Mathematical Concepts for No-Limit Holdem (2) - Combos & Odds Advanced

Einleitung

In diesem Artikel

• Die Handrange mathematisch betrachtet
  
• Die Rolle von Implied und Reverse Implied Odds
  
• Komplexe EV-Analysen
  

Im ersten Artikel hast du gelernt, wie du Erwartungswerte in Pokersituationen berechnen kannst und einige einfache Beispiele dazu vorgestellt bekommen. In den folgenden Artikeln sollen spezielle Situationen und Aspekte behandelt werden, welche Teil von Erwartungswertbetrachtungen (EV-Berechnungen) sind.

In diesem Artikel wird eine mathematische Betrachtung der Handrange gemacht, sowie insbesondere auf Implied und Reverse Implied Odds eingegangen. Unter Einbeziehung der vorgestellten Inhalte lässt sich der EV in weitaus komplexeren Situationen als im ersten Artikel berechnen. Auch wird es möglich sein, etwas andere Fragestellungen zu beantworten, als mit den Analysemethoden des ersten Artikels.

Die Handrange mathematisch

Der Begriff der Handrange wurde bereits eingeführt. Er fasst eine bestimmte Menge von Händen zusammen. In den EV-Berechnungen dreht sich viel um die Frage nach den Wahrscheinlichkeiten. Der Equilator kann dir in unterschiedlichen Situationen die Frage beantworten, wieviel Prozent eine bestimmte Auswahl an Händen im Vergleich zu allen möglichen Händen sind, etwa gibt er dir für die Range TT+, AQ+ den Wert 4,68%.

Eine wichtige Frage kann sein: Wie oft hält dein Gegner welche Hand? 4,68% wäre die Antwort wenn du fragen würdest: Wie oft hält ein Spieler TT+, AQ+ im Verhältnis zu any two? Jetzt könntest du auch fragen: Ein Spieler hält TT+, AQ+. Wie oft hält er AA, KK?

Würdest du weiter in Prozenten rechnen wollen, wird es langsam umständlich. Zunächst wählst du im Equilator nur AA, KK aus. Hierbei handelt es sich um 0,9% der Hände. Die Wahrscheinlichkeit für AA, KK aus der Menge TT+, AQ+ beträgt damit 0,9/4,68 = 0,192 = 19,2%. Diese Art der Berechnung wird schnell komplizierter, wenn du bestimmte Suits unterschiedlich behandeln oder eine bestimmte Hand nur zu einem Anteil in einer Range aufführen möchtest. Zum Beispiel die Frage: Ein Spieler hält TT+, AQ+. Wie oft hat er XsYs (Also AsKs oder AsQs)?

Zur Beantwortung solcher komplexerer Fragen bietet sich eine direkte Berechnung an. Es gibt im Poker 1326 unterschiedliche Handkombinationen, nämlich genau 52 * 51 / 2. Der Faktor 52 stellt die Möglichkeiten für die erste Karte dar. Möchtest du wissen wieviele Hände es insgesamt gibt, so musst du jede mit jeder anderen kombinieren. Hast du die erste gewählt, bleiben dir 51 weitere Karten übrig um auszuwählen, womit du bei 52*51=2652 Kombinationen wärst.

Allerdings stellt es für Poker keinen Unterschied dar, ob du AsKs oder KsAs hältst, weswegen nur die Hälfte der 2652 Kombinationen als wirklich unterschiedliche Hände existieren, die genannten 52*51/2 = 1326. Genauso kannst du in einer bestimmten Range berechnen, aus wieviel unterschiedlichen Kombinationen sie besteht. Dafür einige Anzahlen für Kombinationen:

Um später weiter rechnen zu können, sei hier auch erklärt, wie sich diese Kombinationen ergeben. Du kannst natürlich ein Kartenspiel nehmen und abzählen. Das erweist sich allerdings als umständlich. Geschickter ist eine logische Überlegung, welche im Prinzip der Berechnung der gesamt existierenden Kombinationen gleicht. Möchtest du ein bestimmtes Paar bilden, so hast du vier Möglichkeiten, die erste Karte zu wählen. Danach verbleiben dir drei Möglichkeiten für die zweite Karte. Das Ergebnis musst du wieder durch 2 dividieren, da du sonst AsAd und AdAs als zwei Kombinationen zählst.

