A no-limit hold’em matematikai koncepciói (2) : Kombók és esélyek haladóknak

Bevezetés

A tartalomból:

• A kézskálák matematikai megközelítése
  
• A feltételes- és fordított feltételes esély szerepe
  
• Komplex EV analízis
  

Az első cikkből megtanultad, hogyan lehet kiszámítani a várható értéket a különböző helyzetekben, és megnéztünk néhány egyszerű példát. Most további olyan konkrét helyzetekkel és szempontokkal fogsz megismerkedni, melyek szerepet játszanak a várható érték kiszámításában (EV számítások).

E cikkünkben matematikai oldalról vizsgáljuk meg a kézskálákat, külön hangsúlyt fektetve a feltételes- és fordított feltételes esélyre. A bemutatott módszerek segítségével képes leszel kiszámítani az EV-t az előző részben tárgyaltaknál bonyolultabb helyzetekben is. Emellett olyan kérdésekre is választ tudsz majd adni, melyek kissé eltérnek azoktól, amiket az első cikkben ismertetett analitikai módszerek segítségével lehetett megválaszolni.

Kézskála-matematika

A „kézskála” definícióját már korábban ismertettük, a kifejezés kezek egy kombinációjára utal. Az EV számításokban a kérdések többsége a valószínűségekkel áll kapcsolatban. Az adott helyzetben az Equilator választ tud adni, hogy az egyes lapkombinációk az összes lehetséges leosztás hány százalékát teszik ki. A TT+, AQ+ kézskála például az összes lehetséges leosztás 4,68%-át teszi ki.

Fontos kérdés, hogy milyen gyakran tart bizonyos kezeket az ellenfél. Ha azt kérdeznéd, hogy milyen gyakran tart valaki TT+, AQ+ kezet, 4,68% lenne a válasz. Felmerül a kérdés, hogy ha valaki TT+, AQ+ kezet tart, milyen gyakran van nála AA vagy KK?

Százalékokat számolgatni a továbbiakban túl nehézkes lenne. Először válaszd ki csak az AA, KK kombinációkat az Equilatorban. Ez a kezek 0,9%-át teszi ki. Az AA, KK valószínűsége a TT+, AQ+ skálából ezért 0,9/4,68 = 0,92, azaz 19,2%. A módszer még bonyolultabbá válik, ha a lapokat szín szerint is meg akarod különböztetni, vagy ha egy adott kezet csak részben akarsz a skálába bevonni. Például ha egy játékos kezében TT+, AQ+ lapok vannak, hányszor lesz nála XsYs (például AsKs vagy AsQs)?

Létezik egy közvetlen módszer, ami választ adhat az ilyen bonyolult kérdésekre. A pókerben 1326 különböző kézkombináció van: 52x51/2. 52 lehetőségünk van az első lap kiválasztására. Ha tudni szeretnéd, hogy hány kezdőkéz van összesen, az összes lapot kombinálnod kell az összes többivel. Amint kiválasztottad az első lapot, még 51 lap marad, ami közül választhatsz, ami összesen 52x51=2652 kombinációt jelent.

A pókerben azonban nem számít, hogy AsKs vagy KsAs lapokat tartasz, ezért a 2652 kombinációnak csak fele képvisel különböző kezet: a már fent is említett 52x51/2 = 1326. Ez alapján ki tudod számítani, hogy bizonyos skálák hány különféle kombinációból állnak. A kombinációk száma a különböző kéztípusok esetén:

A további számításokhoz azt is tudnunk kell, hogyan lehet megállapítani a kombinációk számát. Ehhez persze  használhatsz egy pakli kártyát is, és elkezdhetsz számolgatni, de egyszerűbb, ha logikusan gondolkodva megpróbálod megállapítani az összes lehetséges kombinációt. Ha egy bizonyos párt szeretnél "kikeverni", négy lehetőség van az első lap megjelenésére, majd ezt követően három lehetőség marad a második lapra. Az eredményt el kell osztanod kettővel, különben az AsAd és AdAs lapokra eltérő kombinációként tekintenél.

