Mathematical Concepts for No-Limit Holdem (1) - EV & Ranges
Einleitung
In diesem Artikel
- Warum Mathematik im Poker wichtig ist
- Was hinter dem Begriff "Equity" steckt
- Wie du deinen Erwartungswert berechnest
In dieser Artikelserie wirst du grundlegende und fortgeschrittene mathematische Konzepte im No-Limit Hold’em kennenlernen. Zum einen lernst du die mathematischen Zusammenhänge kennen und verstehen, zum anderen aber auch ihre direkten Anwendungsmöglichkeiten. Hierbei geht es größtenteils um die exakte Berechnung oder um die Abschätzung von Ergebnissen von verschiedenen möglichen Entscheidungen innerhalb einer Hand.
Häufig wird zum Beispiel in einem Video, einem Handbewertungsforum oder auch hier im Artikel gesagt: "Das ist +EV". Zu einer genauen Erklärung später, aber was dies bedeutet ist klar: Dieser Spielzug könnte gut/richtig sein, er könnte Profit erzeugen.
Soweit so gut. Ein Problem tritt allerdings auf, wenn zwei Meinungen voneinander abweichen. Spieler A sagt: "Das ist +EV", Spieler B sagt: "Nein, es ist -EV oder maximal +-0 EV". Wie geht es jetzt weiter?
In einigen Situationen kann kein mathematisches Konzept die Frage klären. Häufig ist es aber möglich, diese Frage entweder zu entscheiden oder zumindest auf eine fundierte Diskussionsbasis zu heben. Besonders diese Fälle werden in Mathematical Concepts of No-Limit Hold’em behandelt.
Teil 1 - EV & Ranges
Der erste Teil enthält eine mathematische Einleitung in Begrifflichkeiten und Definitionen. Der rein mathematische Unterbau ist recht simpel und sollte niemandem abschrecken, es handelt sich dabei höchstens um den Stoff der gymnasialen Oberstufe Grundkurs Mathematik und auch dabei nicht um den komplexeren Teil. Dieser wird nicht vorausgesetzt.
Nach diesem Klären von mathematischen Begriffen soll noch ein wichtiger Begriff aus dem Poker eingeführt und erklärt werden: die Equity. Schon hiermit ist es möglich, erste Analysen zu berechnen und zu interessanten Ergebnissen zu kommen. Abschließend werden einige einfache Beispiele vorgerechnet, um die Anwendung der vorgestellten Konzepte zu demonstrieren.
Mathematische Grundlagen
In diesem Teil des Artikels werden Formeln auftauchen. Diese werden sowohl in einer mathematisch möglichst korrekten Form dargestellt, als auch ausführlich erklärt. Es ist nicht notwendig, diese Formeln alle auswendig zu kennen.
Beginnen wir mit dem Erwartungswert (auch EV für Expected Value genannt). Es stellt sich natürlich die Frage: Was ist der Erwartungswert?
Es handelt sich dabei um einen Begriff aus der Stochastik, einem Teil der Mathematik, der sich mit Wahrscheinlichkeiten befasst. Hier gibt es so genannte Zufallsexperimente, zum Beispiel einen Münzwurf. Diese Zufallsexperimente haben mögliche Ergebnisse xi (i ist hierbei ein Index zum Durchnummerieren der Ergebnisse), im Beispiel Zahl oder Kopf.
Sie treten mit einer jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeit p(xi) (i ist hierbei wieder zur Nummerierung) auf, zum Beispiel 50%. Der Erwartungswert eines Zufallsexperimentes ist nun der Wert, welcher sich bei häufigem Wiederholen des Experimentes als durchschnittliches Ergebnis einstellt.
Im hier relevanten diskreten Fall ergibt sich der Erwartungswert E(X) unter der Annahme, man habe N verschiedene mögliche Ergebnisse zu:
Wem diese Betrachtungen zu mathematisch sind, der kann auch in den pokertechnisch konkreteren Kapiteln (beginnend mit der Handrange) fortfahren. Für ein besseres Verständnis ist aber auch das Lesen des mathematischen Abschnittes empfehlenswert.
Hierbei ist nun zu beachten, dass die einzelnen Ergebnisse selbst auch wieder zusammengesetzt sein können, falls zum Beispiel drei Spieler beteiligt sind.
