De wiskundige benadering van draws

Inleiding

In dit artikel:

• Sterke en zwakke draws
  
• Busted draws
  
• Verbeter je spelgevoel
  

Wanneer je de goldsectie aandachtig hebt doorgewerkt, heb je ondertussen al geleerd hoe je sterke en zwakke draws speelt, en wat je doet met busted draws op de river. Semi-blufs, blufbets, balancing en freecards zijn je eveneens niet onbekend.

In dit artikel staat je een wat abstractere zienswijze op het spel met draws te wachten: de puur wiskundige. Het zal je helpen om No-Limit Hold'em een stuk beter te begrijpen en je gevoel voor het spel te verfijnen.

Definitie

Om te beginnen moet je natuurlijk eerst weten wat het begrip 'draw' nu precies inhoudt. Rechts zie je nog een keer de definitie.

Wiskundig gezien heb je een draw wanneer je pot-equity groter dan 0% is.

Een maximale waarde voor de pot-equity die je niet mag overschrijden om niet meer van een draw te kunnen spreken, is er niet.

Intuïtief zou je misschien denken dat je niet meer van een draw kunt spreken als je hand een grotere pot-equity heeft dan de gemiddelde waarde. Dit is niet correct.

Kijk daarvoor eens naar de volgende voorbeeldhanden:

Speler 1: 7 7
Speler 2: 7 5
Speler 3: A K

Flop: 2 3 4

Verdeling van de equity:
Speler 1 (7 7): 27.461%
Speler 2 (7 5): 22.595%
Speler 3 (A K): 49.943%

Zoals je ziet heeft speler 1 minder dan de gemiddelde equity (33%), terwijl hij een showdown op de flop wel zou winnen. Zijn hand komt niet overeen met de definitie van een draw, maar zou daar bij een maximale waarde voor de pot-equity wel onder vallen.

Hetzelfde geldt voor speler 3. Hij zou de showdown op dit moment niet winnen, maar heeft meer dan de gemiddelde equity. Toch heeft hij hier op de flop een draw.

Dit voorbeeld kan er gekunsteld uitzien. Toch kan een vergelijkbare situatie ook optreden in een heads-up-confrontatie.

Speler 1 (K Q):equity: 72.322%
Speler 2 (2 2): equity: 27.678%

Flop: J T 5

Deze beide voorbeelden laten duidelijk zien dat er geen maximale equitywaarde is om een draw te begrenzen.

De betekenis van draws in No-Limit Hold'em

Het feit dat No-Limit Hold'em een drawing game is, maakt het tot een echt pokerspel. De meeste pokervarianten zijn namelijk drawvarianten, waarbij je, open of verborgen, kunt drawen naar een hand. De enige populaire non-drawing variant zou Chinees poker zijn.

Op basis van draws ontstaat het concept van pot-equity, dat het gehele spel in een nieuwe richting stuurt. Zo kan het wiskundig correct zijn om met de slechtere hand een bedrag x te callen wanneer er al een bedrag y als dead money in het midden ligt.

Je heb dus de mogelijkheid om te reageren op toekomstige gebeurtenissen, die je niet kunt beïnvloeden, omdat de sterkte van de hand kan veranderen. Concepten als 'implied odds' en 'reversed implied odds' berusten daarop.

Je ziet dus dat draws het belangrijkste onderdeel van het spel zijn, omdat de handsterkte in het verloop van een hand kan veranderen, en je jezelf altijd kunt instellen op de nieuwe externe variabelen. Hier komt de skill van een speler dan ook naar voren.

Een goed begrip van de volgende concepten betekent daarom tevens een goed begrip van het pokerspel.

De redraw

De equity geeft altijd aan, in hoeveel procent van de gevallen je met handrange x bij de showdown zult winnen van handrange y. Daarbij moeten de handranges x en y altijd uit minstens één hand bestaan.

Het programma 'Equilator' kan deze berekening voor iedere situatie binnen enkele seconden uitvoeren, en je steeds bij benadering je concrete equity geven.

Op basis van deze aanwezige equity kun je nu ook als underdog bij acceptabele pot-odds een bet callen. Als bronze-member heb je deze concepten al leren kennen. En als het goed is weet je hoe je, op basis van outs, je equity tegen de verschillende handen kunt bepalen.

Deze vraag werd nog niet eerder in een artikel beantwoord, dus laten we dit hier eens wiskundig bekijken.

Speler 1: A K
Speler 2: Q J

Board: K 7 2

Verdeling van de equity:
Speler 1 (A K): 61.4%
Speler 2 (Q J): 38.6%

Speler 2 kan de hand dus nog winnen met een flush, met two pair, met trips of met een straight.