Egyszínű kéz esetén nyolc lehetőséged van az első kártya kiválasztására (pl. 67s esetén bármelyik hatos vagy hetes). A második kártyához már csak egy választásod marad, és 8/2=4. Különböző színű kezek esetén, mint pl. az XsYd, nyolc lehetőséged van az első kártyára (4 X, 4 Y), viszont a második kártyára már csak három (ha az Xs lapot választottad, akkor Ys már nem választható, mivel ekkor a kéz egyszínű lenne). 8x3/2 =12. Természetesen léteznek más megoldások és módszerek is a lehetséges kombinációk számának megállapítására.

Banki esély, feltételes- és fordított feltételes esély

Az esélyek és jók elvének segítségével ki tudod számítani a megadás várható értékét, így döntést tudsz hozni az asztalnál. Ebben a cikksorozatban nem tárgyaljuk részletesen az esélyek és jók koncepcióját, a témával a bronz stratégiai részlegben foglalkozunk. A feltételes- és a fordított feltételes esély témaköre azonban sokkal érdekfeszítőbb, és sokszor képezi részét komolyabb EV számításoknak.

A banki eséllyel összevetve, a feltételes esély annak a - potban még nem bent lévő - pénzösszegnek a mérőszáma, amit az ellenfél várhatóan még be fog tenni. A feltételes esély különösen akkor válik fontossá, amikor húzóval játszunk. Ha az EV elemzésnél nem vesszük figyelembe a feltételes esélyt, legtöbbször dobnunk kellene húzónkat a flopnál. A feltételes esély használata sokkal realisztikusabb elemzéshez, és gyakran más eredményhez vezethet.

Egy, a feltételes esélyre vonatkozó szabályt már minden bizonnyal ismersz: a flop előtti osztott párokra vonatkozó "megadsz(20)" szabályt. Itt elengedhetetlen, hogy a feltételes esély legalább hússzor akkora legyen, mint a kifizetendő tét, hogy megnézhesd a flopot. Az EV számításoknál azonban inkább a valós feltételes esély bír jelentőséggel, tehát nem a maximálisan megnyerhető összeg, hanem az, amit átlagosan nyerni fogsz (a két érték természetesen összefügg egymással).

Ez többé-kevésbé a feltételes esély ellentéte. Az a pénzösszeg, amit akkor veszítesz, ha nem a tiéd a legerősebb kéz. Ez főként olyan húzókra vonatkozik, amik kiegészülnek ugyan, de mégsem tudsz győzni velük. A dominált kezek megjátszása szintén magas fordított feltételes esélyhez vezet, hisz a kezed erős ugyan, mégsem nyeri meg a potot.

A legtöbb esetben mind a feltételes esélyt, mind a fordított feltételes esélyt meg lehet becsülni, vagy akár pontosan ki is lehet számítani, így ezek felhasználhatók az EV számításokhoz. Segítségükkel pontosabban lehet leírni olyan helyzeteket, amikor nem mész all-in. Ezekre látsz majd példát ebben a cikkben.

Példaszámítások

A skálák figyelembe vétele, valamint a feltételes- és fordított feltételes esély is csak elméleti koncepciók az EV számításoknál. Szerepüket most egyre bonyolultabb példákkal fogjuk szemléltetni. Emellett valósághű helyzetek kialakításához arra is szükség lesz, hogy az ellenfelekkel kapcsolatban határozott feltételezésekkel éljünk.

Itt néhány feltevés mellett megpróbáljuk egy szettértékért történő megadás várható értékét meghatározni.

Stacks:

UTG 100BB
Hero 100BB

Preflop: Hero is BU with 4, 4
UTG raises 4BB, folds, Hero calls 4BB, folds

Itt máris látszik az első feltételezés: nem veszünk tudomást a vakokról. Szigorúan véve minden lehetséges esetet számításba kéne venned, amikor EV számítást végzel. Itt viszont csak egy eléggé általános esetre szorítkoztunk, különben nehézkessé válnának a számítások, anélkül, hogy fontos plusz információhoz jutnánk.

