Fraktal?

[Fehler Siehe Edit2] Ich denke nicht. Lt. Definition (Wikipedia) muss dazu die Hausdorff-Dimension größer als die Lebeguesche Überdeckungsdimension sein.

Beide Dimensionen sind aber 1. (Wenn ich mich nicht vertue)

Edit:
Btw ist die Hausdorff-Dimension ne interessante Sache. Mit der Hausdorff-Dimension als Dimensionsdefinition lassen sich Mengen nicht-ganzzahlige Dimensionen zuordnen. Bestes Beispiel ist die Cantormenge, die ja eine Nullmenge ist, dabei aber trotzdem überabzählbar. Was schon eine gewisse Dimension größer Null rechtfertigt ♦

Edit2: Ich denke doch. Da ich vermute, dass die Hausdorf-Dimension genau 1,5 ist.
Fraglich ist halt, ob der Beitrag der x-Richtung größer Null ist. Ich habe mal mit den Nullstellen rumgespielt und rausbekommen, dass der Abstand der Nullstellen 'doppelt' so schnell sinkt, wie die 'Ordnung' ansteigt(Logarithmisch betrachtet).

Der Abstand der 1000. zur 1001. Nullstelle beträgt 3E-7.
Der Abstand der 10000. zur 10001. Nullstelle beträgt 3E-9.
Der Abstand der 100000. zur 100001. Nullstelle beträgt 3E-11.
Der Abstand der 1E12. zur 1E12+1. Nullstelle beträgt 3E-25.

Man braucht also immer 10^M 'Kugeln'(N) mit einer Größe(R) von 10^-(2M+1) um die Nullstellen abzudecken.

Nehmen wir an, dass sich das so fortsetzt, ist der Grenzwert R->0 Log(N)/Log(1/R))=0.5

Edit3:
Ach Mist, könnte sein, dass da noch 'Kugeln' in der Anzahl Größenordnung 10^2M+1 nötig sind, um die restliche 'Strecke' zwischen 10^M-ter Nullstelle und x=0 abzudecken(in dem Fall wäre die Dim=1). Das macht die Dimension zumindest nicht kleiner. Also sollte sie in x-Richtung zwischen 0.5 und 1 groß sein.

verstehe deine antwort nur halb... wieso gehst du von einer dimension
"in x richtung" aus? kann man denn für ein fraktal, eine dimension
in x und y richtung jeweils separat berechnen?

Hast schon recht, die Rechnung war überschlagsmäßig für die Nullstellen, in der Annahme, dass für jeden anderen y-Wert dasselbe Ergebnis rauskommt. Was mMn der Fall ist, denn die 'Dichte' der Punkte ist ja für jeden y-Wert gleich.

Dann ist mMn auch klar, dass für die y-Richtung genau Dimension gleich 1 dazukommt. Also analog zur Bestimmung der Dimension des Intervalls [-1,1](reelle Zahlen).

Aber alles ohne Gewähr.

Zur deiner Frage: Ich bin nicht sicher, ob man das generell so machen kann, aber ich denke, dann man es machen kann, wenn eine Richtung so klar ist, wie hier die y-Richtung. Es ist ja eigentlich anschaulich klar. Wenn die Größe der Kreise kleiner wird, steigt die Anzahl der benötigten Kreise, um die Kurve zu überdecken mit der gleichen 'Geschwindigkeit', wie die Kreise kleiner werden. D.h. im Grenzwertausdruck kürzt sich das raus.

Meinst du einfach nur die Funktion y=sin(1/sinx) oder meinst du die Rekursion über diese Gleichung.

Bei ersterem ist es kein Fraktal da 2PI periodisch.

Mittlerweile glaube ich, dass ich oben ziemlichen Blödsinn verzapft habe. Wäre cool, wenn hier mal ein Mathematiker reinschauen würde.

Das Kriterium der Selbstähnlichkeit in jedem Punkt ist nicht erfüllt.

Original von Sakrieleg
Meinst du einfach nur die Funktion y=sin(1/sinx) oder meinst du die Rekursion über diese Gleichung.

Bei ersterem ist es kein Fraktal da 2PI periodisch.

ich meinte wirklich nur die funktion... muss aber dazu sagen,
dass ich ven der mathematik der fraktale bis jetzt noch
sehr sehr sehr wenig weiss! war nur so eine ueberlehung,
nachdem ich was ueber die fraktalen dimensionen gelesen
hatte...

kann eine "normale" fktn niemals ein fraktal sein?

Ist halt immer die Frage wie man Fraktal definiert.

Es gibt die oben angesprochene Definition über die Hausdorf-Dimension hier ist es etwas schwer zu erklären aber da deine Funktion periodisch ist gibt sie selbst schon eine Form mit der man sie gut beschreiben kann.
Bzw. was lemslin mit den Kreisen meinte:
Man stellt sich bei der Dimension die Frage wie viele Kreise mit radius R brauch ich um alle Punkte meines Bilds zu überdecken und dann ist D=log(N)/log(R) die Dimension.
Man kann aber auch andere Objekte als Kreise benutzen. So kann man ein Quadrat mit 4 Quadraten von 1/2 größe überdecken also D=log(4)/log(2)=2
Deine Funktion liefert aber durch ihre Periodizität die Form mit mit der man sie beschreiben kann.