Speler 1: K K
Speler 2: Q J

Board: K 7 2

Verdeling van de equity:
Speler 1 (K K): 73.5%
Speler 2 (Q J): 26.5%

In voorbeeld 4 heeft speler 1 een redraw naar quads of een full house. Dit kun je ook direct zien aan zijn kleine equity-sprong, ten opzichte van voorbeeld 3. Toch kun je deze sprong niet alleen op de nieuw verkregen redraw terugleiden, omdat speler 2 nu een compleet andere draw heeft.

In voorbeeld 3 heeft speler 2 naast zijn flushdraw, ook nog de mogelijkheid om met een 'runner runner' two pair of trips de hand te winnen, wat in voorbeeld 4 niet meer mogelijk is. Een vergelijking, puur om de uitwerking van de nieuwe redraws te zien, is daarom niet op zijn plaats.

Met een beetje gevoel kun je echter de volle functionaliteit van de Equilator benutten. Met dit programma heb je namelijk de mogelijkheid om dead cards in te voeren, die bij de equityberekening dan niet meer worden meegerekend. Ze zijn dan al het ware uit het deck genomen. Door dit kleine trucje kun je nu twee samenstellingen zo vergelijken, dat je alleen de uitwerking van een redraw kunt zien.

De volgende kaarten zijn in voorbeeld 3 dead:
Q, Q, Q, J, J, J, K, A, A, A

De volgende kaarten zijn in voorbeeld 4 dead:
Q, Q, Q, J, J, J, A, A, A, A

Voorbeeld 3:

Board: K 7 2

Speler 1 (A K): 57.98%
Speler 2 (Q J): 42.02%

VOORBEELD 4:

Board: K 7 2

Speler 1 (K K): 73.78%
Speler 2 (Q J): 26.22%

Nu is het zeker dat er precies 35 kaarten in het deck zijn, waarvan de outs voor speler 2 in beide samenstellingen precies hetzelfde zijn. In voorbeeld 4 heeft speler 1 nu slechts de redraw naar full house/quads.

De equity verschuift daarmee zo'n 15.8 procentpunten naar speler 1, of wordt zo'n 27.25% hoger.

Maar wat levert deze redraw nu precies op voor de speler?

Op de turn heeft hij outs op iedere 7, 2 en de laatste koning. Dit geeft een totaal van 7 outs. Treft hij op de turn niet, dan heeft hij tot aan de river in totaal nog eens 10 outs.

De kans dat speler 1 zijn redraw treft, is dus:

1 - ((28/35) * 24/34)) = 1 - (48/85) = 43.53%

De kans dat speler 2 de flush treft is ongeveer:

1 - ((27/35) * (26/34)) = 1- (351/595) = 41.01%

Dit betekent dus dat speler 2 tot 17.85% van de gevallen zijn flush treft, maar de showdown verliest van een full house of quads.

Je ziet dat een redraw altijd een equitysprong tot gevolg heeft. Hoe sterker de draw van de tegenstander is, des te eerder zie je ook de uitwerking van een kleine redraw. Uiteraard vergroot ook de equitysprong zich op grond van de sterkte van je redraw. Een redraw op de flop naar een full house/quads is daarbij de sterkste redraw die kan optreden, en heeft dus ook de grootste uitwerking.

De blockingcard

Naast de redraw is er nog een andere mogelijkheid om de sterkte van een draw van de tegenstander te verzwakken. Wanneer je een kaart hebt die anders een out was geweest voor de draw van de tegenstander, wordt de kans kleiner dat hij zijn draw compleet maakt.

Daarmee kom je bij de vraag hoe belangrijk het voor jou kan zijn om een dergelijke 'blockingcard' in je hand te hebben.

Om de uitwerkingen van blockingcards te zien, kijken we naar de volgende voorbeelden.

Board: K 7 2

Speler 1 (7 4): 45.25%
Speler 2 (Q J): 54.75%

Board: K 7 2

Speler 1 (7 4): 51.31%
Speler 2 (Q J): 48.69%

Hier heeft speler 1, op grond van zijn beide blockingcards, een equitysprong van ca. 6.06 procentpunten, ofwel 13.39%.

Ook hier geldt weer: des te groter het percentage outs dat je blockt, des te beter is dat voor jou. Heeft je tegenstander bijvoorbeeld een gutshot met een overcard, en jij hebt een of twee blockingcards, dan zul je een hogere equitysprong bemerken dan wanneer je tegenstander een monsterdraw heeft en jij slechts één kaart blockt.

Commitment met een draw

Veel spelers weten nooit of ze zich met hun draw aan de hand willen committen of niet. Een aantal gaat te gemakkelijk met dit concept om en anderen weten niet eens van haar bestaan. In dit gedeelte zul je zien hoe het nu zit met committing raises en het spel met draws.

We spreken van committen wanneer je jezelf door middel van een eerdere actie, bij een push van de tegenstander zulke pot-odds geeft, dat EV(call) > EV(fold).

Een vaak gezien voorbeeld is een preflop-4-bet, waarbij de speler zich tot de hand committeert en een push van de tegenstander altijd moet callen.

