Matematika: Hogyan segít rajtad a várható érték EV?
Bevezetés
A tartalomból:
- EV = nyereség * nyereség valószínűsége - veszteség * veszteség valószínűsége
- A legjobb akció kiszámolásának módja
- Az EV képlet alkalmazásnak módja a játékod elemzéséhez
Egy akció várható értéke megmutatja, hogy mennyi nyereséggel, vagy veszteséggel számolhatsz átlagban, ha végrehajtod ezt az akciót. A pókerben akkor tudod mindig, hogy melyik a legjobb döntés, ha ismered az összes általad tett akciód várható értékét.
Ha például azelőtt a döntés előtt állsz, hogy a tétet megadjad, vagy kiszálljál, akkor a várható értékkel pontosan kiszámíthatod, hogy melyik a legjobb megoldás. Sok esetben megteheted ezt az esélyekkel és jókkal, melynek a koncepcióját feltétlenül meg kell értened, viszont a várható értékkel sokkal tovább mehetsz.
A cikk rámutat arra, hogy hogyan számoljad ki az akciód várható értékét. Azt is megtudhatod belőle, hogy különféle alternatívák közül hogyan válaszd ki a legjobb akciót. Megtanulod még továbbá, hogy hogyan alkalmazd a szituációk utólagos elemzéséhez a várható értéket és megválaszolja a „Mi lenne ha....?" vagy „Mi történt volna, ha ezt tettem volna?" kérdéseket.
A cikk tartalmának megértéséhez szükséges elsajátítatni az esélyek és jók elvét. Emellett nem árt felfrissíteni a feledésbe merült matematikai ismereteket, főleg ami a valószínűség számítást és az egyenletek átalakítását, illetve az egyenletrendszereket illeti.
Hogyan számolod ki a várható értéket?
Tételezd fel, hogy tesz neked valaki egy ajánlatot. Két borítékot mutat. Az egyikben 5 a másikban 20 Euro van. Szemügyre veheted őket, megfoghatod a sima papírt, amiben érzed a bankót, de különösebb különbséget nem fogsz észrevenni.
Ha cserébe 10 Eurot adsz, akkor megtarthatod az egyik borítékot. Meg kellene ezt lépned? Erre a várható érték fogja megadni a választ. Meg fogja mutatni neked, hogy mennyi nyereséged és mennyi veszteséged lesz átlagban, ha ezt a cserét újra és újra megteszed.
Négy értékre van szükséged, hogy kiszámolhasd:
- Mennyit veszíthetsz?
- Mennyit nyerhetsz?
- Mennyi annak a valószínűsége, hogy nyerni fogsz?
- Mennyi annak a valószínűsége, hogy veszíteni fogsz?
A várható érték rövidítése EV és az EV-hez egy nagyon egyszerű kiindulási képlet tartozik:
Kiszámítod a nyereséget és a veszteséget egymással szemben. Ez a várható érték: mennyi marad végeredményben? Ez a képlet lényegében egy általános kiindulási képletnek a különleges formája. A fenti képletben még hozzávetőlegesen megkülönböztetjük a nyereséget a veszteségtől. Általánosságban a nyereséget, vagy veszteséget kifizetésnek is nevezhetjük. Amennyiben pozitív a kifizetés, akkor nyereséget - ha negatív a kifizetés, akkor veszteséget könyvelhetsz el.
A következőképpen hangzik az általános képlet:
Egyszerűen néz ki ez a képlet:
- Mi minden történhet?
- Kifizetésx: Mennyit kapsz, vagy mennyit fizetsz, ha egy bizonyos esemény x történik?
- Valószínűségx: Mennyi a valószínűsége, hogy megtörténik?
Ahelyett hogy egyesével felirogatnád a nyereséget és a veszteséget, megnézed, hogy mennyi jön ki, ha ez vagy az az esemény lép életbe. A kifizetés tehát lehet pozitív (nyereséget könyvelsz el), de lehet negatív is (veszteséget könyvelsz el). Ezért nincsen ebben a képletben mínuszjel. A veszteség esetén negatív lesz az előjel és ezzel a pluszból automatikusan mínusz lesz.
Amennyiben a szituáció összes kimenetelét figyelembe veszed, akkor egy pontos eredményt kaphatsz a várható értékre. Felteszed magadnak a kérdést, hogy mi minden történhet. Ezután azt kérdezed magadtól, hogy mennyi nyereséget, vagy veszteséget könyvelsz el minden egyes esetben. A végén pedig rájössz, hogy mi a valószínűsége az összes szituáció kimenetelének. Összeszorzod a mindenkori nyereséget, vagy veszteséget a valószínűséggel, ha ez az eset lép életbe és a végén összeadod az egyes eredményeket.
