Concepts mathématiques pour le No-Limit Holdem (3) - Fold Equity & EV Advanced

Introduction

Dans cet article

• Influence de la possibilité d'un fold sur l'EV
• Deux moves stantard post-flop examinés à la loupe
• 4-bet de bluff profitables
• Card-removal-effect
  

Dans la deuxième partie de notre série, nous avons vu en quoi consistaient les cotes implicites et implicites inversées et comment les intégrer dans nos calculs. Nous avons également mené notre premier calcul complexe d'EV couvrant le cas d'un call préflop pour la set value. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur quelques moves adverses, les ranges associés ainsi que les possibilités de riposte.

Espérance de gain tenant compte de la possibilité d'un fold adverse

Étant donné que les bluffs et semi-bluffs jouent un rôle important dans cet article, il sera important de tenir compte de la possibilité d'un fold adverse dans nos calculs. En effet, la formule

EV = Equity * (Win + Investment) - Investment

ne tient pas compte de cette éventualité. Cette formule ignore complètement le cas du fold adverse. Nous devons donc avoir recours à un calcul d'EV plus général :

EV = Pfold * Pot + (1 - Pfold) * (Equity * (Win + Investment) - Investment)

Vous gagnez le pot avec la probabilité Pfold; si vous ne gagnez pas le pot directement, alors on retrouve le calcul d'EV bien connu. Pfold correspond à la probabilité d'un fold adverse. Si on suppose que Equity = 0, alors la formule se simplifie pour donner

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investment,

les pertes correspondant dans ce cas tout simplement à votre continuation bet. C'est le cas pour les bluffs purs : par définition, vous ne pouvez gagner que si l'adversaire abandonne.

Moves standard post-flop : Continuation bet

Après le raise préflop, le continuation bet est sans doute le move standard le plus utilisé. Il est donc intéressant de s'intéresser de plus près à l'EV associée. Nous devons tout d'abord nous demander avec quelle fréquence un joueur touche une main appartenant à une catégorie donnée au flop. Nous devons bien entendu dans le même temps effectuer de nouveau des hypothèses sur les ranges préflop ainsi que sur le jeu post-flop pour les différentes catégories de mains concernées. Prenons un exemple concret :

SH, 100BB Stacksize

Preflop: Hero is MP with XY
Hero raises 4BB, 1 fold, BU calls 4BB, 2 folds

Flop: (9.5BB) K, 5, 3 (2 Players)
Hero bets 7BB

Le flop n'est pas vraiment connecté, il s'agit donc d'un board classique pour un continuation bet. Nous laissons de côté les cas où Hero a touché quelque chose pour nous intéresser à la situation suivante : Hero peut uniquement gagner si BU se couche.

Dans ces conditions, le bet est-il profitable et si oui quel est le gain escompté ? Quelles hypothèses doivent être faites pour cela soit le cas ?

Même si ce n'est pas le sujet principal de cet article, il est impossible d'échapper à l'étape consistant à attribuer un éventail au BU. Cet exemple permettra également d'introduire un autre concept : la fréquence avec laquelle un adversaire effectue une action donnée. Il est par exemple tout à fait possible que BU opte pour un cold call avec 100% des pocket  pairs, et seulement 30% des connecteurs. Certains joueurs ne vont jamais faire un cold call avec un connecteur assorti, alors que d'autres vont le faire systématiquement.

Sans information supplémentaire, il reste tout à fait possible d'obtenir un résultat réaliste en prenant une valeur comprise entre 100% et 0% de cold call pour chaque catégorie de mains concernées. Il est également possible de laisser ces paramètres sous forme de variables avant de voir par la suite quelle est leur influence sur l'espérance de gain totale lorsqu'on les fait varier.

