Lim n-> unend. : ((n!)^1/n)*(1/n) = 1/e
ich muss obigen Grenzwert beweisen, kann mir jemand auf die spruenge helfen?!
Danke
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Überprüf mal deine Aufgabenstellung. Wenn ich das in Derive reinhaue kommt
lim n*(1/n)!^n für lim -> 0+ raus bei ((n!)^(1/n)*(1/n)). Da stimmt irgendwie was nicht. Sollte ja 1/e kommen 
Dann ist Derive nicht besonders fit 
- es macht ja nur die triviale Substitution n -> 1/n
Hau mal in wolframalpha rein, dann sieht Du schon, dass 1/e stimmt.
Aufgabenstellung stimmt 100%
Hier nochmal. Derive kriegt das auch nicht geloest, bringt mir aber auch nix wenn ich seh das da echt 1/e rauskommt, dafür kann ich auch Taschenrechner nehmen ich brauch halt einen beweis.
@slowharry, ich check deine loesung nicht. bei dir kommt -1 heraus, ergebnis muss aber 1/e sein.
aso ja stimmt hast recht. ich schau mir deinen beweis nochmal an, sieht anders aus als das was wir bisher gemacht haben aber ergibt sinn thx 
Original von SlowLarry
Mir fällt da im Moment nur ne tricky Lösung ein:
Ich misch mich hier jetzt mal kurz ein:
Kannst den Schritt von "der eingeklammerten Summe" zum naechsten Punkt mal genauer erlaeutern?
Der Schritt zum Integral leuchtet mir auch nicht sofort ein. Koenntest evtl. dort auch noch einen Schritt dazwischen schieben?
Und im letzten Schritt scheint auch ein Fehler zu sein, da ln(0) nicht definiert ist.
Sonst interessante Beweisidee.
hm also ich glaub ich kann den beweis doch nicht nehmen. zum einen ist ln 0 halt echt nicht definiert und ausserdem sollen wir das denk ich anders machen^^ danke trotzdem : - )
hat nicht noch irgendwer anders eine idee? hier laufen doch soviele studenten etc rum
Ich versuch's nochmal kurz und nehme die Stirlingformel zur Hilfe:
ln(n!)~n*ln(n)-n fuer grosse n. (Wiki)
ln lim[n->oo] ((n!)^1/n)/n = lim[n->oo] ln(((n!)^1/n)/n) = lim[n->oo] ln((n!)^1/n) - ln(n) = lim[n->oo] 1/n * ln(n!) - ln(n) = lim[n->oo] (ln(n!)-n*ln(n))/n ~ lim[n->oo] (n*ln(n)-n-n*ln(n))/n = lim[n->oo] -n/n = -1
D.h.
lim[n->oo] ln(((n!)^1/n)/n) = -1
<=> lim[n->oo] e^(ln(((n!)^1/n)/n)) = lim[n->oo] ((n!)^1/n)/n)=e^(-1)
Wenn's dir zu unuebersichtlich ist, kann ich die Ausgabe auch noch "schoen machen"
Original von WuaghhhhXMA
Original von SlowLarry
Mir fällt da im Moment nur ne tricky Lösung ein:
Ich misch mich hier jetzt mal kurz ein:
Kannst den Schritt von "der eingeklammerten Summe" zum naechsten Punkt mal genauer erlaeutern?
Der Schritt zum Integral leuchtet mir auch nicht sofort ein. Koenntest evtl. dort auch noch einen Schritt dazwischen schieben?
Und im letzten Schritt scheint auch ein Fehler zu sein, da ln(0) nicht definiert ist.
Sonst interessante Beweisidee.
Von der "eingeklammerten Summe" zur nächsten Zeile:
ln(n) = Summe_k=1..n(ln(n)/n)
(einfach ln(n) in n gleiche Teile zerlegt)
Schritt zum Integral:
Summengrenzwertformel (Riemannintegral)
ln(0) ist nicht definiert, aber der Limes von x*ln(x) für x->0 schon. Kann man z.B. L'Hôpital anwenden.
Zu Sterling: Das war auch mein erster Gedanke. Aber die übliche Formel ist ja n! ~ (n/e)^n*sqrt(2*Pi*n).
Da ist mir noch nicht ganz klar, wo der Faktor sqrt(2*Pi) im Grenzwert bleibt.
Ein ganz anderer Ansatz könnte noch über die Gammafunktion laufen:
n!^(1/n)/n = (1/n)*Gamma(n+1)^(1/n) = int_t=0..unendlich(t/n*e^(-t/n))
= -(n+t)*e^(-t/n) |0..unendlich
= n (?!)
Irgendwas geht da wohl mit der Vertauschbarkeit der Limites nicht ganz klar, oder ich bin doof 
sagt mal ist das normal, dass ich 4wochen im ersten (!) semester mathematik so eine aufgabe bekomme? ich mein ihr kommt mir hier mit formeln, die ich sicher erst viel viel später kennen lerne ... die aufgabe muss auch irwie loesbar sein mit den mitteln die ich bisher gelernt habe.. ^^
Original von coolalzi
finde den Beweis schön und der ist auf jeden Fall auch sauber
welchen meinst du? es wurden jetzt mehrere gepostet
Er meint meinen ^^
Der ist auch sauber, nur ein bissel kompakt aufgeschrieben (Physikerkrankheit).
