(a) Zeige: Sind k,n C (Element) N, so ist n^1/k (k-te Wurzel aus n) ganzzahlig oder irrational. (Tipp: Sie n^1/k = p/q mit p,q C N teilerfremd. Folgere q=1 mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.)
Vom Gedankengang eigentlich soweit ganz logisch, nur habe ich keine Ahnung wie ich die Primfaktorzerlegung anwenden soll. Mir ist klar, wie sie bei Zahlen funktioniert, jedoch nicht bei allgemeinen Variablen. Danke schonmal im Voraus 
Hast Du schonmal den analogen Beweis dazu gesehen, dass Wurzel 2 irrational ist?
Also angenommen k-te Wurzel n = p/q. Nimm dazu an, dass der Bruch bereits soweit wie möglich gekürzt ist. Dann weißt Du, dass sich p und q in Primfaktoren zerlegen lassen, also p = p_1 · ... · p_i, q = q_1 · ... · q_j.
Nun betrachte (p/q)^k.
Ja der Beweis zu Wurzel 2 ist mir bekannt Wo es hakt ist der Schritt => q=1. Mir ist es intuitiv schon bewusst, dass q 1 sein sollte, ich kann es aber auch nach deiner Hilfe zur Primfaktorzerlegung nicht wirklich aufs Papier bringen 
Wie meinst Du das mit q = 1?
Also wenn Du beim vollständig gekürzten Bruch bereits q = 1 stehen hast, ist es ja ganzzahlig. Du sollst ja nur zeigen, dass es entweder ganzzahlig oder irrational ist.
Also wenn bereits q = 1 ist, ist ja nichts weiter zu zeigen.
Nimm nun an, dass q ungleich 1 ist.
Nun soll ja (p/q)^k = n sein, also eine natürliche Zahl. Wo ist nun das Problem damit?
Was ich meine ist, unser Prof. hat uns ja den Tipp gegeben, darauf zu kommen, dass q=1 ist. So steht es auf dem Blatt ;). Dahin komme ich aber leider nicht.
Okay, jetzt verstehe ich, wie das gemeint ist. Aber da sind wir ja quasi nun:
"Nimm nun an, dass q ungleich 1 ist.
Nun soll ja (p/q)^k = n sein, also eine natürliche Zahl. Wo ist nun das Problem damit? "
n = (p/q)^k = (p_1 · ... · p_i)^k/(q_1 · ... q_j)^k = ?
Dabei ist n eine natürliche Zahl. Wenn man also n als vollständig gekürzten Bruch schreibt, wie sieht's dann aus? Was ist mit dem Bruch rechts? Kann man den kürzen? Wie sieht der Nenner aus?
der nenner wäre dann q1^k * ... * qi^k und man könnte mit dem zähöer nichts kürzen. oder täusche ich mich ?
Ja, genau. Weil man ja schon p und q so gewählt hat, dass man nichts kürzen kann. Also kann man bei p^k/q^k immer noch nichts kürzen, weil Zähler und Nenner immer noch keine gemeinsamen Primfaktoren haben. Nun ist der Nenner also immer noch nicht 1 und lässt sich auch nicht zu 1 kürzen. Also kann p^k/q^k keine natürliche Zahl sein. Dies widerspricht aber p^k/q^k = n. Somit muss die Annahme (k-te Wurzel n sei rational) falsch gewesen sein.
Habs verstanden .