Waarschijnlijkheden in Texas Hold'em

Introductie

Kennis van de achterliggende waarschijnlijkheden zal jouw pokerspel fundamenteel verbeteren, en wel in alle spelvarianten. Daarom leer jij in dit artikel belangijke en interessante waarschijnlijkheden. 

Waarschijnlijkheid in poker

Onder 'waarschijnlijkheid' verstaan we de graad van zekerheid van mogelijke gebeurtenissen. Volgens een klassieke definitie is 'kans' de verhouding van de gunstige gebeurtenissen tot het totaal aantal gebeurtenissen. De kans om 'kop' te krijgen bij een worp met een munt, is dus 1 uit 2 ofwel 50%.

Voor pokerspelers is daarbij de Stochastiek het meest interessante deel van de kansberekeningsleer. Deze houdt zich bezig met frequenties en kansen. Daarbij behoren onder andere de leer van combinaties, (kaartenkombinaties), de statistiek (samplesize) en verdere deelgebieden.

Waarschijnlijkheden (we noemen ze verder 'kansen') zijn altijd getallen tussen 0 en 1 en worden meestal in procenten uitgedrukt. Een alternatief is de schrijfwijze in 'odds', die aangeeft in hoeveel gevallen de ene gebeurtenis optreedt tegenover de andere gebeurtenis (1:2).

In de volgende passages krijg je een overzicht van veel nuttige kansen, die je bij je dagelijkse spel goed van dienst zullen zijn. Op pagina 2 kun je de berekeningen vinden die tot deze resultaten leiden.

De kans op een bepaalde starthand

De volgende chart geeft je duidelijkere informatie over de kans die je met een bepaalde starthand hebt. Deze waardes kunnen al veel helpen om de sterkte van je starthand in te schatten.

Kans op een hoger pair wanneer je zelf een pair hebt

Aan de hand van de twee volgende charts kun je aflezen hoe hoog de kans is dat je met je starthand achter ligt, hoewel je een pair hebt. De eerste tabel geeft de procentuele kans aan dat er precies één hoger pair bij een van je tegenstanders zit.

Kans op meerdere hogere pairs wanneer je zelf een pair hebt

Aan de hand van deze waardes is uit te rekenen hoe waarschijnlijk het is, dat je met je pair voor de flop zelfs achter ligt op meerdere tegenstanders.

Kans op een hogere A wanneer je een A hebt

De volgende chart gaat ervan uit dat je zelf een A hebt. Hoe hoog is de kans dat je tegenstander eveneens een A heeft, maar een betere kicker heeft? Dit kun je de tabel lezen.

Kans dat er géén overcard komt

Je hebt preflop een pair en wilt weten hoe groot de kans is dat er op de flop een overcard verschijnt en je hand daarmee kwetsbaar wordt? Dan is de volgende chart voor jou heel verhelderend.

Kans op een bepaalde hand (5 uit 52)

Aan de hand van de volgende waardes kun je aflezen hoe groot de kans is dat je een bepaalde hand krijgt. Terwijl een pair nog relatief vaak voor komt, zul je een straight of zelfs royal flush veel minder vaak tegenkomen. 5 uit 52 betekent dat je een hand maakt door 5 kaarten te gebruiken.

Kans op een bepaalde hand (7 uit 52)

Aan de hand van de volgende waardes kun je aflezen hoe groot de kans is dat je een bepaalde hand krijgt. Terwijl een pair nog relatief vaak voor komt, zul je een straight of zelfs royal flush veel minder vaak tegenkomen.

7 uit 52 betekent dat je weliswaar een hand van 5 kaarten maakt, maar dat je nu 7 kaarten hebt om uit te kiezen. In het geval van Texas Hold'em dus jouw twee hole cards en het boards. Dit is eigenlijk de juiste manier om kansen te berekenen in Hold'em. Echter is de benadering van 5 uit 52 absoluut goed genoeg voor de praktijk en veel makkelijker om te berekenen.

Verbetering van de starthand op de flop

Wanneer je preflop min of meer een veelbelovende hand hebt, kan de volgende chart je verder helpen. Hierin is aangegeven hoe groot de kansen zijn op een verbetering van de hand op de flop.

Verbetering van je hand op de turn

Na de flop volgt, zoals bekend, de turn en ook hier is er een chart die je aangeeft hoe waarschijnlijk een verbetering van je hand is.

Verbetering van je hand op de river

Wanneer je met de laatste kaart nog een verbetering van je hand nodig hebt, kun je in de volgende chart zien hoe de kansen daarvoor uitzien.

Verbetering van je hand, van flop tot river

Deze chart laat je zien wat je kansen zijn voor een verbetering van je hand na de flop tot aan de river. Turn en river worden hier dus eigenlijk samengevat. Dit kan bij het berekenen van je gehele postflopspel heel nuttig zijn.

Kans op een bepaald board op de flop

Deze chart kan preflop belangrijk voor je zijn. Je ziet hier hoe groot de kans is dat een bepaald board op de flop komt. Terwijl je bijvoorbeeld vaak een pair op het board zult zien, is een three of a kind op het board toch een uitzondering. Je kunt met behulp van deze waardes beter inschatten wat je hand preflop werkelijk waard is.