Ein etwas anschaulicheres Kriterium ist das der Selbstähnlichkeit bzw Skaleninvarianz. Hier kommt es darauf an das egal welche Skala man wählt also wie weit oder nah man zoomt, es immer ähnlich aussieht. Siehe Mandelbrot.

Ok, das Objekt ist kein Fraktal, da es sich aus abzählbar vielen Mengen zusammensetzen läßt. Hier(pdf) steht unter 3.2, dass die Hausdorff-Dimension einer Vereinigung von abzählbar vielen Mengen das Supremum der Dimension der Einzelmengen ist.

Das Objekt kann man als Vereinigung von Mengen betrachten(z.B. immer von Nullstelle zu Nullstelle). Die Anzahl dieser Mengen ist abzählbar und die Dimension jeder Einzelmenge ist 1. Das Supremum ist also auch 1 und somit ist die Hausdorff-Dimension gleich der Lebeguesche Überdeckungsdimension.

Meine Überschlags'rechnung' muss also Blödsinn sein. Und mein intuitiver, erster Gedanke war richtig:D

Bzgl. Definition: Ein Fraktal ist immer eine Menge und eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung zwischen zwei Mengen. D.h. eine Funktion kann niemals ein Fraktal sein. Aber von solcher Korinthenkackerei haben wir uns glücklicherweise nicht aufhalten lassen und den Begriff 'Funktion' hier als Menge von Punkten in einer Ebene verstanden.
Eine Menge von Funktionen kann dagegen mMn sehr wohl ein Fraktal sein. Das ist dann halt evtl. nicht optisch darstellbar.

Fazit und Faustregel: Eine Menge kann nur dann ein Fraktal sein, wenn sie als eine Vereinigung überabzählbar vieler Mengen darstellbar ist.

Die Umkehrung gilt nicht, denn das trifft z.B. auch auf ein Intervall reeller Zahlen zu, das sich als Vereinigung einer überzählbar großen Menge einzelner Punkte darstellen läßt.

Wieso sollte sich ein Fraktal, sagen wir die Koch-Kurve, nicht aus abzählbar vielen Mengen zusammensetzen lassen?

Original von SlowLarry
Wieso sollte sich ein Fraktal, sagen wir die Koch-Kurve, nicht aus abzählbar vielen Mengen zusammensetzen lassen?

♦ Meine Faustregel macht nur eine ganz schwache Aussage und deine Aussage folgt nicht aus meiner.

Ich weiß nicht, wie ich eine stärkere Aussage, exakt formulieren könnte. Also die Aussage(achtung, ungenau), dass ein Fraktal die Vereinigung einer überabzählbaren Anzahl Mengen mit einer Art (ganzzahligen?)Basisdimension sein muss. Wobei die Anzahl der Mengen nicht zu 'stark' überabzählbar sein darf, sonst bekommt man evtl. ein Objekt der nächst höheren ganzzahligen Dimension, aber kein Fraktal.

Ich bezog mich auf:

Original von lemslin
Ok, das Objekt ist kein Fraktal, da es sich aus abzählbar vielen Mengen zusammensetzen läßt.

Was Du mit Deiner "Faustregel" sagen willst, verstehe ich sowieso nicht. Lässt sich nicht jede Menge als überabzählbare Vereinigung anderer Mengen schreiben?

Ich bin wirklich kein Experte in Sachen Fraktale, aber mir scheint, dass das Konzept "Vereinigung von Mengen" (ob abzählbar oder nicht) allein kein geeignetes Mittel zur Charakterisierung von Fraktalen sein kann. Schon deshalb, weil Fraktale geometrische Objekte sind und Mengen nicht. Du bräuchtest also mindestens mal einen topologischen Raum.

Original von SlowLarry
Ich bezog mich auf:

Original von lemslin
Ok, das Objekt ist kein Fraktal, da es sich aus abzählbar vielen Mengen zusammensetzen läßt.

Was Du mit Deiner "Faustregel" sagen willst, verstehe ich sowieso nicht. Lässt sich nicht jede Menge als überabzählbare Vereinigung anderer Mengen schreiben?

Ich bin wirklich kein Experte in Sachen Fraktale, aber mir scheint, dass das Konzept "Vereinigung von Mengen" (ob abzählbar oder nicht) allein kein geeignetes Mittel zur Charakterisierung von Fraktalen sein kann. Schon deshalb, weil Fraktale geometrische Objekte sind und Mengen nicht. Du bräuchtest also mindestens mal einen topologischen Raum.

Du hast recht, ich hätte schreiben sollen: "das Objekt ist kein Fraktal, da es sich aus abzählbar vielen _eindimensionalen_ Mengen zusammensetzen läßt". Mein Fehler.

Die Hausdorff-Dimension ist für R^n definiert, was dann dein topologischer Raum ist(sogar euklidisch), also ist es wohl doch sinnvoll, sich darauf zu beschränken.

(Über-)Abzählbarkeit finde ich schon wichtig in Zusammenhang mit Fraktalen. Was ich nun verstanden habe ist, dass man nur mit Vereinigungen von überabzählbaren Anzahlen von Mengen eine höhere Dimension erhalten kann und damit ein Fraktal.

Ist zwar schon lange her, aber zunächst mal ist doch

y= sin( 1/ sin(x))

kein Fraktal. Wenn dann:

M:= { y | y:= sin( 1/ sin(x)) , x in R}

Oder? Einer Funktion bzw. Abbildung eine Dimension zuzuordnen macht ja so erstmal keinen Sinn, lasse mich aber gern eines besseren belehrten