[Geschlossen] staking-mathematik

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Ist das nicht unfair, wenn nur das Verlustrisiko des Backers ausgeglichen wird? Er sollte ja schließlich auch einen Anreiz haben, dich zu staken.

Ohne deine Winrate anzugeben werden hier auch keine konkret begründeten Zahlen kommen. Vorrausgesetzt, du schlägst das angepeilte Limit jedoch mit einer angemessen Winrate, halte ich 100/33 angemessen.

Hallo DonSalva,

ich habe das Sytem untersucht bei dem die Gewinne 50:50 aufgeteilt werden und die Verluste vollständig vom Geldgeber (Staker) getragen werden.

Eins vorn weg: ein System, bei dem ein Spieler das volle Risiko tragen muss, ist immer sehr gefährlich und erfordert sehr viel Vertrauen zwischen beiden Parteien. Wenn der Geldgeber für die gesamten Verluste aufkommt, kann es dem Spieler relativ egal sein, wieviel er verliert. Für ihn ist nur wichtig wieviel er gewinnt. Er kann also durchaus Losses Chasen, da es ihm gleich ist, ob er 100 BB oder 300 BB verliert. Das System funktioniert also nur, wenn der Spieler seinen Geldgeber nicht ausnutzt.

Für die Berechnung der Erwartungswerte für beide Parteien, nimmt man eine Gaußsche Normalverteilung an. Diese Annahme ist aber nur im Grenzfall großer Sample Size erfüllt. Für FL ist das schnell erfüllt, da dort der Outcome pro Hand nur relativ wenig schwankt. Für NL dauert die Konvergenz länger, aber es geht trotzdem noch recht schnell. Ab 10k Händen kann man von einer Normalverteilung ausgehen. Anders sieht das bei MTTs aus. Durch die enorm unsymmetrische Auszahlungsstruktur (ein erster Platz gewinnt viel mehr als ein zehnter), muss man recht viele Tournaments spielen. (Genau weiß ich jetzt nicht ab wievielen es konvergiert, aber vielleicht so ab 1000 MTTs.) Exkate Abschätzungen zur Konvergenz liefert der zentrale Grenzwertsatz.

Nun aber zur Berechnung des EVs. Der Spieler bekommt immer die Hälfte vom tatsächlichen Gewinn x. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gewinn x erreicht wird, liefert die angesprochene Gaußsche Verteilungsfunktion f(x) = 1/(s*(2Pi)^0.5) * exp(-0.5*((x-µ)/s)^2). Dabei ist µ der erwartete Gewinn (je nach Winrate) und s die Standardabweichung auf die entsprechende Sample Size. Als EV ergibt sich somit das Integral:

EV des gestakten Spielers = Integral_0_unendlich von (x/2 * f(x) dx)

Da die Gaußsche Verteilungsfunktion keine Stammfunktion besitzt, kann man das Integral nicht analytisch lösen. Was man statt dessen benutzt ist das normierte Gaußsche Fehlerintegral F(x). Für F(x) sind die Werte tabelliert. Man kommt durch Umformung der obigen Gleichung auf:

EV(Spieler) = s/2 * (2Pi)^-0.5 * exp(-0.5*(µ/s)^2) + µ/2 * F(µ/s)

Diese Gleichung sieht jetzt erstmal kompliziert aus, aber durch einsetzen des zu erwarteten Gewinns µ und der Standardabweichung s kann man den EV berechnen. Am besten wir schauen uns die EVs für verschiedene Sample Sizes an.

Beispiele

Typisch für 6max Fixed Limit ist eine Winrate von 1 BB/100 = 0.01 BB/Hand und eine Standardabweichung von 2 BB/Hand.

