Da hier ja so einige sind, die meinen, sie seien so gut in Mathe, hier eine Aufgabe:
Quer durch einen würfelförmigen Raum der Kantenlänge 4 Meter ragt eine Eisenstange von einer Ecke zur gegenüberliegenden. Wie groß ist die größte Kugel, die trotzdem in den Raum passt, ohne von der Eisenstange durchbohrt zu werden?
Aber nicht nur die Lösung sagen, sondern auch den Lösungsweg beschreiben!
Original von Bolders
Folglich Durchmesser = 2m
Mathematischen Lösungsweg bitte. Im übrigen ist die Antwort falsch.
Würfel ist 3D ... die Approximation über das Quadrat ist schon falsch.
Aber srsly, not your army und so.
Eisenstange ist
x^2 = 4^2 + 4^2 (Satz des Pythagoras für den "Boden")
x^2 = 32
x = sqrt(32)
y^2 = 4^2 + sqrt(32)^2 (Satz des Pythagoras für die Stange)
y^2 = 16 + 32
y = sqrt(48)
Meter lang, die größte Kugel wird durch das Dreieck aus 2 Kanten und der Eisenstange begrenzt.
Der Radius eines Inkreises in Dreiecken ist definiert als:
r = (2*Flächeninhalt) / (Länge Seite a + Länge Seite b + Länge Seite c)
r = (2*A)/(4+sqrt(48)+ sqrt(32))
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist definiert als:
A = (a * b) / 2 = 4 * sqrt(32) * 1/2 = 8 * sqrt(2)
Damit ist der Radius des Inkreises:
r = (2*(8 * sqrt(2)))/(4+sqrt(48)+ sqrt(32)) = 1.36432551
Da die Situation in alle Richtungen gleich ist, kann eine Kugel maximal einen Durchmesser von ca 2.728651019m haben :).
Macht das Sinn? ♦
So ähnlich war mein erster Ansatz, is aber auch falsch, da du keine zwei Kanten hast. Und Inkreis kriegst du erst recht keinen, die Kugel stößt an den Oberflächen an, nicht an den Kanten.
OP, kennst du den Lösungsweg? Hab nämlich keinen Bock, dir hier deine Aufgaben zu rechnen... Ich komm aktuell auf 2sqrt(3)/(1+sqrt(3)), also ungefähr 1,27. Kommt das hin?
Ich würde gerne den Rechwenweg verstehen. Wir können ja den Würfel in 2 Teiel schneiden und dann haben wir unseren körper wo wir jetzt gucken, wie die größtmögliche Kugel aussieht.
Da der Kreis ja leider nicht die Ecken berührt ist es ja nicht so einfach. WIe löst sich das denn im 2D, also 2 Kanten à 4 Meter und dann die Eisenstange mit Länge Wurzel 32. Das lässt sich doch bestimmt analog übertragen. 
Mal schauen ob ich einen Ansatz habe:
In diesem Fall haben wir ja ein Kreis und der berührt nicht die Ecke. Dann müsste man den Punkt auf der Diagonalen finden, wo der Abstand zu beiden Kanten maximal ist?
Als Funktion ist die Diagonale f(x)=x.
Man ne keine Ahnung. 
Original von sarc
So ähnlich war mein erster Ansatz, is aber auch falsch, da du keine zwei Kanten hast. Und Inkreis kriegst du erst recht keinen, die Kugel stößt an den Oberflächen an, nicht an den Kanten.OP, kennst du den Lösungsweg? Hab nämlich keinen Bock, dir hier deine Aufgaben zu rechnen... Ich komm aktuell auf 2sqrt(3)/(1+sqrt(3)), also ungefähr 1,27. Kommt das hin?
Du musst mir nix rechnen, du hast aber die Möglichkeit zu beweisen, ob du/ihr in der Lage seid, eine komplizierte Matheaufgabe zu lösen. Immerhin geben doch einige hier ordentlich an, wie gut sie in Mathe seien...nun ich warte, sagen wir eine Woche. Mal sehen, ob es jemand herauskriegt und Pisa-Studien etc. trotzt! 
dann beantworte docvj erstmal die Frage aus dem 2. (?) post: WIE DICK DIE STANGE IST WILL ER WISSEN
Original von Rubnik
dann beantworte docvj erstmal die Frage aus dem 2. (?) post: WIE DICK DIE STANGE IST WILL ER WISSEN
die "stange" wird keine dicke haben, genauso wie ein punkt keinen durchmesser hat
Wenn du auch noch mit der Dicke der Stange rechnen willst, kriegst es nie raus.