$1/$2 No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
MP $130

Preflop: Hero is UTG with A, K
Hero raises to $7, MP reraises to $25, 4 folds, Hero reraises to $70, MP reraises to $130 (All-In)

Geef je de tegenstander een tighte handrange van AK, JJ+, dan heb je met AKs een equity van 42.14%.

Daar de tegenstander zich hier in een duidelijke raise-or-fold situatie bevindt, kun je de ingewikkelde berekening van de EV's van een mogelijk postflopspel verwaarlozen, en ervan uitgaan dat de tegenstander hier nooit je 4-bet slechts zal callen.

Als je je alleen hierop richt, kun je zowel de uiteindelijke all-in-call als de 4-bet bekijken.

EV(All-In Call) = 0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60 = $85.5442 - $34.716 = $50.8282
EV(4-Bet) = f * $35 + (1-f) * (-$63)

Om de EV van beide acties samen te berekenen, moet je de volgende vergelijking opstellen:

EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * (EV(Call na commitment) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ((0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ($50.8282 - $63)

Of de reeks nu +EV of -EV is, kun je alleen berekenen wanneer je van een bepaalde foldequity uitgaat.

Bij f = 0.3 zou gelden:

EV(4-Bet) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * (-$63) = $10.5 - $44.1 = -$33.6

   EV(4-Bet + All-In Call) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * ($50.8282 - $63)
   EV(4-Bet + All-In Call) = $10.5 - $8.52 = $1.97974

De 4-bet is op zichzelf -EV, en de uiteindelijke all-in-call, waartoe je jezelf hebt gecommitteerd door de 4-bet, is +EV. Je mag echter niet gewoon de twee verwachtingswaardes optellen om de EV van de serie acties te verkrijgen.

Je ziet dus dat, wanneer je tegenstander tot 30% op je 4-bet foldt en tot 70% all-in pusht, je door je 4-bet met de all-in-call een EV van $1.97974, hebt en dus een +EV-situatie hebt verkregen.

Toch is in dit voorbeeld nog niet werkelijk te zien wat het doel van een committing raise is. Daarom nu een iets aansprekender voorbeeld, waarin je uiteindelijk ook de sterkte van een committing raise zult herkennen.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
CO $129

Preflop: Hero is BB with T, 9
2 folds, CO raises to $7, 2 folds, Hero calls.

Flop: ($15) K, Q, 2
Hero checks, CO bets $12, Hero raises to $32, CO reraises to $122 (All-In)

Je hebt nu een flushdraw + gutshot, wat zonder discounten 12 outs zou zijn. Daar je flushdraw niet heel hoog is en je bij je gutshot een "idiot's end" hebt, moet je in totaal 2 outs aftrekken. Je houdt altijd nog 10 outs over, wat overeen komt met een equity van ongeveer 40%. Je hebt dus pot-odds nodig van 1:1.5 om een +EV call te hebben.

In het voorbeeld moet je nu $90 callen, bij een potsize van $169. Dit geeft pot-odds van 1:1.87. Een call is daarom +EV. Je kunt dus zeggen dat je check/raise op de flop, je tot de hand gecommitteerd heeft wanneer je tegenstander op de flop all-in gaat.

Nu is de vraag of het goed was om de flop met je draw te check/raisen en je met je draw te committeren.

Goed betekent in dit geval dat je op de flop met je line "check/raise/call" een +EV reeks hebt uitgelokt. Om dit te bepalen kun je nu, net als bij de preflop 4-bet, proberen om de EV van de reeks te berekenen.

Aanname:

Je hebt op de flop 40% equity tegen de pushrange van de tegenstander.
f is de foldequity.
c is de kans dat de tegenstander je check/raise callt.

EV(all-in call) = 0.4 * $169 - 0.6 * $90 = +$13.6
EV(tegenstander callt de c/r) = EV(postflop)

De EV(postflop) is >0 omdat je na een call van de tegenstander, altijd 'c/f turn' kunt spelen en dus een zekere break-even line kunt spelen. Daar je echter een goede speler bent, kun je ervan uitgaan dat je deze line over het algemeen kunt verslaan; eventueel afhankelijk van de tegenstander en de boardtextuur. Dus zal EV(postflop) >0 zijn.

