Interpretation von log-log-Regression

An sich sind solche "Mischmodelle" wie du sie nennst, kein Problem. Eine OLS Schaetzung sollte BLUE sein. Evtl. kann es weitere Probleme geben, wenn Y und Z multicollinearity Probleme haben. An sich solltest Du aber keine multicollineare Schaetzung verwenden

a wird wie ein log-log coefficient interpretiert
=> Y steigt um 1%, dann steigt X um a%.

b wird wie ein semi-log coefficient interpretiert.
=> Z steigt um eine Einheit, dann steigt X um b%.

GT

Original von GinTonic999
An sich sind solche "Mischmodelle" wie du sie nennst, kein Problem. Eine OLS Schaetzung sollte BLUE sein. Evtl. kann es weitere Probleme geben, wenn Y und Z multicollinearity Probleme haben. An sich solltest Du aber keine multicollineare Schaetzung verwenden

a wird wie ein log-log coefficient interpretiert
=> Y steigt um 1%, dann steigt X um a%.

b wird wie ein semi-log coefficient interpretiert.
=> Z steigt um eine Einheit, dann steigt X um b%.

GT

korrekt.

kannst einzelne variablen logarithmieren wie du willst. ist und bleibt ja alles ne OLS-schätzung.
interpretation wurde auch richtig beschrieben...:)

Oder anders formuliert: a ist die Elastizität.

Cool! Vielen Dank!

Eine ergänzende Frage habe ich noch:

Bei meiner Rechnung (log-log) komme ich für eine bestimmte Variable auf einen Wert von ca. 0,8 für den Koeffizienten. Im Sinne der log-log-Interpretation würde das ja bedeuten, dass wenn Y um 1% steigt, würde X um satte 80% steigen.

Das macht in diesem Fall aber überhaupt keinen Sinn, weil die beiden Variablen viel 'enger' zusammenhängen sollten.

Oder gibt es Grenzen hinsichtlich einer passenden Interpretierbarkeit?

Nein, deine interpretation ist falsch:

Y steigt um 1%, dann steigt X um a%.

also

Y steigt um 1%, dann steigt X um 0.8%.

GT

Hi GT,

danke für deine Comments.
Deine Interpretation leuchtet mir ein, allerdings habe ich in der Literatur mehrere Beispiele gefunden, in denen derartige Koeffizienten anders interpretiert werden.

Hast du vielleicht eine geeignete Quelle, in der man das nachlesen kann.

Viele Grüße

p

Edit: Hab selber eine gefunden
http://www.ats.ucla.edu/stat/sas/faq/sas_interpret_log.htm
Wäre trotzdem cool, wenn du/ihr noch eine andere hättet.

Also, einen Artikel in einer Fachzeitschrift faellt mir spontan nicht ein.
Einfach Standard-Textbuch:
Greene, Econometric Analysis, Fifth Edition, 2002
Seite 122f (Non-linearity in the Variables - Loglinear Model)

"In the loglinear equation, measured changes are in proportional or percentage terms; β_k measures the percentage change in y associated with a one percent change in x_k."

Und hier noch der Link
http://stat.smmu.edu.cn/DOWNLOAD/ebook/econometric.pdf

GT

Man kann die Gleichung auch einfach nach X umstellen, also e^ nehmen auf beiden Seiten und dann ableiten. Dann erhält man die Interpretationen...

Genau das.
Habe bestimmt schon einiges über Mathe gehört, aber eine log-log-Regression ist mir fremd.

Wenn Du es wie Sleyde umstellst, kommt je nachdem ob Z komplex oder reell ist, eben entweder eine Exponential-Zerfall-Gleichung (möglicherweise mit genau einer "Schwingung") heraus oder halt eine normale Schwingungsgleichung.

A+B sind einfach Konstanten, in den meisten Anwendungsszenarien sind halt es halt Integrationskonstanten die halt den Anfangsbedingungen angepaßt werden, so möglich.
Im Fall, daß Z komplex ist, wäre B halt eben im Prinzip die Phasenverschiebung in der Schwingungsgleichung, wenn nicht ist es Dämpfungsterm. A drückt halt die Amplitude aus.

Ich weiß nicht ob Dir das was hilft, Deine Wortwahl sagt mir umgedreht auch nichts

Net so kompliziert ey! ♦

Wenn du das Model ln(x) = a*ln(Y) + e hast und wissen willst, wie sich X ändert, wenn sich Y um eine marginale Einheit ändert, dann bildest du die Ableitung dX/dY. Dazu musst man erst nach X umstellen, also:

X = e^(ln(X)) = e^(a*ln(Y)) = X

Das geht mit einer kleinen Änderung der Annahme über die Relation von Y und dem Fehlerterm einher ggüber der üblichen Annahme von E(e|Y)=0 oder Cov(e,Y)=0. Ist aber nicht weiter von praktischer Relevanz mMn. Dann ableiten, recall Ableitungsregeln für e-Funktion:

dX/dY = X*1/Y*a

a= dX/dY * Y/X

was nichts anderes als die Elastizität ist.

analog für log-normal und normal-log etc.

Sleyde's Rechnung ist korrekt, aber sie funktioniert nur so gut in seinem Mini-Beispiel mit
ln(x) = a*ln(y) + e

Mit einem totalen Differential kann man das auch allgemein zeigen.

Die uebliche Annahme das E(e|Y) = 0 und cov(e,Y) = 0 haelt auch nach dem Change of Variables, weil per Annahme e Normalverteilt ist und dann folglich log(e) log-normal verteilt ist (ebenfalls normal verteilt). Allerdings braucht man keinen Change of Variable, wenn das totale Differential benutzt wird.

In einer Diplomarbeit sollte aber eigentlich kein solcher Beweis gebraucht werden, nicht mal im Anhang, eine Verweis auf ein gaeniges Lehrbuch sollte voellig ausreichen.

GT