Afin de ne pas trop compliquer l'analyse, nous allons prendre trois catégories de mains composant l'éventail de BU,  chacune se voyant attribuer une probabilité p(Catégorie) correspondant à la fréquence avec laquelle elles vont être jouées par l'adversaire :

• Pocket pairs 22-99 : p(Pocket)
• Suited Connectors 45s-KQs : p(SC)
• Broadways AQ, AJ, KQ: p(BW)

Combien y a-t-il de combinaisons pour chaque catégorie ? Comme déjà calculé dans l'article précédent, chaque pocket représente 6 combinaisons, soit un total de 42 combinaisons pour les pocket pairs (ne pas oublier que les cartes qui se trouvent au flop réduisent le nombre de combinaisons).

Une main assortie peut être obtenue de quatre manières différentes, il existe donc 33 combinaisons pour les connecteurs assortis (suited connectors). À chaque broadway correspondent 16 combinaisons, soit un total de 41 combinaisons.

Voici les probabilités pour que BU possède une main appartenant à une catégorie donnée :

Les différentes probabilités de cold call prennent des valeurs comprises entre 0 et 1. On peut illustrer ces formules en prenant le cas où un joueur effectue un cold call uniquement avec des pocket pairs. On a alors p(SC)=p(BW)=0 et p(Pocket) = 1. Il possède une pocket pair avec une probabilité de 

42 * p(Pocket) / [33 * p(SC) + 41  * p(BW) + 42 * p(Pocket)] = 42 * 1 / (33 * 0 + 41  * 0 + 42 * 1) = 1

Que fait BU lorsqu'il est confronté à une mise au flop ? Ceci va bien entendu dépendre de la force de sa propre main, d'où la question suivante : avec quelle fréquence BU va-t-il toucher un type de main donné en fonction de son éventail ?

Avec l'éventail attribué à BU, il peut avoir une poubelle (il a raté le flop, en anglais : "Miss"), c'est-à-dire une main inférieure à Ace high, un gutshot avec 67s ou encore Ace high. Il peut également avoir une paire < top paire avec 45s, 56s et 22, 44, 66-99. Vient ensuite la top paire avec KQs et les deux sets avec 33 et 55. Étant donné que nous nous intéressons à l'espérance du bet, indépendamment de l'equity de votre propre main, il ne nous reste plus qu'à déterminer la probabilité d'un fold pour les différentes mains adverses.

Elles seront représentées par les variables suivantes : pf(Miss), pf(Gutshot), pf(AceHigh), pf(Pair), pf(Toppair), pf(Set). Les deux dernières seront pratiquement toujours égales à 0 et sont simplement listées dans un souci de cohérence.

Nous avons répertorié les différentes variables nécessaires au calcul. Comme déjà annoncé, nous envisageons ici le continuation bet comme un bluff pur, en nous intéressant uniquement aux chances de gagner le pot grâce à un fold adverse. Calculons maintenant l'espérance de gain en faisant apparaître au premier plan les différentes catégories de mains avant le flop, ce qui nous permettra ensuite de faire varier le résultat en fonction des différentes probabilités de cold call.

Explications : le premier terme de chacun des trois membres donne la probabilité que BU possède une main de la catégorie concernée avant le flop. Il est multiplié par l'espérance de gain au flop d'un bluff pur contre l'éventail adverse. Nous devons encore calculer les probabilités des différentes mains au flop, par exemple p(Set), pf(Set) donnant la probabilité d'un fold pour cette catégorie de main.

BU  peut avoir un set avec 33 et 55. La probabilité d'avoir 33 ou 55 à partir de 22-99 est de 2/8. Il faut cependant tenir compte du fait qu'un 3 et un 5 se trouvent sur le board et que ce ne sont pas 6, mais seulement 3 possibilités d'avoir 33 ou 55.