EV(c/r flop) = f * $27 + (1-f) * -$32

EV(reeks) = f * $27 + (1-f) * (c * (EV(postflop)-$32) + (1-c) * (EV(all-in call) -$32))
EV(reeks) > f * $27 + (1-f) * (c * (-$32) + (1-c) * ($13.6 -$32)

Mogelijke aannames voor c en f:

c = 0.6 f = 0.2

EV(reeks) > 0.2 * $27 + (1-0.2) * (0.6 *(-$32) + (1-0.6) * ($13.6 -$32))
EV(reeks) > $5.4 + 0.8 * ((-$19.2) - $7.36)
EV(reeks) > $5.4 - $21.248 = -$15.848

Om het geheel algemeen uit te drukken, worden de volgende variabelen aangehouden:

• foldequity: f
• potsize: p
• betsize: b
• kans dat de tegenstander callt c/r: c
• EV(all-in-call): y
• EV(postflop): x

Zo kom je op de volgende vergelijking voor de berekening van de EV:

EV(reeks) > f * p + (1-f) * (c * (x-b) + (1-c) * (y-b)

Krijg je nu, zoals in het bovenstaande voorbeeld, voor EV(reeks) een negatieve waarde, dan kun je door de volgende berekening zien uit te vinden hoeveel EV je postflopline bij een call van de tegenstander moet hebben, om die reeks toch als een +EV move te laten staan:

x > (f * ((1-c) * y - p - b) - (1-c) * y + b)/(c(1-f))

In dit voorbeeld krijg je nu een waarde x > $33.016. Dat betekent voor jou dat je bij deze call- en push-frequenties van de tegenstander, deze EV door je acties na de turn moet bereiken om de check/raise tot een +EV move te maken.

Nu het voorbeeld met iets realistischere call- en pushfrequenties bij je tegenstander:

c = 0.25 f = 0.55

EV(reeks) > 0.55 * $27 + (1-0.55) * (0.25 *(-$32) + (1-0.25) * ($13.6 -$32))
EV(reeks) > $14.85 + 0.45 * ((-$8) -13.8)
EV(reeks) > $14.85 - $9.81 = +$5.04

Je ziet dat je met deze waardes zelfs dan nog een +EV check/raise hebt, wanneer je na een call van de tegenstander iedere turn check/fold zou spelen (Dit zou natuurlijk onrealistisch zijn, daar je een getroffen flush op de turn vrijwel nooit zou opgeven).

Of de check/raise en de commitment werkelijk de beste line zijn, staat op een andere pagina, daar je om dit uit te vinden, de EV van alle andere mogelijke lines zou moeten berekenen en deze dan met elkaar zou moeten vergelijken.

Maar is de committing raise in dit voorbeeld nu een goede keuze? Wat heeft deze hele berekening nu opgeleverd?

Je hebt gezien dat een committing raise tegen de juiste call- en pushfrequenties van de tegenstander +EV kan zijn. Deze voorbeeldhand moet je echter laten zien dat een directe push heel waarschijnlijk de betere line zou zijn. Zonder dit uit te rekenen komt daarbij nog het vermoeden, dat je bij een "check/raise/call"-line de tegenstander heel vaak ertoe aanzet om betere draws zelf te pushen. Helaas is je equity tegen betere draws slechter dan tegen made hands.

Zou je op grond daarvan, in dit voorbeeld zelf direct de flop overbetten en pushen, dan zou de tegenstander betere flushdraws eerder folden, wat je equity tegen de callrange van de tegenstander slechts ten goede zou komen. Verander je het voorbeeld echter een beetje en geef je jezelf een nutflushdraw met een gutshot, dan zou je equity stijgen wanneer je tegenstander nu zelf met een draw all-in gaat, daar je deze domineert.

De ware sterkte van een committing raise ligt dus in het zó beïnvloeden van de handrange van de tegenstander, dat je eigen equity omhoog gaat in vergelijking met een directe push van jouw kant. Deze argumentatie gaat er vanuit dat je met beide lines, procentueel gezien dezelfde foldequity krijgt, maar tegen twee verschillende handranges speelt.

Opmerking:

Het probleem van de doorzichtigheid van de eigen hand is bij deze wiskundige overweging compleet verwaarloosd. Speel je deze lines te vanzelfsprekend, dan kan je tegenstander de volgende informatie krijgen:

• Directe push = zwakke draw
• Committing raise = nutdraw + monster

Door deze read van de tegenstander kunnen de call- en pushfrequenties zo verschuiven,  dat je door het verdere postflopspel een behoorlijk hoge EV nodig hebt om committing raises +EV te laten zijn (in vergelijking met de T 9 hand).

Hoe belangrijk is het uitbalanceren van de eigen handrange?

In het spel met draws komt vaak de vraag naar boven, hoe belangrijk de werkelijke uitbalancering van je handrange is. Is het heel erg wanneer je tegenstander weet dat je handrange voor 100% uit draws bestaat, of kan hij met deze informatie niet veel beginnen?

Om deze vraag op een theoretisch vlak te benaderen moet je jezelf het volgende voorbeeld eens voorstellen:

Je bent heads-up, op de turn, in positie, en je tegenstander bet op je in.

• Handrange a) Je hebt slechts draws en hebt tegen de bet-range van de tegenstander een equity van 25%.
• Handrange b) Je hebt nu een aantal nuthanden plus een aantal zwakke draws en hebt tegen de handrange van de tegenstander een equity van 25%.

