Einleitung

In diesem Artikel

• Wie dir das Risiko-Nutzen Konzept beim Poker hilft
• Warum du ein Bankrollmanagment betreibst
  
• Wie du den für dich optimalen Spielstil findest

In diesem Artikel wirst du ein Konzept kennenlernen, das viele Pokerspieler bereits unbewusst anwenden: Das Risiko-Nutzen Konzept. Dieses einfache Konzept ist ein nützliches Werkzeug. Es liefert eine theoretische Erklärung einiger grundlegender Ideen von erfolgreichem Pokerspiel.

Das Risiko-Nutzen Konzept (RNK) ist für dich in folgenden Bereichen hilfreich:

• Es veranschaulicht die Notwendigkeit eines Bankrollmanagements.
• Es zeigt Vor- und Nachteile verschiedener Spielstile auf.
• Es gibt dir eine umfassende Erklärung der Wechselwirkungen von Erwartungswert und Varianz.

Doch genug der Vorrede! Das RNK fußt auf einer zentralen Überlegung. Pokerspieler mögen Situationen mit einem positiven Erwartungswert. Pokerspieler wollen jedoch keine Varianz. Der Nutzen eines Pokerspielers lässt sich dann in einer simplen Risiko-Nutzen Funktion schreiben:

Spielernutzen = EV – a * Varianz

Der Parameter a gibt an, wie stark du unter der Varianz leidest. Je größer a ist, desto mehr macht dir die Varianz aus. Die Ausprägung von a hängt natürlich von individuellen Faktoren ab. Zum Beispiel von deiner psychologischen Robustheit oder von der Angemessenheit deines Bankrollmanagements.

Die Interpretation der Formel ist nun einfach. Ein höherer EV erzeugt einen höheren Nutzen. Eine höhere Varianz mindert hingegen den Nutzen. Anhand zweier Fallstudien soll das RNK nun getestet werden.

Fallstudie 1: Bankrollmanagement

Stell dir vor, du hast eine Bankroll von 1000$. Du hast die Möglichkeit deine ganze Roll in eine All-In Situation mit Aces zu stecken. Dein Gegner hat einen gleich großen Stack und hält Kings. Deine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt rund 80%. Zweifelsohne eine profitable Situation.

Der EV berechnet sich einfach aus Potsize x Gewinnwahrscheinlichkeit:

In diesem Falle: 2000$ x 80% = 1600 Dollar

Die Berechnung der Varianz gestaltet sich komplizierter. Grundsätzlich misst die Varianz die Streuung der tatsächlichen Ergebnisse rund um den Erwartungswert. Je höher die Varianz, desto weiter weichen einzelne Ergebnisse im Durchschnitt vom Erwartungswert ab.

Folgendermaßen gehst du bei der Berechnung vor:

• Der EV ist dir aus obiger Rechnung bekannt und beträgt 1600$.
• Entweder gewinnst du 2000$ (Fall 1, deine Aces gewinnen) oder du gewinnst nichts (Fall 2, deine Aces verlieren).
• Im ersten Fall beträgt die Abweichung vom EV +400$. Im zweiten Fall beträgt die Abweichung vom EV -1600$.
• Quadriere nun beide Abweichungen, um durchgängig mit positiven Vorzeichen arbeiten zu können. Für den ersten Fall beträgt die quadrierte Abweichung 400$ x 400$ = 160000$². Im zweiten Fall beträgt sie (-1600 $) x (– 1600$) = +2560000$².
• Um die Varianz zu erhalten, musst du die Abweichungen noch mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten multiplizieren. Fall 1 tritt mit der Wahrscheinlichkeit 80% ein. Fall 2 tritt mit der Wahrscheinlichkeit 20% ein.
• Also rechnest du: 80% x 160000$² = 128000$², und: 20% x 2560000$² = 512000$².
• Im letzten Schritt addierst du beide Abweichungen zu deinem Endergebnis: Varianz = 128000$² + 512000$² = 640000$²

Die vollständige Rechnung ohne Zwischenschritte sieht wie folgt aus:

80% (2000$-1600$)² + 20% (0$-1600$)² = 640000$²

Wie interpretierst du nun die Varianz? Und warum erhältst du als Ergebnis so einen riesigen Betrag? Die Antwort lautet folgendermaßen:

• Die Varianz ist nicht als Geldbetrag zu verstehen. Denke dir die Varianz hier einfach als Zahl ohne irgendeine Maßeinheit. Je höher diese Zahl, desto weiter weichen einzelne Ergebnisse im Durchschnitt von deinem EV ab.
• Der riesige Betrag ergibt sich aus dem Quadrieren der Abweichungen. Jedoch kannst du aus der Varianz eine Größe berechnen, die du als Geldbetrag interpretieren kannst und die eine realistischen Betrag hat: Die Standardabweichung.
• Die Standabweichung berechnet sich ganz einfach als Wurzel der Varianz.
• Die Wurzel deiner Varianz in Höhe von 640000$² beträgt 800$.
• Der Name ist Programm. Die Standardabweichung gibt an, welche Abweichung vom EV standardmäßig zu erwarten ist.
• In diesem Fall ist also eine Abweichung vom EV in Höhe von 800$ zu erwarten.

Stell dir nun vor, du steckst die Roll von 1000$ in 20 wiederkehrende All-In Situationen mit Aces gegen Kings und investiert dabei jeweils 50$.

Der EV bleibt gleich: 100$ x 80% x 20 Situationen = 1600 Dollar

Was passiert mit der Varianz? Die Varianz im Falle wiederkehrender Situationen lässt sich wie folgt berechnen:

• Du berechnest den EV einer einzelnen All-In Situation. Dieser beträgt 80$.
• Du berechnest wie oben die quadrierten Abweichungen für Fall 1 (die Aces gewinnen) und Fall 2 (die Aces verlieren) vom EV.
• Dann multiplizierst du die quadrierten Abweichungen mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten.
• Addiere nun beides und du erhältst die Varianz einer einzelnen All-In Situation. Sie beträgt 1600$².
• Da du die All-In Situation 20 mal erzeugst, musst du die Einzelvarianz mit 20 multiplizieren. Dann erhältst du die Gesamtvarianz von 32000$². Die Standardabweichung (die Wurzel von 32000$²) beträgt rund 179$.

Die ausführliche Rechnung stellt sich wie folgt dar:

20 x [80% x (100$-80$)² + 20% x (0$-80$)²] = 32000$²

Abschließend nun beide Möglichkeiten im Vergleich:

Das Ergebnis ist eindeutig. Das Szenario mit zwanzigfacher Wiederholung hat eine viel kleinere Varianz. Die Aufteilung deiner Bankroll auf verschiedene Situationen führt zu einer geringeren Schwankung deines Gewinns. Diese Aufteilung bezeichnet man als Diversifikation.

Gemäß der Risiko-Nutzen Funktion ist die Diversifikation klar vorzuziehen, denn du reduzierst deine Varianz, ohne dafür EV aufzugeben. Ein vernünftiges Bankrollmanagement erhöht also deinen Nutzen.

Das Risiko-Nutzen Konzept liefert somit eine theoretische Erklärung für die Notwendigkeit eines Bankrollmanagements.

Fallstudie 2: Verschiedene Spielstile

Über eine ausreichend lange Beobachtungsperiode stehen EV und Varianz miteinander in Beziehung. Grundsätzlich geht ein höherer EV mit einer höheren Varianz einher. Für höhere Gewinne sind auch höhere Risiken erforderlich. Diese alte Börsenweisheit lässt sich problemlos aufs Pokern übertragen.

Wir vergleichen beispielhaft drei Spielertypen. Den Fish, den tight-aggressiven Spieler (TAG) und den loose-aggressiven Spieler (LAG).

Der Fish spielt in der Regel zum Spaß. Er agiert oftmals irrational. EV-Maximierung ist für ihn ein Fremdwort. Oftmals investiert er seinen ganzen Stack in hanebüchene Moves oder Calldowns. Daher spielt der Fish langfristig mit einem negativen Erwartungswert. Zudem unterliegt sein Spiel einer hohen Varianz.