Für eine suited Hand hast du acht Möglichkeiten die erste Karte auszuwählen (für 67s also entweder eine 6 oder eine 7). Für die zweite Karte bleibt dir nur genau eine Möglichkeit übrig, wieder die Hälfte von 8, ergibt 4. Für eine offsuited Hand wie XsYd hast du auch bei der ersten Karte acht Möglichkeiten (4 X, 4Y), bei der zweiten in diesem Fall allerdings 3 (hast du Xs gewählt, ist Ys keine Option mehr, da die Hand sonst suited wäre). 8*3/2 ergibt 12. Natürlich kann man die Anzahl möglicher Kombinationen auf beliebige andere Arten und Weisen berechnen.

Pot Odds, Implied Odds und Reverse Implied Odds

Mit dem Konzept von Odds und Outs lässt sich zumindest für einen Call der Erwartungswert berechnen und überschlagsweise auch eine Entscheidung am Tisch treffen. Auf die direkte Erklärung des Odds & Outs Prinzips wird im Rahmen dieser Artikelserie verzichtet und an unsere Strategiesektion ab Bronze verwiesen. Das Konzept von Implied Odds und Reverse Implied Odds ist um einiges interessanter und ist bei größeren EV-Berechnungen oft nicht wegzudenken.

Angelehnt an die Pot Odds sind Implied Odds ein Maß für einen Geldbetrag, welcher sich noch nicht im Pot befindet, der aber erwartungsgemäß vom Gegner noch investiert werden wird. Wichtig werden Implied Odds vor allem beim Spiel von Draws. Häufig ergibt eine reine EV-Analyse ohne Beachtung von Implied Odds, dass ein Draw am Flop direkt gefoldet werden muss. Beachtest du im Gegensatz dazu die Implied Odds, ergibt sich eine realistischere Betrachtung und oft ein anderes Ergebnis.

Ein Beispiel zu Implied Odds oder Implieds kennst du mit Sicherheit: Die Call-20 Regel für Paare vor dem Flop. Hierbei wird gefordert, dass die möglichen Implied Odds mindestens das zwanzigfache des Betrages sind, den du zahlen musst, um den Flop zu sehen. Für EV-Berechnungen sind allerdings eher realistische Implied Odds von Bedeutung, also nicht was du maximal gewinnen kannst, sondern eben was du im Mittel gewinnen wirst (wobei natürlich beide Größen in Beziehung stehen).

Ziemlich genau das Gegenteil dessen, was Implied Odds sind. Sie stellen ein Maß für den Betrag dar, welchen du im Verlauf der Hand noch verlieren wirst, wenn du nicht die beste Hand hältst. Im besonderen sind hiermit Draws gemeint, welche trotz Treffer nicht den Winner bilden. Auch das spielen dominierter Hände hat große Reverse Implied Odds zur Folge, da ein eigener Treffer eben stark ist, den Pot aber nicht gewinnt.

Sowohl die Implied Odds, als auch die Reverse Implied Odds lassen sich meist zumindest abschätzen oder exakt angeben und finden so Einzug in EV-Berechnungen. Mit ihrer Hilfe lassen sich viele Situationen, in denen du nicht All-In bist, exakter beschreiben. Ein Beispiel dazu findest du im folgenden Artikel.

Beispielberechnungen

Sowohl die Betrachtung der Handrange, als auch die Implied und Reverse Implied Odds sind zunächst nur theoretische Konzepte im Bezug auf EV-Berechnungen. Anhand von Beispielen von aufsteigender Komplexität soll jetzt ihr Einfluß verdeutlicht werden. Darüber hinaus wird es auch nötig werden, stärkere Annahmen für deine Gegner zu treffen, um realistische Szenarien generieren zu können.