Welke handrange is voor jou beter en waarin ligt het verschil? Qua showdownvalue heb je met beide handranges precies dezelfde verwachtingswaarde. Zou je nu met je complete handrange pushen en zou de tegenstander met zijn complete bettingrange callen, dan zou je in beide gevallen in 25% van de gevallen een showdown winnen. Op het eerste gezicht zie je hier dus niet veel verschil.

Probeer je nu optimaal te spelen tegen de handrange van de tegenstander, dan zul je merken dat het eerste scenario je heel sterk in je mogelijkheden beperkt. Bij een optimale speelwijze zou je de turnbet op grond van de odds en outs callen, om dan op de river te betten/raisen. Tref je de draw, dan was deze bet/raise een valueraise. Mis je hem echter, dan bluf je je busted draws in een optimale verhouding, om de tegenstander besluiteloos te maken over het callen van je valueraises. Je nadeel is daarbij dat je tot de river moet wachten om je tegenstander voor een moeilijke beslissing te stellen, waarbij hij fouten kan maken.

Heb je echter een gemixte handrange, die bestaat uit zwakkere draws en nuthanden, dan kun je bij een optimale speelwijze al op de turn actief worden en daar met je goede handen voor value raisen, of deze met semi-blufs uitbalanceren. Op deze manier heb je ook nog de mogelijkheid om de turnbet te callen. Dan kun je op de river je getroffen draws en nuthanden eveneens voor value betten en met blufraises deze handrange uit balanceren.

Je hebt met een gemixte handrange meer mogelijkheden om tegen je tegenstander te spelen, en het wordt over het geheel gemakkelijker om je handranges voor de afzonderlijke situaties uit te balanceren. De reden daarvoor is, dat je nu verschillende types handen kunt voorwenden.

Kan je tegenstander je handrange op een duidelijk type hand beperken, dan zal hij het gemakkelijk hebben om tegen deze handrange correct te spelen, daar het moeilijker voor je wordt om je lines uit te balanceren. In totaal zul je daarom met een gemixte handrange altijd een hogere EV kunnen bereiken.

Semi-bluffen en bluf-frequenties

Over het thema semi-blufs vind je in de goldsectie aparte artikelen. Hier zul je nu een verdere wiskundige benadering vinden over het analyseren van het spel met semi-blufs.

Om te beginnen wordt er nu uitgegaan van een "all-in-semi-bluf".

Speel je een semi-bluf, dan heb je de volgende informatie nodig om de EV ervan te kunnen berekenen:

• Verkregen foldequity: f
• Equity tegen de callrange van de tegenstander: E
• Potsize: p
• Eigen betsize: b

EV(all-in-semi-bluf) = f * p + (1-f) * (E * p - (1-E) * b)

Deze vergelijking is zo opgebouwd dat je allereerst de winst berekent wanneer je tegenstander foldt, en deze optelt bij het resultaat van wanneer je tegenstander zou callen. Je ziet dus dat je altijd winst zult maken wanneer je tegenstander op je all-in-semi-blufraise foldt, omdat alleen jij en de pot dan nog over zijn. De mogelijke negative verwachtingswaarde van een all-in-semi-bluf kan daarom alleen uit de situatie komen dat je tegenstander je push callt. En toevallig speelt juist in dit deel van de vergelijking, de equity tegen de handrange van de tegenstander een grote rol bij de vraag of je winst of verlies zult hebben.

De te analyserende deelvergelijking is daarom:

EV(tegenstander callt) = E * p - (1-E) * b

Is deze vergelijking groter dan 0, dan zul je winst maken. Voor de analyse los je deze deelvergelijking op naar de verhouding tussen betsize en de potsize en herken je dan een samenhang met de equity.

0 < E * p - (1-E) * b
(1-E) * b < E * p
b/p < E/(1-E)

Tabel voor betsize/potsize-verhoudingen en hun minimale equity:

Je ziet dus meteen dat hoe groter je equity is, des te groter je uiteindelijke b/p-verhouding kan zijn bij je all-in-semi-blufraise, om ook in dit geval winst te maken.

Kun je dus de callrange van de tegenstander zó goed inschatten dat je de equity bijna optimaal kunt bepalen, dan kun je nu met de bovenstaande tabel perfecte all-in semi-blufraises maken, daar je dan situaties kunt zoeken waarin je alleen kunt winnen. Maar bedenk ook: Om een +EV-semi-bluf door te voeren, hoeven niet beide deelvergelijkingen een positieve verwachtingswaarde te hebben. Het is al voldoende wanneer beide elkaar in zoverre compenseren, dat aan het einde nog een positieve verwachtingswaarde overblijft.

De tweede, iets ingewikkeldere, situatie doet zich voor wanneer het niet om een all-in-semi-blufraise gaat.