A következő feltevés az UTG játékost érinti. Az ő skálája legyen TT+, AQ+. Egy másik valószerű feltevés: az UTG játékos mindig nyit a flopnál, te viszont csak szettel folytatod a játékot.

Annak valószínűsége, hogy a floppal lejön az egyik - vagy akár mindkettő - négyes :

3 * (2 * 48* 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) + 3 * (2 * 1 * 48) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0,118

2:50 a valószínűsége annak, hogy a flop első lapja a pakliban maradt négyesek valamelyike. Amikor a floppal csak egy négyes érkezik, ehhez még két olyan lapnak kell jönnie, ami nem négyes, tehát 48/49 (egy négyes már lent van, és ez nem az utolsó négyes) valamint 47/48 (egy négyes, és egy nem négyes lap van lent). Ezeket összeszorozva számolhatjuk ki a négyes felbukkanásnak valószínűségét egy adott helyen.

Mivel számodra nem lényeges, hogy melyik lap a négyes, az eredményt megszorozzuk hárommal. Ugyanígy három lehetőség van arra, hogy két négyes kerül kiosztásra a három kártyában (első és második, második és harmadik, vagy első és harmadik helyen). Itt az esély 2/49 az első négyesre, 1/48 a második négyesre, illetve 47/47 az utolsó tetszőleges lapra.

Egy további indokolt egyszerűsítés: csak olyan eseteket vizsgálunk, ahol egy négyes jön a floppal. Erre az esély: 3 * (2 * 48 * 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0,1200, míg a pókerre az esély mindössze 0,00245. 45-ször nagyobb eséllyel lesz szetted a floppal, mint pókered, ezért az egyszerűség kedvéért a továbbiakban ez utóbbival nem foglalkozunk. Ezekkel elvégezhetünk egy előzetes számítást:

 EV = 0,880 * (-4BB) + 0,120 * EV(szett)

A továbbiakban az EV(szett) értékét kell meghatároznunk. Mivel ez attól függ, hogy milyen az asztal szerkezete, az ellenfél viszonylag szűk skálája miatt kézenfekvő az a megoldás, hogy az EV-t bizonyos feltételezésekre támaszkodva minden egyes kéz ellen kiszámoljuk, majd ezeket összeadjuk. Kezdjük az AQ ellen, és az egyszerűség kedvéért ne vegyük figyelembe a kiegészült flösshúzókat.

AQ-ból ász pár vagy még erősebb kéz lesz: P(ász) = 2 x ( 3 x 46 ) / ( 47 x 46 ) = 0,12766, dáma pár: P(dáma) = 2 x ( 3 x 41 ) / ( 47 x 46 ) = 0,114, és dáma drill P(dáma drill) = 1 x ( 3 x 2 ) / ( 47 x 46 ) = 0,0028. Továbbá:

P(ász+)=P(ász) + P(dáma drill) = 0,13046

A P(dáma) valószínűsége kisebb, mint a P(ász) valószínűsége, mivel a két pár kombinációkat az ászoknál már számoltuk. Mivel az egyik lap négyes, csak lap áll rendelkezésünkre a dáma párhoz. Így P(dáma) = 2 x (3 x 44)/(47 x 46) = 0,12211.

Most már tovább dolgozhatunk a szett várható értékének a kiszámításán. Az EV(szett) az ellenfél különböző kezei ellen megállapított EV-kből tevődik össze. Az első részét már kiszámoltuk:

EV(szett,AQ) = EV(találat nélkül) x P(találat nélkül) + EV(ász+) x P(ász+) + EV(dáma) x P(dáma).

Tehát ez az AQ elleni EV.

Az EV alkotóelemei azonban továbbra is ismeretlenek. Hogy a számítások ne váljanak túlságosan bonyolulttá, nem vesszük figyelembe, hogy az ellenfélnek a törnnél esetleg összejöhet a keze. Ha az ellenfélnek nem alakul ki semmije a floppal, csak a folytatólagos nyitását kapod meg, ami a pot 3/4-ével megegyező nagyságú, azaz 9,5x3/4 = 7,125BB. Ennek a valószínűsége: P(találat nélkül) = 1 - P(ász+) - P(dáma) = 0,74743.

