Wenn ich zwei stochastische Prozesse der Form:
dP= µ1dt + sigma1dW
dV= µ2dt + sigma2dW
habe. Warum genau ist dann dPdV = sigma1*sigma2*(dW)² = sigma1*sigma2*dt ?
also dass (dW)²=dt weiß ich, aber warum man nur die stochastischen Terme miteinander mulitiplizieren muss, weiß ich nicht.
edit: zur Erklärung, warum ich Produktregel meine:
d(PV) = dP*V + P*dV + dP*dV
und da interessiert mich explizit der letzte Term.
Hi,
wenn ich mich richtig erinnere, steht das Symbol dX * dY für den Kovariationsprozeß zweier "geeignet schöner" stochastischer Prozesse X und Y.
Damit sollte dX * dY Cauchy-Schwarz genügen: |dX * dY|^2 kl.-gleich (dX)^2 * (dY)^2, letztere Symbole bezeichnen die Variationsprozesse assoziiert zu den Ausgangsprozessen.
Insbesondere folgt aus der CS-Ungleichung dW dt = 0 = dt dW, da "dt" das Inkrement eines Prozesses mit beschränkter Variation beschreibt, insb. ist die quadratische Variation (dt)^2 gleich 0.
Deine Prozesse P und V sind sicherlich in der Klasse "geeignet schön". Ich frage mich allerdings, ob die Prozesse von unabhängigen Brownschen Bewegungen gesteuert sind oder ob beide Prozesse von der gleichen BB abhängen.
Im Zweifel schau dir die Funktion f(x,y) := x * y und den Beweis der mehrdimensionalen Ito - Formel an.
Beste Grüße,
WR
P. S. Wie gesagt, meine StochAna ist so sieben Jahre her, das Zeug hab ich nicht mehr am kleinen Finger (evtl. hatte ich es nie am selbigen =)).
Ich glaube allerdings, dass man die Sachen bei Deinen Prozessen explizit nachrechnen können sollte, die Prozesse zu den SDEs kennt man ja...
P. P. S. Ich gehe mal davon aus, dass Deine Prozesse Ito-Prozesse sind, bei Stratonovic Sachen kenn ich mich gar nicht mehr aus...
Original von wmdr81
Ich frage mich allerdings, ob die Prozesse von unabhängigen Brownschen Bewegungen gesteuert sind oder ob beide Prozesse von der gleichen BB abhängen.Im Zweifel schau dir die Funktion f(x,y) := x * y und den Beweis der mehrdimensionalen Ito - Formel an.
Müsste dieselbe BB sein, bei unabhängigen wäre die Kovariation 0.
ja, eigentlich ist es genau das:
Original von wmdr81
Im Zweifel schau dir die Funktion f(x,y) := x * y und den Beweis der mehrdimensionalen Ito - Formel an.
Du hast einen Ito Prozess X und einen Y und die Funktion f(x,y)=x*y, dann hast du nach dem Ito Lemma
d(f(X,Y)) =d (X*Y) = ∂f/∂t dt+ ∂f/∂X dX + ∂f/∂Y dY + 1/2 ∂f^2 / ∂XX dX^2+ 1/2 ∂f^2 / ∂YX dYdX + 1/2 ∂f^2 / ∂XY dXdY + 1/2 ∂f^2 / ∂YY dY^2
wobei
∂f/∂t = 0,
∂f^2 / ∂XX = ∂f^2 / ∂YY =0,
∂f/∂Y =X,
∂f/∂X =Y,
∂f^2/∂Y∂X=1,
also bleibt stehen:
X dY + Y dX + dXdY
Das ist schon klar. Nur mir ist immer noch nicht so ganz klar, warum man, um dXdY zu berechnen nur die Koeffizienten der Brownschen Bewegung miteinander multiplizieren muss.
Es sind Ito-Prozesse.
oh ja, das habe ich bei der Herleitung der ito-formel schonmal gesehen.
Gilt das eigentlich approximativ oder wirklich mit Gleichheit? Wir haben die Ito-formel mit einer Taylorentwicklung (ich will nicht sagen hergeleitet) "erklärt" und dann einfach gemeint, dass einige der dt Terme mit höheren Ordnungen 0 sind.
Das gilt schon genau. Für (dt)² ist es auch recht einfach, (dt)² = 0 bedeutet ja nichts anderes als dass Intrgral von 0 bis t von (ds)² = 0 ist für alle t. Dann kannst du t aufteilen in n gleichlange stücke mit der länge t/n und du summierst (t/n)² auf. Dabei kommt t/n raus. Wenn du n gegen unendlich gehen lässt kommt genau das integral raus, dessen wert t/n gegen 0 konvergiert ist.
Für dWdt musst du dann zeigen, dass die Varianz des integrals auch 0 ist. Das ist nicht schwer, aber das aufzuschreiben ist recht mühsam.
Alternativ kann man es sich auch folgendermaßen überlegen: Man hat eine Summe über n gleiche teile und will n gegen unendlich gehen lassen. Damit das Integral gegen 0 gehen kann muss also jeder summand durch n geteilt schon gegen 0 konvergieren. Dazu kann man zeigen, dass (W(t+h)-W(t)) * (t+h-t) / h gegen 0 geht mit h gegen 0 (der term ist also in o(h) ). Dies ist auch der Fall da W(t+h)-W(t) gegen 0 geht mit h gegen 0.
