[Geschlossen] periodische Dezimalzahl (6.Klasse)

Najo. Wenn man nicht dividieren darf, dann multiplizierst du halt im kopf.

4/17 = 1/17 * 4 . 5*4 sind 20, wegen der 8 danach bisschen mehr, also bist du bei 0.2352.... etc.
Das gleiceh mit 5. 5*5 = 25, wieder bisschen draufzählen, guckst dir die periode an. Da kommt die 0.29411... in Frage. Ansonsten halt genau ausrechnen schriftlich. Können das 6. Klässler?
Zuletzt noch 9*5 = 45. -> 0.5294...

Für kleine Kinder ist die Aufgabe jedenfalls sick.

ja aber WARUM ist das bei der dieser periodischen Zahl so, dass immer die gleichen Zahlen in der gleichen Reihenfolge kommen?

dass es so ist, hab ich mir probieren rausbekommen.

aber warum ist das bei 1/17 und nicht bei 1/3 ????

denn 1/3 = 0,3333333333333
2/3 = 0,666666666666

andere Zahlen.

Warum sind es denn die gleichen in der gleichen Reihenfolge. Das kommt mir noch nicht so in den Sinn.

na wall mathe forrückt is.

ne also man kann durch schriftliche division darauf schließen. man bekommt dann immer einen rest, an den man dann eine null ranhängen muss, um die neue stelle zu berechnen. bei 1/17 ist eine periode halt eben maximal 16 stellen lang. und siehe da, man bekommt immer einen neuen rest (1-16), während bei der division von 1/3 bzw. 2/3 halt verschiedene rester herauskommen, die sich immerwieder selbst generieren.

nen genauen grund weiß ich nicht.

Original von Antalagor
na wall mathe forrückt is.

ne also man kann durch schriftliche division darauf schließen. man bekommt dann immer einen rest, an den man dann eine null ranhängen muss, um die neue stelle zu berechnen. bei 1/17 ist eine periode halt eben maximal 16 stellen lang. und siehe da, man bekommt immer einen neuen rest (1-16), während bei der division von 1/3 bzw. 2/3 halt verschiedene rester herauskommen, die sich immerwieder selbst generieren.

nen genauen grund weiß ich nicht.

Der wiederkehrende Rest ist auch bei 1/17

1/17 = 0,0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 ....
also der Rest taucht auch irgendwann wieder auf. Das wunder ist ja, dass wenn man die zahl verdoppelt, verdreifacht.... die selbe zahlenfolge als periode auftacht.
4/17= 0,235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588

Vergleich 1/3 = 0,33333333
2/3 = 0,66666666666
ist andere Zahl die in 1/3 nicht drin ist

doppelpost

probiers mal mit "schriftlicher division". du hast meine idee noch nicht verstanden. den rest siehst du nicht in der dezimalzahl.

Original von Antalagor
probiers mal mit "schriftlicher division". du hast meine idee noch nicht verstanden. den rest siehst du nicht in der dezimalzahl.

der Rest MUSS ja wiederkehren, sonst wäre die Zahl nicht periodisch. Nach der 16sten division kommt wieder der oberste Rest raus, der dann sich wie oben immer wiederholt.
Bei 1/3 ist dieser Rest halt nach dem ersten Schritt immer gleich.

warum gehts dann bei 1/11 nicht ?
0,09090909090909090909090909090909

2/11= 0,18181818181818181818181818181818

oder ich verstehe dich wirklich nicht

is schon alles richtig so. liegt wohl, wie du vermutet hast, daran dass es eine primzahl ist

siehe
1/13 = 0,0769230
3/13 = 0,230769230769230...

gleiches phänomen bei

1/7 = 0,142857
3/7 = 0,42857142857...

aber ist nicht bei allen primzahlen so.
ist wohl n "fehler" im 10er system.
im 2er system würde es vermutlich aufgehen.
ne mathematische erklärung fänd ich aber auch interessant.