Il y a en tout 6*6 + 2*3 = 42 combinaisons pour les pockets, dont 6 donnent un set, soit une probabilité de 6/42=0.14. Dans tous les autres cas, BU possède une paire < top paire. On a donc p(Pair1) = 36/42 = 0.86.

p(Pair2) donne la probabilité d'avoir une paire < top paire avec un connecteur assorti, ce qui correspond aux mains 45s et 56s. Pour 45s, 56s et KQs, il reste seulement trois combinaisons sur les quatre de départ, soit un total de 3*3+6*4 = 33 combinaisons possibles pour les connecteurs assortis. On a donc p(Pair2) = 6/33 = 0.18.

Un gutshot peut être obtenu à partir de 4 combinaisons parmi les 33 connecteurs assortis, soit p(Gutshot) = 0.12, une top paire à partir de 3 combinaisons sur 33, soit 0.09. Dans 20 cas sur 33, BU n'a rien touché. p(Miss) = 20/33 = 0.61.

Avec le K faisant office de blocker au flop, il reste un total de neuf combinaisons pour KQ (KQs fait partie des SCs). Viennent s'ajouter 2 * 16 combinaisons pour AQ et AJ, soit un total de 41 combinaisons. On a alors les probabilités p(AceHigh) = 32/41 = 0.78 et p(ToppairBW) = 9/41 = 0.22. Nous connaissons désormais toutes les probabilités. Nous les regroupons dans le tableau suivant avant de discuter des résultats.

Il nous reste à déterminer le comportement de BU pour ce qui est d'un éventuel fold. Son éventail au flop a été découpé en différentes catégories : set, top paire, paire, gutshot et miss. Bien évidemment, l'espérance du continuation bet va dépendre énormément des probabilités de fold pour ces différentes mains.

Une représentation graphique n'est pas possible en raison du nombre de variables. C'est pourquoi nous allons donner cinq séries de valeurs ainsi que le résultat obtenu pour l'EV. Libre à vous de choisir d'autres valeurs et de les remplacer dans les formules pour voir le résultat obtenu.

Ces résultats n'ont rien de surprenant : plus l'adversaire est loose, plus l'EV est faible. Il est cependant intéressant de remarquer l'EV relativement élevée obtenue contre un joueur medium. Il ne couche pas forcément énormément de mains, mais même en tant que bluff pur, le continuation bet vous permet de réaliser des gains indépendamment de l'equity de votre main. La frontière se situe entre le joueur medium et le joueur loose. À partir de là vous devriez commencer à réfléchir sérieusement aux chances de succès de votre continuation bet et avoir tendance à laisser de côté les bluffs purs.

Moves standard post-flop : bluffs contre les continuation bets adverses au flop

Nous adoptons maintenant le point de vue opposé. Il peut en effet être intéressant de réfléchir à des situations dans lesquelles vous vous êtes contenté de cold call avant le flop, en se demandant dans quels cas vous pouvez bluffer et quel est alors le profit escompté.

La façon de mener le calcul est la même que dans l'exemple précédent. On commence par déterminer la probabilité des différentes catégories de mains au flop en fonction des ranges et du board. On calcule ensuite l'EV total en fonction des différents scénarios envisageables. Cette fois-ci nous ne rentrerons pas systématiquement dans le détail des différentes étapes du calcul.

6max, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU
2 folds, CO raises 4BB, Hero calls 4BB, 2 folds

Pot: 9.5BB

Flop A: K, 9, 7

Flop B: A, T, 9

Flop C: 2, 7, 9

CO bets 7BB, Hero raises 23BB

On considère qu'il n'y a aucun historique commun entre CO et Hero. Prenons pour CO l'éventail préflop suivant : 22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o, 76o, soit environ 31%. Nous supposons qu'il n'a aucune idée de la façon dont  joue Hero et va effectuer un contibet dans 100% des cas. Il existe bien entendu un grand nombre de situations dans lesquelles il ne jouera pas comme ça, mais les calculs seront largement plus faciles et nécessiteront moins d'hypothèses que si l'on devait également tenir compte des possibilités de check/call, check/fold ou check/raise. Voici les catégories de mains qui nous intéressent ici :

• Top Pair+
• Middlepair
• Pair < MidPair (P < MP)
• OESD, FD (strong draw : sDraw)
• Gutshot (weak draw : wDraw)
• Tout le reste (Air)

Contre un adversaire complètement inconnu, une main comme Ace high possède tout au plus quelques outs pour top paire et appartient donc à la dernière catégorie. Reprenons la formule déjà vue plus haut :

pf * Pot – (1 – pf ) * Raise = pf * (Pot + Raise) – Raise

Le Raise vaut ici 23BB, le Pot s'élève à (9.5 + 7)BB.

