Hallo,
ich bin gerade auf ein "Problem" gestoßen. dass ich mehr oder minder interessant finde und auch brauche. Die Frage ist, warum ist der Vorgänger von 4er Potenzen (also 4^1, 4^2,4^3... (trivialerweise auch 4^0)) immer durch 3 teilbar? Gibt es da einen schlüssigen Beweis?
Danke
vollständige induktion:
4-1 = 3, 3 ist obv durch 3 teilbar.
also haben wir es für ein n gezeigt.
4^(n+1) - 1 = 4*4^n - 1 = (3+1)*4^n - 1 = 3*4^n + 4^n - 1
so, der erste summand ist wegen dem faktor 3 durch 3 teilbar, der zweite nach induktionsvoraussetzung.
Oder so:
4^n -1 = (2²)^n -1 = 2^(2n) -1 = (2^n)²-1² = (3. binomische Formel) = (2^n+1)(2^n-1). Da 2 eine Primzahl ist, ist 2^n nie durch 3 teilbar. Von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen - in diesem Fall 2^n-1, 2^n, 2^n+1 ist immer eine durch 3 teilbar. Also muss einer der beiden Faktoren von oben durch 3 teilbar sein, also auch 4^n-1.
Mit dieser Überlegung sieht man auch, dass der Vorgänger jeder natürlichen Potenz von jedem Quadrat einer Primzahl - außer 3 natürlich - durch 3 teilbar ist. Genau genommen gilt es sogar für jede natürliche Potenz von jedem Quadrat einer nicht durch 3 teilbaren Ausgangszahl 
(Vorausgesetzt ich hab keinen Denkfehler eingebaut.)
Ach hätten wir doch Latex hier, dann könnt man solche Posts auch lesen...
Nö 5^3 = 125
125-1 = 124
1+2+4 = 7
7 kann man nicht durch 3 teilen also kann man 124 nicht durch drei teilen.
124 kann man durch 4 teilen.... 100 geteilt durch 25 und 24 geteilt durch 6....
124:4=31
Oh, nee ich hatte das falsch gelesen. Sorry surmann hat recht. Aber ob jeder durch 4 teilbar ist weiß ich nicht.
Andererseits:
Original von kunnivah
vollständige induktion:4-1 = 3, 3 ist obv durch 3 teilbar.
also haben wir es für ein n gezeigt.
4^(n+1) - 1 = 4*4^n - 1 = (3+1)*4^n - 1 = 3*4^n + 4^n - 1
so, der erste summand ist wegen dem faktor 3 durch 3 teilbar, der zweite nach induktionsvoraussetzung.
Kann man sich das hieraus auch ableiten.
Das muss demnach für alle Zahlen so sein.
Original von surmann
ist der Vorgänger von jeder 5er Potenz auch durch 4 teilbar??
ja, der induktionsbeweis ist der selbe.
also für 5^1 gilt es offensichtlich.
n--> n+1:
5^(n+1)-1= 5*5^n-1= 5(5^n - 1) + 4
wobei jeder summand durch 4 teilbar ist. q.e.d.
gilt sogar ganz allgemein. x^y-1 ist immer durch x-1 teilbar, mit der gleichen begründung.