Original von schamubaer
is schon alles richtig so. liegt wie du richtig vermutet hast daran dass es eine primzahl ist

siehe
1/13 = 0,0769230
3/13 = 0,230769230769230...

gleiches phänomen bei

1/7 = 0,142857
3/7 = 0,42857142857...

wenn du durch primzahlen teilst und das ergebnis nicht aufgeht hast du immer die gleiche periode hinten wieder dran, weil die primzahl selbst ja keinen teiler hat.

"3" und "11" sind auch Primzahlen ...

EDIT sagt: Du warst zu langsam!

guck: bei 13 haben 2 kleinere schleife mit 6 stellen.
bei 3 haben wir zwar zwei schleifen (3;6) aber nur 1 stelle
bei 17 1 schleife mit 16 stellen.
bei 11 5 schleifen (18;09;27;36;45) mit jeweils 2 stellen.

wenn man alle schleifen aneinanderreiht, dann kommt immer als länge die zahl-1 raus

16 ist maximal, weil halt nurmal rester von 1-16 entstehen können beim teilen durch 17.

und dann ist auch klar, warum 1/17 , 2/17, 3/17 die gleiche periode ergibt. da das genau die 16 rester sind, die beim teilen durch 17 vorkommen können. und da alle teil der periode sind, kommt man auch nur auf die periode zurück.

"3" und "11" sind auch Primzahlen ...

nein echt?

Original von schamubaer

"3" und "11" sind auch Primzahlen ...

nein echt?

Echt frech, erst Scheisse labern, dann Beitrag nachträglich editieren und den Poster, der auf den entfernten Müll reagiert hat, anmachen...

Original von csTFG

Original von schamubaer

"3" und "11" sind auch Primzahlen ...

nein echt?

Echt frech, erst Scheisse labern, dann Beitrag nachträglich editieren und den Poster, der auf den entfernten Müll reagiert hat, anmachen...

was willst du denn?

1. ich habe den beitrag editiert weil ichs elbst nich ganz mit meiner aussage zufrieden war und nicht weil jemand anders irgendwas geschrieben hat. oO

2. was hat mein edit mit der tatsache zu tun dass 3 und 11 primzahlen sind und ich mir dessen bewusst bin?

3. mache ich ihn nicht an -> smilie

4. is dein beitrag überflüssig

Original von schamubaer
1. ich habe den beitrag editiert weil ichs elbst nich ganz mit meiner aussage zufrieden war und nicht weil jemand anders irgendwas geschrieben hat. oO

2. was hat mein edit mit der tatsache zu tun dass 3 und 11 primzahlen sind und ich mir dessen bewusst bin?

3. mache ich ihn nicht an -> smilie

4. is dein beitrag überflüssig

zu 1.) habe ich auch nie behauptet
zu 2.) siehe letzten Satz in Prussian Quote
zu 3.) gut zu wissen, du Mathestratege
zu 4.) nein echt?

Original von csTFG

Original von schamubaer
1. ich habe den beitrag editiert weil ichs elbst nich ganz mit meiner aussage zufrieden war und nicht weil jemand anders irgendwas geschrieben hat. oO

2. was hat mein edit mit der tatsache zu tun dass 3 und 11 primzahlen sind und ich mir dessen bewusst bin?

3. mache ich ihn nicht an -> smilie

4. is dein beitrag überflüssig

zu 1.) habe ich auch nie behauptet
zu 2.) siehe letzten Satz in Prussian Quote
zu 3.) gut zu wissen, du Mathestratege
zu 4.) nein echt?

kommt - stänkert rum - und geht nicht wieder

ist imho fast ne strafe wert. macht die diskussion woanders. ja ich weiß, in diesem post von mir ist auch nichts topic-interessantes. aber von sowas krieg ichn hals.

