Uma reflexão matemática sobre draws

Introdução

Neste artigo abordar-se-á...

• ... draws fortes e draws fracos
  
• ... busted draws
  
• ... refinando o vosso sentido do jogo
  

Se já leram com atenção os artigos na secção de ouro, devem agora saber como jogar draws fortes e draws fracos, assim como agir quando tem um busted draw no river. Os semi-bluffs, bluff através de aposta, equilibrio e cartas grátis também não são conceitos novos.

Este artigo providenciar-vos-á uma reflexão abstracta sobre como jogar mãos para draw. Uma reflexão puramente matemática. Ajudar-vos-á a melhorar o vosso jogo NL e a refinar o vosso sentido geral do jogo.

Definição

Antes de se começar, necessitam de saber a definição exacta de um draw. Podem encontrá-la à direita.

De um ponto de vista matemático, sempre que o vosso pot equity for maior do que 0% vocês têm uma mãos para draw.

Não há pot equity máximo, o qual, uma vez atingido, não vos permite mais falar de um draw.

Podem intuitivamente pensar que não podem falar de um draw apartir do momento em que o pot equity de uma mão é maior do que a média, mas isto não está correcto.

Tenham em atenção os seguintes exemplos:

Jogador 1: 7, 7
Jogador 2: 7, 5
Jogador 3: A, K

Flop: 2, 3, 4

Distribuição da Equity:
Jogador 1 (7, 7): 27.461%
Jogador 2 (7, 5): 22.595%
Jogador 3 (A, K): 49.943%

Como podem ver, a equity do jogador 1 é menor do que 50% (33%), apesar de ele ganhar todas os showdowns no momento. A sua mão não satisfaz a definição de um draw, mas seria considerada apenas vendo os pot equities.

Agora vejam o jogador 3. Ele não ganharia o showdown neste momento, mesmo sendo a sua equity acima de 50%. E ele tem claramente um draw no flop.

Este exemplo pode parecer um pouco artificial, mas uma situação similar pode ocorrer num confronto em heads up:

Jogador 1 (K, Q):Equity: 72.322%
Jogador 2 (2, 2): Equity: 27.678%

Flop: J, T, 5

Ambos os exemplos mostram claramente que não há valor de pot equity, que, quando atingido, já não permite que uma mão seja definida como um draw.

A importância de draws no No Limit Hold'em

O facto de o NL Hold'em ser um drawing game é que torna o poker tão excitante. De facto, a maioria das formas de poker são drawing games, nas quais vocês estão num draw. A única forma popular que não gira à volta de drawing é o poker chinês.

A natureza do jogo como um drawing game dá origem ao conceito de pot equity, que empurra todo o jogo numa nova direcção. Pode ser matematicamente correcto pagar x com uma mão mais fraco, quando a quantidade de dead money no pote é y.

Podem (re)agir com base em eventos futuros que podem alterar o equilibrio de força de mãos entre os jogadores. Os conceitos de odds implícitas e odds implícitas reversas estão apenas baseados nisto.

Vocês podem claramente ver quais os draws que são a parte mais importante do jogo, pois podem mudar o equilbirio de força de mãos durante o decurso da mão, e permitem-vos ajustar o vosso modo de jogar de acordo com novas variáveis que aparecem. É aqui que a perícia do jogador se torna importante.

Perceber os conceitos que vão surgir de seguida, significa compreender o jogo do poker.

O redraw

A equity dá-vos a probabilidade (em %) de vencerem o showdown com um range de mãos x contra um range de mãos y. Os ranges x e y devem conter pelo menos uma mão.

O programa Equilator consegue simular uma situação e dar-vos um valor de equity concreto (e praticamente exacto) em segundos.

Vocês podem fazer call a uma aposta, mesmo estando em desvantagem, se estiverem a ter os pot odds correctos, devido à equity da vossa mão. Aprenderam estes conceitos quando eram membros Bronze e sabem agora calcular a equity de várias mãos com base nos outs.

Esta questão ainda não foi explorada em nenhum artigo e será agora examinada de um ponto de vista matemático.

Jogador 1: A, K
Jogador 2: Q, J
<!--

Mesa: K, 7, 2

Distribuição de Equity:
Jogador 1 (A, K): 61.4%
Jogador 2 (Q, J): 38.6%

<!--

O jogador 2 pode vencer a mão com um flush, dois pares, trio ou uma sequência.

Jogador 1: K, K
Jogador 2: Q, J
<!--

Mesa: K, 7, 2

Distribuição de Equity :
Jogador 1 (K, K): 73.5%
Jogador 2 (Q, J): 26.5%
<!--

Neste exemplo o jogador 1 tem um redraw para poker e um full house. Isto é visto através do grande aumento de equity comparada com o exemplo 3. Contudo, este aumento de equity não pode ser devido apenas ao novo redraw do jogador 1; o jogador 2 tem também agora um draw completamente diferente.