Hier wird versucht, einem Setvaluecall unter einigen Annahmen einen Erwartungswert zuzuweisen. Zunächst folgende Situation:

Stacks:

UTG 100BB
Hero 100BB

Preflop: Hero is BU with 4, 4
UTG raises 4BB, folds, Hero calls 4BB, folds

Hier siehst du schon die erste Annahme: Die Blinds werden ignoriert. Streng genommen solltest du bei EV-Analysen jeden möglichen Fall beachten, allerdings beschränken wir uns hier auf einen sehr häufig vorkommenden Spezialfall, andernfalls explodiert die Berechnung, ohne das dadurch ein großer Mehrwert an Information zustande kommt.

Die nächste Annahme betrifft den Spieler UTG. Seine Range soll hier TT+, AQ+ betragen. Eine weitere realistische Annahme ist, dass UTG immer am Flop bettet und du nur mit einem Set weiterspielst.

Die Wahrscheinlichkeit, eine oder beide der verbleibenden 4er am Flop zu sehen beträgt

3 * (2 * 48* 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) + 3 * (2 * 1 * 48) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0.118

2/50 beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine der verbleibenden 4er zu ziehen. Dazu sollen am Flop noch zwei Karten liegen, die keine 4 sind, also 48/49 (eine 4 liegt und es soll nicht die letzte 4 sein) sowie 47/48 (eine 4 liegt und eine nicht-4 liegt). Diese werden multipliziert um die Wahrscheinlichkeit für eine 4 an einer bestimmten Stelle zu berechnen.

Da dir egal sein kann, wo die 4 liegt, wird mit drei multipliziert. Genauso gibt es drei Möglichkeiten, zwei 4er auf drei Karten aufzuteilen (1. und 2., 2. und 3. oder 1. und 3. Stelle). Hier sind die Wahrscheinlichkeiten dann jeweils 2/49 für die erste 4, 1/48 für die zweite 4 sowie 47/47 für die letzte beliebige Karte.

Eine weitere gerechtfertigte Vereinfachung ist nun folgende: Wir betrachten nur Fälle mit einer 4. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 3 * (2 * 48* 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0.1200, die für einen Vierling liegt bei 0.00245. Es ist also 45-mal wahrscheinlicher, ein Set anstelle von Quads zu floppen, weswegen wir die Quads auch der Einfachheit halber im Ergebnis ignorieren. Damit können wir vorläufig anfangen zu rechnen:

 EV = 0.880 * (-4BB) + 0.120 * EV(Set)

Zu bestimmen bleibt das Ergebnis EV(Set). Da dieses auf verschiedenen Boardstrukturen basiert, bietet es sich aufgrund der relativ tighten Range des Gegners an, explizit den EV gegen jede einzelne Hand unter bestimmten Annahmen zu bestimmen und in Folge zu summieren. Beginnen wir mit AQ und beachten der Einfachheit halber keine getroffenen Flushdraws.

AQ trifft ein Paar Asse oder besser mit P(Ass) = 2 * ( 3 * 46 ) / ( 47 * 46 ) = 0.12766, ein Paar Damen mit P(Dame) 2 * ( 3 * 41 ) / ( 47 * 46 ) = 0.114 sowie einen Drilling Damen mit P(TripDame) = 1 * ( 3 * 2 ) / ( 47 * 46 ) = 0.0028. Es sei weiter:

P(Ass+):=P(Ass)+P(TripDame) = 0.13046

Die Wahrscheinlichkeit P(Dame) ist geringer, als die für P(Ass) da die Twopair Kombinationen schon beim Ass verechnet sind. Insgesamt stehen bei dieser Betrachtung ja auch nur noch zwei Karten für einen Treffer zur Verfügung, eine Karte mit der 4 liegt fest. Folglich P(Dame) = 2 * (3 * 44)/(47 * 46) = 0.12211.

Nun kann der EV weiter aufgeschlüsselt werden, was den EV(Set) betrifft. EV(Set) besteht aus dem Einzel-EV gegen die unterschiedlichen Hände des Gegners. Den ersten Anteil hast du gerade berechnet, nämlich

EV(Set,AQ) = EV(Miss) * P(Miss) + EV(Ass+) * P(Ass+) + EV(Dame) * P(Dame),

den EV gegen AQ.

