Hallo,
ich habe folgende Aufgabe.
Zeigen sie a - b | a^n-b^n für alle a,b e Z und n e N.
Leider habe ich überhaupt keine Idee, was ich da machen könnte.
Bisher ging es bei solchen Aufgaben bei uns immer in die Richtung, dass ich a^n-b^n so weit umgeformt hätte, dass ich irgendwann a - b * (...) als Ergebnis habe.
Könnte mir jemand einen Asantz geben, wo ich ansetzen muss?
Gruß Swizz
lol easy a^n - b^n = (a - b)^n und (a-b)^n : (a-b) = (a -b)^(n-1)= a^(n-1) - b^(n-1)
ok Spaß beiseite. Ja Induktion in Verbindung mit Polynomdivision führt zum Ziel
Das folgt auch ohne Induktion aus der Identität
a^n - b^n = (a-b)[a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b² + ... + ab^(n-2) + b^(n-1)]
Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, bekommt man eine Teleskopsumme, bei der sich alle bis auf den ersten und letzten Term gegenseitig aufheben.
Hab es mit der Induktion hingekriegt. Danke.
Ich habe noch zwei Fragen, die ich nicht hinbekomme.
Eine ist.
Gibt es vier Würfel mit ganzzahliger Kantenlänge, so dass die Summe der Volumina der drei kleineren Würfel gleich dem Volumen des größten Würfels ist? Gilt entsprechendes für drei Würfel.
So wie ich das verstehe ist die zweite Frage der große fermatsche Satz und es sollte reichen, dass hinzuschreiben und anzumerken, dass man das nicht kann.
Wie ist das mit dem ersten Teil. Ist das auch was super schweres, oder ist das zu machen?
Original von swizz
Hab es mit der Induktion hingekriegt. Danke.Ich habe noch zwei Fragen, die ich nicht hinbekomme.
Eine ist.
Gibt es vier Würfel mit ganzzahliger Kantenlänge, so dass die Summe der Volumina der drei kleineren Würfel gleich dem Volumen des größten Würfels ist? Gilt entsprechendes für drei Würfel.
So wie ich das verstehe ist die zweite Frage der große fermatsche Satz und es sollte reichen, dass hinzuschreiben und anzumerken, dass man das nicht kann.
Wie ist das mit dem ersten Teil. Ist das auch was super schweres, oder ist das zu machen?
Ok hier ist es wirklich easy, weil die Aufgabe schlecht gestellt ist ♦
Da die Würfel ganzzahlige Kantenlängen haben dürfen, nimm die Würfel der Kantenlänge null. Gilt für vier, als auch für drei Würfel.
Ich glaube nicht, dass Kantenlängen 0 akzeptiert werden, aber die Idee ist gut. Und du hast recht, es ist wirklich schlecht gestellt.
So ich habe jetzt noch eine letzte Aufgabe, die eigentlich total trivial ist, aber ich habe keine Ahnung wie ich das hinschreibe.
Für x e R bezeichnet [x] die größte ganze Zahl kleiner gleich x z.b [5,2]= 5, [-6,2]=-7, [8]= 8 .
Zeigen sie das gilt x =< y => [x]=<[y] für alle x,y e R
Im Fall das x gleich y ist per Definition [x]=[y]
Im Fall das x kleiner y ist, gilt [x]=[y] wenn beide Zahlen die gleiche Zahl vor dem Komma haben und [x]<[y], wenn y eine größere Zahl vor dem Komma hat.
Damit dürften alle Fälle abgedeckt sein.
Aber wie schreibe ich das formal auf?
Widerspruchsbeweis unter der Annahme, dass [x] > [y]
und dann mal versuchen, x in nen ganzzahligen [x] Teil und nen [0,1) Teil aufzusplitten.
Original von swizz
Hab es mit der Induktion hingekriegt. Danke.Ich habe noch zwei Fragen, die ich nicht hinbekomme.
Eine ist.
Gibt es vier Würfel mit ganzzahliger Kantenlänge, so dass die Summe der Volumina der drei kleineren Würfel gleich dem Volumen des größten Würfels ist? Gilt entsprechendes für drei Würfel.
[...]
Wie ist das mit dem ersten Teil. Ist das auch was super schweres, oder ist das zu machen?
Es gibt viele Zahlenkombinationen a,b,c,d aus N, die a^3+b^3+c^3=d^3 erfüllen, z.B.
3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3
Original von Blinzler
Widerspruchsbeweis unter der Annahme, dass [x] > [y]und dann mal versuchen, x in nen ganzzahligen [x] Teil und nen [0,1) Teil aufzusplitten.
Könntest du mir vielleicht noch mal weiter helfen?
Ich habe so angefangen.
Angenommen ich sage, x1 bzw y1 ist der ganzzahlige Teil und x2 bzw y2 ist der Nachkommateil.
x1,x2>y1,y2 =>x1 > y1 v (x1 = y1 ^ x2 > y1) => [x] > [y] v [x] = [y]
Das heißt, wenn x > y => [x] >= [y]
Das bringt mich aber nicht wirklich weiter, oder?
Muss es überhaupt ein Widerspruchsbeweis sein?
Wenn ich es einfach so mache, reicht das?
x1,x2<y1,y2 =>x1 < y1 v (x1 = y1 ^ x2 < y1) => [x] < [y] v [x] = [y]
Ok, ich bin jetzt so weit gekommen
Sei x = x1,x2 mit x1 = Ganzzahlkomponente von x1 und x2 = Nachkommakomponente von x2.
Sei x = y1,y2 mit x1 = Ganzzahlkomponente von y1 und y2 = Nachkommakomponente von y2.
(a) z.z. x =< y => [x]=<[y] für alle x, y e R
x =< y => x1,x2 =< y1,y2 => x1 < x2 v (x1 = y1 ^ x2 < y2) v (x1 = y1 ^ x2 = y2) => [x]<[y]v[x]=[y]v[x]=[y] => [x]=<[y]
(b) Ist eine der beiden Regeln [x+y] =< [x]+[y] bzw. [x+y] >= [x]+[y] allgemeingültig für x,y e R?
[x+y]=[x1,x2+y1,y2]=[(x1+y1),(x2+y2)]v[(x1+y1+1),(x2+y2-1)]= x1+y1 v x1+y2+1 =[x]+[y]v[x]+[y]+1>= [x]+[y]
Muss ich bei B noch irgendwie eine Fallunterscheidung machen, für negative Zahlen, oder reicht das so?
a) Wie du es gemacht hast, kannst du Probleme bei negativen Zahlen bekommen, weil du die nicht so einfach als kommazahl schreiben kannst.
-6,2 = [-6,2] (=-7) + 0,8
Sei x< y
x = x1 + x2
y = y1 + y2
mit x1,y1 €Z, x2, y2 € [0,1)
Annahme: [x] > [y] <=> x1 > y1
=> Es existiert n € N: x1 = y1+n
x < y
x1 + x2 <= y1 + y2
x1 - y1 <= y2-x2
n <= y2-x2
Und y2 - x2 < 1, da y2 < 1 und x2 >= 0
Ergo Widerspruch, da n € N und damit >= 1
