Buenas a todos:
Posiblemente, si lo único que buscáis son los resultados a)...e) que preguntaba TheDolphin, este tocho-post no tiene sentido: ¡Ignoradlo!
No obstante, la pregunta me pareció interesante y tenía curiosidad por hacer un análisis un poco más en detalle, así que después de un buen rato de curro voy a postear por aquí un resumen de todo lo que he sacado.
Espero que a alguien más le resulte útil.
Un saludo.
Peque
Primero, la fórmula para calcular la probabilidad de ganar exactamente "G" torneos de un total de "J" jugados viene dada por una distribución binomial:
***
Donde "p" es la probabilidad de cobrar que tenemos en cada torneo. En el caso propuesto, tenemos:
p = 0.55
Con esto, la probabilidad de, por ejemplo, quedar even al final de una serie de 1000 torneos -lo que supondría ganar 550 torneos en total- es muy fácil de calcular, ya que sólo hay que hacer:
J = 1000
G = 550
Y queda:
P(ganar 550 de 1000) = 2.5352 %
Ahora bien, supongo que cuando dices "ganar 30 buy-ins" o "perder 10 buy-ins" te refieres a "ganar 30 ó más buy-ins" o "perder 10 ó más buy-ins", lo que resulta ya un poco más tedioso, puesto que es la probabilidad acumulada de todos los resultados correspondientes.
Los pasos serían, si queremos calcular, por ejemplo, la probabilidad de ganar 30 ó más buy-ins:
1. Calcular el mínimo número de torneos que debemos ganar en toda la serie para quedarnos al final por encima de los 30 buy-ins de beneficio, sabiendo que en un torneo de los que tú has propuesto:
inversión para jugar un torneo = 1.1 = buy-in, que corresponde a torneos de tipo "1 + 0.1"
premio al ganar un torneo = 2
El beneficio total al final de una serie será:
Nº ganados * premio - Nºjugados * inversión = beneficio total;
Sustituyendo los valores de nuestro ejemplo:
Nºganados = X = número mínimo de torneos ganados, que queremos calcular
Nºjugados = 1000
premio = 2
inversión = 1.1
beneficio total mínimo = 33
2X - 1100 = 33;
X = 566.5
Si ganamos 567 ó más torneos de la serie, cumplimos el objetivo de tener 30 ó más buy-ins de beneficio. Si ganamos 566 ó menos, no lo cumplimos.
2. Calcular la probabilidad de ganar 567, 568, 569, 570, 571, ..., 999 y 1000 torneos de la serie, y sumarlas todas. Esto no hay quien lo haga a mano, así que lo he programado lo mejor que he podido. Los resultados por aquí:
Gráfica de la distribución. Efectivamente, se parece a una normal que da gusto, así que hubiera sido más que aceptable asumir esa aproximación desde un principio para simplificar todos los cálculos en el futuro. En cualquier caso, ya que lo he hecho con la binomial, sigo con ella.
Con esto, la probabilidad acumulada es sólo ir sumando cada una de las columnas de esa tabla. Podemos sumarlas "desde arriba" (línea azul), que nos da la probabilidad de ganar "X" torneos Ó MÁS; o sumarlas "desde abajo" (línea roja), que nos da la probabilidad de ganar "X" torneos O MENOS. La línea negra vertical marca el número de torneos que debemos ganar para quedar even. Por encima, tenemos ganancias; por debajo, pérdidas.
Lo más interesante, en cualquier caso, es cambiar el eje horizontal por el balance total (en buy-ins) al final de la serie, para dar una idea más visual de cuál es la probabilidad de ganar o perder una determinada cantidad de dinero. Además, la curva roja sólo tiene sentido cuando hablamos de pérdidas y la azul cuando hablamos de ganancias, por lo que las he recortado hasta el punto que nos interesa.
Y aquí los resultados que me salen a mí para lo que TheDolphin preguntaba:
PROBABILIDAD DE GANAR más de 30 BUY-INS: 14.710624 %
PROBABILIDAD DE GANAR más de 10 BUY-INS: 36.367731 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 10 BUY-INS: 36.297894 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 30 BUY-INS: 14.715495 %
Lo que me ha parecido más interesante de todo esto es poder ver cómo influye cada uno de los parámetros involucrados. El rake que pagamos, por supuesto, afecta a nuestro EV. Pero los parámetros más influyentes son (obviamente, no olvidemos que hablamos de una binomial) el número de torneos jugados y la probabilidad de ITM que tenemos. Por ejemplo, reduciendo la serie de torneos a sólo 100, la distribución:
Por supuesto, se ve que la ley de grandes números hace su aparición. Al jugar una serie más pequeña, la dispersión de los resultados aumenta alrededor del valor esperado o medio y esta campana es bastante más achatada que la anterior. Lo mismo que la gráfica del balance total:
Sin embargo, si comparamos los resultados de quedar even o de ganar o perder más de 10 buy-ins:
PROBABILIDAD de quedar EVEN: 7.998750 %
PROBABILIDAD DE GANAR más de 10 BUY-INS: 13.425404 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 10 BUY-INS: 13.457621 %
Lo que parece sorprendente, pues resulta que es ahora más improbable tener grandes desviaciones jugando menos torneos. Esto viene al caso de un tema que TheRipper71 siempre ha defendido por estos foros, y que a veces es polémico: la varianza de nuestras ganancias totales aumenta con la muestra que juguemos.
