Éventails de Nash pour le jeu en Push or Fold

Introduction

Dans cet article

• Le jeu suivant Nash est-il optimal en mode push or fold ?
• Est-il possible qu'un push ou un call suivant Nash soit EV- ?
• Quand et comment procéder à des adaptations ?
• Vos adaptations dépendent-elles de l'intensité de l'effet ICM (facteur bulle) ?

Posséder un bon jeu heads-up est un facteur déterminant si vous voulez obtenir de bons résultats en SnG. Étant donné que les blinds sont généralement déjà très élevées au moment du heads-up, vous êtes le plus souvent confronté à des situations dans lesquelles soit vous couchez votre main, soit vous pushez all-in. C'est ce qu'on appelle jouer en mode "push or fold".

Les éventails de Nash, ou Nash ranges (NRs), jouent un rôle particulièrement important dans ce cadre. Il convient cependant de les manipuler avec précaution, du fait qu'il vous arrivera régulièrement de jouer le heads-up contre un fish ayant fait grossir son tapis à travers une série de move pour le moins hasardeux.

Cet article peut être vu comme un complément et une extension des articles SAGE – Sit and Go Endgame System et Push or Fold en Heads-up.

La lecture de ces deux articles n'est cependant pas nécessaire à la bonne compréhension de ce qui suit. Dans son principe, le système SAGE repose également sur les équilibres de Nash. Il les rend plus faciles à appréhender et donc à retenir, l'approche en elle-même étant en revanche un peu moins flexible.

Les bases

Commençons par expliquer quelques-uns des termes principaux :

Le stack effectif (ES, effective stack) représente une grandeur particulièrement importante pour l'analyse des situations push or fold en heads-up. Ce terme désigne la taille du plus petit des deux stacks avant que les blinds (et antes) ne soient payés, exprimée en BBs. L'ES est donc le même pour chacun des deux joueurs.

Le niveau de blinds (BL, blind level) est de 500/1000. Vous avez encore 5.500 jetons après avoir payé le SB, votre adversaire au BB en possède encore 8.000. On a alors : ES = 6.

Un range, ou éventail, représente un ensemble de mains de départ. Dans le cadre de situations Push-or-Fold, on s'intéresse principalement aux ranges exprimés sous forme de pourcentages, les "x%-ranges", qui regroupent les x% de mains les plus fortes parmi les 1326 mains de départ envisageables.

Il faut cependant bien voir que cette définition des ranges ne garantit pas leur unicité, puisqu'en Push-or-Fold également, la force relative d'une main va dépendre de la situation de jeu concrète.

Pour ES = 9, un calling range (CR) de 42,7% se compose des mains suivantes : 22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s. Le signe '+' indique que les mains possédant une meilleur kicker (ou les PPs supérieures) appartiennent également au range. On constate par exemple que la main K4 appartient à ce range, ce qui n'est pas le cas de 78s.

Comparons maintenant le range précédent au pushing range (PR) de 43,3% pour ES = 16, qui se compose des mains suivantes : 22+, Ax+, K2s+, K7o+, Q5s+, Q9o+, J6s+, J9o+, T6s+, T9o, 96s+, 98o, 85s+, 75s+, 65s, 54s. Comme vous pouvez le constater, les mains K4, K5 et K6 n'appartiennent pas à ce range, alors que 54s s'y trouve.

Cet exemple vous montre donc qu'un calling range de 43% pour ES = 9 ne contient pas les mêmes mains qu'un pushing range de 43% pour ES = 16. C'est la raison pour laquelle la liste complète des mains sera systématiquement indiquée. Les pourcentages ainsi que la composition exacte des ranges seront fournies par le calculateur ICM www.holdemresources.net.

Précisons également le point suivant :

Ajouter une main quelconque à un range donné revient, du point de vue du nouveau %-range obtenu, à ajouter la meilleure main en dehors du range initial. Inversement, supprimer une main quelconque d'un range donné revient, du point de vue du nouveau %-range obtenu, à supprimer la plus mauvaise main appartenant au range initial.

L'Independent Chip Model vous a déjà été présenté à travers les articles suivants :

Independent Chip Model (ICM) , ICM : Explications et exemples et ICM : Concepts avancés.