Ha a floppal jön legalább egy ász, ellenfeled összes zsetonját elnyered, jóllehet nem 100% részesedéssel - hogy mennyivel, azt még meg kell határozni. Ha pontos számítást akarsz végezni, ki kell számolnod a különböző kezek valószínűségeiből a teljes részesedést, csakúgy, mint az egyes részesedéseket.

Ahogy korábban láttuk, a két pár és a drill nagyon valószínűtlen, a top pár részesedése pedig 3%. Ezt egyszerűen felkerekítjük 5%-ra, és nem foglalkozunk külön az egyes esetekkel. Az EV (ász+) tehát így fest:

EV(ász+) = 0,95 x (96 + 9,5)BB – 0,05 x 96BB = 100,225BB - 4,8BB = 95,4BB

Ha a floppal dáma érkezik, akkor különbséget kell tennünk aszerint, hogy az asztal király-magas-e vagy sem. Akár megteszed-e ezt a megkülönböztetést, akár nem, az eltérés nem számottevő az eredményt illetően. Ez alapvetően inkább elvi kérdés.

Először számítsuk ki egy király-magas asztal valószínűségét. Ez 4/46 = 0,09. Ezután meg kell becsülnünk azt az összeget, amit az ellenfél átlagosan be fog fektetni. Ez legyen 30BB. Ez alapján a következő egyenletet kapjuk:

EV(dáma) = 0,09*30BB + 0,91*( 0,975 * (96 + 9,5)BB – 0,025 * 96BB) = 94,1BB

Így a végeredmény:

EV(szett,AQ) = EV(találat nélkül) * P(találat nélkül) + EV(ász+) * P(ász+) + EV(dáma) * P(dáma) = 7,125BB * (0,75) + 95,4BB * (0,130) + 94,1BB * (0,120) = 28,4BB

Ha az ellenfélnél AQ van, a feltételezett körülmények mellett átlagban 28,4BB-t nyerhetsz. Most ugyanezt a számítást el kell végezni AK-ra is. Szerencsére az AK esetében az EV szinte változatlan marad, mivel csak akkor lesz eltérés, ha az AQ-ból második pár lett – ennek valószínűsége viszont csekély. Ha figyelmen kívül hagyjuk ezt az esetet, EV(szett,AK) = 29,7BB adódik.

Most osztott párok ellen fogjuk kiszámítani az EV-t. A következő feltevésekkel élünk: az ellenfél fölépárral mindenét beteszi, második párral átlagosan 30BB-t fog befektetni. Ez az érték eltérő lehet, emiatt ne használjuk ezeket állandóként, hogy a végén majd elemezhessük az értékek változásából adódó eredményeket. Az asztalnál beállt változásokat a törnnél nem vesszük figyelembe. Az EV ezért az összes osztott párnál három részre oszlik:

• Az ellenfélnek fölépár lesz a flopnál, míg neked szetted P(szett,fölépár).
• Az ellenfélnek második pár lesz a flopnál, míg neked szetted P(szett,második pár).
• Az ellenfélnek szettje lesz a flopnál, míg neked szintén szetted P(szett,overszett).

Ekkor a következő egyenletet kapjuk a teljes EV-re az osztott párokkal szemben:

EV(szett,osztott pár) = P(szett,fölépár) * EV(fölépár) + P(szett,2.pár) * EV(2.pár) + P(szett,overszett) * EV(overszett)

Az EV ezért minden osztott párral szemben az EV-k összegével lesz egyenlő, megszorozva annak a valószínűségével, hogy UTG egy bizonyos kezet tart.

Először újból kiszámítjuk az egyes valószínűségeket, majd az ezeknek megfelelő várható értékeket. A P(szett,overszett) minden párnál ugyanaz lesz. A pókerek valószínűségével együtt ezt kapjuk: P(szett,overszett)= 2 * ( 2 * 44 ) / ( 47 * 46 ) + ( 2 * 1 ) / ( 47 * 46 ) = 0,08233. Ekkora a valószínűsége, hogy a floppal megérkezik az osztott párt szetté javító lapok közül az egyik vagy mindkettő.