No exemplo 3, para além do seu flush draw, o jogador 2 poderia ganhar com runner runner two pair ou trio. Isto não é possível no exemplo 4. É por isso que o aumento de equity do jogador 1 não ter origem apenas nos seus novos redraws.

O programa Equilator permite-vos fazer o input the dead cards, que depois não entram nos calculos de equity. Estas cartas são basicamente removidas do baralho. Isto permite-vos comparar a equity em duas constelações, o que vos mostra o impacto que um redraw pode ter.

No exemplo 3, as seguintes cartas estão dead:
Q, Q, Q, J, J, J, K, A, A, A

No exemplo 4, as seguintes cartas estão dead:
Q, Q, Q, J, J, J, A, A, A, A

EXEMPLO 3:

Mesa: K, 7, 2

Jogador 1 (A, K): 57.98%
Jogador 2 (Q, J): 42.02%
<!--

EXEMPLO 4:

Board: K, 7, 2

Jogador 1 (K, K): 73.78%
Jogador 2 (Q, J): 26.22%
<!--

Há agora exactamente 35 cartas no baralho. O jogador 2 tem os mesmos outs em ambas as constelações; No entanto, o jogador 1 apenas pode fazer redraw para um full house/ poker no exemplo 4.

15.8 pontos (um aumento de 27.25%) passaram para o jogador 1.

Mas como é que este redraw ajuda o jogador 1?

Os seus outs no turn são setes, dois e o último rei, um total de 7. Se ele não atingir no turn, ele terá 10 outs para o atingir no river.

A probabilidade de o jogador 1 atingir o seu redraw é:

1 - ((28/35) * 24/34)) = 1 - (48/85) = 43.53%

A probabilidade de o jogador 2 atingir o seu flush é:

1 - ((27/35) * (26/34)) = 1- (351/595) = 41.01%

Isto significa que o jogador 2 vai completar o seu flush e ainda perderá para um full house/poker 17.85% das vezes.

Como podem ver, um redraw causa sempre uma alteração na equity. Quanto mais forte for o draw do oponente, mais facilmente vocês podem ver o impacto de um pequeno redraw. Esta alteração na equity, depende claro, na força do redraw. Um redraw no flop para um full house/poker é redraw mais forte que podem ter; o seu impacto na equity é naturalmente o maior de todos os redraws.

A block card

Há outra maneira de enfraquecerem o draw do oponente - a chamada blocking card. Sempre que seguram um dos outs do vosso oponente, é mais difícil para ele completar o seu draw.

Isto leva à questão:

Vejam um dos seguintes exemplo para perceberem de que maneira as block cards afectam a equity.

Mesa: K, 7, 2

Jogador 1 (7, 4): 45.25%
Jogador 2 (Q, J): 54.75%

Mesa: K, 7, 2

Jogador 1 (7, 4): 51.31%
Jogador 2 (Q, J): 48.69%

Podem ver a alteração na equity (6.06 pontos, ou uma alteração de 13.39%) devido ao facto de que o jogador 1 segura duas block cards.

E claro, quanto maior for a percentagem dos seus outs que vocês bloqueiam, melhor para vocês. Se, por exemplo, o vosso oponente tem um gutshot + uma overcard e vocês têm uma ou mesmo duas blocking cards, vão reparar numa alteração de equity maior do que se o oponente tivesse flush draw + overcards e vocês apenas têm um dos seus outs de flush draw.

Compromisso com um draw

Alguns jogadores nunca sabem se se devem comprometer com o seu draw. Alguns são demasiado descuidados, outros nem se dão conta do conceito. Esta secção focar-se-á em fazer raises e jogando com draws.

Quando se fala em comprometer-se, significa estar numa situação na qual o EV(Call) > EV(Fold) depois do push do vosso oponente devido a pot odds.

Um exemplo citado muitas vezes é o 4-bet pré-flop, no qual um jogador compromete-se com a mão e terá que fazer call se o oponente fizer push.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
MP $130

Pré-flop: Hero em UTG com A, K
Hero faz raise para $7, MP faz reraise para $25, 4 folds, Hero faz reraise para $70, MP faz reraise para $130 (All-In)

Se puserem o vosso oponente num range de mãos tight (JJ+, AK), o vosso AKs dá-vos equity de 42.14%.

Dado que o vosso oponente está claramente numa situação de raise-ou-fold, podem evitar o trabalho de ter que calcular a equity pós-flop, e assumir que o oponente nunca fará call à vossa 4-bet.

Também podem ver o EV de call all-in e uma 4-bet:

EV(All-In Call) = 0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60 = $85.5442 - $34.716 = $50.8282
EV(4-Bet) = f * $35 + (1-f) * (-$63)

Depois têm de adicionar um termo adicional para calcular o EV de ambas as acções juntas:

EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * (EV(Call after commitment) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ((0.4214 * $203 - (1-0.4214) * $60) - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = f * $35 + (1-f) * ($50.8282 - $63)

Apenas podem determinar quando é que a situação será +EV ou -EV quanto incluiem o fold equity que geram:

Sendo f = 0.3:

EV(4-Bet) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * (-$63) = $10.5 - $44.1 = -$33.6

EV(4-Bet + All-In Call) = 0.3 * $35 + (1-0.3) * ($50.8282 - $63)
EV(4-Bet + All-In Call) = $10.5 - $8.52 = $1.97974

A 4-bet por si só é -EV, enquanto que o call all-in depois de se comprometerem com uma 4-bet é +EV. No entanto, não podem simplesmente adicionar ambos os valores juntos para determinarem o EV de toda a cadeia de acção.

