Verhältnisse Umfang-Fläche-Radius etc.

wissenschaftliche themen? srsly?

die lösung steht und fällt mit so vielen faktoren die man gar nicht alle erfassen kann.

mathematisch gesehen ist der umfang gleich groß und damit die fläche an der die panade hängt ebenfalls gleichgroß. also bei beiden optionen gleich viel panande...

alles andere zusätzlich hat wenig mit "wisenschaft" zu tun sondern gehört eher in das essen&ernährungs bereich oder gleich ins bbv

Wenn sowohl Panade als auch Ring selber vernachlässigbar dick sind, hast du bei beiden Varianten gleich viel vernachlässigbar wenig Panade, weil 20 = 2 *10.

Original von philwen
wissenschaftliche themen? srsly?

Wieso denn nicht? Ist sowohl ein biologisches Phänomen (in kalten Gegenden sind die Lebewesen größer um die Oberfläche relativ zu verkleinern) als auch ein mathematisches. Ob es jetzt ein Tintenfischring ist oder eine Zentrifuge, die innen und außen verkleidet ist. Fakt ist doch, dass sich das berechnen lässt und somit wissenschaftlich beweisbar ist.

Wenn sowohl Panade als auch Ring selber vernachlässigbar dick sind,

das war nur ein Gedankenexperiment, um der Lösung auf die Spur zu kommen. In Wirklichkeit ist es eben nicht so. Aber ob die jetzt 1 cm oder 5 cm dick sinbd, spielt für das Ergebnis, ob die Panade relativ zunimmt oder nicht, nun mal keine Rolle.

Wenn die Panade gleich dick ist, dann reicht es die Obeflächen der Tintenfischringe zu vergleichen.
Sieht man sich so ein Bild von Tintenfischringen an, sind sie wohl annähernd Torusförmig ( ).
Die Oberfläche eines Torus ist laut Wikipedia 4pi^2*R*r wobei klein r der Radius des Querschnitts des Ringes ist (also die Dicke des Ringes quasi) und R der Raidus des Titenfischringes. (Falls das unklar ist einfach bei Wiki nachschauen da ist ne Zeichnung http://de.wikipedia.org/wiki/Torus ).

Bildet man das Verhältnis der beiden Oberflächen (unter der Annahme, nicht nur die Panade ist gleich Dick, sondern auch der Querschnittsdurchmesser) kommt man auf:

O_1/O_2= R_1/2*R_2 Für R_1=10cm und R_2=5cm ergibt sich also:

10/10=1/1 => Die zwei Tintenfischringe a 10cm besitzen genau soviel Panade wie der eine mit 20cm.

EDIT: Rechenfehler behoben

Es geht mir sogar noch einfacher nur um eine 2 dimensionale Ansicht.

Also Wie bei einem 2 cm Pizzarand:

Fläche Pizzarand = Pi*r² - (Pi*r-2)²

das wäre dann auch die Fläche für die Panade außen. Kommt dann aber auch auf das ergebnis, dass das verhältnis gleich ist oder?

Frage mich dann nur, warum das bei der Pizza und bei dem Schneehasen/Kugel anders ist?

Das liegt einfach an der Form, so wie du deine Volumen aufteilst machst du eigentlich nichts anderes als den Radius von Ringen zu verändern und beim Torus ist bei dieser Aufteilung das Volumen und die Oberfläche quasi nichts anderes als eine Menge an Kreisen.

Wenn du dir das Integral als Summe von Kreisen vorstellst ist es glaube ich deutlicher.

Edit: Ein einfacheres Beispiel ist vielleicht ein Würfel den du in die Länge ziehst. Dort wird zwar das Verhältnis A/V kleiner, allerdings kann es einen gewissen Wert nicht unterschreiten. Vergrößert du dagegen den Würfel in alle Raumrichtungen kannst du das Verhältnis beliebig klein machen. Ähnliches passiert dir bei deinem Beispiel beim Torus.

Die Aussage, dass größeres Volumen = relativ kleinere Oberfläche ist einfach nicht allgemeingültig.

Edit2: Übrigens ist das Volumen deiner beiden kleinen Tintenfischringe das Gleiche wie das des großen Ringes.

Original von wuerstchenwilli
Es geht mir sogar noch einfacher nur um eine 2 dimensionale Ansicht.

Also Wie bei einem 2 cm Pizzarand:

Fläche Pizzarand = Pi*r² - (Pi*r-2)²

das wäre dann auch die Fläche für die Panade außen. Kommt dann aber auch auf das ergebnis, dass das verhältnis gleich ist oder?

Frage mich dann nur, warum das bei der Pizza und bei dem Schneehasen/Kugel anders ist?

Schneehase und Kugel haben ein Volumen, eine als 2 dimensional angenommene Pizza o.Ä. nicht. Da kann man kein A/V* Verhältnis bestimmen.