Egy játékos akkor tart fölépárt, ha

• nem alakított ki szettet,
• a párjához képest nem kerül fölélap kiosztásra.

Az overszettre a következőt kaptuk: P(szett,overszett)=0,0823. Ászokkal nyilván nem lehet magasabb lapot kapni a flopnál. Ez azt jelenti, hogy amikor a játékosnak nincs szettje, fölépárja van. A fölépár esélye ezért 1-0,0823.

Királyoknál pontosan négy ász jön számításba, mint lehetséges fölélap. Az esély fölépárra itt 1-0,0823-2x(4x44) / (47x46).

Ezek alapján annak az esélye, hogy az asztalon lévő lapok közül az egyik ász legyen 2x(4x44)/(47x46). Ennek analógiájára a dámáknál két lehetséges fölélap is jöhet. A megfelelő valószínűségeket az alábbi táblázat adja meg :

Meg kell még határozni az egyes párok elleni EV értékeket.

Feltételezésünk szerint, ha az ellenfélnek fölépárja lesz, mindig all-in fog menni. Ebben az esetben az ő részesedése 10% körül lesz, az EV(fölépár) várható érték ezért:

EV(fölépár) = 0,9 x (96 + 9,5)BB – 0,1 x 96BB = 85,3BB. Ha az ellenfélnek magasabb szettje alakul ki, részesedésed csak 5% körül lesz. A várható érték EV(overszett) így 0,05 x (96 + 9,5)BB - 0,95 x 96BB = -85,92BB.

Mindkét érték független az ellenfél adott kezétől, mivel itt csak meglévő jók száma számít. A párokkal szembeni EV-t az alábbi táblázat adja meg:

Minden szükséges valószínűséget és várható értéket kiszámítottunk. Most már csak össze kell gyúrnunk ezeket.

EV = 0,88 * (-4BB) + 0,12 * EV(szett) = 0.88 * (-4BB) + 0,12 *(P(AK) * EV(AK) + P(AQ) * EV(AQ) + P(AA) * EV(AA) + P(KK) * EV(KK) + P(QQ) * EV(QQ) + P(JJ) * EV(JJ) + P(TT) * EV(TT))

Az eredmény számszerűsítése érdekében még meg kell határozni, hogy a játékos milyen gyakran tart egy adott kezet. A kézskálájában összesen 62 különböző kombináció szerepel: 16 az AK-ra és az AQ-ra és 6 minden egyes párra. P(AK) = P(AQ) = 16/62 = 0,258, P(AA) = P(KK) … = 6/62 = 0,097.

Mindezt felhasználva a teljes EV:

EV=0,88 * (-4BB) + 0,12 * (0,258 * 29,7BB + 0,258 * 28,4BB + 0,097 * 71,2BB + 0,097 * 62,2BB + 0,097 * 52,3BB + 0,097 * 41,5BB + 0,097 * 29,9BB ) = 1,27BB

Az érték viszonylag alacsony, és egy jó fullring játékosra jellemző valószerű érték alatt marad. Ennek egyik oka az lehet, hogy egy jó fullring játékos gyakran ismer fel olyan helyzetet, ahol nyereségesen játszhat anélkül is, hogy szettet alakítana ki. Így a várható értéke akkor, amikor nincs szettje, nagyobb mint -4BB.

A számításainkban vannak olyan változók, amiket variálhatunk, hogy lássuk, miként változik a végeredmény. Megeshet például, hogy a folytatólagos nyitásnál többet kapsz a találat nélküli AK és AQ kezektől.