1. 100k Hände
   Hier ist der erwartete Gewinn µ = 1000 BB und die Standardabweichung für 100k Hände ist s = 2 * (100k)^0.5 = 632. (Achtung: die SD ist proportional zur Wurzel aus der Anzahl der Hände) Setzt man diese beiden Werte ein, ergibt sich für den EV:
   EV(Spieler) = 508 BB
   EV(Staker) = 492 BB
   Der EV des Stakers ist immer µ-EV(Spieler).
2. 40k Hände
   Der erwartete Gewinn ist µ = 400 BB. Die Varianz ist s = 400 BB.
   EV(Spieler) = 217 BB
   EV(Staker) = 183 BB
3. 10k Hände
   Der erwartete Gewinn ist µ = 100 BB. Die Varianz ist s = 200 BB.
   EV(Spieler) = 70 BB
   EV(Staker) = 30 BB
4. 1k Hände
   Der erwartete Gewinn ist µ = 10 BB. Die Varianz ist s =63.
   EV(Spieler) = 13 BB
   EV(Staker) = -3 BB
   Bei nur wenigen Händen ist das System für den Staker unprofitabel. Die Wahrscheinlichkeit, dass auf 1k Hände ein Verlust eingefahren wird ist in etwa gleich groß wie die Wkt., dass ein Gewinn eingefahren wird. Da der Staker 100% der Verluste, aber nur 50% der Gewinne trägt, ist das ganze für ihn ein Minus-Geschäft.
5. unendlich viele Hände
   Hier erhält man durch Grenzwertbildung
   EV(Spieler) = EV(Staker) = µ/2
   Bei unendlichen vielen Händen ist die Varianz egal, da sich der tatsächliche Gewinn immer mehr dem erwarteten annähert (zumindest relativ ;>). Man sieht also auch, dass es für den Spieler zB egal ist, ob er auf dem unteren Limit auf eigene Kasse spielt oder sich auf dem höheren Limit staken läßt (falls das obere Limit genau doppelt so hohe Beträge hat). "Egal" heißt hier aber im Sinne von EV und nicht im Sinne von Varianz.
6. eine Hand
   Der erwartete Gewinn ist µ = 0.01 BB und die Varianz ist s = 2 BB.
   EV(Spieler) = 0,4 BB
   EV(Staker) = -0,4 BB
   Man sieht, dass bei einer Hand der Staker einen Riesenverlust einfährt. Das liegt daran, dass die Varianz bei einer Hand den erwarteten Gewinn um ein Vielfaches übersteigt! Achtung: Desweiteren ist in diesem Fall die Normalverteilung auch nicht mehr haltbar. Die Verteilung bei einer Hand ist keinesfalls normalverteilt. Im FL sollte es zum Beispiel nur schwer möglich sein mehr als 12 BB pro Hand zu verlieren. ;> Die oben gemachte Formel ist nur gültig sobald die tatsächliche Verteilung in eine Gaußverteilung übergeht. Genauere Aussagen trifft der zentrale Grenzwertsatz.

Fazit: Je mehr Hände gespielt werden, desto gerechter wird das System. Der EV der beiden Spieler wird dann symmetrisch und jeder bekommt die Hälfte der Winrate. Bis 10k Händen kommt es aber zu einer beträchtlichen Unsymmetrie, bei der der Staker die Varianz zu spüren bekommt. Er trägt das gesamte Risiko, aber bekommt nur die Hälfte des Gewinns. Bei wenigen Händen (Größenordnung 1k) ist das System für den Staker -EV.
Je nachdem wie man µ und s variiert, ändern sich die konkreten Zahlen. Es ist offensichtlich günstiger, wenn der Spieler eine höhere Winrate hat. Mit 2 BB/100 wird es für den Staker viel eher +EV. Auch führt varianzarmes Spiel (also eine geringere Standardabweichung) zu geringeren Schwankungen, d. h. es reichen weniger Hände um die Sache +EV für beide Parteien zu gestalten.

Viele Grüße,
kombi

PS: Keine Haftung für Rechenfehler.

Die obige Formel variiert sich recht leicht, wenn man das Auszahlungsverhältnis ändert. Sei A der Anteil, den der Spieler vom Gewinn bekommt (zB 1/2), dann bekommt der Geldgeber natürlich 1-A. Der EV für den Spieler ist dann:

EV(Spieler) = A * [s * (2Pi)^-0.5 * exp(-0.5*(µ/s)^2) + µ * F(µ/s)]

Wenn man A=1/2 einsetzt ergibt sich die Formel die oben schon steht. ;>
Prinzipiell könnte ich die Formel auch noch dahingehend ändern, dass der Spieler einen Teil der Verluste mit tragen muss. Falls da Interesse besteht ...

PS: Deine Risk of Ruin Formel ist richtig. Link

edit: Ach was solls. Hab ich es gleich erweitert, so dass der Spieler auch einen Teil des Verlustes mit tragen kann. Sei B der Anteil, den der Spieler am Verlust mit trägt (im obigen Beispiel ist B=0; wenn er 25% der Verluste bezahlt, ist B = 1/4). Dann ist der EV gleich

EV(Spieler) = (A-B) * [s * (2Pi)^-0.5 * exp(-0.5*(µ/s)^2) + µ * F(µ/s)] + µB

Wie man sieht vereinfacht sich die Gleichung bei A=B enorm. ;>

Wie mich dieser kombi mit jedem Post aufs neue beeindruckt. Ich brauche dringend Nachhilfe in Mathe : - (