En HU, les effets de l'ICM disparaissent complètement. Un HU de SnG (de la même façon qu'un HU de MTT) est donc équivalent à un HU de cash game, dans lequel chaque jeton possèderait la même valeur :

[(1ère place $) - (2ème place $)] / (Nombre total de jetons)

En HU, le fait de savoir si vous allez opter pour un push (ou un call en cas de push adverse) dépend principalement des facteurs suivants :

• Votre ES
• Le calling ou pushing range de votre adversaire

Que ce soit en SnG ou en MTT, il existe toujours un effet ICM en dehors du HU. En SnG, c'est à la bulle que ce phénomène est généralement le plus marqué. On parle alors de facteur bulle (voir Le facteur bulle pour différents types de SnG).

Nash en HU

La plupart des concepts théoriques et des exemples présentés dans ce chapitre sont basés sur le HU d'un SnG 9-10 joueurs, avec ES <= 20 et sans antes. Toutefois, les résultats obtenus peuvent être transposés pratiquement à 100% au cas d'un HU de MTT, ou encore à une bataille de blinds en cash game. Tous les résultats et exemples donnés dans ce chapitre sont donnés pour un edge (future game) de 0%. Les valeurs en % seront la plupart du temps arrondies (42,7% devenant par exemple 43%).

L'espérance de gain (EV, expected value) correspond à la valeur moyenne du résultat d'une expérience aléatoire. Dans le contexte du mode push-or-fold en HU, l'EV est à prendre au sens de "nombre moyen de jetons après une action donnée, moins nombre de jetons avant cette action".

Nous distinguerons d'une part l'EV d'un push (ou d'un call) avec un ensemble de mains, la "range-EV" (REV), et d'autre part l'EV d'un push (ou d'un call) avec une main spécifique, la "hand-EV" (HEV). Ces deux grandeurs dépendent du niveau de blind ainsi que du calling range (ou du pushing range) de l'adversaire.

Vous êtes au BB avec ES = 9, la calling range de votre adversaire est de 42,7% (22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s) :

• Un push de votre part avec T8 correspondrait à une HEV proche de 0.
• Un push de votre part avec A2 correspondrait à une HEV proche de 1 BB (voir le calcul en annexe).
• Un push de votre part avec un range de 58,7% (22+, Kx+, Q2s+, Q5o+, J2s+, J8o+, T5s+, T8o+, 95s+, 97o+, 85s+, 87o, 74s+, 64s+, 53s+) correspondrait à une REV proche de 0,5 BB (plus d'informations dans la section suivante).

De façon générale, la REV est obtenue comme suit :

(1) REV(Range) = Somme_{Hand appartenant au range} HEV(Hand)* P(Hand)

P(Hand) correspondant à la probabilité qu'une main donnée vous soit distribuée.

Dans notre exemple, on se rend compte que A2 est supérieure à la moyenne des mains appartenant au pushing range, ce qui se traduit par une HEV supérieure à la REV.

De façon générale, on peut dire que la REV augmente lorsque vous rajoutez au range une main HEV+, et diminue lorsque vous rajoutez une main HEV-. Une main avec HEV=0 ne modifie pas la REV.

Si vous souhaitez élargir votre range, il est logique de commencer par ajouter la main la plus forte en dehors du range initial. C'est celle qui possède la HEV la plus élevée et qui augmente le plus votre REV. Si jamais la meilleure main en dehors du range initial est HEV-, c'est en ajoutant cette main au range que la REV sera le moins réduite. Si vous voulez au contraire réduire votre range, vous devriez en toute logique commencer par éliminer les mains les plus faibles. Comme évoqué dans le paragraphe "Ranges", c'est en procédant de cette manière que l'on passe du %-range initial au nouveau %-range.

Nous allons maintenant définir ce que l'on entend par équilibre de Nash, en nous centrant directement sur la version adaptée au push-or-fold en heads-up.

Imaginez que vous êtes arrivé au HU avec ES = 9BB. Dans cette situation, vous pushez avec un range de x% et votre adversaire call un push avec y%. Vous possédez chacun une certaine REV, qui peut varier considérablement en fonction du range adverse.