• Die Risiko-Nutzen Funktion macht deutlich, dass eine Kombination aus negativem EV und hoher Varianz mit am schlechtesten ist.

TAGs sind solide Gewinner. Sie extrahieren Value aus ihren starken Händen und vermeiden schwierige Situationen. Moves werden eher selten ausgepackt. TAGs realisieren einen positiven Erwartungswert bei geringer Varianz.

• Eine Kombination aus positivem EV und geringer Varianz führt mit Sicherheit zu einem positiven Spielernutzen.

LAGs nutzen nahezu jeden +EV Spot gnadenlos aus. Dadurch erzielen sie den maximalen Erwartungswert. Jedoch begibt sich der LAG hierfür oft in schwierige und marginale Situationen. Dies führt wiederum zu einer erhöhten Varianz.

• Eine Kombination aus sehr hohem EV und hoher Varianz führt ebenfalls zu einem positiven Spielernutzen.

Die folgende Grafik stellt die einzelnen Spielstile nochmals dar. Auf der horizontalen Achse ist der EV abgetragen. Auf der vertikalen Achse die Varianz. Jeder einzelne Spielertyp realisiert nun eine angenommene Kombination aus EV und Varianz.

• Der Fish hat einen negativen EV von -1. Seine Varianz beträgt 3.
• Der TAG hat einen positiven EV von 1,5. Seine Varianz beträgt 1.
• Der LAG hat einen positiven EV von 2,5. Seine Varianz beträgt 3.

Nun kannst du mit Hilfe der Risiko-Nutzen Funktion und der Grafik die verschiedenen Spielstile vergleichen. Funktion und Grafik zeigen deutlich: Der Fish ist sowohl dem TAG als auch dem LAG unterlegen, denn:

• Der TAG erzielt bei geringerer Varianz einen höheren EV.
• Der LAG erzielt bei gleicher Varianz einen weitaus höheren EV.

Sowohl der TAG als auch der LAG realisieren also einen höheren Spielernutzen als der Fish. Der Fish macht eigentlich alles falsch. Aufgrund seines negativen EV generiert er keinen Nutzen. Zusätzlich realisiert er eine hohe Varianz, die seinen Nutzen noch weiter mindert.

Es wurde also gezeigt, dass TAG und LAG besser abschneiden als der Fish. Kannst du nun „den“ besten Spielstil identifizieren, indem du TAG und LAG vergleichst?

• Der TAG-Style hat den Vorteil der geringen Varianz. Allerdings geht dies mit einem geringeren EV einher.
• Der LAG-Style hat den Vorteil eines hohen EV. Allerdings geht dies mit einer höheren Varianz einher.

Beide Stile haben also jeweils einen besonderen Vorteil und einen besonderen Nachteil. Wie wirkt sich dies auf den jeweiligen Spielernutzen aus? Finde es heraus:

• Setze die von TAG und LAG realisierten EVs und Varianzen in die Risiko-Nutzen Funktion ein. Den Parameter a nimmst du als gegeben mit 0,5 an.
• Der TAG hat einen EV von 1,5 und eine Varianz von 1. Den Nutzen berechnest du als „EV – a * Varianz“. Das ergibt für den TAG einen Nutzen von 1,5 – 0,5*1 = 1.
• Der LAG hat einen EV von 2.5 und eine Varianz von 3. Das ergibt für den LAG den Nutzen 2,5 – 3*0,5 = 1.

Du kannst zunächst also nicht feststellen, inwieweit der Spielernutzen eines TAGs oder eines LAGs größer ist. Beide realisieren einen Nutzen von 1.

Du hast hier jedoch eine vereinfachende Annahme getroffen. Für beide Spielertypen gilt a = 0,5. Nochmals zur Erinnerung: Der Parameter a gibt an, wie stark sich die Varianz negativ auf den Spielernutzen auswirkt. Ein Wert von 0,5 zeugt von einer normalen Einstellung zu Risiko und Varianz.