Unbekannt sind weiterhin die EV-Komponenten. Um nicht zu komplex zu werden, soll die Möglichkeit eines Hites am Turn nicht in Betracht gezogen werden. Trifft der Gegner nicht, bekommst du nur seine Continuationbet von ¾ des Pots, also 9.5*3/4 = 7.125BB und P(Miss) = 1 - P(Ass+) - P(Dame) = 0.74743.

Im Falle eines Ass mit Treffer wirst du seinen ganzen Stack in die Mitte bekommen, allerdings nicht mit 100% Equity, diese ist noch zu bestimmen. Möchtest du ganz genau rechnen, so musst du die Gesamtequity aus der Wahrscheinlichkeit für die unterschiedlichen Hände sowie die einzelnen Equities berechnen.

Da Twopair und Trips allerdings sehr unwarscheinlich sind, wie oben gesehen, und die Equity eines Toppairs rund 3% beträgt, runden wir diese einfach auf 5% auf und ignorieren die Einzelfälle. EV(Ass+) ergibt sich damit zu

EV(Ass+) = 0.95*(96+9.5)BB – 0.05 * 96BB = 100.225BB - 4.8BB = 95.4BB

Im Falle eines Treffers mit der Dame kann man nun unterscheiden, ob das Board King high ist oder nicht. Ob du dies berücksichtigst oder nicht, der Unterschied beim Ergebnis wird gering sein. Es geht hierbei lediglich um das Prinzip, nach welchem man eine solche Rechnung aufstellt.

Zunächst sollte die Wahrscheinlichkeit eines King-High-Boards berechnet werden, sie beträgt 4/46 = 0.09. Weiter brauchst du eine Abschätzung über den Betrag, den der Spieler im Mittel investieren wird, dieser soll 30BB betragen. Damit ergibt sich dann

EV(Dame) = 0.09*30BB + 0.91*( 0.975 * (96+9.5)BB – 0.025 * 96BB) = 94.1BB

Somit ist die Rechnung vollständig:

EV(Set,AQ) = EV(Miss) * P(Miss) + EV(Ass+) * P(Ass+) + EV(Dame) * P(Dame) = 7.125BB * (0.75) + 95.4BB * (0.130) + 94.1BB * (0.120) = 28.4BB

Hat dein Gegner AQ, so gewinnst du unter den getroffenen Annahmen im Schnitt 28.4BB. Dasselbe muss jetzt für AK durchgeführt werden. Der EV ist glücklicherweise quasi identisch mit dem für AQ, da die Differenz nur durch den unwahrscheinlichen Fall eines 2nd Pairs mit AQ zustande kommt. Ignoriert man sie, ergibt sich der EV zu EV(Set, AK) = 29.7BB.

Jetzt berechnen wir den EV gegen die Pocketpairs. Hierzu sei die Annahme: Der Gegner geht mit einem Overpair broke und mit einem 2nd Pair investiert er im Schnitt 30BB. Dieser Wert könnte durchaus anders sein, weswegen wir ihn nicht fest einsetzen sollten, um am Ende Ergebnisse unter Variation dieses Wertes untersuchen zu können. Veränderungen der Boardstruktur am Turn werden ignoriert. Für alle Pocketpairs teilt sich der EV damit in drei Teile auf:

• Der Spieler trifft ein Overpair am Flop und du ein Set P(Set, Overpair)
• Der Spieler trifft ein 2nd Pair am Flop und du ein Set P(Set, 2nd Pair)
• Der Spieler trifft ein Set am Flop und du ein Set P(Set, Overset)

Womit sich der Gesamte EV gegen ein Pocketpair als Formel ergibt:

EV(Set,Pocket) = P(Set,Overpair) * EV(Overpair) + P(Set,2ndPair) * EV(2ndPair) + P(Set,Overset) * EV(Overset)

Der EV gegen alle Pockets ist dann die Summe über den Erwartungswert gegen die einzelnen Paare, multipliziert mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit, dass UTG die jeweilige Hand hält.