Ellenfeled blöffölhet is törnnél, de lehet nyerő lapja is. Ekkor emelhetünk egy kicsit az EV-n is, hogy lássuk milyen következménnyel jár ez összességében. Vagy befektethet többet második párral. A változtatható értékekkel a teljes EV a következő részekből áll:

Ha nem jön be a szett, elveszíted azt a tétet, amivel flop előtt megadtál: EV=(1-P(szett)) * (-4BB)

Ha bejön a szett:

- és ellenfelednél AK van:

P(szett) * (P(AK) * (EV(AK,találat nélkül) * P(AK,talált nélkül) + P(AK,király+) * EV(AK,király+)

Az esélyeket és a várható értékeket már kiszámítottuk.

- és ellenfelednél AQ van:

P(AQ) * (EV(AQ,találat nélkül) * P(AQ,találat nélkül) + EV(AQ,ász+) * P(AQ,ász+) + EV(AQ,dáma) * P(AQ,dáma)

- és ellenfelednél AA van:

P(AA) * (P(AA,fölépár) * EV(fölépár) + P(AA,2. pár) * EV(2. pár) + P(overszett) * EV(overszett)

P(AA,2. pár) 0.

- ellenfelednél KK van:

P(KK) * (P(KK,fölépár) * EV(fölépár) + P(KK,2. pár) * EV(2. pár) + P(overszett) * EV(overszett)

- és ellenfelednél QQ, JJ vagy TT van:

A számítások ugyanazok minden kézben tartott pár esetében. Egy második pár valószínűsége természetesen növekszik, ahogy egyre lejjebb haladunk:

+P(QQ) * (P(QQ,fölépár) * EV(fölépár) + P(QQ,2. pár) * EV(2. pár) + P(overszett) * EV(overszett)) + P(JJ) * (P(JJ,fölépár) * EV(fölépár) + P(JJ,2. pár) * EV(2. pár) + P(overszett) * EV(overszett)) + P(TT) * (P(TT,fölépár) * EV(fölépár) + P(TT,2. pár) * EV(2. pár) + P(overszett) * EV(overszett)))

Itt egy már kiszámított értékeket tartalmazó listát találsz a korábban is előforduló valószínűségekről, valamint a figyelembe vett EV értékekről, melyekre az esetek többségében érdemes figyelmet szentelni.

Az EV(AK,találat nélkül), EV(AQ,találat nélkül) és EV(2. pár) megváltozott értékeire az összes várható érték:

EV = 1,62BB

Ahogy látod, a várható érték nagyban függ ezektől az értékektől. Ha szeretnél javítani a várható értékeden amikor nem jön be a szett, olyan területre tévedsz, ahol a valós értékek is fontos szerepet kapnak. Ezt azonban nem könnyű megbecsülni, így ezt most nem is tárgyaljuk tovább.

Itt a no limit hold’em egy újabb fontos elemét láthatjuk: a terítés nélküli játék kiemelten fontos a teljes játék végeredményének szempontjából. Ez azt jelenti, hogy ezek után a részletes számítások után át kell gondolnod a játékstratégiádat, különösen akkor, ha nem találtál el semmit, hogy mennyire tudod az adott leosztásban elérni a szett várható értékét.

Ezek a számítások képezik a következő fejezet tárgyát. Előtte azonban szeretnénk gratulálni a szorgalmas olvasónak, aki eddig követni tudta és megértette elemzéseinket - ez bizonyára nem sikerült mindenkinek.

A továbbiakban még két tényezőről lesz szó, amivel lezárhatjuk fejtegetésünket. A matematikai elemzés fontos, és segíti a játékos fejlődését. Azonban nem helyettesítheti a tapasztalatot, és a más játékosokkal való tapasztalatcserét.

Feltételes esélyek

A következőkben a húzóval történő játékot fogjuk közelebbről megvizsgálni. Az alaposabb vizsgálat érdekében szükségünk lesz a feltételes esélyre. Az alábbi partit egy callingstation szemszögéből nézzük:

100BB Stacks

Preflop: Hero CO-ban van XYo kézzel, BU callingstation A,2 kézzel
Folds, Hero raises 4BB, BU calls 4BB, SB calls 3.5BB, BB calls 3 BB.