Vielleicht interessiert in diesem Zusammenhang den einen oder anderen, wie lang bei einer Dezimalentwicklung von einer rationalen Zahl 1/q bzw. allgemeiner p/q (vollständig gekürzt) die Vorperiode (also die Anzahl der Ziffern bevor die Zahl periodisch wird) und die Periode ist. Zum Beispiel ist 1/24=0.04166666666..., 1/24 hat also eine 3-stellige Vorperiode (041) und eine 1-stellige Periode (6).
Allgemein gilt folgender

Satz: Sei x=p/q die Darstellung einer vollständig gekürzten rationalen Zahl.
a) Länge der Vorperiode: Ist q=(2^m) * (5^n) * q' wobei q' weder durch 2 noch durch 5 teilbar ist, so ist die Länge der Vorperiode gleich max(m,n).
b) Länge der Periode: Die Länge der Periode ist genau k, wenn q' kein Teiler von (10^j) - 1 (j=1,...,k-1) und q' Teiler von (10^k) - 1 ist.

Beispiel: 24=(2^3) * 3, 3 teilt (10^1) - 1=9 also ist die Länge der Vorperiode gleich 3 und die Länge der Periode gleich 1.

Original von KittenKaboodle
Vielleicht interessiert in diesem Zusammenhang den einen oder anderen, wie lang bei einer Dezimalentwicklung von einer rationalen Zahl 1/q bzw. allgemeiner p/q (vollständig gekürzt) die Vorperiode (also die Anzahl der Ziffern bevor die Zahl periodisch wird) und die Periode ist. Zum Beispiel ist 1/24=0.04166666666..., 1/24 hat also eine 3-stellige Vorperiode (041) und eine 1-stellige Periode (6).
Allgemein gilt folgender

Satz: Sei x=p/q die Darstellung einer vollständig gekürzten rationalen Zahl.
a) Länge der Vorperiode: Ist q=(2^m) * (5^n) * q' wobei q' weder durch 2 noch durch 5 teilbar ist, so ist die Länge der Vorperiode gleich max(m,n).
b) Länge der Periode: Die Länge der Periode ist genau k, wenn q' kein Teiler von (10^j) - 1 (j=1,...,k-1) und q' Teiler von (10^k) - 1 ist.

Beispiel: 24=(2^3) * 3, 3 teilt (10^1) - 1=9 also ist die Länge der Vorperiode gleich 3 und die Länge der Periode gleich 1.

alles super.
Darf ich aber mal darauf hinweisen, das diese Fragestellung aus einer 6. Klasse stammt. Also wo ist jetzt eine einfache Erklärung, passend zum Wissen dieser Stufe??

1) Der Schüler muss sich klar machen, dass die Zifferfolge von 4/17 an der Periode von 1/17 prinzipiell ablesbar ist. Warum das so ist, wurde schon gesagt.
2) Wegen 1/17 < 2/17 < usw. sucht der Schüler innerhalb der Ziffernfolge den Anfangspunkt so raus , dass es die viertkleinste Zahl darstellt.
1/17 = 0,0588235294117647...
Da wo die 117... steht, kann man die zweitkleinste Zahl konstruieren:
2/17 = 0,1176470588235294
Es folgt
3/17=0,1764705882352941
und schließlich
4/17=0,2352941176470588

Original von KittenKaboodle
1) Der Schüler muss sich klar machen, dass die Zifferfolge von 4/17 an der Periode von 1/17 prinzipiell ablesbar ist. Warum das so ist, wurde schon gesagt.
2) Wegen 1/17 < 2/17 < usw. sucht der Schüler innerhalb der Ziffernfolge den Anfangspunkt so raus , dass es die viertkleinste Zahl darstellt.
1/17 = 0,0588235294117647...
Da wo die 117... steht, kann man die zweitkleinste Zahl konstruieren:
2/17 = 0,1176470588235294
Es folgt
3/17=0,1764705882352941
und schließlich
4/17=2352941176470588

yow... klappt aber bei
1 / 53 und 3 / 53 nicht, also wo ist der simple, mathematische beweis den ein 6. klässler versteht?