Hier sind die Fälle „Kein Spieler callt“, „Spieler A callt“, „Spieler B callt“, „Spieler A und B callen“ getrennt zu behandeln und für jeden einzeln eine Analyse für die möglichen Resultate sowie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten anzustellen. Hierzu sei auch auf den nächsten Abschnitt über Pfaddiagramme verwiesen, einer übersichtlichen Anordnung solcher Berechnungen.
Der Erwartungswert in Geld wird im Poker dann EV genannt. Um dies logisch verstehen zu können, bietet sich eine Zuordnung von Ergebnis zu Zahl an, zum Beispiel Zahl entspricht 1, Kopf entspricht -1.
Im Rechenbeispiel des Münzwurfes kann man einfach das gesamte Ergebnis aufschreiben. Die Möglichen Ergebnisse sind dann x1 = 1, x2 = −1 und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:
p(x1) = 0,5 , p(x2) = 0,5
p(x) bedeutet in etwa so viel wie Probability (=Wahrscheinlichkeit) von x. Für den Erwartungswert ergibt sich damit:
EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0,5 • 1 + 0,5 • (−1) = 0
Hoffentlich für niemanden ein überraschender Wert. Das Beispiel war zugegeben auch sehr einfach gewählt. Nehmen wir ein etwas schwierigeres, um das Konzept zu verdeutlichen. Ein Casino bietet folgendes Spiel an:
Für 10 Chips darf ein Spieler einmal Würfeln. Bei einer 1, 2 oder einer 3 verliert er seinen Einsatz, bei einer 4 bekommt er 5 Chips zurück, bei einer 5 bekommt er 20 Chips und bei einer 6 gibt es 30 Chips zurück. Ist das Spiel +EV?
Um den Erwartungswert zu bestimmen, brauchen wir zunächst alle möglichen Ergebnisse. Hier gibt es zunächst sechs davon, nämlich die Würfelzahlen 1-6. Allerdings sind drei davon identisch und lassen sich zusammenfassen, womit wir also folgende Gleichung erhalten:
x1 = −10, p(x1) = 1/6 +1/6 + 1/6 = 1/2
sowie x2 = −5, p(x2) = 1/6 (er verliert ja den halben Einsatz),
x3 = 10, p(x3) = 1/6
und
x4 = 20, p(x4) = 1/6
Damit sind auch wieder alle benötigten Größen bekannt und mit Taschenrechner, Stift und Papier oder im Kopf lässt sich schnell der Erwartungswert berechnen. Er ist in diesem Fall
Aber dir ist sicher klar, dass Casinos nicht so dumm sind, dir ein Spiel mit positivem Erwartungswert anzubieten, welches du gegen die Bank spielen kannst.
Zur weiteren Illustration noch ein einfaches Beispiel aus dem Pokerbereich.
FR , 100BB Stacks
Preflop: Hero is BU with AA
6 folds, CO raises 4BB, Hero raises 12BB, 2 folds, CO is All-In.
Eine erfreuliche Situation. Du hast zwei Asse und kannst dein Geld komplett vor dem Flop in die Mitte stellen, besser geht es kaum. Dass du hier callst, ist klar. Weiterhin ist es auch klar, dass du damit Gewinn machen wirst (Der EV ist hier größer als 0).
Du könntest dich aber natürlich fragen, wie groß der EV genau ist. Dazu musst du zuerst verschiedene Ergebnisse bestimmen. Entweder gewinnst du alles, was schon im Pot ist, also 100BB vom CO sowie 12BB von dir und 1.5BB von den Blinds, also 113,5BB.
Dieses Ergebnis nennst du x1 = 113,5BB.
Die andere Möglichkeit ist der Verlust von 88BB, die du noch callen musst, also x2 = −88BB.
Nun musst du noch die Wahrscheinlichkeit für die beiden Ereignisse bestimmen. Nimmst du an, CO geht hier mit QQ, KK, AA und AKs All-In, so beträgt dein Anteil am Pot 80,4% und der Anteil deines Gegners somit 19,5%.
Der Erwartungswert ergibt sich damit zu
EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113,5 • 0,804 − 88 • 0,195)BB = (91,25 − 17,16)BB = 74,09BB.
In Fällen bei denen sich einzelne Ergebnisse des Erwartungswertes ihrerseits wieder als Erwartungswerte einer bestimmten Situation ergeben, bietet sich eine Pfaddiagrammdarstellung an. In dieser kannst du übersichtlich alle Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten auflisten und dann den Erwartungswert berechnen.
Es ist nun der Erwartungswert der gesamten Situation die Summe der jeweiligen Endergebnisse, multipliziert mit ihren zugehörigen Ereignissen, wie immer.
