

你最先看到的是纳什范围变得紧了许多，不过情况并非总是如此。比如，你要是持有很深的筹码，你的NPR就很可能会比没有ICM效应的场合中还要松得多。如果你在SB考虑是否应该全押，可是BB是条跟注很松的鱼（比如说10%的范围），他甚至从未听说过ICM，那么会发生什么呢？

首先，以范围中较弱的牌全押再次成为-HEV。而且ICM效应可能导致如下结果：

如果对手背离纳什范围，你的REV可能会下降。

这是因为，如果BB对你的全押跟注过松的话，另两名玩家则渔翁得利。这是指，BB玩家10%的跟注范围使他的REV大幅降低，但同时，你的REV可能也会被削弱。

如果你不调整纳什范围，你的REV甚至可能为负。

因此，4.2节中的调整准则需要根据下列法则再进行一些自身修正：

• 法则 1： 泡沫因素越大， 你收紧范围的幅度也要越大。
• 法则 2： 泡沫因素越大， 你扩展范围的幅度应该越小。
• 法则 3： 泡沫因素越大， 你收紧范围的幅度也要越大。
• 法则 4： 泡沫因素越大， 你扩展范围的幅度应该越小。

附录

在例3－例5中，HEV以BB为单位。你可以使用SNG Wizard去计算：首先，你需要填入筹码量和盲注额，以便获得预期的ES。例如：ES为9时，你可以填入盲注300/600，SB＝5400，及BB＝9600。然后，你为SB选择具体的牌型，为BB选择跟注范围，于是可得相应的赢率。要把结果转为以BB为单位，你需要再乘以如下因数：

此手牌中的全部筹码（以BB为单位） / 20

于是，上述情况下的因数为25/20 =1.25.

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