Wenn ein Spieler nun besonders ungern Varianz erfährt, z.B. aufgrund eines labileren Mindsets, vergrößert sich a. Wenn a nun z.B. den Wert 0,75 annimmt, wird der TAG-Style plötzlich klar besser. Denn als TAG beträgt der Nutzen dann 1,5 – 0,75*1 = 0,75. Für den LAG hingegen beträgt der Nutzen nur 2,5 – 0,75*3 = 0,25.

Wenn ein Spieler umgekehrt besonders gut mit Varianz umgehen kann, wird a kleiner. Für einen Wert von a = 0,25 ist nun der LAG-Style vorteilhaft. Der Nutzen des LAGs beträgt 2,5 – 0,25*3 = 1,75. Der Nutzen des TAGs beträgt lediglich 1,5 – 0,25*1 = 1,25.

Ein Spieler mit einem hohen a fährt demnach tendenziell als TAG am besten. Ein Spieler mit einem niedrigen a kann durch den LAG-Style seinen Nutzen vergrößern.

Dan Harrington hat hierzu in seinem Buch „Harrington on Cashgames“ eine interessante Theorie aufgestellt. Seiner Meinung nach schließen TAGs und LAGs implizite Verträge. TAGs gestehen den LAGs für eine geringere Varianz einen höheren EV zu. Dieser höhere EV entschädigt den LAG wiederum für die höhere Varianz. Du kannst abhängig von a selbst entscheiden, welcher Vertragspartei du beitreten solltest.

Natürlich kannst du den Parameter a in der Praxis nicht genau ermitteln. Aber du kennst dich selbst am besten. Nur du weißt, wie sehr dir die Varianz wirklich zu schaffen macht. Tiltest du bereits nach zwei verlorenen Coinflips? Oder steckst du Bad Beats ruhig weg? Vielleicht befindest du dich auch zwischen den beiden Extremen? Wenn du dich selbst einer der drei Rubriken zuordnen kannst, hilft dir das RNK, den für dich optimalen Spielstil zu finden.

Zusammenfassung

Das Risiko-Nutzen Konzept ist ein Werkzeug, um die zentralen Ergebnisse deiner Pokerbemühungen zu analysieren: Den EV und die Varianz.

Jeder Mensch, der Geld investiert, unterliegt einem fundamentalen Konflikt. Dies gilt an der Börse, dies gilt für Unternehmen und es gilt eben auch für Pokerspieler. Ein Zugewinn an EV geht langfristig immer mit einer Erhöhung der Varianz einher. Und die Fähigkeit mit der Varianz umgehen zu können bestimmt, wie risikoreich dieser Mensch optimalerweise investieren sollte.

Der „Börsen-TAG“ investiert eher in Standardaktien und Staatsanleihen, der „Börsen-LAG“ hingegen in Nischenprodukte und Derivate. Es lassen sich beliebig weitere Beispiele konstruieren.

Für dich ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen EV und Varianz zu verstehen und mit ihm bestmöglich umzugehen. Und hierbei soll dir das RNK helfen. Einige klassische Debatten lassen sich mithilfe des RNK aus einem neuen, analytischen Blickwinkel relativ präzise beantworten. Das sind z.B. die Fragen:

• Warum betreibst du ein BRM? Wie aggressiv darf es sein?
• Welcher Spielstil ist besser? TAG oder LAG?

Das RNK ist aber auch auf weitere Gebiete anwendbar. Beispielsweise ganz konkret auf die Analyse einzelner Hände. Gerade Spots mit einer hohen Varianz, wie etwa way ahead/way behind Situationen oder das Spiel von Combodraws lassen sich unter einem neuen Blickwinkel analysieren, denn just diese marginalen +EV-Situationen müssen für Spieler mit einer geringen Varianztoleranz nicht notwendig +Nutzen sein.

Das Risiko-Nutzen Konzept ist für dich eine Möglichkeit, sowohl auf abstrakter als auch auf konkreter Ebene dein Spiel zu analysieren. Denn letztlich sind der EV und das gewonnene Geld nicht alles. Die Varianz und deine individuelle Varianztoleranz sind ebenso wichtige Dimensionen. Nur wenn du alle diese Dimensionen integriert betrachtest, findest du zu dem für dich in allen Belangen optimalen Spiel. Hierbei kann dir das RNK wertvolle Dienste leisten.

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