Zuerst werden wieder die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnet, anschließend die dazugehörigen Erwartungswerte. P(Pocket,Overset) ist für alle Paare gleich. Es ist zusammen mit der Wahrscheinlichkeit für Quads P(set, over-set)= 2 * ( 2 * 44 ) / ( 47 * 46 ) + ( 2 * 1 ) / ( 47 * 46 ) = 0.08233, die Wahrscheinlichkeit eine oder beide der verbleibenden Karten des Pocketpairs am Flop zu sehen, wenn die dritte Karte dir ein Set bringt.

Ein Overpair hat der Spieler genau dann getroffen, wenn

• Er kein Set trifft
• Keine Overcard zu seinem Paar liegt

Die Wahrscheinlichkeit für ein Set wurde zu P(Set,OverSet)=0.0823 bestimmt. Für Aces ist es nicht möglich, eine höhere Karte am Flop zu sehen, weswegen also in jedem Fall, in dem der Spieler kein Set trifft, ein Overpair getroffen wird. Die Wahrscheinlichkeit des Overpairs ist also 1- 0.0823.

Für Kings gibt es genau vier Asse als mögliche Overcards, die Wahrscheinlichkeit für ein Overpair ist somit 1-0.0823-2*(4*44) / (47*46).

2*(4*44) / (47*46) ergibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine der beiden Boardkarten ein Ass zeigt. Analog gibt es für Queens zwei mögliche Overcards, womit sich die Wahrscheinlichkeiten ergeben. Als Tabelle ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten zu:

Zu bestimmen bleibt der Erwartungswert gegen die einzelnen Paare.

Trifft der Gegner ein Overpair, geht es nach unseren Annahmen immer All-In. Die Equity deines Gegners ist in diesem Fall etwa 10%, der Erwartungswert EV(Overpair) ergibt sich damit zu:

EV(Overpair) = 0.9 * (96+9.5)BB – 0.1 * 96BB = 85.3BB. Hat dein Gegner ein Overset getroffen, hast du noch etwa 5% Equity. Der Erwartungswert EV(Overset) ist damit 0.05*(96+9.5)BB-0.95*96BB = -85.92BB.

Beide Werte sind unabhängig von der genauen Hand des Gegners, da es nur auf die vorhandenen Outs ankommt. In Tabellenform ergibt sich so der EV gegen die Pairs wie folgt:

Nun sind alle benötigten Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte berechnet und müssen nur noch zusammengefasst werden.

EV = 0.88 * (-4BB) + 0.12 * EV(Set) = 0.88 * (-4BB) + 0.12 *(P(AK) * EV(AK) + P(AQ) * EV(AQ) + P(AA) * EV(AA) + P(KK)* EV(KK) + P(QQ)*EV(QQ) + P(JJ)*EV(JJ) + P(TT)*EV(TT))

Um einen Zahlenwert zu erhalten, bleibt noch zu klären, wie oft der Spieler denn die unterschiedlichen Hände jeweils hält. Insgesamt hat der Spieler 62 verschiedene Kombinationen in seiner Range. Jeweils 16 entfallen auf AK und AQ, jeweils 6 auf die Paare. P(AK) = P(AQ) = 16/62 = 0.258, P(AA) = P(KK) … = 6/62 = 0.097.

Also ergibt der Gesamt-EV mit allen eingesetzten Werten zu:

EV=0.88*(-4BB) + 0.12 *(0.258*29.7BB + 0.258*28.4BB + 0.097*71.2BB + 0.097* 62.2BB + 0.097*52.3BB + 0.097*41.5BB + 0.097*29.9BB ) = 1.27BB

Der Wert ist relativ gering, er liegt unterhalb eines realistischen Wertes für einen guten Fullring-Spieler. Der Grund hierfür kann sein, dass ein guter Fullring-Spieler oft genug einen Spot findet, indem er auch ohne sein Set zu treffen profitabel spielt. Damit ist für ihn der Erwartungswert für den Fall das er kein Set trifft größer als -4BB.