Un équilibre de Nash (on parle également de Nash ranges, NR) est obtenu lorsque les ranges (x%, y%) sont choisis de telle façon que ni vous, ni votre adversaire, ne pouvez augmenter votre REV en modifiant votre range tant que l'autre joueur continue à utiliser le même range. On appelle x le Nash pushing range (NPR) et y le Nash calling range (NCR), et on dit alors qu'un joueur push (ou call) suivant Nash.

Voici ce que l'on peut dire en reprenant la théorie exposée dans la section précédente :

Les NRs correspondent aux ranges qui contiennent toutes les mains HEV+ et aucune main HEV-. Bien entendu, ceci suppose que votre adversaire call (ou push) suivant Nash.

Il en résulte également que si votre adversaire s'écarte du NR, alors votre REV augmente. Cet écart se produit lorsqu'il ajoute une main HEV- à son range ou élimine une main HEV+ de celui-ci. Étant donné que son REV diminue, votre propre REV augmente.

Vous en apprendrez davantage sur les REVs dans la section "Range-EV des éventails de Nash".

Signalons enfin que dans le modèle ICM, les NRs dépendent en pratique uniquement du ES. Si vous avez un stack de 5 BB, alors il revient au même de jouer contre un stack de 10 BB ou contre un stack de 100 BB.

Le calcul des NRs tels qu'introduits dans la section précédente ne présente pas de grosses difficultés. Les ranges donnés dans ce qui suit ont été obtenus à partir du calculateur ICM de www.holdemresources.net, mais ils auraient tout aussi bien pu être calculés à partir de l'ICM-Trainer de PokerStrategy.com, même si de petits écarts, de l'ordre de 0,5% (soit une main de plus ou de moins dans un des ranges), sont parfois observés d'un programme à l'autre (ce phénomène étant de toute façon relativement marginal).

Les tables suivantes vous donnent une vue d'ensemble des NRs. Concernant la version avec antes, ces derniers représentent chacun 10% du BB. Pour des structures différentes, comme par exemple sur PokerStars (antes compris entre 12,5% et 5% suivant le niveau de blind), on observe quelques légers écarts. Dans le cas d'antes à 5%, une possibilité serait de prendre la moyenne entre les deux tables.

Table 1 (sans antes) :

Table 2 (avec antes) :

Chaque ligne correspond à une valeur différente pour ES, les colonnes 2 et 3 vous permettant de lire les NPRs (au SB) et les NCRs (au BB).

Vous pourrez trouver d'autres types de tables ici. Elles contiennent en gros les mêmes informations, mais présentées différemment. L'avantage de cet autre format est son caractère plus compact. Pour leur part, les tables présentées ci-dessus ont pour principal avantage de fournir une meilleure vue d'ensemble pour les différentes valeurs de ES. Vous pouvez également voir plus facilement avec quelles autres mains (inférieures à la vôtre) vous pourriez également pusher, ou dans quelle mesure votre main devrait encore s'améliorer pour pouvoir payer un push.

Nous allons nous intéresser maintenant de plus près à la REV réelle des NRs. Étant donné que la connaissance des valeurs exactes n'est pas d'une grande importance dans la pratique, vous pouvez passer directement à la section suivante si vous le souhaitez. L'important est de choisir un range possédant la REV la plus élevée possible.

Tout d'abord, il convient de signaler qu'une fois que les blinds ont été payées, un coup de Texas Hold'em ne correspond plus à un jeu à somme nulle. En effet, les blinds viennent s'ajouter à la somme des gains et des pertes des différents joueurs. On pourrait parler de jeu à somme nulle si personne n'était obligé de payer les blinds. Dans ce cas, la seule façon intelligente de jouer serait la suivante : attendre d'avoir AA pour jouer.

Vous avez pu voir dans les sections "Hand-EV et Range-EV" et "Équilibre de Nash en HU" que toutes les mains appartenant au NRs sont HEV+ (ou HEV=0). Comment interpréter dans ce cas le fait que la main T8 de l'exemple 3 possède une HEV proche de 0 ? Cela signifie que contre un calling range adverse de 43%, un push avec cette main ne vous fera pratiquement rien gagner.