Berekening van de Kansen

1. Kans op een bepaalde starthand

a) Inleidende overwegingen

Aantal starthanden: 169
Waarvan:
- Pocketpairs: 13
- Suited hands: 78
- Offsuited hands: 78 (zonder pocketpairs) 

Aantal mogelijke combinaties:

b) Pocketpairs

Aantal: 13

Suit-combinaties per Hand:

(bijvoorbeeld: 22 22 22 22 22 22)

Combinaties (in totaal): 13 x 6 = 78

Kansen

Bepaalde hand:

- In odds: 220:1 

Willekeurige hand

- In odds: 16:1

c) Suited hands

Aantal: 78

Suit-combinaties per hand:

(bijvoorbeeld: AK; AK; AK; AK)

Combinaties (in totaal): 78 x 4 = 312

Kansen

Bepaalde hand:

- In odds: 331:1 

Willekeurige hand:

- In odds: 3,25:1

d) Offsuited hands

Aantal: 78 (zonder pocketpairs)

Suit-combinaties per hand:

(bijvoorbeeld: AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK; AK)

Combinaties (in totaal): 78 x 12 = 936

Kansen

Bepaalde hand:

- In odds: 110:1 

Willekeurige hand:

- In odds: 0,417:1

e) ranges

Voor bepaalde ranges verandert in principe niets. Je deelt gewoon het aantal van de betreffende mogelijke combinaties door het aantal van alle mogelijke combinaties.

Range: AKs KQs QJs JTs
Aantal combinaties: 16 (steeds 4/hand)
(bijvoorbeeld: AK; AK; AK; AK; KQ; KQ; KQ; KQ; QJ; QJ; QJ; QJ; JT; JT; JT; JT)

Kans:

In odds: 81,9:1

Range: AA, KK, QQ
Aantal combinaties: 18 (steeds 6/hand)

Kans:

In odds: 72,7:1

2. Kans op een hoger pair wanneer je zelf een pair hebt

a) Een hoger pocketpair bij een tegenstander



r = rang van je eigen pocketpair (2=2,... ,J=11 Q=12 K=13 A=14)

Er zijn (14 – r) x 4 kaarten van een hogere rang, je tegenstander kan nog 50 kaarten krijgen (2 heb je er al). Heeft hij de eerste kaart gekregen, dan blijven er bij 49 kaarten nog drie kaarten over die hem een hoger pocketpair kunnen geven.

b) Een hoger pocket pair bij meerdere tegenstanders

Ten eerste vermenigvuldig je de kans dat een speler een hoger pair heeft met het aantal nog overgebleven spelers (n). Dan verminder je dat met de kans dat meer dan één tegenstandereen hoger pair heeft ().

 


n = Aantal spelers die zich nog in de hand bevinden
kans dat meerdere tegenstanders nog een pocketpair hebben, waarbij


Kans dat precies n spelers een hoger pair hebben, waarbij .

3. Kans op meerdere hogere pairs wanneer je een pair hebt

Dit bereken je in principe zoals hierboven, maar nu geldt: waarbij

4. Kans op een hogere A wanneer je zelf een A hebt

a) Kans dat een bepaalde tegenstander AA heeft wanneer je al een A hebt


Er blijven bij 50 kaarten (2 hebben we, waarvan 1 aas) nog 3 azen in het deck over. Nadat de tegenstander een aas heeft gekregen, blijven bij 49 kaarten nog 2 azen over die hem het pair kunnen geven.

b) Kans dat een tegenstander AA heeft wanneer je al een A hebt

 
n = Aantal tegenstanders.

c) kans dat een individuele tegenstander een betere A heeft wanneer je al een A hebt

 
waarbij r de rang van je tweede kaart (kicker) voorstelt (2=2,... J=11 Q=12 K=13)

5. Kans dat er geen overcard komt wanneer je een pocketpair hebt

a) Inleidende overwegingen

 

Mogelijke flops bij een willekeurige starthand:
Mogelijke turns bij een willekeurige starthand:
Mogelijke rivers bij een willekeurige starthand:

b) Geen hogere kaart op de flop

 

, waarbij r de rang van het eigen pocketpair voorstelt (2=2,... J=11 Q=12 K=13)

c) Geen hogere kaart tot op de turn

waarbij r de rang van het eigen pocketpair voorstelt (2=2,... J=11 Q=12 K=13)

d) Geen hogere kaart tot op de river

waarbij r de rang van het eigen pocketpair voorstelt (2=2,... J=11 Q=12 K=13)

6. kans op een bepaalde hand

Royal Flush: Mogelijkheden:
Kans:

Straight Flush: Mogelijkheden:
Kans:

Four of a kind: Mogelijkheden:
Kans:

Full house: mogelijkheden:
Kans:

Flush: mogelijkheden:
Kans:

Straight: mogelijkheden:
Kans:

Trips: mogelijkheden:
Kans:

Two pair: mogelijkheden:
Kans:

Pair: mogelijkheden:
Kans:

High card: mogelijkheden:
Kans:

7. Verbetering van de starthand op de flop

x staat hier voor het aantal outs dat je hand preflop heeft, y beschrijft hoeveel van deze outs je wilt treffen. a beschrijft de overblijvende kaarten, dus de 50 min de outs. b beschrijft dan hoeveel kaarten je uit deze groep wilt treffen.

