Paar Mathefragen (Seminar)

Da du von positiv definit redest, nehme ich mal an wir rechnen über den reellen Zahlen?
Dann ist A* ja einfach die transponierte Matrix zu A.
Damit sieht man ja direkt, dass (A*A)* = A*A, also A*A symmetrisch ist.
A und A* haben ja dieselben Eigenwerte, denn det(A-tE) = det ((A-tE)*) = det(A*-tE), also sind die Eigenwerte von A*A die Quadrate der Eigenwerte von A.

Gramsche Matrix?

Kondition definiert ueber sup{(Ax)/x), x->0}?
bzw. k = ||A|| ||A^-1||

||A*A|| ||(A*A)^-1|| = k2

k2 <= ||A*|| ||A|| ||A^-1|| ||A*^-1|| = k1 k1*

vllt hilft das. bin selber nicht so gut in Mathe

Bezüglich Kondition, die ist |größter EW| / |kleinster EW|.

Da die EW in A^T A ja die Quadrate von den EW in A sind, ist die kondition auch das Quadrat und somit deutlich größer.

Original von crt32
Da du von positiv definit redest, nehme ich mal an wir rechnen über den reellen Zahlen?
Dann ist A* ja einfach die transponierte Matrix zu A.
Damit sieht man ja direkt, dass (A*A)* = A*A, also A*A symmetrisch ist.
A und A* haben ja dieselben Eigenwerte, denn det(A-tE) = det ((A-tE)*) = det(A*-tE), also sind die Eigenwerte von A*A die Quadrate der Eigenwerte von A.

positive definitheit beschränkt sich nicht auf reelle Zahlen...weiss also daher nicht wie das mit der Symmetrie klappen soll,

es gilt ja dann (A*A)* = A*A, aber das ist ja nicht auf den ersten Blick symmetrisch, denn die Transponierte einer adjungierten Matrix muss ja eben nicht die selbe sein ..

Ist A*A symmetrisch/hermitesch folgt

A*A = (A*A)*

(AB)* = B*A*

(A*A)* = (A)*(A*)* = (A*)(A)

Positiv definit ist eine quad. Matrix dann, wenn alle Eigenwerte > 0
(folgt aus x*Ax > 0)
Wenn du also nachweist, dass A*A nur positive Eigenwerte hat dann hast du diesen Teil UND den mit der Kondition. Glaub ich..

erst einmal ist es unmöglich zu zeigen, dass A*A symmetrisch ist, also das gilt (A*A)^T = A*A, gilt wohl wirklich nur im reellen. Das A^T*A die quadrierten Eigenwerte von A hat versteh ich nicht, bzw. ich wüsste nicht wie man darauf kommen sollte.

Symmetrie: Eigenschaft in |R,
Hermitesch: Eigenschaft in |C

In |R gilt A* = At
In |C gilt A* = conjcompl(A) t

Fuer das Adjungierte ist es aber egal.
Symmetrie kannst du natuerlich nur fuer |R nachweise, da es ueber |C nicht definiert ist, dafuer gibt es aber hermitesch.

A x = \lambda x => (A - I\lambda) x = 0
A*A x = \lambda2 x => (A*A - I\lambda2) x = 0

A*Ax = A*I\lambda x = \lambda2 x

x*A*Ax = x*A*I\lambda x = (Ax)*I\lambda x = (I\lambda x)*I\lambda x =
x*I*\lambda I \lambda x = x* I\lambda^2 x = x* I \lambda2 x

fuer x == Eigenvektor.
oehm. keine ahnung, ob das so geht, hab mir das grad aus den Fingern gesogen.