Comme dans l'exemple précédent, nous avons :

EV =
P(TopPair+) * ( pf(TopPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(MidPair) * ( pf(MidPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(P < MP) * ( pf(P < MP) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(sDraw) * ( pf(sDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(wDraw) * ( pf(wDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(Air) * ( pf(Air) * ( Pot + Raise ) - Raise)

Là encore, nous avons besoin des probabilités pour les différents flops :

Dans le cas du flop B, les tirages pour les couleurs basses ou les quintes inférieures ont été classés parmi les tirages faibles. Toppair + flush draw a été compté comme une top paire. On voit tout de suite les énormes différences entre les différents flops. Le flop A contient toutes les catégories de mains faites, assez peu de tirages et une dose de mains poubelles. Sur le flop B, l'agresseur a souvent touché quelque chose, alors que sur le flop C composé de low cards, son éventail est fortement polarisé.

Pour que cela soit un peu plus clair, la dernière ligne du tableau contient les probabilités pour des mains assimilables à des poubelles (air, weak draw, pair < midpair) sur chacun des flops.

Afin de pouvoir calculer l'EV, nous avons de nouveau besoin d'une estimation de la probabilité de fold pour les différentes catégories. Les cas où pf(Toppair) est différent de 0 correspondent aux situations où des joueurs tight sont capables de coucher des top paires faibles (en particulier sur les flop B et C avec les As les plus faibles ou un 9 avec un mauvais kicker).

Le résultat correspond à peu près à ce qu'on pouvait attendre. Certains joueurs auraient éventuellement considéré le flop C comme le plus favorable pour un bluff. Le fait que le flop soit 9-high explique pourquoi ce n'est pas le cas dans cet exemple en particulier. Sur un flop 7-high un bluff serait bien plus profitable car la probabilité d'une top paire adverse bien moins grande.

Comme on peut le constater, le continuation bet à lui seul ne constitue pas une arme stratégique suffisante pour le jeu post-flop. Un joueur doit également être capable de riposter à l'occasion et ne coucher que très rarement des tirages ou des mains faites s'il ne veut pas risquer de se faire bluffer.

Bien que deux résultats sur trois soient positifs, il n'est pas toujours recommandé (contre le joueur "medium") d'investir 23BB pour un profit de 0.7BB dont on n'est même pas sûr (pour un grand nombre de variables il s'agit de simples estimations).

Contre un adversaire tight, une variante sur le flop C serait le Float. En raison du nombre de variables qui interviennent, le calcule de l'EV du float est uniquement possible contre un adversaire jouant de façon très simple. On considère toujours que l'equity de Hero est de 0%. Si Villain mise à nouveau, Hero abandonne. S'il se contente de checker, alors Hero mise 15BB dans un pot de 23.5BB, s'il est suivi il perd le coup.

L'EV est alors la suivante :

EV=p(Check/Fold)*(Pot+BetFlop) - p(Bet)*(YourCallFlop) - p(Check/Call(Raise))*(YourCallFlop+YourBetTurn)

Reste à déterminer la probabilité pour les différents moves de CO au turn :

• Check/Fold
• Check/Call(Raise)
• Bet

Il s'agit bien entendu de simples suppositions. Voici une dernière étape un peu laborieuse : l'estimation des probabilités pour les différentes catégories de mains pour plusieurs cartes du turn.