Wil je geen van deze kaarten uit deze groep treffen, dan vervalt de factor

staat daarbij voor de mogelijke flopcombinaties (19600).

pocketpair moet op de flop precies een three of a kind geven:

2 Suited cards moeten op de flop een flush treffen:

8. Verbetering van de hand op de turn

Eenvoudig te  berekenen volgens odds en outs.

Daardoor kom je op de turn op:

Let op: Wanneer je hier wilt berekenen dat de gebeurtenis niet plaats vindt, moet je het resultaat nog van 1 aftrekken.

9. Verbetering van de hand op de river

Eenvoudig te berekenen volgens odds en outs.

Dan kom je op de river op:

10. Verbetering van je hand van flop tot river

Ook hier blijft het bij het berekenen volgens de odds en outs:

Voor (afhankelijke) 'runner runner'-outs kom je op de formule:

waarbij outs hier voor de runner-runner outs staan. Bij een backdoor flush draw zou het dus 10 outs zijn, die je aan de flushdraw helpen en dan nog eens negen outs die de flush geven.

Let op: Niet toepasbaar op straight- of straight-flushdraws, omdat hier de kaarten niet van elkaar afhankelijk zijn.

Hiervoor geldt de formule:

waarbij x de outs voor de eerste kaart voorstelt en y het aantal aan outs voor de tweede kaart.

11. Kans op een bepaalde flop

Deze berekening rekent niet mee dat jij en je tegenstander al kaarten hebben gekregen, maar stelt de kans voor op een bepaalde flop, wanneer het deck nog uit 52 kaarten bestaat.

Variant 1: Een mogelijkheid tot berekening krijg je met behulp van de binomiaal-coëfficiënten.

Voor het aantal van alle mogelijke combinaties van 3 uit 52 kom je op

Dan stel je alle mogelijke combinaties voor een bepaalde flop op en deelt dat door het aantal van alle mogelijke flopcombinaties:

Voor een nauwkeurigere voorstelling volgen hier een paar voorbeelden:

a) Kans op een three of a kind op de flop



b) Kans voor drie straightkaarten op de flop (zonder degene die tot een straightflush behoren)



Omdat 48 van de mogelijke combinaties tegelijkertijd ook een straight flush vormen, maar je slechts een normale straight wilt berekenen, moet je deze hier nog aftrekken.

Variant 2:
Een andere mogelijkheid is het werken met de kansen. Hier hoef je alleen maar te kijken dat je de juiste kansen krijgt . De eerste kaart is over het algemeen niet belangrijk en wordt daarom ten behoeve van het overzicht geschreven als . Je kunt de breuk echter ook weglaten. Daarna bekijk je de gebeurtenissen die voorkomen of niet zouden moeten voorkomen en vermenigvuldig je het geheel met elkaar.

Voor een betere voorstelling volgen hier een paar voorbeelden:

c) Voor de kans van een flop van slechts één suit, kom je bijvoorbeeld op:

 
De  geeft daarbij slechts aan dat het niet uitmaakt welke kaart als eerste valt en kan dus ook weggelaten worden.  en omschrijven dan de kans dat de 2e en 3e kaart tot dezelfde suit behoren als de eerste.

d) Een paired flop zou op de volgende manier te berekenen zijn:



Ook hier kun je de eerste kaart verwaarlozen. Nadat die echter is gevallen, blijven er nog 3 van 51 kaarten over die je een pair geven. Daarna mag er niet nog een zelfde kaart vallen, dus moet een van de overige 48 andere kaarten vallen. Het geheel wordt met 3 vermenigvuldigd, omdat de non-pair kaart bij ieder van de drie kaarten kan vallen.

e) Geen suited kaarten op de flop



Hier vermenigvuldig je de kansen dat er geen tweede kaart van een suit komt met elkaar.

Aanhangsel

Omrekening van kansen in odds:

Tot nog toe heb je jezelf er nog niet mee beziggehouden hoe je de kansen in odds omrekent. Daarvoorgebruik je de volgende formule:

P stelt daarbij de kans voor. Het “:” staat in dit geval voor “op” of “to” en stelt geen “deel-teken” voor. In plaats van kun je hier ook  schrijven.

LINKS
Aanverwante artikelen: FL: De wiskunde van het poker: odds & outs SNG: Odds & outs, hoe speel je draws? NL SSS: odds & outs NL BSS: wiskunde van het poker: odds & outs Forum discussies: Stel onze professionals vragen en discussieer met andere spelers Video's: Bekijk video's van de PokerStrategy.com coaches