Flop: (16BB) 5, 9, K (4 Players)
SB checks, BB checks, Hero bets 14BB, BU calls 14BB, SB calls 14BB, BB folds

Turn: (58BB) 6 (3 Players)
SB checks, Hero bets 45BB, BU calls

Heronak 55, 99, KK, AA, AK, KQ skálát adunk. BU részesedése 21,5%. BU utolsó megadását fogjuk elemezni. A callingstation mindig tartani fogja a tétet, de mit tennél te? Biztos vagy benne, hogy a megadás itt rossz lépés? Mindjárt kiderül. Így alakul az EV a feltételes esélyt mellőzve:

EV = részesedés x (nyereség + befektetés) - befektetés

Ebben a helyzetben a nyereség (58+45)BB, a befektetés -45BB. A szükséges részesedést itt a részesedés = befektetés/(nyereség + befektetés) egyenlet segítségével tudjuk kiszámolni. Az ellenfél 58BB + 2*45BB-t nyer, és 45BB-t veszít, ha nem jön be neki valami. A szükséges részesedése ezért 30%. Mivel a részesedés túl alacsony, az EV -13,2BB.

Mi van, ha BU-nak összejön a keze a riveren? A pot 148BB lesz, Hero-nak pedig még 37BB-je maradt. A river laptól függetlenül Hero nem tudja dobni lapjait a rivernél az erős skálájából – ezt úgy is szoktuk mondani, hogy már elkötelezte magát a pot mellett. Az EV egyenletben viszont ekkor módosítani kell a nyereségváltozóval, mert találat esetén BU nemcsak a potot és a törn liciteket nyeri meg, hanem Hero maradék 37BB zsetonját is.

A fent leírt esetben a nyereség = (58+45+37)BB, míg a befektetés 45BB marad, mivel BU, még ha jók is az esélyei, nem fog ász-magassal megadni a rivernél. Ezzel a módosítással a nullszaldós megadás részesedése csak 24%, és az EV -5BB-re nő. Még úgy is, hogy a rivernél a pot nagyon nagy a zsetonmennyiséghez képest - négyszer akkora.

Idáig rendben is van minden. A callingstation hibát követ el, a dobás lett volna a megfelelő lépés. Most módosítsunk a változókon egy kicsit, hogy lássuk, mennyire általános ez az érték. A feltételes esélyekkel együtt a törntől a riverig a következőképpen alakul a várható érték:

EV = részesedés x (nyereség + feltételesek + befektetés) - befektetés

Ezek a feltételesek vagy a zsetonmennyiségek maradékai lehetnek, vagy a pot egy bizonyos hányada, amit átlagban várhatóan nyerni fogsz. De hogy alakulna a helyzet, ha a pot épp csak 2/3-ával (csak 40BB-vel) nyitottunk volna 45BB, tehát a pot 3/4-e helyett? A feltételes esély ekkor 37BB-ről 42BB-re emelkedne, míg a szükséges részesedés 22,2 %-ra zsugorodna, miközben a megadás EV-je -1,3BB-ra nőne, szorossá téve a döntést.

Mi történne, ha mindkét játékos 130BB-vel szállt volna be a partiba? 45BB törnnyitással Heronak (130-4-14-45) = 67BB-je lenne a rivernél, miközben a pot nagysága már 148BB lenne. Nem lenne képes dobni a kezét egy pikk riverlapra sem. Hogy alakulna most az EV?

A részesedés, a nyereség és a befektetés változatlanok maradnak, a feltételes esély viszont 37BB-ről 67BB-re emelkedik. Ilyen körülmények között a szükséges részesedés a nullszaldós megadáshoz 20%, a megadás EV-je pedig pozitív lesz: +1,225BB. A változókban történő csekély mértékű változás olyan helyzetet teremt, hogy a megadás a törnnél – 3/4 pot mértékű nyitásra – nyereségessé válik, és a callingstation nem követ el hibát. Adott körülmények között ilyen helyzetben neked is tartanod kell a tétet, még ha nem is tűnik túl rózsásnak a helyzet.