Aunque la ley de los grandes números dice que debemos converger hacia nuestro valor esperado -lo que, por supuesto, se cumple siempre: ya hemos visto la forma de la campana- en una serie pequeña es mucho más probable que las ganancias reales coincidan con el valor esperado (8% para 100 torneos) que en una serie grande (sólo 2.53% para 1000 torneos).
Esto quiere decir que cuanto más juguemos, más probable es que la diferencia entre nuestras ganancias reales y el EV sea grande en valor absoluto (un elevado número de buy-ins) a pesar de que el valor "relativo" de esas desviaciones (en proporción) sea menor y la distribución tienda a su valor esperado. Curioso, ¿no?
Sobre todo por la gran cantidad de hilos en los que se lee algo como "mete volumen, que al final la línea del EV y la de las ganancias reales tienden a igualarse". Pues no, resulta que es justo al revés: cuanto mayor sea la muestra, más probable es que esas dos líneas sean diferentes.
¿Quiere eso decir que debemos jugar poco? Pues no, claro que no. El volumen que metemos, obviamente, hace que, si tenemos un juego ganador, tengamos más posibilidades de ver resultados positivos. Y para demostrarlo, vamos a cambiar sólo un dato muy ligeramente. Vamos a suponer que nuestra probabilidad de hacer ITM no es del 55% (EV=0) sino del 56% (EV+, aunque sea sólo ligeramente). Gráfica del balance total para 100 torneos:
Y algunos resultados asociados:
expected ROI = 1.818 %
para quedar even hay que ganar EXACTAMENTE 55 torneos
PROBABILIDAD de quedar EVEN: 7.838320 %
PROBABILIDAD de tener GANANCIAS: 54.167266 %
PROBABILIDAD de tener PÉRDIDAS: 37.994414 %
PROBABILIDAD DE GANAR más de 10 BUY-INS: 18.255008 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 10 BUY-INS: 9.553862 %
Como esperábamos, la distribución se desvía hacia el lado de las ganancias y ahora es más probable tener resultados positivos. La probabilidad de tener ganancias aumenta un poco y la de tener pérdidas se reduce. En general, tampoco hay cambios muy grandes. Pero, ¿qué pasa si en vez de 100 torneos jugamos 1000 (conservando el 56% de hacer ITM)? Pues aquí la respuesta:
expected ROI = 1.818 %
para quedar even hay que ganar EXACTAMENTE 550 torneos
PROBABILIDAD de quedar EVEN: 2.070243 %
PROBABILIDAD de tener GANANCIAS: 72.773664 %
PROBABILIDAD de tener PÉRDIDAS: 25.156093 %
PROBABILIDAD DE GANAR más de 30 BUY-INS: 33.980219 %
PROBABILIDAD DE GANAR más de 10 BUY-INS: 61.325935 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 10 BUY-INS: 16.170525 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 30 BUY-INS: 4.588611 %
La probabilidad de tener pérdidas se ha reducido una barbaridad. ¿Y si en vez de tener un 56% de ITM tenemos un 57%? Veamos:
expected ROI = 3.636 %
para quedar even hay que ganar EXACTAMENTE 550 torneos
PROBABILIDAD de quedar EVEN: 1.124288 %
PROBABILIDAD de tener GANANCIAS: 89.339696 %
PROBABILIDAD de tener PÉRDIDAS: 9.536016 %
PROBABILIDAD DE GANAR más de 30 BUY-INS: 58.899466 %
PROBABILIDAD DE GANAR más de 10 BUY-INS: 82.287720 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 10 BUY-INS: 5.191314 %
PROBABILIDAD DE PERDER más de 30 BUY-INS: 1.001672 %
Pues ahí está: menos del 10% de acabar la serie en negativo. Y estamos considerando ROIs bastante bajos (creo, nunca he jugado la modalidad, la verdad), por debajo del 5%. De ahí viene la necesidad de meter volumen, cuando somos ganadores, para asegurarnos de ver resultados positivos.
Y bueno, poco más que decir. Mirando estas gráficas se pueden sacar algunas conclusiones interesantes, creo yo. Igual para los que jugáis DONs habitualmente no he dicho nada nuevo, pero yo que nunca me había planteado estas cosas, he descubierto puntos que me parecen interesantes.
Si alguien quiere una grafiquita como las que he puesto arriba para unos datos concretos de serie de torneos (no me pidáis muchos más de 1000, que no sé si lograré que mi algoritmo converja), % de ITM y fracción de rake en el nivel en el que juega, sólo tiene que pedírmelo.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
*** 