Beachte dabei:
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in der ersten Ebene ist direkt angegeben, die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in zweiter Ebene ergibt sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeit im Ast der ersten Ebene zu diesem Ergebnis, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit im zweiten Ast.
Zur Übersicht schreibt man ans Ende eines Pfades sein Ergebnis, sowie an jeden Ast die jeweilige Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert ist dann die Summe aller Ergebnisse multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten.
Für ein Würfelspiel nach folgenden Regeln ist ein Beispieldiagramm gegeben:
Der Spieler zahlt nichts, um teilzunehmen. Würfelt er eine 1, 2 oder 3, hat er verloren. Würfelt er eine 4 oder 5, gewinnt er einen Schokotaler, würfelt er eine 6, darf er noch einmal würfeln. Würfelt er im zweiten Wurf eine weitere 6, gewinnt er drei Schokotaler, würfelt er im zweiten Wurf keine 6, gewinnt er zwei Schokotaler.
Der Erwartungswert ist damit:
0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • 0,16 • 3+0,16 • 0,83 • 2 = 0,5 • 0+0,33 • 1+0,16 • (0,16 • 3+0,83 • 2) = 0,694.
Diese Art, eine Erwartungswertberechnung aufzuschreiben, bietet sich besonders an, wenn viele Fälle berücksichtigt werden müssen. Sie ist natürlich nicht grundlegend verschieden von der rein schriftlichen Rechnung.
Der folgende Abschnitt ist recht mathematisch, aber noch zu verstehen. Wenn es dir hilft, schau dir zuerst das Beispiel an.
Ein weiterer wichtiger Begriff ist die Varianz. Sie hilft dir nicht bei der Berechnung von Erwartungswerten, ist allerdings über die Zeit beim Spielen dein ständiger Begleiter, weswegen auch sie hier etwas erklärt werden soll. Mathematisch ist sie ein Maß für die durchschnittliche Abweichung eines Ergebnisses eines Zufallsexperimentes von seinem Erwartungswert.
Im Poker wird damit oft die Tatsache bezeichnet, dass jeder noch so gute Spieler Swings in beide Richtungen erfährt, was eigentlich eine Auswirkung der Varianz ist. Sie ist im hier relevanten Fall über folgende Formel gegeben:
Das sieht zunächst nicht schön aus, ist aber so. Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert E(X). Durch sie ergibt sich die Standardabweichung:
also der Wurzel der Varianz. Diese ist nicht, wie man denken könnte, sinnfrei, sondern sorgt für ein strikt positives Vorzeichen der Standardabweichung. Die Standardabweichung ist wieder eine greifbare Größe, sie gibt nämlich direkt die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert an.
Berechnen wir zum besseren Verständnis einmal ein Beispiel aus dem Poker. Spieler A hat eine Bankroll von 2000$. Ein Spieler B bietet ihm folgenden Deal an:
A bekommt AA, B bekommt eine zufällige Hand und es wird bis zum Showdown gedealt. Spieler A darf entweder (Szenario 1) einmal seine ganze Bankroll oder (Szenario 2) zehnmal 200$ setzen. Ohne eine Wertung wollen wir einmal ausrechnen, was wir berechnen können.
Der Erwartungswert beträgt für Szenario 1:
0,85 • 2000$ + 0,15 • (−2000$) = 1400$
In Szenario 2 wird ja zehnmal dasselbe Experiment durchgeführt, der Erwartungswert ist also:
10 • (0,85 • 200$ + 0,15 • (−200$)) = 1400$ wie in Szenario 1.
Die jeweiligen Standardabweichungen sind aber (Aus Platzgründen nicht vorgerechnet) in Szenario 1 1428.3$ sowie in Szenario 2 bei 451$. Das Risiko eines Totalverlustes liegt für Szenario 2 bei lächerlichen 5,7665• 10−7% = 0,00000057665%, bei Szenario 1 immerhin bei 15%.
Je weiter die möglichen Ergebnisse vom Erwartungswert entfernt liegen, desto größer wird auch die mittlere Abweichung von diesem sein. Ein NL50-Spieler wird sehr viel eher gewillt sein, seine gesamte Bankroll mit Szenario 2 anstelle von Szenario 1 zu riskieren.