Inversement, cela implique que le calling range de votre adversaire face à votre push avec T8 possède un REV proche de 1,5BB. Étant donné qu'il couche sa main dans 57% des cas et ne remporte alors aucun jeton, il doit gagner en moyenne dans les autres cas 1,5 BB / 43% = 3,5 BB. Vous perdez donc en moyenne 3,5 BB – 1,5 BB = 2 BB lorsque vous êtes payé.

Si vous avez maintenant AA au lieu de T8, alors les choses sont bien entendu différentes. Votre push possède alors une HEV de 3,8 BB. Vous remportez 1,5 BB dans 57% des cas (lorsque votre adversaire se couche), et 6,9 BB dans 43% des cas (lorsque vous êtes suivi).

Toutes les autres mains possèdent une HEV comprise entre 0 et 3,8 BB.

Il serait possible de calculer votre REV à l'aide de la formule (1). Bien entendu, ce serait assez laborieux. Une alternative serait de consulter le résultat donné par l'ICM-Trainer de PokerStrategy.com. Si les deux jouent suivant Nash, l'equity ICM avant de poster les blinds est toujours à peu près la même que l'equity ICM au terme de la main. Pour ES < 7,5 BB, la REV du SB est supérieure à 0. Pour des valeurs supérieures de ES, elle est inférieure à 0, l'ordre de grandeur étant de 0,1 BB pour ES compris entre 15 et 20. Cela signifie que la REV de SB est de 0,5BB et que celle de BB est de 1 BB. Il est intéressant de noter que lorsqu'on s'intéresse au push-or-fold du point de vue de l'EV, le fait de savoir si on occupera le SB ou le BB lors du prochain tour n'a pratiquement aucune importance.

Utilisation et adaptation des éventails de Nash

Que signifie pour vous le fait de jouer strictement suivant les NRs ? Dans la section "Ranges", vous avez pu voir que la REV associée à votre NR augmente lorsque votre adversaire s'écarte de son propre NR. Votre adversaire n'a donc aucune possibilité de faire baisser votre REV en dessous de la valeur qui est la sienne lorsqu'il joue lui-même suivant Nash. C'est ce que l'on entend en disant que "le jeu suivant Nash ne peut pas être exploité".

En pratique, très peu d'adversaires seront capables de jouer suivant Nash en HU. Le fait que votre adversaire utilise d'autres ranges signifie que la HEV de chacune de vos mains est modifiée. Il est donc possible que certaines mains appartenant au NR ne soient plus HEV+, ou encore que des mains n'appartenant pas au NR deviennent HEV+.

Nous allons examiner quelques exemples dans lesquels ES = 9, avec donc NPR = 59% et NCR = 43%. Nous verrons les différences entre les cas où vous êtes au SB et ceux où vous êtes au BB, les cas où vous possédez une main forte appartenant à votre NR, ceux où vous possédez une main faible appartenant à votre NR, et ceux où votre main est en dehors du NR. Pour ces différents cas, nous examinerons les variations de la HEV (en BB) en fonction du range adverse. Vous pouvez voir à quoi ressemble exactement la formule en annexe.

Vous êtes au SB avec ES = 9.

• Cas 1 : Main forte appartenant au Nash pushing range :

• Cas 2 : Main faible appartenant au Nash pushing range :

• Cas 3 : Main située en dehors du Nash pushing range :

Vous êtes au BB avec ES = 9.

• Cas 4 : Main forte appartenant au Nash calling range :

• Cas 5 : Main faible appartenant au Nash calling range :

• Cas 6: Main située en dehors du Nash calling range :

Ces exemples font ressortir les tendances suivantes :

• Si vous pushez avez une main forte, votre HEV est d'autant plus élevée que le call de Villain est loose.
• Si vous pushez avez une main faible, votre HEV est d'autant plus basse que le call de Villain est loose.
• Concernant le call d'un push adverse, votre HEV est d'autant plus élevée que le push de Villain est loose, indépendamment de la force de votre main.

Si vous vous en tenez strictement au jeu suivant Nash dans les exemples ci-dessus, vous commettez alors les erreurs suivantes :

• Erreur 1 : Cas 2, CR = 55% et CR = 70% : il s'agit d'un push HEV-.
• Erreur 2 : Cas 3, CR = 20% et CR = 30% : vous passez à côté d'un push HEV+.
• Erreur 3 : Cas 5, PR = 25% et PR = 40% : Il s'agit d'un call HEV-.
• Erreur 4 : Cas 6, PR = 70% et PR = 80% : vous passez à côté d'un call HEV+.