Általános érvényű következtetés megállapításhoz nézzük meg a következő forgatókönyvet:

Tegyük fel, hogy a pot mérete a törnnél 1. Számolj ki minden további licitméretet törnön meglévő pot arányában megadva. Felmerül a kérdés, hogy milyen összefüggés áll fenn a részesedés, a törn nyitás nagysága és a riverre vonatkozó feltételes esély közt. Egy egyszerű számítás alapján:

EV = részesedés x (pot + 2 x nyitás + feltételesek ) - nyitás

A különböző értékek között fennálló összefüggések megállapításához tegyük fel, hogy EV ismét >= 0, szélsőséges esetben 0. Három eshetőség áll fenn a síkbeli ábrázoláshoz:

• A részesedés és a nyitás közötti összefüggés az adott feltételes esély mellett (mint ahogy a 2. példában láttuk, ahol a feltételes esély a zsetonmennyiségek maradékát képviseli).
• A nyitás és a feltételes esély közötti összefüggés egy adott részesedésnél (ha jól meg tudod becsülni részesedésedet az ellenfél skálájával szemben)
• Végül a feltételes esély és a részesedés közötti összefüggés egy adott nyitásnál (hogy ráérezzünk a szükséges részesedésre és a feltételes esélyre fix nyitásméret esetén).

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy mekkora az a nyitásméret, amit nyereségesen tudsz befektetni, ha tudod, hogy a rivernél mennyit kapsz biztosan. Az alábbi diagram esetén a feltételes esély értéke 0,5, azaz a nyitás nagysága a potban lévő összeg fele.

A diagram alapján érezhető, hogy melyik nyitást lehet nyereségesen megadni, és melyiket nem.

Ebből az ábrából azt tudhatod meg, hogy egyes részesedéseknél milyen feltételes esélyre van szükség a törnön a megadáshoz 3/4 pot méretű nyitás esetén.

Ez a diagram is segítséget nyújthat a stratégiád kialakításához. Még az olyan viszonylag magas, a pot nagyságát elérő feltételes eséllyel is 15%-os részesedésre van szükséged a nullszaldós megadáshoz.

Végül azt feltételezzük, hogy a részesedés 20%, és megvizsgáljuk, hogyan alakul a szükséges feltételes esély a nyitás nagyságának függvényében. A szükséges feltételes esély nullánál lévő metszéspontja az a pont, ahol a húzóval csupán a potból való részesedésed nagyságának köszönhetően is megadhatsz. Ebben az esetben ez a pot 1/3-a.

Itt csak általánosabb esetekkel foglalkoztunk. Ezek a megállapítások - csakúgy, mint a diagramokon ábrázolt helyzetek - rendkívül lényegesek, ha meg akarjuk érteni az egyes leosztások részesedése és az egyes licitkörökben megtett nyitások nagysága közti dinamikát, vagy akár a várható nyitás nagyságait a későbbi licitkörökben.

Ha ki akarod számítani a flop -> river esélyeket, a helyzet csak tovább bonyolódik. Itt két lehetőséget kell megvizsgálnod: vagy nyerő lapot kapsz a törnnél, és meg kell becsülnöd a feltételes esélyt, vagy nem kapsz nyerő lapot. Ilyenkor meg kell próbálnod megállapítani, hogy milyen gyakran, illetve mekkora nyitással szembesülsz még, hogy megbecsülhesd a feltételes esélyet egy elhibázott törn, de eltalált river esetén is. Ezzel - ugyanezen elvek alapján - ugyanilyen EV elemzést lehet elvégezni.

Összefoglalás

Ezzel végére értünk a második résznek, ahol az első bonyolultabb EV elemzést követhetted nyomon. Emellett megismerkedtél a (fordított) feltételes esély hatásával is. A következő részekben szükséged lesz mindezekre. A következő cikkben az ellenfél manővereit vesszük szemügyre a kezed elleni várható érték alapján, és különösen a blöffre alkalmas helyzeteket fogjuk keresni.

LINKEK
Javasolt cikkek: A no-limit hold'em matematikai koncepciói (1) - EV & kézskálák Fórum: Vitasd meg a cikk tartalmát másikkal a fórumban