Du musst die Ringe also als Körper annehmen um hier auf irgendwelche Schlüsse zu kommen.

Ich würde das ganze schon als relativ wichtiges wissenschaftliches Thema bezeichnen, weil das A/V Verhältnis z.B. bei sehr vielen biologischen Sytsemen entscheidend ist (Mikroorganismen!).

Außerdem ist die Aussage, dass das A/V Verhältnis aller Körper bei steigendem Volumen abnimmt, sehr wohl allgemeingültig!

*Oberfläche/Volumen

Edit: Der letzte Satz bezieht sich hierauf:

Original von Xybb
(...)

Die Aussage, dass größeres Volumen = relativ kleinere Oberfläche ist einfach nicht allgemeingültig.

(...)
.

Original von Punktfehler

Schneehase und Kugel haben ein Volumen, eine als 2 dimensional angenommene Pizza o.Ä. nicht. Da kann man kein A/V* Verhältnis bestimmen.

Hmmmm.... Aber wenn doch der Pizzarand einer großen Pizza genauso breit ist wie der einer kleinen habe ich doch verhältnismäßig weniger Rand bei der Großen oder nicht?

Ist der Radius der Pizza nämlich nur noch so groß wie der Rand dick ist, habe ich ja nur noch Rand.

Original von wuerstchenwilli

Original von Punktfehler

Schneehase und Kugel haben ein Volumen, eine als 2 dimensional angenommene Pizza o.Ä. nicht. Da kann man kein A/V* Verhältnis bestimmen.

Hmmmm.... Aber wenn doch der Pizzarand einer großen Pizza genauso breit ist wie der einer kleinen habe ich doch verhältnismäßig weniger Rand bei der Großen oder nicht?

Ist der Radius der Pizza nämlich nur noch so groß wie der Rand dick ist, habe ich ja nur noch Rand.

Genau.

Die Begründung beim Umfang zu Fläche Verhältnis ist:
Bei Variation der Größe:
Umfang nimmt zu oder ab
Fläche nimmt quadratisch zu oder ab

Für A/V Verhältnis:
Fläche nimmt quadratisch zu oder ab
Volumen nimmt kubisch zu (^3) oder ab

Edit: "oder ab" ergänzt

Original von Punktfehler

Original von wuerstchenwilli

Original von Punktfehler

Schneehase und Kugel haben ein Volumen, eine als 2 dimensional angenommene Pizza o.Ä. nicht. Da kann man kein A/V* Verhältnis bestimmen.

Hmmmm.... Aber wenn doch der Pizzarand einer großen Pizza genauso breit ist wie der einer kleinen habe ich doch verhältnismäßig weniger Rand bei der Großen oder nicht?

Ist der Radius der Pizza nämlich nur noch so groß wie der Rand dick ist, habe ich ja nur noch Rand.

Genau.

Die Begründung beim Umfang zu Fläche Verhältnis ist:
Bei Variation der Größe:
Umfang nimmt zu oder ab
Fläche nimmt quadratisch zu oder ab

Für A/V Verhältnis:
Fläche nimmt quadratisch zu oder ab
Volumen nimmt kubisch zu (^3) oder ab

Edit: "oder ab" ergänzt

Und wie ist es dann beim Tintenfischring? Da habe ich doch auch eine Fläche, auch wenn diese nicht bis zum Mittelpunkt gefüllt ist.

Original von wuerstchenwilli

Und wie ist es dann beim Tintenfischring? Da habe ich doch auch eine Fläche, auch wenn diese nicht bis zum Mittelpunkt gefüllt ist.

Was ich geschrieben habe gilt für jeden beliebigen Körper. Auch für Tintenfischringe.

Also: je größer der Tintenfischring, desto geringer das Oberfläche/Volumen Verhältnis.

Dann haben wir also auch wieder zewi unterschiedliche meinungen?

Punktefehler sagt: Je größer der Ring, desto relativ weniger Panade und xybb sagt, die Größe ist unwichtig?! Habe ich das richtig zusammengefasst?

Original von wuerstchenwilli
Dann haben wir also auch wieder zewi unterschiedliche meinungen?

Punktefehler sagt: Je größer der Ring, desto relativ weniger Panade und xybb sagt, die Größe ist unwichtig?! Habe ich das richtig zusammengefasst?

Wenn du den Ring vergrößerst (indem du den Ring länger, aber nicht dicker machst), bleibt das Verhältnis A/V gleich, obwohl das Volumen steigt.

Das Volumen V des Torus ist gegeben durch V = pi * r² * 2 * pi * R, die Oberfläche A durch A = 2 * pi * r * 2 * pi * R.

=> A/V = 2/r.

Verdoppelst du dein R wird das Volumen doppelt so groß, aber da dein A/V nicht von R abhängt bleibt A/V gleich.