A példánkban tehát 50:50 a valószínűsége, hogy ezt, vagy azt a borítékot választod. 50% eséllyel választod az A borítékot, ugyanúgy, ahogy a B borítékot.
Ez azt jelenti, hogy 50% eséllyel 5 Eurot fogsz nyerni, ami az A borítékban van. Ugyanúgy 50% eséllyel 20 Eurot fogsz nyerni a B borítékból. Amit mindenképp elvesztesz, az a 10 Euro lesz, amit befektetsz, hogy választhassál egyáltalán egy borítékot. Ez azt jelenti: 100% hogy 10 Eurot fogsz veszteni.
Ültessük ezt át a képletbe:
- 100% hogy 10 Eurot vesztesz, mert ezt mindenképpen kifizeted.
- 50%-ban nyersz 5 Eurot.
- 50%-ban nyersz 20 Eurot.
A képlet a következőképpen néz ki:
EV = nyereség(A boríték) * 50% + nyereség(B boríték) * 50% - veszteség(tét) * 100%
EV = 5 Euro * 50% + 20 Euro * 50 % - 10 Euro * 100%
50% - ez mindig a fele. Az 5 Euro 50%-a tehát 2,50 Euro. A 20 Euro 50%-a tehát 10 Euro.
EV = 2.50 Euro + 10 Euro – 10 Euro
EV = 2.50 Euro
Ez azt jelenti: átlagban 2,50 Euro nyereséged lesz, ha belemész ebbe az üzletbe. A várható érték pozitív, a szituáció tehát +EV számodra. Gyakran találkozol majd a „plusz EV", vagy „mínusz EV" fogalmakkal a pókerben, vagy a Pokerstrategy közösségben. Most már tisztában vagy a jelentésével.
Hogyan találod meg az EV-vel a legjobb döntést?
Eddig egyszerűen nézett ki, de bonyolultabbá válik, mihelyst elkezdesz szituációkat elemezni. Ha például a turnön azelőtt a döntés előtt állsz, hogy megadjad, vagy kiszálljál, akkor egész egyszerűen a következőt teszed: kiszámolod a megadás várható értékét. Kiszámolod a kiszállás várható értékét is. Összehasonlítod majd a két értéket. A két érték közül a nagyobbik mutatja meg neked, hogy melyik a legjobb akció.
Közelítsük meg a témát egy absztrakt példával: két eseménnyel állsz szemben: A-val és B-vel. Az A esemény bekövetkeztének valószínűsége 80%. A B események bekövetkeztének valószínűsége 20%.
| A esemény lép életbe | B esemény lép életbe | |
| Valószínűség | 80% | 20% |
Tippelhetsz ebben a témában, hogy A vagy B esemény lép-e életbe. Ha az A eseményre tippelsz és tényleg ez lép életbe, akkor 2 Eurot nyersz. 4 Eurot fogsz viszont veszteni, ha a B esemény lép életbe.
Ellenkező esetben a B eseményre is tippelhetsz és 4 Eurot nyerhetsz, ha helyesen választasz. Ha rosszul tippeltél és A esemény fog bekövetkezni, akkor 2 Eurot fogsz veszteni.
| A esemény lép életbe | B esemény lép életbe | |
| A-ra tippeltél | 2€-t nyersz | 4€ -t vesztesz |
| B-re tippeltél | 2€-t vesztesz | 4€-t nyersz |
Ahhoz hogy kitaláljad, hogy az A, vagy a B eseményre való tipped jobb választás-e, ehhez ki kell számolni az A és a B tipp várható értékét. Végezetül összehasonlítod őket.
EV = nyereség * nyereség valószínűsége - veszteség * veszteség valószínűsége
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
Az A esemény várható értékénél bele kell venni a számításba, hogy egyrészről az esetek 80%-ában 2 Eurot nyersz, másrészről az esetek 20%-ában 4 Eurot vesztesz, abban az esetben, ha a B lép életbe. Számoljuk ki.
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(A) = 1,6€ - 0,8€
EV(A) = 0,8€
Az máris világossá vált, hogy az A tipp nyereséget fog hozni, mivel pozitív a várható értéke. Átlagosan minden esetben 80 centet nyersz, ha az A-ra tippelsz. De hogyan fest a dolog a B esetnél?
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
EV(B) = 0,8€ - 1,6€
EV(B) = -0,8€
Egyből láthatod, hogy a B-re tippelés csak veszteséget fog hozni. A várható érték negatív. Ez azt jelenti, hogy minden esetben, amikor a B-re tippelsz, átlagban 80 cent veszteséget könyvelsz el.
Ha összehasonlítod a két várható értéket EV(A) és EV(B), egyből látni fogod, hogy az EV(A) nagyobb, mint az EV(B).