Vous devez donc être capable de modifier vos ranges dans ces situations.

Comme vous l'avez vu dans "Hand-EV et Range-EV", votre objectif est de push ou call avec toutes les mains HEV+. Les tendances qui sont ressorties des exemples précédents nous permettent d'établir les règles suivantes pour l'adaptation de vos ranges (en relation avec les erreurs 1 à 4) :

• Règle 1 : Si Villain call trop loose par rapport à Nash, alors vous devriez renoncer à pusher avec les mains les plus faibles de votre NPR. Avec ces mains, votre push risque d'être HEV-.
• Règle 2 : Si Villain call trop tight par rapport à Nash, alors vous pouvez ajouter quelques mains qui n'appartiennent pas au NPR. Vous risquez sinon de passer à côté de quelques pushes HEV+.
• Règle 3 : Si Villain push trop tight par rapport à Nash, alors vous devriez renoncer au call avec les mains les plus faibles de votre NCR. Avec ces mains, un call risque d'être HEV-.
• Règle 4 : Si Villain push trop loose par rapport à Nash, alors vous pouvez ajouter quelques mains n'appartenant pas au NCR (parmi les plus fortes). Vous risquez sinon de passer à côté de quelques calls HEV+.

De façon générale, vous aurez plutôt tendance à avoir affaire à des adversaires trop tight (cas 2 et 3). Il sera moins fréquent de rencontrer des regulars jouant strictement selon Nash, et encore plus rare de tomber sur des joueurs (par exemple en tilt) optant pour des pushes et des calls plus loose que Nash (cas 1 et 4).

Contre un adversaire inconnu, il est donc recommandé d'utiliser l'approche suivante : s'en tenir à Nash pour ce qui est des pushes, tout en étant un peu plus tight que Nash au niveau des calls, tant que rien n'indique que l'adversaire push plus loose que Nash.

Par ailleurs, face à un adversaire beaucoup trop tight, le fait de vous montrer vous-même un peu trop tight (par rapport au NPR ou au NCR) peut vous procurer l'avantage suivant : vous réduisez la probabilité d'une situation de coin flip. La durée moyenne du HU s'en trouve alors augmentée, et vous pouvez profiter plus longtemps du leak adverse.

Vous avez 2.800 jetons, votre adversaire 10.700. Le blind level est 250/500 et vous vous trouvez au SB. Sur les sept mains suivantes, vous pushez trois fois avec succès, couchez votre main à une reprise, et votre adversaire vous abandonne les blinds à chaque fois qu'il est au SB. Vous avez maintenant 6.550 jetons, votre adversaire 6.950 et les blinds passent à 300/600. Villain push avec ES = 11. Au lieu du NPR de 54%, vous le mettez sur un éventail bien plus tight : 28%. Vous vous demandez si votre A7 vous permet de payer. D'après l'ICM-Trainer, un call est légèrement EV+. Votre adversaire semble cependant avoir un gros leak et utiliser des ranges bien trop tight. Vous devriez donc coucher votre main afin de profiter plus longtemps de la situation.

Voici donc ce que l'on peut dire du jeu suivant Nash :

• Vous obtenez une REV positive.
• Votre REV augmente lorsque votre adversaire s'écarte des NRs.

Mais :

• Votre REV n'est pas optimale.
• Certaines mains peuvent même être HEV-.

Vous devriez donc adapter vos ranges. Si vous ne jouez qu'une seule main contre Villain, vous préférez éviter qu'elle soit HEV-, même si vous savez que votre REV est positif.

Situations hors heads-up

La plupart des résultats donnés jusqu'ici peuvent être transposés à des situations autres que le HU à partir du moment où l'effet ICM est absent. C'est par exemple le cas en cash game, ou encore pour les MTTs de type Winner-Takes-It-All.

Un calculateur ICM permet de calculer les ranges de Nash pour des situations regroupant entre 3 et 10 joueurs. Les règles relatives à la modification de ces ranges valent également dans ce nouveau contexte.