Interessanter als ein direktes Berechnen von Standardabweichungen ist allerdings folgende Betrachtung. Pokeranalysetools wie Pokertracker können unter anderem die Standardabweichung in BB/100 als Wert ausgeben. Verfügt man über eine ausreichend große Datenbank, so lassen sich Simulationen errechnen, die verschiedene Graphen für unterschiedliche Handanzahlen auf Basis der Winrate und Standardabweichung simulieren.
Ohne hier noch weiter ins Detail gehen zu wollen, sei erwähnt, dass als Ergebnis mathematischer Simulationen auf Grundlage von realistischen Standardabweichungen für NL BSS Spieler Swings von bis zu 60 Stacks absolut realistisch sind und durchaus vorkommen können, sogar bei Spielern mit einer Winrate von 4BB/100hands.
Mit der Erläuterung von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung sowie der Einführung von Pfaddiagrammen zur anschaulichen Berechnung von Erwartungswerten sind die einführenden mathematischen Bemerkungen abgeschlossen. Nun wirst du nach der Vorstellung der Equity und Handrange die ersten einfachen Beispiele zu EV-Berechnungen kennenlernen.
Die Handrange
Die Handrange wird ausführlich im zweiten Teil der Serie behandelt, hier wird lediglich eine Erklärung gegeben. Was ist also eine Handrange?
Eine Handrange bezeichnet eine Menge von Händen, zwischen denen ein Spieler in einer Spielsituation nicht mehr differenziert. Das bedeutet, dass er jede Hand dieser Menge genau so spielen würde, wie er sie gespielt hat. Es handelt sich dabei um ein wichtiges Konzept, da man sich bewusst machen muss, dass jeder Spieler in jeder Situation eben nicht eine einzelne Hand, sondern eine komplette Range spielen kann.
Das bedeutet, dass Gewinnwahrscheinlichkeiten auch immer gegen die gesamte Handrange betrachtet werden müssen. Genauso musst du dir, wenn du eine Entscheidung triffst, immer überlegen, wie der Spieler mit welchem Teil seiner Range auf deine Aktion reagieren wird (nämlich nicht immer gleich, oft spaltet sich seine Range insofern, als dass er mit einem Teil Entscheidung A, mit einem anderen Teil Entscheidung B treffen würde).
Handranges werden im allgemeinen so angegeben, dass die schwächste Hand einer Kategorie mit einem + versehen wird, zwischen offsuited und suited unterscheidet der Zusatz „o” beziehungsweise “s”. Fehlt er, sind beide Möglichkeiten gemeint. AK bezeichnet zum Beispiel alle 16 möglichen Kombinationen von AK. QQ+, AQs+, AK bezeichnet QQ, KK, AA sowie die vier suited Kombinationen AQ sowie alle Kombinationen AK.
Die Equity
Sicher hast du schon einiges von der “Equity” gehört. Auch die Equity ist ein eher mathematischer Begriff. Er beschreibt die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spielern in vorgegebenen Situationen.
Die Equity ist genau genommen der Anteil am Pot, der einer Hand oder Menge von Händen in einer bestimmten Situation gegen eine andere Hand oder Menge von Händen zusteht. Dieser Anteil am Pot berücksichtigt auch die Situation eines Splits und differiert deswegen meist leicht von der exakten Gewinnwahrscheinlichkeit.
Prinzipiell ist es möglich, die Equity auch von Hand zu berechnen. Ein sehr einfaches Beispiel, in dem dies mit vertretbarem Aufwand möglich ist, sei hier gegeben:
Spieler A hält A
, K
Spieler B hält A
, 2
das Board ist 7, 8, K
Wie hoch ist die Equity von Spieler A und B?
Hierbei solltest du alle möglichen Ergebnisse in Betracht ziehen. Spieler B gewinnt, wenn er einen Flush trifft, und Spieler A kein Fullhouse, oder wenn er an Turn und River eine 2 bekommt.
Die Wahrscheinlichkeit für eine 2 an Turn und River ist nun 3/45 * 2/44
Dies ergibt sich wie folgt:
Im Deck sind drei 2er übrig, die 2, 2, 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine davon am Turn kommt, ist dann einfach die Anzahl der „gewünschten“ Karten dividiert durch die Anzahl der vorhandenen Karten. Das sind hier 45. Du kennst 4 Karten als Hände von Spieler A und B sowie drei Karten vom Flop.
Für den River bleiben zwei „gewünschte“ und 44 mögliche Karten übrig, ergibt also 1/330 = 0,3%.