EV(A)>EV(B)
Egyszer 80 cent nyereség és egyszer 80 cent veszteség. Nyilvánvaló, hogy az A eseményre való tippelés a jobb döntés. Ezzel máris megismerted a póker leglényegesebb alapelvét.
Alapvető ez az elv. Ügyelj a fogalmazásra is. Nem azt az akciót kell kiválasztanod, amelyik a legnagyobb nyereséget hozza, hanem ami a legmagasabb várható értékkel rendelkezik. Ez lehet negatív is, ami azt jelenti, hogy veszteséget könyvelsz el. De még mindig ez a legjobb akció, ha az összes többi akcióval még nagyobb veszteséget könyvelnél el.
Mire jó a várható érték a Texas Hold'em esetében?
Tételezd fel, hogy egy ellenféllel állsz szemben a turnön.
Nálad: T
9
Az asztalon: 6
7 2 4
Egy lyukas sorhúzód van, és egy nyolcasra van szükséged a sorhoz. Biztos vagy benne, hogy az ellenfelednél egy felső pár van, két dáma, vagy esetleg király.
Tiszták a jóid, tehát a négy közül egy nyolcasra van szükséged a pakliból, hogy megnyerjed a kezet. Ez négy kártyát jelent a 46-ból, ami még a pakliban van. A valószínűsége, hogy a riveren nyolcas fog érkezni 4/46, ami nagyjából 0,087, tehát 8,7%. Ez a nyereség valószínűsége.
A veszteség valószínűsége egyszerű, mivel annak a valószínűsége, hogy nem a nyolcas jön, hanem valami más 46-4=42 kártya ami még a pakliban van. Ezért ez 42/46, ami 0,913 vagyis 91,3%-ot tesz ki.
Már csak a nyereség és a veszteség hiányzik. A potban 5$ van. Az ellenfeled 1$-ért hív. Ezáltal a pot 6$-ra nő. Ezt nyerheted meg.
Az egy dollárt vesztheted el, amit ki kell fizetned.
A hívás megadásának a várható értéke tehát:
EV(megadás) = nyereség * nyereség valószínűsége - veszteség * veszteség valószínűsége
EV(megadás) = 6$ * 8,9% - 1$ * 91,3%
EV(megadás) = - 0,39$
A szám negatív lesz, tehát veszteséget könyvelsz el. Minden dollárból, amit itt befektetsz, 39 cent fog az ellenfélhez menni. Csak 61 centet kapsz vissza, az eredeti 100 centből tehát 61. Ez egy rossz befektetés. Kevesebbet kapsz vissza, mint amennyit befektettél. Ez -EV.
A gyakorlatban nem állnál meg azonban ezen a helyen. Az hogy a megadás veszteséggel járna, még nem mondja meg, hogy mekkora a várható értéked, ha pl. dobnál.
A bedobás várható értéke mindig nulla.
EV(fold) = $0
Nem fektetsz be több pénzt. A lehetséges veszteséged ezáltal nulla lesz. A lehetséges nyereséges is ennyi lesz, mivel ha bedobsz, akkor nem tudod megnyerni a kezet. Egyébiránt előjön néha a kérdés, hogy az a befektetés nem bír-e valami jelentőséggel, amit már korábban betettél a potba. A pénz már elkelt.
Ahhoz hogy meghatározhasd, hogy melyik a jobb megoldás, tehát a dobás, vagy a megadás, összehasonlítod a két várható értéket:
EV(fold) = $0
EV (call) = -$0,39
EV(fold) > EV(call)
Ez azt jelenti, hogy jobban jársz, ha dobsz, ahelyett hogy megadnál.
Mit nyújt még neked a várható érték?
A pókerben arról szól a fáma, hogy találjuk meg mindig azt az akciót, aminek a legmagasabb a várható értéke a pillanatnyi lehetséges akciók közül. Amennyiben egy akciónak nagyobb a várható értéke mint 0, akkor nyereséget könyvelsz el.
Ha játszadoznál a képlettel, amit elvégre meg is kellene tenned, pl. olyan kezek elemzésénél, amiknél bizonytalan voltál, akkor felteheted magadnak a kérdést az előbbi példával kapcsolatban, ahol a turnön egy lyukas sorhúzód volt és az ellenfél 1$-ra hívott: mekkorának kellene lennie a potnak, hogy megadhassam az 1$-t, ahhoz hogy a lyukas sorhúzóm megadásával nyereséget könyvelhetek el?
A pot a képletben a lehetséges nyereség.