Auch in unserer Rechnung finden sich andere Variablen, die wir noch variieren können, um zu sehen, wie sich das Ergebnis verändert. Zum einen könnte es sein, dass du im Schnitt von AK und AQ ohne Paar mehr als nur eine Continuationbet bekommst.

Dein Gegner könnte am Turn bluffen, zum anderen kann er treffen. Hier könnte man den EV etwas erhöhen, um zu sehen, was sich insgesamt ändert. Auch zum Beispiel mit seinen 2nd Pairs könnte er mehr investieren. Mit den Werten, die wir variieren können, ist der gesamte EV komplett aufgelistet also:

Triffst du nicht, verlierst du deinen Preflopcall: EV=(1-P(set))*(-4BB)

Wenn du dein Set triffst:

- und dein Gegner hält AK:

P(set)*(P(AK)*(EV(AK,miss)*P(AK,miss)+P(AK,king+)*EV(AK,king+)

Die Odds und Erwartungswere wurden bereits berechnet.

- dein Gegner hält AQ:

P(AQ)*(EV(AQ,miss)*P(AQ,miss)+EV(AQ,Ass+)*P(AQ,Ass+)+EV(AQ,Dame)*P(AQ,Dame)

- dein Gegner hält AA:

P(AA)*(P(AA,overpair)*EV(overpair)+P(AA,2ndpair)*EV(2ndpair) +P(over-set)*EV(over-set)

P(AA,2ndpair) ist 0.

- dein Gegner hält KK:

P(KK)*(P(KK,overpair)*EV(overpair)+P(KK,2ndpair)*EV(2ndpair)+P(over-set)*EV(over-set)

- dein Gegner hält QQ, JJ or TT:

Dieselbe Berechnung für alle Pocketpairs. Die Wahrscheinlichkeit für ein 2nd Pair wird nach unten natürlich größer:

+P(QQ)*(P(QQ,Overpair)*EV(Overpair)+P(QQ,2nd Pair)*EV(2nd Pair)+P(Overset)*EV(Overset))+ P(JJ)*(P(JJ,Overpair)*EV(Overpair)+P(JJ,2nd Pair)*EV(2nd Pair)+P(Overset)*EV(Overset))+ P(TT)*(P(TT,Overpair)*EV(Overpair)+P(TT,2nd Pair)*EV(2nd Pair)+P(Overset)*EV(Overset)))

Hier siehst du die Liste der aufgetretenen Wahrscheinlichkeiten, die schon berechnet wurden, sowie eine Liste der einbezogenen EV-Werte, welche größtenteils diskutabel sind:

Für die geänderten Werte von EV(AK, Miss), EV(AQ, Miss) und EV(2nd Pair) ist der gesamte Erwartungswert:

EV = 1,62BB

Wie du siehst, hängt der Erwartungswert also gerade von diesen Werten stark ab. Würdest du noch den Erwartungswert für den Fall verbessern, dass du nicht triffst, kämst du in eine Region, welche auch realistische Werte ergibt. Dies ist allerdings sehr schwer abzuschätzen, weswegen ich es hier nicht tun möchte.

Weiter erkennst du hier wieder eine wichtige Eigenschaft des NL Hold’em Poker: Was ohne Showdown passiert, ist enorm wichtig für das gesamte Spielergebnis. Das bedeutet insbesondere, dass du dir nach dieser langen Rechnung wohl Gedanken über dein Spiel machen solltest, besonders für den Fall, dass du selbst nicht triffst, und inwieweit du dort den EV eines Sets reproduzieren kannst.

Analysen in dieser Richtung werden Gegenstand der folgenden Artikel werden. Zunächst möchte ich noch dem aufmerksamen Leser gratulieren, der die Analyse bis zu dieser Stelle nachvollzogen und verstanden hat: Ich wette, nicht jeder hat dies getan.

Daran sieht man auch noch zwei Fakten, mit welchen ich diese Betrachtung beenden möchte: Mathematische Analysen sind wichtig und können einen als Spieler weiterbringen. Ersetzen können sie die Erfahrung und den Erfahrungsaustausch mit anderen Spielern jedoch niemals. Auch können sie durchaus umständlich sein.