Dazu kommt die Wahrscheinlichkeit des Flushs. Der Flush kommt am Turn mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/45. Ist diese Karte nicht der K, hat Spieler A keine Gewinnchance mehr, also wird hier am geschicktesten folgendermaßen unterschieden:
In 8/45=17,7% der Fälle gewinnt Spieler B direkt, in 1/45 Fällen kann Spieler A ein Full House oder Quads am River treffen. Dies geschieht in 9/44=20.5% der Fälle für 2xA, 1xK, 3x7, 3x8.
Für Spieler B kommt an Gewinnwahrscheinlichkeit noch 1/45 (Wahrscheinlichkeit für K am Turn) * 35/44 (Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A kein Fullhouse oder Quads trifft) % = 1,7%.
Bis hier ergibt sich für Spieler B also eine Equity von 19,7% Equity. Bleibt noch der Fall auszuwerten, dass kein am Turn erscheint. Ist der Turn ein 7, 8, A oder K, so muss am River ein außer dem K für Spieler B fallen. Ist der Turn keine dieser Karten, helfen alle am River Spieler B.
Im ersten Fall ergibt sich für Spieler B 9 (A, 7, 8 oder K ohne K) / 45 * 8/44 = 3,63%, im zweiten Fall ergibt sich 24 (kein Spade, kein A, 7, 8 oder K noch 2, da wir diesen Fall schon abgedeckt haben)/45 * 9/44 = 10,9%. Insgesamt hat Spieler B also 35,76% Equity.
Wie du siehst, ist dies enorm umständlich, obwohl es ein sehr einfacher Fall war. Schwierigere Fälle, wie Preflopequity oder Equity für unterschiedliche Handranges, sind so nicht mehr praktikabel zu berechnen. Hierfür bedient man sich verschiedener Tools. Diese berechnen meist durch numerische Integration in Sekunden Equities auch in schwierigen Situationen.
Ein Tool wie der PokerStrategy.com Equilator kann mit einfachen Methoden in beliebigen Pokersituationen die Equity berechnen. Es kann einerseits mit einzelnen Händen gerechnet werden, zum Beispiel AA gegen KK, genauso ist aber auch die Equityberechnung für Ranges möglich, zum Beispiel QQ+, AK gegen JJ+, AQ, AK.
Auch unterschiedliche Boards sowie “tote” Karten, die bei der Berechnung nicht berücksichtigt werden sollen, sind einstellbar. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, sollen hier einige Beispielequities aufgelistet werden:
| Situation | Equity |
| Pair vs. kleineres Pair | 80% |
| Pair vs. 2 Overcards | 54% |
| Pair vs. Over- & Undercard | 70% |
| Pair vs. 2 Undercards | 85% |
| QQ+, AK vs. 66 | 64% |
| Flushdraw vs. Toppair | 35% |
| Flushdraw + Overcard vs. Toppair | 44% |
| Set vs. Flushdraw | 75% |
| Set vs. Flushdraw + Gutshot | 66% |
Es ist enorm wichtig, ein gutes Gefühl für Equity zu bekommen. Es ist zwar möglich, in einigen wenigen Situationen mit abschätzenden Methoden schnell die Equity zu überschlagen, häufig hat man dafür jedoch schlicht nicht die Zeit.
Deswegen bleibt dir kaum mehr als eine Schulung der eigenen Erfahrung. Die Equities solltest du im Kopf haben und sie im Spiel genau und exakt schätzen. Du kannst deine Entscheidungen allerdings im Nachhinein überprüfen und damit in Zukunft dein Gefühl für die Equity verbessern. Um noch einmal einen Begriff aus dem ersten Kapitel fallen zu lassen:
Die Equity steht im direkten Zusammenhang mit dem Erwartungswert.
Man lässt in der ausgewählten Situation bis zum Showdown dealen und gibt jedem beteiligten Spieler seinen Gewinn in Anteilen von 1. Der durchschnittliche Gewinn eines Spielers bei häufiger Wiederholung ist die Equity.
Zusammen mit der Equity kannst du nun deine ersten eigenen einfachen EV-Berechnungen zur Analyse durchführen. Eine Anleitung dazu sowie Beispiele bilden den Abschluss dieses Artikels.
EV-Berechnungen allgemein
Wozu dient nun die EV-Berechnung, gerade wenn du sie nicht am Tisch direkt durchführen kannst? Sie ist eben wie eingangs erwähnt da, um eine Entscheidung im Nachhinein zu bewerten. Dies ist wichtig, wenn du als Pokerspieler weiterkommen möchtest, denn oft kommen Spieler nicht über eine “ich glaube ...”-Aussage hinaus, die wenig fundiert ist.
