Suche Mathematiker für Nash Gleichgewicht erklärung

blubb

auch wenn es nicht mein schwerpunkt ist -- ein bisschen kenne ich mich damit aus, hab die tage aber viel zu tun. du kannst deine fragen ja auch einfach hier posten, wenn du konkrete hast, dann schaun wir mal.

konkrete fragen dazu sind:
Wie kommt nash bei einem 10BB stack auf die 60%push und 40% call sache? welche rechnungen stehen dahinter?

wie kann ich diese rechnungen auf ein spiel mit höheren stacks anwenden. konkret: wie errechne ich eine 3bet/call range gegen eine x% 4bet range die im gleichgewicht ist und eine bet/shove range gegen eine y 3bet range?

In der Regel berechnet man ein NG in gemischten strategien indem man die Strategiekombination (60/40 in dem Fall) so wählt, dass der Gegenspieler indifferent zwischen seinen verfügbaren Optionen ist - ergo du nicht exploitable bist.
Ich kann dir in dem Fall leider keine Rechnung aufzeigen, weil ich nicht wirklich weiß was du als Grundlage deiner Frage nimmst. Ich vermute aber, dass bei der Rechnung von deiner Kompletten Range inkl. Trash und Nuts ausgegangen wird und du mit dieser Strategie dem Gegenspieler keine Möglichkeit bietest Profitabel zu callen, weil du wie bereits gesagt, einfach nicht exploitable bist.

ok also gehen wir davon aus ich habe 10BB dann spiele ich quasi im gleichgewicht wenn ich 60% pushe und 40% calle

meine frage ist jetzt wie kann man dieses gleichgewicht auf cashgame übertragen. wir haben im SnG kein rake zu beachten. nehmen wir als bsp halt einfach 20BB her. in wieweit ändert sich der ansatz? das ist meine frage und wie geht es weiter wenn ich 25BB habe. da muss isch doch der ansatz auch ändern. und ich pushe ja nicht sofort sondern bet/shove oder 3bet/calle ja.

das ganze ist nicht so auf 3bet/call übertragbar.

NG funktioniert in etwa so:
Nehmen wir 2 Spieler (Spieler A und Spieler B). Beide Spielen mit "offenen" Ranges, d.h. beide wissen jederzeit mit wie viel % jeder pusht bzw callt. Das gleichgewicht entsteht nun wie folgt:
Nehmen wir an dass Spieler A pusht und Spieler B entweder callt oder foldet. Beide fangen zB mit ner Range von 50% an. Spieler A weiß dass Spieler B 50% callt also optimiert er seine Callingrange sodass er maximalen EV hat. Zum Beispiel pusht er jetzt 66%. Spieler B macht jetzt das selbe. Er maximiert seinen EV bei der gegeben pushing-range von 66%, und kommt zB auf ne callingrange von 45%.

Das wird jetzt solange gemacht bis keine korrekturen mehr vorkommen (bzw sie werden immer kleiner bis sie irgendwann nicht mehr relevant sind), sodass sich das gleichgewicht eingestellt hat.

das problem mit 3bet/call ist dass es ja am flop weitergeht und du somit nicht den exakten EV berechnen kannst (selbst wenn es prelfop reingeht wird es sehr viel komplexer wenn es mehr action als push/call gibt....)

bei nem 20bb spiel habe ich quasi kein postflop spiel wenn ich davon ausgehe ich pushe oder folde auf ein rase. bzw bet/call allin auf eine 3bet.

ich will den algorithmus verstehen. wie kommt nash zB auf diese 40/60 /call/push sache.
wenn man den algorithmus woher hat kann man das doch quasi adaptieren auf dieses 20bb spiel und quasi die optimale range gegen eine bestimmte gegner range berechnen.

im prinzip habe ich ja eine "offene range" wenn ich weiss villian spielt 10% 3bet gegen mich.

ok, ich versuch mal die Problematik zu erklären:

Def: spieler befinden sich im nash-gleichgewicht, falls keiner von ihnen durch abweichen von seiner strategie seinen profit vergrößern kann (unter annahme dass alle anderen ihre strategie beibehalten)

Def: für eine Range A sei P(A) der Anteil von A an der Gesamtzahl aller Hände. für zwei Ranges A und B seit E(A,B) die equity von A gegen B.

einfachste situation: 2 spieler, es pot = X, effektive stacks = Y.
angenommen, spieler1 pusht mit einer range A und spieler2 callt mit range B.
Profit(spieler1): P(A)*(1-P(B))*X + P(A)*P(B)*(2*E(A,B)-1)*Y

da die gesamtauszahlung stets konstant = X ist, gilt:
Profit(spieler2) = X - Profit(spieler1)

ein nash-gleichgewicht besteht, falls für jede der Profit von spieler1 nicht größer wird, wenn er A sie gegen eine beliebige range austauscht, und der Profit von spieler2 nicht größer wird, wenn er B gegen eine beliebige range austauscht. da das spiel symmetrisch ist, ist dies genau dann der fall, wenn Profit(spieler1)=Profit(spieler2)=X/2 gilt.

du hast also ein gleichungssystem mit zwei gleichungen:
X/2 = P(A)*(1-P(B))*X + P(A)*P(B)*(2*E(A,B)-1)*Y
und
x/2 = X - (P(A)*(1-P(B))*X + P(A)*P(B)*(2*E(A,B)-1)*Y)

wie sieht E(A,B) aus? wenn wir dies aus P(A) und P(B) berechnen könnten hätten wir ja eine gleichungssystem in den beiden variablen P(A) und P(B) und könnten dieses versuchen zu lösen.
können wir aber leider nicht, da es die zuordnung R -> P(R) nicht injektiv ist, (d.h. es ist a priori nicht klar, was mit einer p%-Range gemeint ist).

ein algorithmus wäre nun folgender: man enumeriert alle möglichen range-paare (A,B), berechnet für jedes die zahl E(A,B) und prüft, ob das obige gleichungssystem erfüllt ist (in diesem fall bilden A und B ein Nash-Gleichewicht). Aufgrund der riesigen Anzahl von möglichen Ranges (nämlich 2^1326) ist dies praktisch unmöglich.
was man stattdessen macht, ist, sich auf eine vereinfachte menge von ranges zu beschränken und dann

• entweder zu enumerieren
• oder, falls auf der vereinfachten menge von ranges die zuordnung R -> P(R) injektiv ist, das obige (meist nichtlineare) gleichungssystem in P(A) und P(B) mit einem approximationsverfahren zu lösen.

in jedem fall ist der Rechenaufwand aber so hoch, dass man nicht um einen Computer herum kommt.

so. und das war auch nur der einfachste fall. beim mehreren spielern wird das beliebig kompliziert. in einem zwei spieler 3b szenario, wo der erste spieler zwei ranges hat (r/f und r/c) und der zweite spieler nur eine (nämlich 3b), wär das aber prinzipiell mit den o.g. vereinfachten verfahren noch machbar.

das ist ja mal ne antwort
merci