Sous ces hypothèses, l'EV d'un float serait de +5.28BB. C'est moins que pour la relance de bluff au flop, mais l'avantage est que le risque est moins grand en moyenne. La différence vient avant tout du fait que nous avons supposé une probabilité de fold assez faible avec des mains ~ top paires. Si l'on s'attend à voir plus souvent un check/fold de la part d'un 9, alors l'EV du float augmente considérablement.

Le 4-Bet de bluff

Voici un thème particulièrement important pour le shorthanded : le 4-betting. L'agressivité particulièrement élevée avant le flop nous oblige à envisager les possibilités de 4-bet de bluff. Les éventails adverses vont bien entendu dépendre énormément de votre propre image et de l'historique. C'est pourquoi, si vous essayez de tenir compte des résultats présentés ici pour votre jeu, faites extrêmement attention aux éventails supposés pour un 3-bet adverse ainsi que pour un all-in.

Les résultats peuvent uniquement prendre un sens si les éventails correspondent un minimum à la réalité. Prenons la situation suivante :

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with ??
3 folds, Hero raises 4BB, fold, BB raises 14BB, Hero raises 31BB

On suppose que vous perdez systématiquement si l'adversaire ne couche pas sa main (ce qui est assez réaliste). Analysons votre EV :

En cas de push, vous devriez payer 69BB pour un pot de 131.5BB, ce qui correspond à 34.41% d'equity. Afin de vous faire une idée, voici un tableau contenant l'equity de différentes mains contre différents éventails.

Comme vous pouvez le constater, il vous est impossible de jouer 4-bet/fold avec les pocket pairs. Vous devrez par contre systématiquement coucher A2s et 67s, alors que AQ doit seulement être couchée contre l'éventail le plus tight. Contre l'éventail le plus loose, vous mettez votre argent au milieu avec AQ. Vous avez besoin de connaître ces données afin de ne pas commettre d'erreur si jamais votre bluff échoue. Reste à examiner l'EV du bluff à proprement parlé. Elle s'obtient simplement à partir de la formule donnée en début d'article :

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investment

Dans ce cas, le pot correspond aux 18.5BB que vous pouvez gagner directement, alors que l'investissement s'élève à -27BB qui seront perdus si BB ne se couche pas. La probabilité de fold nécessaire est de 59%. Voici ce que cela signifie pour les ranges :

Si votre adversaire se met all-in préflop avec QQ+, AK (34 combinaisons), il faut que son éventail de 3-bet contienne au moins 83 combinaisons pour que votre 4-bet soit profitable. Ce serait par exemple le cas pour des ranges comme 77+, T9s, AQ+ ou 44+, AK ou encore TT+, AJ+, KQ+. S'il se met all-in avec AQ+, TT+ avant le flop (62 combinaisons), il doit effectuer un 3-bet avec au moins 151 combinaisons pour que votre bluff soit profitable. Ce serait le cas avec des ranges comme par exemple 22+, A2s-A5s, A9s+, AQo+, KQ+ ou 22+, AQ+, A2s+, T9s.

Le Card-Removal-Effect

Au-delà de l'equity de votre main face à l'éventail de all-in adverse, un autre facteur influe sur la profitabilité d'un 4-bet : la probabilité qu'il réussisse.

Nous avons jusqu'ici ignoré un point important : la probabilité d'un push adverse (nous supposons pour simplifier que l'adversaire joue à 100% en push or fold) dépend également de votre propre main.

De ce point de vue, l'éventail adverse se compose de deux parties, les mains de broke et les mains de fold. Le fait que vous possédiez ou non certaines cartes va modifier le rapport entre ces deux groupes de manière plus ou moins importante. On parle de Card-Removal-Effect, ce qui traduit le fait que certaines cartes doivent être retirées de l'éventail adverse puisque c'est vous qui les possédez.