BU = 3200, SB = BB = 5000, BL 200/400. Le joueur qui termine premier remporte un ticket pour un autre tournoi, les autres finissent les mains vides.

Le calculateur ICM donne les résultats suivants pour les NRs :

(PU = Pushing player ; CA = Calling player ; OC = Overcalling player)

Vous pouvez par exemple pusher avec K4s au BU, à moins que vous partiez du principe qu'un des deux joueurs possède un éventail de call plus loose, sans que rien n'indique que l'autre joueur possède un range plus tight. Ou plus exactement : un range suffisamment tight pour compenser le range plus loose du premier joueur. Dans ce cas, vous devriez vous en tenir à la règle 1, à savoir pusher plus tight et renoncer à un push avec K4s.

Les situations avec un effet ICM, à savoir un facteur bulle (BF, bubble factor) supérieur à 0,5 deviennent tout de suite plus intéressantes. Il s'agit de situations dans lesquelles les jetons gagnés valent moins que les jetons perdus. Le BF sera défini comme suit :

BF= $Value (Stack) / $Value (2*Stack).

En HU, le BF vaut donc 0,5. Dans des situations ICM extrêmes, il peut se rapprocher de 1. Parmi les exemples typiques de situations avec un BF élevé, on trouve la table finale d'un MTT, un satellite juste avant les places qualificatives, ou encore la bulle d'un SnG.

Nous allons nous intéresser de plus près à la bulle d'un SnG. Les résultats obtenus pourront ensuite être transposés aux deux autres types de situations. Nous repartons de l'exemple 7 en ajoutant un joueur short stack au CO.

CO = 1800, BU = 3200, SB = BB = 5000, BL 200/400.

CO se couche.

Voici les NRs obtenus :

(PU = Pushing player ; CA = Calling player ; OC = Overcalling player)

Nous remarquons tout d'abord que les NRs sont nettement plus tight. Rien ne dit que ce sera toujours le cas. Si vous jouez par exemple avec un big stack, il est tout à fait possible que vos NRs deviennent plus larges que dans une situation sans effet ICM. Que se passe-t-il maintenant si vous envisagez de pusher au SB et que le BB est un fish qui n'a jamais entendu parler de l'ICM et qui va call beaucoup trop loose, par exemple avec un range de 10% ?

Tout d'abord, un push avec les mains les plus faibles de votre éventail devient HEV-. Mais ce n'est pas tout. En raison de l'effet ICM, il peut également se produire la chose suivante :

Si votre adversaire s'écarte de son NR, il est possible que la REV de votre NR diminue également.

Ceci vient du fait que les deux autres joueurs profiteraient d'un call trop loose de BB contre vous. Avec un CR de 10%, le BB possède une REV nettement inférieure à celle du NCR, mais il se peut qu'il fasse diminuer dans le même temps votre propre REV.

Si vous renoncez à adapter vos NRs, il se peut même que votre REV devienne négative.

Les règles proposées plus haut afin d'adapter vos NRs doivent donc être revues à leur tour. Voici en gros ce que l'on peut dire :

• Règle 1 : Plus le BF est élevé, plus vous devez avoir tendance à réduire votre pushing range.
• Règle 2 : Plus le BF est élevé, moins vous devez avoir tendance à élargir votre pushing range.
• Règle 3 : Plus le BF est élevé, plus vous devez avoir tendance à réduire votre calling range.
• Règle 4 : Plus le BF est élevé, moins vous devez avoir tendance à élargir votre calling range.

Annexe

Dans les exemples 3-5, la HEV est exprimée en BB. Il est possible de la calculer à l'aide du programme SNG Wizard. Vous commencez par choisir le montant des stacks et des blinds afin d'obtenir l'ES souhaité. Dans le cas de ES = 9, vous pouvez par exemple choisir Blinds 300/600, SB=5.400 und BB=9.600. Vous indiquez ensuite la main de SB ainsi que le CR de BB. Vous obtenez alors la variation d'equity. Afin de l'exprimer en BB, vous devez la multiplier par

Nombre total de jetons en jeu (en BBs) / 20

Dans notre exemple, ce facteur serait de 25/20 =1,25.

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