Wer es genau wissen möchte, rechnet und hat am Ende mehr gelernt als jemand, der sich weiterhin auf seinen Glauben verlässt. Ziel einer EV-Berechnung ist es auch nicht nur, einen reinen Erwartungswert zu berechnen, sondern ein Gefühl für seine Zusammensetzung zu entwickeln. Wie viel gewinnst du durch einen Fold deines Gegners, wie viel durch einen Treffer und so weiter.
Häufig knüpfen sich an die Rechnung bestimmte Fragestellungen wie etwa: Wie viel kann ich in dieser Situation noch mitgehen? Wie groß darf sein Stack maximal sein, damit ich noch All-In gehen möchte? Welche Hände muss er in etwa so spielen, wie er es tut, damit ich profitabel callen kann? Und so weiter. Die Möglichkeit zur Beantwortung dieser Fragen liegt in der möglichen Interpretation des Erwartungswertes.
Du stellst zunächst eine simple Forderung an ihn, nämlich “habe einen positiven Erwartungswert”. Dies kommt aus einem Vergleich mit dem Fold.
Ein Fold hat immer den EV=0. Das sieht man auch leicht mathematisch ein. Hast du dich nämlich für einen Fold entschieden, so ist das einzig mögliche Ereignis “Fold”. Der zugehörige Betrag ist 0, folden ist umsonst, die Wahrscheinlichkeit dazu ist 1, denn du bist dir ja sicher.
Damit ergibt sich EV= 0 * 1 = 0. Ein Fold ist immer EV-neutral. So ist auch klar, dass jede Entscheidung, die du dem Fold vorziehen solltest, also mindestens einen EV von 0 oder größer haben muss.
Der 0-EV ist zunächst das Maß der Dinge. Die eigentliche Forderung ist also EV>=0. Man setzt nun EV=0 und bekommt anstelle einer Ungleichung eine Gleichung. Diese kann man nun, solange man andere Variablen fixiert, zu einer Variablen auflösen. Praktisch gesprochen bedeutet das:
Kennst du die Pot und Setzgrößen genau, kannst du zum Beispiel die benötigte Equity berechnen und umgekehrt. Auf diese Weise kannst du weitere Bedingungen für spätere Aktionen ableiten oder direkt eine Empfehlung aussprechen. So bekommst du in einer bestimmten Situation zum Beispiel eine Bedingung für die Equity oder abstrakter auch eine Bedingung an Spielweisen von Gegnern, damit EV (>) = 0 erfüllt ist. Gleichzeitig weißt du auch, dass dein Spiel von dieser Grenzstelle bitte in Richtung +EV und nicht in Richtung -EV verlaufen sollten.
Eine Anleitung für einfache EV-Berechnungen
Zur EV-Berechnung gehst du am besten systematisch wie in der mathematischen Einleitung vor. Zum einen benötigst du alle möglichen Ergebnisse. In einfachen Fällen ist dies meist der Gewinn oder der Verlust des Pottes, beziehungsweise eines bestimmten Betrages, den du zum Beispiel callen musst.
Es gibt mehrere äquivalente Darstellungen des Erwartungswertes. Hier werde ich mit folgender Formel rechnen:
EV = Equity * (Win + Investment) - Investment
"Win" bezeichnet dabei alles Geld, das du gewinnen kannst sowie "Investment" den Betrag, den du bezahlen musst um eine Gewinnchance zu bekommen.
Rechnen wir also nach all der grauen Theorie einige Beispiele:
Fullring, 100BB Stacks
Preflop: Hero is BU with A, 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks
Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB raises 10BB, UTG2 folds, MP1 raises 15BB, CO folds, Hero?
Die Frage ist: Kannst du als Hero hier callen?
Sitzt du am Tisch, wirst du eine Entscheidung treffen müssen, so oder so. Allerdings kannst du dich zumindest im Nachhinein auch hinsetzen und einmal versuchen, den Erwartungswert auszurechnen.
EV = Equity * (Win + Investment) - Investment
In diesem Fall soll nur von Belang sein, was du direkt gewinnst. Also entspricht Pot (6+5+10+15)BB = 36BB. Investment entspricht in diesem Fall den 15BB, die du callen müsstest (wobei Investment negativ ist, denn du verlierst ja 15BB).