De wiskundige benadering van het geheel wordt dan moeilijker, daar er nu heel veel inschattingen over verschillende mogelijke verdere postflop-acties moeten worden gedaan. Heb je een heel sterke nutdraw, dan kun je de benadering over de committing raise hierboven meerekenen om een wiskundige oplossing van de spelsituatie te vinden.

Bij zwakke draws wordt het nog een stap moeilijker, daar je in dat geval postflop meer mogelijkheden hebt. Dit omdat je:

• je hand nog kunt wegleggen;
• eventueel goede kaarten kunt bluffen, om andere handen/draws te representeren.

Een eenvoudige wiskundige benadering is daarom niet mogelijk.

Wat echter bij semi-blufs vaak een probleem kan zijn, wanneer je jezelf niet commit met je bet, is dat je door een verdere raise van je draw wordt weggeraiset, en je de hand moet folden. Dit heeft altijd een vervelende nasmaak, omdat je zonder je semi-bluf een extra kaart had kunnen zien, maar je nu door de semi-bluf geen kaart meer te zien krijgt en je je gehele pot-equity opgeeft door te folden.

Daarom ook hierbij een wiskundige benadering, om eventueel wat inzicht in deze situaties te krijgen.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Preflop: Hero is Button with 5, 4
3 folds, Hero raises to $7, SB folds, BB calls.

Flop: ($15) K, T, 2
BB checks, Hero bets $12, BB calls.

Turn: ($39) A
BB checks, Hero ?

Zou je nu met je gutshot moeten semi-bluffen of behind moeten checken, en hopen dat je de straight treft? Bij een check-behind zou je dan ook alleen doorspelen wanneer je de straight treft.

Zo simpel is deze vraag echter niet te beantwoorden, want er is nog geen informatie over de stacksize. Je bent de hand namelijk heel deep begonnen:

Hero $409
BB $500

Je mogelijkheden zijn nu: een potsizebet op de turn, als semi-bluf, of een check-behind.

Om nu een wiskundige analyse te maken, ga je ervan uit dat je tegenstander je in 1/3 van de gevallen op de turn all-in zal check/raisen en in 2/3 van de gevallen op je semi-bluf zal folden. Op de check/raise zul je dan natuurlijk je hand moeten opgeven en moeten folden.

De EV van de bluf kun je nu vrij gemakkelijk berekenen:

EV(bluf) = 2/3 * $39 - 1/3 * $39= +$13

De semi-bluf is dus +EV. Maar hoe ziet het er nu uit met de check-behind? Tref je de straight, dan kun je ervan uitgaan dat je in x% van de gevallen je tegenstander kunt stacken. Je odds om de gutshot te treffen zijn zo'n 4:44 -> 1:11.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (x * $429 + (1-x) * $39)

Lukt het je nu om in 33% van de gevallen je tegenstander te stacken, dan ziet de EV van de check er als volgt uit.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (1/3 * $429 + (1-1/3) * $39)
EV(check) = 0 + 1/11 * 1/3 * $429 + 1/11 * 2/3 * $39
EV(check) = 0 + $13 + $2.36 = +$15.36

Semi-bluffen is dus +EV. Maar hoe ziet het eruit met een check-behind? Tref je de straight, dan zal het je lukken om je tegenstander in x% van de gevallen te stacken.

De kans om te treffen is 4/44
EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (x * 1100 + (1-x) * 100)

Gebeurt dit nu bijvoorbeeld in 33% van de gevallen (net als de 33% c/r-all-in bij de bet), dan ziet je EV er als volgt uit:

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (1/3 * 1100 + 2/3 * 100)
EV(check)= 0 + 1/11 * 1/3 * 1100 +1/11 * 2/3 * 100
= 0 + 33.33 + 6.06 = 39.39

Een check zou in deze situatie dus een grotere EV hebben dan een semi-bluf, hoewel deze natuurlijk eveneens +EV zou zijn. Met een beetje wiskundige handigheid kun je de formule zo omvormen, dat je heel gemakkelijk kunt zien in hoeveel procent van de gevallen je de tegenstander moet stacken opdat EV(check) > EV(semi-bluf) is.

13 < 1/11 *429x + 1/11 * 42.9 *(1-x)
13 < 39x + 39/11 - 39/(11x)
13 < 39x + 3.54 - 3.54x
9.45 < 35.46x
x> 9.45/35.46
x > 0.2667 -> 27%

Stack je de tegenstander dus in meer dan 27% van de gevallen nadat je de straight hebt getroffen, dan is een check bij de aangenomen kansen winstgevender dan een semi-bluf.

In dit voorbeeld werd de optie van de check-behind zelfs nog iets negativer behandeld dan hij werkelijk is, omdat het ook zo kan zijn dat je op de river een pair treft, de hand down wordt gecheckt en je de pot kunt winnen. Ook zijn mogelijke +EV blufspots op de river niet meegerekend.