Implied Odds

Hier soll das Spiel mit Draws noch einmal unter die Lupe genommen werden. Für die genauere Betrachtung benötigst du hier die Implied Odds. Folgende Situation soll einmal aus der Sicht einer Callingstation analysiert werden:

100BB Stacks

Preflop: Hero is CO with XYo, Callingstation is BU with A,2
Folds, Hero raises 4BB, BU calls 4BB, SB calls 3.5BB, BB calls 3 BB.

Flop: (16BB) 5, 9, K (4 Players)
SB checks, BB checks, Hero bets 14BB, BU calls 14BB, SB calls 14BB, BB folds

Turn: (58BB) 6 (3 Players)
SB checks, Hero bets 45BB, BU calls

Hero geben wir hier mal eine Range von 55, 99, KK, AA, AK, KQ. Dagegen hat BU eine Equity von 21.5% Der letzte Call von BU soll hier analysiert werden. Eine Callingstation wird hier immer callen, du eventuell nicht? Bist du dir sicher, dass ein Call hier falsch ist? Wir werden sehen. Der EV ohne Beachtung von Implied Odds ergibt sich zu

EV = Equity * (Win + Investment) - Investment

Wobei Win sich in diesem Fall zu (58+45)BB ergibt, Investment zu -45BB. Die benötigte Equity in diesem Fall liegt mit der bekannten Formel Equity = Investment/(Win + Investment). Villain gewinnt 58BB + 2*45BB und verliert 45BB wenn er nicht trifft.
Seine benötigte Equity liegt damit bei 30%. Der EV ist dann aufgrund der zu geringen Equity -13.2BB.

Was passiert aber am River wenn BU trifft? Der Pot wird 148BB groß sein, Hero hat 37BB behind. Unabhängig von der Riverkarte kann Hero keine Hand seiner starken Range am River folden, das nennt man auch Pot-committed sein. Damit muss allerdings die Win-Variable in der EV-Formel korrigiert werden, denn im Falle eines Treffers gewinnt BU nicht nur den Pot und die Bets vom Turn, sondern auch die zusätzlichen 37BB im Reststack von Hero.

Im beachteten Fall wäre dann Win = (58+45+37)BB, Investment bleibt jedoch bei 45BB, da BU auch bei guten Odds den River nicht mit Ace high callen wird. So korrigiert beträgt die Equity für einen breakeven Call nur noch 24% und der EV steigt auf -5BB. Und das, obwohl der Pot am River im Verhältnis zum Stack enorm groß ist, nämlich viermal größer.

So weit so gut, die Callingstation macht also einen Fehler, ein Fold ist in diesem Beispiel die richtige Wahl. Drehen wir nun wieder etwas an den Variablen, um zu sehen, wie allgemein dieser spezielle Wert ist. Vom Turn zum River ergibt sich der Erwartungswert mit Implied Odds zu:

   EV = Equity* (Win+Implieds + Investment) - Investment

Die Implieds können entweder der restliche Stack oder auch ein bestimmter Anteil vom Pot sein, den man erwarten kann, im Mittel zu gewinnen. Wie sähe die ganze Sache aus, wenn Hero anstelle von 45BB etwas über ¾ Pot nur 40BB, also etwa 2/3 Pot gesetzt hätte? Die Implieds würden von 37BB auf 42BB wachsen, die benötigte Equity auf 22,2% sinken und der Call hätte einen EV von -1.3BB, so wird es also auch schon knapper.

Was wäre nun, wenn beide Spieler anstelle von 100BB mit 130BB in die Hand gingen? Mit einer 45BB Bet am Turn hat Hero am River (130-4-14-45) = 67BB übrig, der Pot ist weiterhin schon 148BB groß. Auch hier wird Hero seine Hand auch auf ein Spade am River nicht aufgeben können. Wie verschiebt sich nun der EV?