Bleibt die Frage der Equity. Um diese zu kennen, brauchst du allerdings Kenntnis über die Hände deiner Gegner. Ohne hier Annahmen zu treffen, kannst du allerdings schon einmal die benötigte Equity für EV=0 ausrechnen, was dir schon einmal eine Idee gibt:
EV = 0 = Equity * (36BB + 15BB) - 15BB
15BB = Equity * ( 51BB )
15/51 = Equity
Du benötigst also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von etwas weniger als 33%, genau genommen nur 29%. Soweit so gut, du hast ja zu Beginn gelernt, dass die Equity eines Nutflushdraws meist in genau dieser Größenordnung liegt. Gehst du noch davon aus, vielleicht bei einem Treffer am Turn noch Geld gewinnen zu können, sollte ein Call also in Ordnung gehen. Die Situation ist eindeutig ein Call, richtig?
Nein.
Diese Analyse unterschlägt zwei relevante Tatsachen. Zum einen kannst du dir nicht sicher sein, mit dem 15BB-Call den Turn zu sehen. Häufig wird der SB oder BB zum Beispiel noch einmal reraisen, in welchem Fall du wieder neu analysieren müsstest. Genau genommen müsstest du den EV komplexer mit folgendem Ansatz berechnen:
EV = P(NobodyRaise) * ( Equity * (Win + Investment) - Investment) + P(SomebodyRaise) * (Ergebnis von Somebodyraise)
P(Somebodyraise) bezeichnet hierbei die Wahrscheinlichkeit eines weiteren Raises, das Ergebnis ist offensichtlich nicht weiter analysiert. Dies ist auch nur schwer möglich, da du hier wieder alle Möglichkeiten mit einem eigenen Pfad bedenken müsstest. Dies geht zwar, ist allerdings enorm umständlich.
Es gibt noch ein zweites Problem: Du kannst dir nicht sicher sein, deinen vollen Anteil am Pot auch zu erhalten. Die Equityberechnungen im Equilator gehen zunächst davon aus, dass es einen Showdown gibt. Dieser könnte für dich allerdings durchaus mehr kosten, als der Einsatz am Flop, auch wenn es kein Reraise mehr gibt, einfach weil am Turn gesetzt wird.
Dies bedeutet für das Beispiel, dass du anstelle der Equity vom Flop bis zum River in diesem Fall nur mit der Wahrscheinlichkeit für einen Treffer am Turn rechnen solltest. Dieser ergibt sich entweder durch einen Überschlag 8/45=17% (du möchtest gern ein , das kein Paar auf das Board bringt) oder du bedienst dich der Equity, welche vom Flop bis zum Turn gelten würde.
| Situation | Equity bis zum River | Equity vom Flop zum Turn |
| Pair vs. kleineres Pair | 80% | 95% |
| Pair vs. 2 Overcards | 54% | 86% |
| Pair vs. Over- & Undercard | 70% | 93% |
| Pair vs. 2 Undercards | 85% | 100% |
| QQ+, AK vs. 66 | 64% | 57% |
| Flushdraw vs. Toppair | 35% | 20% |
| Flushdraw + Overcard vs. Toppair | 44% | 26% |
| Set vs. Flushdraw | 75% | 84% |
| Set vs. Flushdraw + Gutshot | 66% | 78% |
Dies ist deutlich weniger, als du benötigst, um einen direkt profitablen Call zu machen. Ein bisher nicht beachteter Grund für einen Call wäre die Möglichkeit, im Falle eines Treffers am Turn nicht nur den bestehenden Pot, sondern noch zusätzliches Geld gewinnen zu können.
Allerdings ist hier die Tatsache, dass du die Action nicht abschließt und nach dir noch einmal geraist werden kann (und dies auch recht wahrscheinlich ist) zusammen mit der Tatsache, dass du lange keinen direkt profitablen Call machen kannst, ausreichend, um hier einen Fold als beste Entscheidung zu deklarieren.
Die Formel EV = Equity * (Win + Investment) - Investment gilt nur für den Fall, dass keine Möglichkeit außer du gewinnst (Win) oder du verlierst (Investment) existiert. Können andere Fälle auftreten, wird die Formel komplexer. Im Sinne eines Pfaddiagramms musst du dann jeden Fall in der Berechnung berücksichtigen. Wir werden sie später in dieser Serie noch verwenden.
Fullring, 100BB Stacks
Preflop: Hero is BU with A 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks
Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB calls 5BB, UTG2 folds, MP1 calls 5BB, CO folds, Hero?