D.h. du brauchst nicht zwangsläufig relativ weniger Panade, nur weil du den Ring größer machst.

Edit: Wobei hier die Änderung der Größe wahrscheinlich auch mehrdeutig ist. Behälst du die Proportionen bei stimmt das was Punktefehler sagt.

Original von wuerstchenwilli
Dann haben wir also auch wieder zewi unterschiedliche meinungen?

Punktefehler sagt: Je größer der Ring, desto relativ weniger Panade und xybb sagt, die Größe ist unwichtig?! Habe ich das richtig zusammengefasst?

Ne ♦

Wenn du einen Körper einfach nur nimmst und vergrößerst/verkleinerst, ohne dabei die Größenverhältnisse untereinander zu ändern ist es so, wie ich es geschrieben habe.

Ansonsten würde ich sagen sieht man an xybbs Post doch ganz schön wo hier das Problem liegt.

Wenn du eine oder 2 Größen konstant lässt, hast du für das Volumen keine kubische Zunahme mehr.

Ja, die Form soll gleich bleiben. Die sind ja meistens Oval.

Aber hier geht es ja nicht um A und V, sondern um A und U. Aber ist das Gleiche nur mit einer Potenz niedriger oder?

Beim Hasen nimmt das Volumen mit einer Potenz schneller zu als die Oberlfläche.
Beim Tintenfischring nimmt mit wachsendem Radius die Fläche (der Panade) schneller zu als der Umfang.

Ergo:

Volumen (Hase) entspricht Panade
Oberfläche (Hase) entspricht Umfang.

Fazit: Größerer Umfang mehr Panade????!!!!

Bin immer noch verwirrt.

Original von wuerstchenwilli
Ja, die Form soll gleich bleiben. Die sind ja meistens Oval.

Aber hier geht es ja nicht um A und V, sondern um A und U. Aber ist das Gleiche nur mit einer Potenz niedriger oder?

Beim Hasen nimmt das Volumen mit einer Potenz schneller zu als die Oberlfläche.
Beim Tintenfischring nimmt mit wachsendem Radius die Fläche (der Panade) schneller zu als der Umfang.

Ergo:

Volumen (Hase) entspricht Panade
Oberfläche (Hase) entspricht Umfang.

Fazit: Größerer Umfang mehr Panade????!!!!

Bin immer noch verwirrt.

Es geht jetzt also wieder um den 2-dimensionalen Fall?

Also U/A für einen Kreis wäre ja 2/r. Also würde das Verhältnis wieder kleiner für höheren r. Über den Umfang ausgedrückt wäre U/A = 4*pi/U
Leider geht es hier ja nicht um einen Kreis, bitte entschuldige also meine vorige Antwort.

Ich verusche jetzt, dir das vorzurechnen. Ab hier gibt es keine Gewährleistung mehr, dass das alles richtig ist ♦

Formeln:
A = pi*(R²-r²) für einen Kreisring
Umfang=U=2*pi*r

Der Fall der betrachtet wird: Ein Kreis mit Umfang U wird innen und außen mit einer Panadeschicht der Dicke C überzogen.

r = U/(2*pi)

Also wäre:

A = pi * [(r+C)² - (r-C)²] = ... = pi * 4*r*C = 2*U*C

Hier wäre tatsächlich größerer Umfang mehr Panade. Aber das ist ziemlich banal, weil der Kreis ja überhaupt keine Dicke hat.

Für den Fall dass du einen Kreisring mit einer Schicht umhüllst wäre es so:

(Ich betrachte hier jetzt mal Fläche Panade zu Fläche Kreisring A(P)/A(K). Das scheint mir ist für dich eher von Interesse, oder?)

A(Kreisring) = pi * (R²-r²)
A(Panade) = pi * [(R+C)² - (r-c)²] - pi * (R²-r²) = ... = pi * (2RC+2rC)

Wenn wir jetzt an dem Kreisring beide Radien ohne Veränderung ihres Größenverhältnisses zueinander vergrößern, wird A(P)/A(K) immer kleiner. Zumindest wenn die Schichtdicke der Panade nicht auch zunimmt.

Da der Umfang proportional zum Radius ist, kannst du aber genauso einfach den Außenumfang des Kreisrings immer vergrößern.
U/A wird auch hier immer kleiner wenn man das Verhältnis der Radien beibehält und sie vergrößert. Wobei ich mit U jetzt hier den Außenumfang des Kreisringes bezeichnen würde.

Edit: Oder ganz allgemein: Ja, Begrenzungslinie/Fläche wird für jedes Objekt der ebenen Geometrie immer kleiner wenn man es vergrößert. (Natürlich wieder Größenverhältnisse untereinander gleich lassen)

Vielen Dank schon mal für die viele Mühe!!! Ich muss das erstmal sacken lassen.