Würde mich aber auch interessieren, wie die Aufgabe ohne Integrale / Stirlingformel / Gammafunktion etc. mit elementaren Mitteln zu lösen ist. Wenn Du es weißt, kannst ja die Lösung posten.
P.S.: Dass man gleich am Anfang solche Aufgaben bekommt ist vollkommen normal 
Original von SlowLarry
Von der "eingeklammerten Summe" zur nächsten Zeile:ln(n) = Summe_k=1..n(ln(n)/n)
(einfach ln(n) in n gleiche Teile zerlegt)
Schritt zum Integral:
Summengrenzwertformel (Riemannintegral)
Muss ich wohl nochmal ne Nacht drueber schlafen ^^
Studiere auch noch nicht soo lange Mathe
Original von SlowLarry
ln(0) ist nicht definiert, aber der Limes von x*ln(x) für x->0 schon. Kann man z.B. L'Hôpital anwenden.
Joa, ok, stimmt, aber dann war eigtl. nur die Schreibweise des direkten Einsetzens von 0 Schuld, haette man vllt huebscher Regeln koennen, indem man die Grenze gegen 0 streben laesst.
Original von SlowLarry
Zu Sterling: Das war auch mein erster Gedanke. Aber die übliche Formel ist ja n! ~ (n/e)^n*sqrt(2*Pi*n).
Da ist mir noch nicht ganz klar, wo der Faktor sqrt(2*Pi) im Grenzwert bleibt.
Ein ganz anderer Ansatz könnte noch über die Gammafunktion laufen:
n!^(1/n)/n = (1/n)*Gamma(n+1)^(1/n) = int_t=0..unendlich(t/n*e^(-t/n))
= -(n+t)*e^(-t/n) |0..unendlich
= n (?!)
Irgendwas geht da wohl mit der Vertauschbarkeit der Limites nicht ganz klar, oder ich bin doof
Da kann ich leider nicht mitreden. Ich wusste nur, dass man n! annaehern kann durch die Sterling-Formel. Dann hab ich nochmal bei wikipedia geschaut und fand dann diese veraenderte Sterling-Formel, die natuerlich noch praktischer ist, da sie exakt passt.
Original von inflamespoker
sagt mal ist das normal, dass ich 4wochen im ersten (!) semester mathematik so eine aufgabe bekomme? ich mein ihr kommt mir hier mit formeln, die ich sicher erst viel viel später kennen lerne ... die aufgabe muss auch irwie loesbar sein mit den mitteln die ich bisher gelernt habe.. ^^
Also entweder uebersehen wir hier alle etwas, oder das ist schon ein ziemlicher Brocken. Ist schon recht anspruchvoll, zumal ihr sicherlich Differenzierbarkeit und insbesondere Integrale noch nicht hattet. Die Formeln, die hier sonst genannt werden, musst natuerlich noch nicht kennen. KA, ob die ueberhaupt behandelt werden.
Original von SlowLarry
Er meint meinen ^^Der ist auch sauber, nur ein bissel kompakt aufgeschrieben (Physikerkrankheit).
Würde mich aber auch interessieren, wie die Aufgabe ohne Integrale / Stirlingformel / Gammafunktion etc. mit elementaren Mitteln zu lösen ist. Wenn Du es weißt, kannst ja die Lösung posten
Fand den Beweis auch echt gut, nur das ich einige Stellen noch nicht so ganz verstanden habe. Mag auch daran liegen, dass ich noch nicht so lange studiere. Zur Kompaktheit: allein im ersten Schritt waren schon ne Menge Schritte vereint ^^
Und die elementare Loesung wuerde mich auch mal interessieren, also inflamespoker:
poste mal bitte die Lsg., wenn du sie bekommst.
Also die Loesung soll ich einfach mal übernehmen meint ihr^^? Ich versuch das noch zu verstehen. Genaugenommen ist das = Zeichen aber falsch oder? Ich meine der Linke teilt konvergiert ja gegen 1/e und nicht -1 oder irr ich mich grad.
Und in der 2ten Zeile wo du das auf einen Bruch bringst, fehlt im Zähler nicht n*?
Loesungen bekomme ich Donnerstag in den Übungen dann poste ich die euch
so far vielen dank :- )
ach und slowharry mit welchem tool hast du das so schoen aufgeschrieben?
Original von inflamespoker
Also die Loesung soll ich einfach mal übernehmen meint ihr^^? Ich versuch das noch zu verstehen. Genaugenommen ist das = Zeichen aber falsch oder? Ich meine der Linke teilt konvergiert ja gegen 1/e und nicht -1 oder irr ich mich grad.Und in der 2ten Zeile wo du das auf einen Bruch bringst, fehlt im Zähler nicht n*?
Loesungen bekomme ich Donnerstag in den Übungen dann poste ich die euch
so far vielen dank :- )
ach und slowharry mit welchem tool hast du das so schoen aufgeschrieben?
das = ist richtig, da oben links das ln vor dem Limes steht. Kannste jetzt beide Seiten e^ nehmen, dann hast links den zu berechnenden grenzwert zu stehen und rechts e^-1.
Und das in der 2.ten Zeile meinte ich auch vorhin, wie er da auf die Gleicheit zu dem darueber kommen. Imo muesste da vor dem -ln(n) im Zaehler noch ein n* kommen.