Da sie in die Ecken passen muss, gehen wir der Einfachheit also einfach von Linien aus und jetzt frag nicht, wie dick die Linie ist ... 
Lösung mit analytischer Geometrie:
Kugel ist durch 4 Ebenen begrenzt:
Die 3 Ebenen die durch jeweils 2 Achsen aufgespannt werden, und:
E = (0,4,0) + i * (-1,0,1) + j * (1,-1,1) (Die Ebene die durch die Stange gegeben ist)
umgeformt:
E: x + 2y + z - 8 = 0
Der Mittelpunkt unseres gesuchten Kreises ist: X = (x1,x2,x3)
- Der Mittelpunkt hat zu allen Ebenen die gleichen Abstand
- Also kann man schonmal umformen zu X = (x1, x1, x1) , da x1 = x2 = x3
Der Abstand vom Mittelpunkt zur 4. Ebene ist:
d (E,X) = | x1*1 + x1*2 + x1*1 - 8| / sqrt(1+4+1)
da der Mittelpunkt auch den gleichen Abstand zur 4. Ebene hat wie zu allen anderen: d(E,X) = x1
x1 = |4*x1 -8| /sqrt(6)
x1 = 8 / ( sqrt(6) +4)
x1 = 1,2404
annahme: kugel geht durch die punkte (0,4,0) und (4,0,4).
die kugel ist durch 4 punkte begrenzt:
den punkt (2,2,2) (wegen symmetrie) und die drei punkte (?,?,0), (?,0,?), (0,?,?). zu allen vier punkten hat der mittelpunkt denselben abstand.
von den drei normalen punkten einen abstand von x, von dem punkt (2,2,2) einen abstand von sqrt(2((sqrt(2*((2-x)^2)))^2))=4-2x, somit ist x=4/3 (=radius)
die annahme dass die kugel durch (2,2,2) begrenzt wird ist mMn nicht richtig...
edit:
auf jeden stimmt da trotzdem irgendwas nicht:
der mittelpunkt ist 4/3 von (2,2,2) entfernt, also bei (2/3,2/3,2/3) ,somit ist der mittelpunkt aber nur 2/3 von den anderen ebenen entfernt...
edit2:
ach alles bullshit - ich mus snochmal überlegen ^^
äh ja, auch vertan^^
es ist nicht 4-2x, sondern sqrt(3)*(2-x). wenn man die gleichung dann auflöst, ergibt sich x=1.268
Original von DestructOne
äh ja, auch vertan^^es ist nicht 4-2x, sondern sqrt(3)*(2-x). wenn man die gleichung dann auflöst, ergibt sich x=1.268
jo stimmt
Was ziemlich genau das ist, was ich oben hingeschrieben hab... 
Ach ja, lieber OP: Sorry, aber das Schwerste an der Aufgabe ist doch eher, sich das erst mal korrekt vorzustellen. Ab dann ist der größte Teil noch Symmetrieüberlegungen, die Rechnungen, die dann noch nötig sind, kriegt man auch in der Mittelstufe hin...
Und... Sorry... Die ganze Aufmachung klingt halt extrem nach Übungsaufgabe. Oder wo is die her?
Bei einer Kantenlänge von a bekomme ich mit der üblichen linearen Algebra nach wenigen Zeilen den Wert
r(a) = (a/2) * (3^0.5)/(1+3^0.5)
raus. Für a=4 ergibt sich also
r = (2*3^0.5)/(1+3^0.5) = 1.268...
Das ist gleiche Ergebnis wie bei DestructOne.
Allerdings fehlt ein formaler Beweis, dass es sich um das globale Maximum handelt.
Original von philwen
Lösung mit analytischer Geometrie:...
x1 = 8 / ( sqrt(6) +4)
x1 = 1,2404
Rechenweg: M=(r,r,r), Abstand(M; Diagonale)=r