EV(megadás) = nyereség * nyereség valószínűsége - veszteség * veszteség valószínűsége
Tudni akarod, hogy mikor pozitív a várható érték, tehát amikor:
EV(call) > 0
Ezt a két képletet máris egyenlősítheted. Ez a következőt adja:
EV(megadás) > 0, ha:
nyereség * nyereség valószínűsége - veszteség * veszteség valószínűsége > 0
Állítsuk át ezt a képletet nyereségre, mivel ez az, amit keresünk. Amennyiben nehézséged lenne, akkor keresd meg az interneten azokat az oldalakat, amik elmagyarázzák az átállítási szabályokat.
EV(megadás) > 0, ha:
nyereség * nyereség valószínűsége - veszteség * veszteség valószínűsége > 0
nyereség * nyereség valószínűsége > veszteség * veszteség valószínűsége
nyereség > veszteség * veszteség valószínűsége / nyereség valószínűsége
A három bal oldali variánshoz ismered a konkrét értéket:
Veszteség = 1$
Veszteség valószínűsége= 42/46
Nyereség valószínűsége= 4/46
A következő eredményt kapod tehát:
EV(megadás) > 0, ha:
Nyereség > veszteség * veszteség valószínűsége / nyereség valószínűsége
Nyereség > 1$ * 42/46 / (4/46)
Nyereség > 1$ * 1932/184
Nyereség > 10.5$
A potnak tehát nagyobbnak kell lenni, mint 10,5$ ahhoz hogy megérje az 1$-os befektetés. Ezt ismerheted már az esélyek és jók cikkből. A lyukas sorhúzó esélye turnön 1:11. Megtanultad tehát, hogy akkor fizetheted ki a tétet, ha legalább a tizenegyszeresét visszakapod.
A várható érték útján haladva, ugyanarra az eredményre jutottál, mint amit már az esélyek és jókból ismersz. Van egy nagyon egyszerű összefüggés. Annak a valószínűsége, hogy betaláljon a lyukas sorhúzónk egyik jója a négy közül, ahogyan már említettük 4/46, ez tehát 0,087, azaz 8,7%. Ekkora a valószínűsége tehát, hogy a jóid egyike leosztásra kerül.
Másképp fogalmazva: Kerekítve, 12 esetből (100% / 8,7%) egyszer fog kiegészülni a lyukas sorhúzód. Ennek az írásmódnak az amerikai változata szerint 11:1, tehát tizenegy esetben nem találsz be jót, és egyszer igen. Ezúton megkaptad az általad már jól ismert 11:1 esélyt. A várható értéket tehát átszámíthatod közvetlenül az esélyre, illetve a bankesélyre.
Ugyanaz az elv, de mégis más úton.
Összefoglalás
Foglaljuk össze. A várható érték kiszámításához számítsd ki egyszerűen a nyereséget és a veszteséget egymással szemben, attól függően, hogy mekkora a valószínűsége, hogy nyersz vagy vesztesz.
EV = nyereség * nyereség valószínűsége - veszteség * veszteség valószínűsége
Ezáltal már tudni fogod, hogy átlagban mekkora nyereséget, illetve veszteséget könyvelsz el.
Nagyon sok alkalmazásnál az általános képletet fogod választani, amiben a nyereség és veszteség már csak kifizetésként szerepel. Amennyiben negatív a kifizetés, akkor veszteséget könyvelsz el, ha pozitív, akkor pedig nyereséget.
EV = kifizetés1 * valószínűség1 + kifizetés2 * valószínűség2 + ... + kifizetésn * valószínűségn
Amennyiben elemezni szeretnél egy játékhelyzetet, akkor átgondolhatod, hogy milyen lehetséges játéklefolyások léteznek, mennyire valószínűek, és mennyi nyereséget,vagy veszteséget könyvelsz el velük. Ezt hozzácsatolod a képlettel, és máris megvan a várható értéked.
Amennyiben több választási lehetőség előtt állsz, és tudni akarod, hogy melyik a jövedelmezőbb, akkor kiszámítod minden egyes akciónak a várható értékét. Végezetül összehasonlítod az összes várható értéket. A legmagasabb fogja neked megmutatni, hogy melyik a legjobb akció.
Ezáltal megtanultad, hogy a játékod várható értékét hogyan fektetheted egy mélyebb matematikai alapra. Az elején még bonyolultnak tűnhet az „összevissza számolgatás", de elviekben ez nagyon egyszerű. Amennyiben nem értetted meg, vagy még bizonytalan lennél akkor nyugodtan tedd fel ezzel kapcsolatban a kérdéseidet a fórumban.
Számos soron következő játékkoncepcióval és stratégiával foglalkozó cikk alapfeltétele, hogy boldogulsz már a várható érték számításával. Invesztálj némi időt a számításokba, mivel az elvárási koncepció megértése, mint ahogy azt az esélyeknél és jóknál már megismertük, mérföldkövet jelenthet a pókerképzésedben.
