Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, mit dessen Hilfe versucht wird, Spiele strategisch zu lösen. Ein Spiel wird als solches angesehen, wenn eine Menge an Spielern aus einer gegebenen Menge an Handlungsalternativen wählen kann. Als einführendes Beispiel soll dabei das Spiel „Schere-Stein-Papier“ dienen. Hier gibt es zwei Spieler, die aus den drei Möglichkeiten (Schere, Stein, Papier) wählen müssen. Schere gewinnt dabei gegen Papier, Papier gegen Stein und Stein gegen Schere. Abhängig von der Entscheidung des Gegenspielers gewinnt Spieler 1 (+1), verliert (-1) oder spielt unentschieden (0). Dargestellt wird diese Form von Spielen meist in Matrizenform.
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Die Spieler verfolgen dabei immer eine Strategie. Unterschieden dabei werden kann zwischen der exploitiven und maximalen Spielweise. Grundsätzlich empfiehlt es sich in Spielen (selbstverständlich auch Poker) eine maximale Spielweise zu verfolgen. Gegen schlechte Spieler kann dadurch ein deutlich höherer Gewinn erzielt werden als mit einer optimalen Spielweise. Als Beispiel soll dazu eine Analogie aus der Fernsehserie „Simpsons“ dienen, in der Bart Simpson bei dem Spiel „Schere-Stein-Papier“ auf den „guten alten Stein“ vertraut. Lisa kontert diese Strategie damit, indem sie aus den drei Alternativen natürlich „Papier“ wählt. „Papier“ ist so lange der Spielzug mit dem höchsten Erwartungswert, so lange Bart nicht erkennt, dass er exploited wird. Bekommt er dies mit, wird er aus den Handlungsalternativen „Schere“ wählen. Dies ist im Grunde genommen ein „Katz- und Maus-Spiel“. Eine exploitive Spielweise eröffnet dem Gegenspieler also immer den Spielraum für einen Exploit seinerseits. Dies soll folgendes Diagramm nochmals verdeutlichen.
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Kennt man die Schwächen eines Gegners nicht, empfiehlt es sich auf die optimale Spielweise zurückzugreifen. Hierbei geht es darum, dem Gegenspieler möglichst keine Angriffsfläche zu bieten. Für das „Schere-Stein-Papier“ Spiel ist für Spieler 1 die optimale Spielweise die Strategiekombination 1/3 Schere, 1/3 Stein, 1/3 Papier. Egal was Spieler 2 nun nimmt, seine Wahl hat einen Erwartungswert von 0. Doch was hilft das Ganze nun im Fixed Limit Holdém?
Die Einführung mit dem einfachen „Stein-Schere-Papier“ Spiel wurde deshalb gewählt, weil Poker an sich zu komplex für eine spieltheoretische Lösung ist. Spieltheoretische Probleme lassen sich bei den meisten Spielen nur dadurch lösen, indem ihnen einen Teil ihrer Komplexität genommen wird und dadurch folglich berechenbare Problemstellungen erreicht werden. Für Poker hat sich der sog. „Half-Street-Ansatz“ als approximative Lösung bewährt.
Half-Street Spiele laufen wie folgt ab:
-Spieler 1 (X) checkt
-Spieler 2 (Y) kann checken oder betten
Bettet Spieler A, kann Spieler B callen oder folden (jedoch nicht raisen). Checkt Spieler A, kommt es zu einem Showdown. Auch hier lässt sich analog zum Spiel „Schere-Stein-Papier“ eine Auszahlungsmatrix erstellen.
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Hierbei stehen erneut ebenfalls ein exploitiver oder ein optimaler Ansatz zur Wahl. Spieler 1 wird seine Valuehände immer betten, da er ja niemals verliert, wenn Spieler 2 callt. Folded Spieler 2 immer auf die Bets von Spieler 1, wird Spieler 1 seine Bluffs auch immer betten. Bemerkt dies Spieler 2, wird er auf keine Bet mehr folden. Doch wie sollten die Spieler vorgehen, wenn sie die Schwächen ihrer Gegenspieler nicht kennen? Hierzu wird wieder eine spieltheoretisch optimale Lösung verwendet. Im Gegensatz zum „Schere-Stein-Papier“ Beispiel gewinnt Spieler 1 mit einem erfolgreichen Bluff den gesamten Pot, den er sonst verloren hätte. Daher spielt diese Variable eine wesentliche Rolle bei der Suche nach einer optimalen Strategie.
Verfolgt Spieler 2 eine optimale Strategie, so muss er seine Strategie so wählen, dass sich bezüglich des Erwartungswertes für Spieler 1 egal ist, ob er seine hoffnungslosen Hände aufgibt oder blufft. Blufft Spieler 1 erfolgreich, so gewinnt er den ganzen Pot P und verliert eine Bet, wenn Spieler 2 erfolgreich einen Bluff catcht. Daraus lässt sich folgende Formel konstruieren:
P(1-c)=c → c=P/(P+1)
wobei: c= Spieler 2 callt und 1-c = Spieler 2 folded
Eine optimale Strategie für Spieler 2 wäre also in P/(P+1) der Fälle auf eine Bet zu callen. Spieler 1 wäre bei dieser Frequenz nicht in der Lage, Spieler 2 zu exploiten.
Analog zur optimalen Calling-Frequenz lässt sich auch eine optimale Bluffing-Frequenz von Spieler 1 berechnen. Spieler 2 gewinnt P+1 beim catchen eines Bluffs und verliert eine Bet gegen die Valuerange von Spieler 1. Daraus lässt sich nun folgende Formel konstruieren:
1= (P+1)b -> b= 1/(P+1)
wobei b= Blufffrequenz
Anhand dieser Formel lässt sich erkennen, dass man in größeren Pötten weniger bluffen sollte und weniger Anteile der eigenen Bluffcatcher folden. Dies ergibt sich bereits in dem recht einfachen Konzept der "Pot Odds"
- Auszug aus "Analytical Fixed Limit Holdém - Winnings in tough games 2012"