Equity, Win und Investment bleiben weiterhin unverändert, allerdings wachsen die Implieds von 37BB auf 67BB. Unter dieser Vorraussetzung ergibt sich für die benötigte Equity für einen breakeven Call 20%, der EV des Calls wird positiv mit +1.225BB. Eine leichte Veränderung der Variablen führt also dazu, dass der reine Call für einen Treffer am Turn von einer Bet größer als ¾ Pot profitabel wird, die Callingstation macht keinen Fehler mehr. Umgekehrt hast du unter den gegebenen Annahmen in einer solchen Situation auch einen, wenn auch nicht schönen, Call.

Um auch eine allgemeine Aussage ableiten zu können betrachtest du folgendes Szenario:

Der Pot am Turn habe die Größe 1, du rechnest alle weiteren Bets in Anteilen des Pots vom Turn. Die Frage ist jetzt, welcher Zusammenhang zwischen der Equity, der Betgröße am Turn sowie den Implied Odds für den River besteht. Dazu wieder etwas Mathematik der Unterstufe:

EV = Equity * (Pot + 2 * Bet + Implieds ) - Bet

Um den Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Größen herzustellen, sollte die Annahme wieder EV >= 0 sein, im Extremfall also EV=0. Nun ergeben sich für eine zweidimensionale Darstellung drei Möglichkeiten:

• Ein Verhältnis zwischen Equity und Bet bei gegebenen Implieds (Im Fall wie in Beispiel 2, wo die Implieds den Reststack darstellen)
• Ein Verhältnis zwischen Bet und Implieds bei gegebener Equity (Wenn du deine Equity gegen die gegnerische Range gut abschätzen kannst)
• Sowie ein Verhältnis zwischen Implieds und Equity bei gegebener Bet (um ein Gefühl für die benötigte Equity und die benötigten Implieds gegen eine feste Betsize zu bekommen)

Dieser Zusammenhang gibt dir an, welche Größe einer Bet du noch profitabel zahlen kannst, wenn du weißt, wieviel du am River sicher bekommst. Für den hier gezeichneten Graphen seien die Implieds festgelegt auf 0.5, also eine Bet von halber Potsize.

Damit bekommst du ein Gefühl dafür, welche Einsätze profitabel zu callen sind, und welche nicht.

Hiermit erfährst du, bei welcher Equity du wieviel Implieds benötigtst, um eine ¾ Potsizebet am Turn callen zu können.

Auch mit diesem Graphen kannst du ein Gefühl für dein Spiel bekommen. Auch bei relativ hohen Implieds von einer Potsizebet am River benötigst du für den breakeven Call noch rund 15% Equity.

Im letzten möglichen Ergebnis sei die Equity auf 20% festgelegt und es wird betrachtet, wie sich die benötigten Implieds zur Betgröße verhalten. Der Schnittpunkt mit 0 benötigten Implieds ist in diesem Fall einfach der Teil, den du nur aufgrund deines Potanteils mit deinem Draw mitgehen kannst, er liegt in diesem Fall bei 1/3 Potsize.

Damit wären auch die allgemeineren Fälle abgehandelt. Diese Betrachtungen sowie die Graphen sind für dein Verständnis des Zusammenspiels der Equity einer Hand sowie der Betsize auf einer Straße zusammen mit zu erwartenden Betsizes auf späteren Straßen enorm wichtig.

Möchtest du dagegen Flop-> River berechnen, wird es etwas komplizierter. Hier gibt es zwei Fälle zu berücksichtigen: Entweder du triffst am Turn, wofür du Implieds abschätzen musst, oder du triffst nicht. Hier solltest du abschätzen, wie oft du noch mit einer weiteren Bet welcher Größe konfrontiert wirst, um auch die Implieds für miss Turn, hit River abschätzen zu können. Damit ist auch eine solche EV-Analyse nach den selben Prinzipien möglich.

Zusammenfassung

Damit ist der zweite Teil der Serie abgeschlossen. Du hast hier die erste komplexe EV-Analyse eines Spielzuges gelesen und nachvollzogen, sowie den Einfluß der (Reverse) Implied Odds kennengelernt. Beides wirst du in den folgenden Teilen brauchen. Im nächsten Teil werden gegnerische Moves im Erwartungswert gegen deine Hand betrachtet und insbesondere Bluffspots gesucht.

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