En cas de doute concernant un 4-bet de bluff, vous devriez toujours opter pour une main qui minimise la probabilité d'un all-in adverse. Si vous voulez quantifier ce phénomène, et ne pas vous contenter de raisonnements du type "J'ai un As, ce qui est une bonne chose vu que l'adverse va se mettre all-in avec un grand nombre de mains Ax", vous devez également tenir compte du fait que les probabilités pour les différents éventails de 3-bet sont déjà influencées par votre propre main.

Il faut donc compter le nombre de combinaisons concernées. Nous allons voir dans ce qui suit quelques tableaux avec des probabilités pour différents éventails de 3-bet ainsi que différents éventails de all-in. Pour ce faire, nous allons partir de deux éventails de all-in, un éventail tight avec QQ+, AK et un éventail plus loose avec  TT+, AQ+.

Toujours à titre d'exemple, nous prendrons deux éventails de 3-bet différents (qui ressembleront souvent à autre chose dans la réalité) : un éventail centré essentiellement sur les pockets avec 22+, AQ+, et un autre incluant quelques connecteurs 77+, AQ+, 67s-89s. Le tableau suivant montre le nombre de combinaisons pour les différents éventails, tout d'abord sans tenir compte du card removal effect, et ensuite en tenant compte du phénomène ave  quatre mains : AQ, AJ, KQ, A2.

Dans la suite nous ferons référence à ces éventails en tant que 1) & 2) ainsi que a) & b). Comme vous pouvez le constater, le nombre de combinaisons varie parfois énormément, par exemple l'éventail de all-in tight qui devient 30% ((34-24) / 34 = 0.294) moins probable si vous possédez AQ.

À partir de là nous allons pouvoir obtenir différentes probabilités de all-in. Dans les tableaux qui suivent, nous donnons le pourcentage de all-in pour les quatre combinaisons possibles entre éventails de 3-bet et de all-in, avec et sans card-removal afin de pouvoir comparer. Ces valeurs sont obtenues en divisant le nombre de combinaisons pour un all-in par le nombre de combinaisons pour un 3-bet. Si l'adversaire 3-bet avec a) et se met all-in avec 1), alors sans card-removal la probabilité pour un all-in est de 34/110 = 0.309, soit environ 31%.

Supposons que vous ayez AJ. Voici les résultats obtenus :

Avec A2 :

Avec KQo :

Dans la plupart des cas, la probabilité de all-in diminue d'environ 10% en raison du blocker. Du point de vue de la théorie du jeu, il est évident que vous avez intérêt à tenter un 4-bet de bluff avec des mains avec lesquelles un call ne serait pas profitable. Si vous êtes hors de position, c'est effectivement le cas pour toutes les mains mentionnées. Par contre, si vous avez la position, il est bien entendu possible d'envisager un call avec les mains les plus fortes.

En cours de jeu, vous devez toujours avoir en tête l'equity de votre propre main, car comme déjà expliqué, avec des mains qui fonctionnent bien contre différents types d'éventails, il n'est pas possible de jouer 4-bet/fold. Vous devez alors généralement payer le all-in, ce qui n'augmente que légèrement votre EV (il s'agit d'un call EV+ marginal), alors que la variance devient énorme. À vous de décider en cours de jeu si, dans une situation donnée, vous préférez jouer 4-bet/call avec AQ ou 4-bet/fold avec A2. L'analyse des avantages et inconvénients de ces lignes n'entre cependant pas dans le cadre de cet article.

En résumé

Nous avons terminé avec la troisième partie. Dans le prochain article, nous reviendrons sur le 4-bet de bluff en l'analysant sous un autre angle, avant d'examiner différentes situations de jeu post-flop. Nous parlerons également de la méthode d'analyse basée sur les G-Bucks.

LIENS
Articles associés : Concepts mathématiques pour le No-Limit Holdem (1) - EV & Ranges Concepts mathématiques pour le No-Limit Holdem (2) - Combos & Odds Advanced Forum : Discutez de cet article sur le Forum Vidéos: Série : concepts mathématiques du No-Limit