Die Situation ist ähnlich, allerdings schließt Hero die Action ab. Entweder Hero callt und sieht die Turnkarte oder er foldet. Verwenden wir wieder
EV = 0 = Equity * (6BB + 5BB*4) - 5BB
Equity = 5BB/(6BB+5BB*4) = 0.19 = 19%
Beachtet man nun wieder die Equity von Flop zu Turn für einen Flushdraw, so reicht es je nach der genauen Konstellation, da wir auf die Nuts drawen, fast für einen Call. Bezieht man die Möglichkeit, ab und an den River kostenlos zu sehen oder am Turn noch Geld gewinnen zu können, mit ein, hat Hero jetzt einen klaren Call.
Die Frage ist natürlich, was hilft dann die EV-Analyse? Die EV-Analyse hilft dir, dein Spiel mathematisch einzuschätzen. Du kannst überprüfen, ob eine Entscheidung, die du im Spiel getroffen hast, auch einer späteren genauen Analyse unter Berücksichtigung der genauen Pot- und Betgröße sowie der Equity standhält, oder nicht.
Hilfreich ist dann Meinung anderer (guter) Spieler, vor allem wenn eine gesamte EV-Analyse schlicht unmöglich ist, da zu viele mögliche Fälle berücksichtigt werden müssten und damit zu viele unbekannte Variablen Einzug finden. Hier gibt es außer statistischen Betrachtungen in Datenbanken kein Entscheidungskriterium als die persönliche Abschätzung von Spielern.
Abschließend noch ein Beispiel mit einer All-In-Situation.
Fullring, 100BB Stacks
Preflop: Hero is CO with Q J
UTG+1 calls 1BB, 5 folds, Hero raises 5BB, BU calls 5BB, SB folds, BB folds, UTG+1 calls 4BB
Flop: A, K, 5 (Pot: 16,5BB)
UTG+1 checks, Hero bets 14BB, BU raises 36BB, UTG+1 is All-In, Hero?
Die Frage ist, ob Hero hier einen profitablen Call hat, oder nicht. Bestimmen wir zunächst die Variablen. Wenn du deinen Draw nicht triffst, verlierst du 81BB.
Eine (realistische) Annahme sollte noch getroffen werden: BU wird seine Hand nicht mehr folden, wenn du callst. Er muss noch 59BB für einen etwa 300BB großen Pot nachlegen, das wird er so gut wie immer tun. Win sind damit also bei 215,5 BB (100BB für UTG+1 und BU, 1,5BB dead Money und 14BB die Hero selbst schon gebettet hat). Damit ergibt sich die benötigte Equity für einen breakeven Call zu:
81/( 296,5 ) = 0,27 = 27%
Hast du also mehr als 27% Equity in dieser Situation, kannst du mitgehen. Hier bietet sich zum Beispiel eine gängige Betrachtung an, um die Equity abzuschätzen, eine Worst-Case-Analyse. Hierbei wählst du für beide Gegner die schlimmstmögliche Kombination von Händen für dich aus.
Ist deine Equity dagegen ausreichend (oder fehlt nur ein sehr kleiner Teil), so kannst du von einem profitablen Call ausgehen, da der Worst-Case nicht die Regel ist. Die schlimmste realistische Kombination für dich wäre wahrscheinlich ein Set sowie ein anderer Flushdraw. Der Flushdraw nimmt dir Outs, das Set hält die beste Hand und hat sogar einen Redraw. Es ergibt sich zum Beispiel:
| Equityanalyse | |||||
| Board | A K 5 |
||||
| Equity | Win | Split | Loss | Hand | |
| Spieler 1 | 28,57% | 28,57% | 0% | 71,43% | Q J |
| Spieler 2 | 70,43% | 70,43% | 0% | 29,57% | AA |
| Spieler 3 | 1% | 1% | 0% | 99% | T 9 |
Damit ist klar: Ein Call ist profitabel. Schlechter als in diesem Fall wird deine Equity nicht mehr. Wichtig hierbei ist auch die Tatsache, dass sowohl der Straight- als auch der Flushdraw auf die Nuts gehen. Ist dies nicht der Fall, wird die Rechnung komplexer.
Zusammenfassung
Du hast nun in diesem Artikel die grundlegenden mathemathischen Begriffe und Konzepte des No-Limit Hold'em kennengelernt und weißt, wie du sie praktisch anwenden kannst.
Im zweiten Teil der Serie werden wir uns näher mit der Handrange und der Foldequity sowie Implied und Reverse Implied Odds beschäftigen und komplexere Beispiele dazu berechnen.