Toch blijft er altijd nog de uitgangsvraag, wanneer je een check/raise van de tegenstander kunt riskeren en je jezelf uit de hand zou kunnen laten raisen. Hierbij moet je eerst eens alle mogelijke factoren optellen, die bij deze vraag een rol spelen:

• De kans dat de semi-bluf lukt
• De kans dat de tegenstander je van je hand check/raiset
• De waarde die je hand heeft wanneer je de draw niet treft
• De kans dat je draw aankomt
• Je implied odds wanneer je de hand maakt

Deze factoren zijn allemaal sterk met elkaar verbonden, waardoor een aparte analyse niet zinvol is. Je kunt echter wel algemene inzichten volgen:

Nu moet eerst worden uitgelegd hoe de value van je draw goed gedefinieerd is, en waardoor hij meer of minder value kan hebben.

• Je draw heeft veel outs.
• De effectieve stacks zijn groot.
• Je tegenstander is een callingstation.
• Je drawt tot de nuts.

Je ziet het: de laatste drie argumenten voor een verhoogde value van je draw zijn implied odds boosters, die alléén belangrijk zijn wanneer je ook een riverkaart te zien krijgt en verdere acties kunt zien.

Dat kan eventueel tegen je eigen intuïtie ingaan, daar je kunt denken dat je, wanneer je wat value hebt, voor value kunt betten en daarbij nog de pot wat kunt opbouwen, om bij een treffer op de river een hogere valuebet te maken.

Helemaal juist is dat echter niet. Je moet er namelijk aan denken dat de value van je hand bij de berekening van de EV(semi-bluf) geen rol speelt. Je winst komt alleen uit de fold dan de tegenstander. Bij een check-behind speelt de value van je draw een belangrijke rol, daar je met groeiende value ook meer winst op de river kunt krijgen en dus de EV(check) omhoog gaat.

Als afsluitend voorbeeld kun je deze beide boardsamenstellingen vergelijken:

Board 1: Q, 9, 9, 5
Board 2: Q, 9, 5, 2

Op beiden boards heb je J T

Op welk board zou je nu eerder behind checken en op welk eerder semi-bluffen?

Wanneer je de argumenten van hierboven overdraagt, heb je op het eerste board kleinere implied odds en heeft je draw dus een kleinere waarde. Je drawt namelijk alleen maar naar een straight, terwijl er flushdraws en full house-mogelijkheden zijn. Dat betekent voor jou dat je vaak je draw zult maken, maar dan duur de showdown zult verliezen, omdat je tegenstander toch een betere hand heeft.

Daarom gaat de EV van een check op dit board omlaag. Bij het tweede board heb je deze problemen niet. Je drawt naar de nuts en hebt daarom op de river bij een treffer, geen betere handen te vrezen. Het eerste board zou om deze redenen met je OESD geschikter zijn voor een semi-bluf, dan het tweede board.

Hoe zwakker je eigen draw is, des te eerder past deze speelwijze ook in het plan, daar je op een check/raise eenvoudig kunt folden en minder equity opgeeft door je fold.

Een ander concept, dat je bij zwakke en sterke draws eveneens in de gaten moet houden wanneer je een non-all-in-semi-bluf speelt, is "het idee van de druk van de extra bets".

Op basis van een grote reststack kun je bij een semi-bluf de tegenstander tot een zwakker spel aanzetten en eventueel meer foldequity krijgen, daar de tegenstander met marginale made hands vaak in een situatie met reverse implied odds zit.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6-handed)

Je speelt live, bevindt je nu op de turn en hebt de actie vooraf vergeten. Zo heb je ook je actuele hand vergeten, maar wilt die niet nakijken, omdat je zo eventueel een read zou kunnen geven. Wat je echter wel weet, is dat je geen hand hebt die je voor value kunt betten.

Turn: J T 7 6

De tegenstander checkt naar je toe en je overweegt nu om een potsizebet te maken. Daarvoor zijn er nu twee verschillende scenario’s:

• Je hebt geen reststack en zou daarom all-in gaan.
• Je reststack bedraagt na je turnbet nog viermaal de potsize.

In welk scenario krijg je meer druk, in het geval dat je tegenstander een hand als KJ, KT of zelfs zwakkere made hands heeft?

Je reststack maakt de beslissing voor je tegenstander wat moeilijker, hoewel hij dezelfde hand heeft. Op basis van de reststack laat je hem piekeren of hij nu de turnbet moet callen en hoe hij dan op verdere bets op de river zou moeten reageren. Voor zijn made hand kunnen op de river bijna alleen beroerde kaarten komen, wanneer hij niet toevallig trips of two pair treft.

In het eerste geval zou hij bij een all-in-push, odds van 1:2 op zijn call kunnen krijgen en heel waarschijnlijk gerust met een top-pair kunnen callen. In het het tweede geval heeft hij echter een probleem. Hij heeft nu niet alleen deze ene bet te callen, maar moet ook nog op verdere kosten tot de showdown rekenen, waardoor hij nu in een 'reverse implied odds'-situatie zit.

