Hi,
sagen wir, ich hab einen zusammengesetzten Poisson-Prozess Z_t = sum_{i=1}^{N_t} X_i = X_1+X_2+...+X_{N_t}. Dabei ist N_t ein gewöhnlicher Poisson-Prozess und X_i uiv exponentialverteilt. Kann ich dadraus explizit eine Dichte für Z_t ableiten?
Hab zwar einbisschen mit bedingten Dichten probieren, aber irgendwie bin ich da nicht so ganz glücklich.
Ich weiß ja nicht genau, wozu du die Dichte genau brauchst, aber das dürfte wohl nur schwer explizit anzugeben sein. Da aber Verteilungsfunktionen eindeutig durch ihre charakteristischen Funktionen f(t)=E(e^{itX}) gegeben sind, hilft folgendes evtl weiter:
die charakteristische Fkt einer zusammengesetzten Poisson-verteilung ist:
f(t)=exp{lambda*(g(t)-1)},
wobei g(t) die charakteristische Fkt der X_i ist. Für exponentialverteilte X_i ist dies:
g(t)=lambda/(lambda-it)
Es ergibt sich:
f(t)=exp{lambda*it/(lambda-it)}.
Für die Verteilungsfkt von Z_t gilt ansonsten:
F_Z(x)=sum_{k=1}^{infty} G^{k*}p_k
mit G^{k*} als k-facher Faltung der Verteilungsfkt der X_i und p_k=P(N_t=k). Aber wie gesagt, kann man da wohl nicht viel explizit mit machen..
Original von Lukas8462
F_Z(x)=sum_{k=1}^{infty} G^{k*}p_kmit G^{k*} als k-facher Faltung der Verteilungsfkt der X_i und p_k=P(N_t=k). Aber wie gesagt, kann man da wohl nicht viel explizit mit machen..
bist du dir da sicher? Intuitiv leuchtet es mir zwar ein, aber ich weiß nicht ob das wirklich so einfach geht
die G{k} sind btw erlangen verteilt, also kann mans dann schon recht einfach explizit als reihe angeben. Ob sich das Summenzeichen irgendwie wegkriegen lässt könnte man dann mit nem matheprogramm prüfen lassen
€. sollte doch so gehen
Das Problem ist, ich bräuche die Dichte schon explizit, weil ich damit die Verlustdichte berechnen will. Meine Idee war:
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit, Gesetz der Totalen Wahrscheinlichkeit)
N hat Intensität beta
X_i sind Exp(eta)-verteilt
Gegeben eine Realisierung von N_t=n habe ich die bedingte Dichte
f_X (x | N_t=n) = eta^n / (n-1)! * x^{n-1} * exp(-eta*x)
Zähldichte von N ist ja P(N_t=k) = (beta*t)^k / k! * exp(-beta*t)
Damit hab ich die Gesamtdichte als Produkt der beiden:
sum_{k=1}^{infty} (beta*t*eta)^k / (k!*(k-1)!) * x^{k-1} * exp(-(beta*t+eta)*x)
weiß jetzt nicht, ob man das so machen kann, jedenfalls kann man das mit Hilfe der Besselfunktion ausdrücken, aber irgendwie scheint das Ergebnis nicht zu passen