Daar hij je als heel goede speler inschat, die ook in staat is om met busted draws op de river in een optimale verhouding te bluffen, is hij op dit moment heel onzeker of hij nu nog eens moet callen of niet.

Je ziet dat je hand tweederangs is (je kunt hier QJ, 88, 85, etc. hebben), terwijl er veel zwakke en sterke draws mogelijk zijn. Het is echter belangrijk dat je herkent hoe sterk de beslissingen van je tegenstander verschillen, hoewel hij in beide situaties een TP heeft. Op basis van de reststack, moet de tegenstander nu bepalen of hij de turnbet callt en een verdere bet op de river eveneens betaalt, daar er in principe alleen slechte kaarten kunnen komen, die zijn hand niet echt kunnen verbeteren.

In het eerste geval krijgt hij odds van 1:2, en kan hij eigenlijk erg gemakkelijk callen, daar hij geen extra bets meer heeft te vrezen. Zijn reverse implied odds zien er daarom als volgt uit:

(potsizebet turn + bedrag x) : (potsizbet turn + bedrag x + potsize turn)

Check je de river, dan zouden ze bij een push 1:2 bedragen. Bet je de river echter all-in, dan bedragen ze 5:6. Dat is een enorme verschil en een erg onprettige situatie voor je tegenstanders.

Wat je hieruit kunt leren, is dat je draws op de turn beter nog eens kunt betten wanneer je een reststack tot je beschikking hebt, en denkt dat de hand van de tegenstander na een bedrag x op de turn, op grond van de druk van verdere bets zal folden. (Waarbij hij dit bedrag x na een check-behind op de turn en de river zal callen, omdat hij daar geen reverse implied odds meer hoeft te vrezen.)

Bluf-frequenties

Dit begrip werd al een paar keer in dit artikel genoemd, en moet daarom tot slot nog volledig worden uitgelegd.

Bij ingestrooide blufs met busted draws, waarbij je geen equity meer hebt, is het altijd belangrijk om de tegenstander in een situatie te brengen, waarin hij niet weet of hij je bet moet callen of niet, daar hij bang kan zijn dat hij te veel valuebets uitbetaalt. Bereik je hier een wiskundig te berekenen verhouding tussen blufbets en valuebets, dan kan je tegenstander je strategie niet exploiteren.

Om een dergelijke bluf-frequentie te berekenen, heb je slechts twee parameters nodig: 

• De potsize: p
• Je betsize: b

Uit deze beide parameters kom je dan als volgt op de bluf-frequentie B:

B = b/(b + p)

Neem je deze bluf-frequentie op in je handrange, dan weet je tegenstander niet of hij nu een riverbet moet callen of niet. Voor je tegenstander zou gelden: EV(call) = EV(fold).

Naast het doel, je tegenstander onzeker over diens beslissing te maken, wil je met je blufs natuurlijk ook nog een directe winst maken. Om deze te berekenen heb je alleen een inschatting nodig van de kans dat je tegenstander op je bluf foldt. Dit betekent dat je de verkregen foldequity moet inschatten.

EV(bluf) = f * p - (1-f) * b
0 > f * p - (1-f) * b
f > b/(b+p)

Foldt de tegenstander dus vaker dan b/(b + p), dan maak je winst door je bluf. Zou de tegenstander minder vaak folden, dan zul je door je valuebets een winst bereiken. Je tegenstander kan zich daarom nooit aan een perfecte bluf-frequentie aanpassen.

Wiskundig is het thema bluffen daarom vrij eenvoudig te omschrijven, maar de kunst ligt in de juiste toepassing ervan. Je zult namelijk nauwelijks in staat zijn om altijd het exacte overzicht over je eigen handrange te hebben, om dan te weten met hoeveel van je handen je nu moet bluffen om je valuebets perfect uit te balanceren. Hetzelfde geldt natuurlijk voor het inschatten van de verkregen foldequity, die tegenstander-afhankelijk moet worden ingeschat en eigenlijk nooit lineair toeneemt met de betsize.

Samenvatting

Om nu werkelijk concrete speelwijzes met draws te leren, moet je in ieder geval nog eens naar de extra artikelen in de goldsectie kijken. Dit artikel heeft je wel een beter begrip van het wiskundige aspect achter alles gegeven, en je basisbegrip van No-Limit Hold'em verstevigd.

Wiskundige berekeningen van de verwachtingswaarde zul je aan tafel tijdens het spelen nauwelijks kunnen uitvoeren, wat ook niet noodzakelijk is. Het is al voldoende om je met deze dingen bezig te houden wanneer je niet speelt, om zo je gevoel te verbeteren. Dit gevoel zal je dan bij het spelen helpen om de beste beslissingen te nemen.