Vocês vêm que criaram uma situação +EV ($1.97974) ao fazerem 4-bet e comprometerem-se fazendo um push, assumindo que o oponente faz fold 30% das vezes e faz push 70% das vezes.

Mas este exemplo não mostra realmente o objectivo de se um committing raise. vejam o seguinte exemplo, um pouco complicado, que vos mostrará a verdadeira força de se um committing raise.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Hero $200
CO $129

Pré-flop: Hero em BB com T, 9
2 folds, CO faz raise para $7, 2 folds, Hero faz call.

Flop: ($15) K, Q, 2
Hero dá check, CO aposta $12, Hero faz raise para $32, CO faz reraise para $122 (All-In)

Vocês têm um flush draw + gutshot, o que vos confere um total de 12 outs por descontar. O vosso flush draw não é muito valioso, e o vosso gutshot é também baixo, por isso devem descontar 2 outs. Com 10 outs, a vossa equity é aproximadamente 40%. Por isso precisam de pot odds de 1:1.5 para fazerem um call +EV.

Têm de pagar $90 para ficarem no pote de $169. As vossas pot odds são de 1:1.87. Fazer call seria +EV. Podem então assumir que estariam comprometidos com a mão se fizessem check/raise e o oponente fizesse push all-in.

A questão agora é: Fazerem check/raise e comprometerem-se com o vosso draw seria bom?

Neste caso, bom significa criar uma cadeia de eventos +EV com o vosso check/raise no flop. Para determinarem isto, podem tomar uma abordagem semelhante como com este exemplo de 4-bet pré-flop.

Pressuposto:

No flop têm 40% de equity contra o pushing range do vosso oponente.
f = fold equity.
c = probabilidade do oponente fazer call ao vosso check/raise.

EV(All-In Call) = 0.4 * $169 - 0.6 * $90 = +$13.6
EV(oponente faz call c/r) = EV(Pós-flop)

O vosso EV(pós-flop) é > 0, dado que podem sempre fazer c/f no turn, e jogar uma linha de empate se o oponente fizer call. Contudo, dado que vocês são um bom jogador, podem assumir que conseguem bater geralmente esta linha dependendo no oponente e textura de mesa. O vosso EV(pós-flop) será então maior do que 0.

EV(c/r flop) = f * $27 + (1-f) * -$32

EV(cadeia de eventos) = f * $27 + (1-f) * (c * (EV(Pós-flop)-$32) + (1-c) * (EV(All-In Call) -$32))
EV(cadeia de eventos) > f * $27 + (1-f) * (c * (-$32) + (1-c) * ($13.6 -$32)

Pressupostos possíveis para c e f:

c = 0.6, f = 0.2

EV(cadeia de eventos) > 0.2 * $27 + (1-0.2) * (0.6 *(-$32) + (1-0.6) * ($13.6 -$32))
EV(cadeia de eventos) > $5.4 + 0.8 * ((-$19.2) - $7.36)
EV(cadeia de eventos) > $5.4 - $21.248 = -$15.848

Usar-se-á as seguintes variáveis para tornar o termo mais geral:

• Fold equity : f
• Tamanho do pote : p
• Tamanho de aposta : b
• Probabilidade do oponente fazer call ao vosso c/r : c
• EV(All-In Call) : y
• EV(Pós-flop) : x

O que vos dá o seguinte termo para calcularem o EV:

EV(cadeia de eventos) > f * p + (1-f) * (c * (x-b) + (1-c) * (y-b)

Se tiverem um valor negativo para o calculo de cima, podem usar o que se segue para determinarem EV a vossa linha pós-flop tem de ter (no caso de vos fazerem call) para a cadeia de acções ser +EV:

x > (f * ((1-c) * y - p - b) - (1-c) * y + b)/(c(1-f))

Neste exemplo, têm um valor para x de 'x > $33.016'. Isto significa que precisam, contra esta frequência de call e push, de criar este EV no turn para tornarem o vosso check/raise proveitoso.

Agora vejam este exemplo com uma frequência de call e push um pouco mais realista:

c = 0.25, f = 0.55

EV(cadeia de eventos) > 0.55 * $27 + (1-0.55) * (0.25 *(-$32) + (1-0.25) * ($13.6 -$32))
EV(cadeia de eventos) > $14.85 + 0.45 * ((-$8) -13.8)
EV(cadeia de eventos) > $14.85 - $9.81 = +$5.04

Como podem ver, com estes valores têm um check/raise +EV quando fazem check/fold no turn caso o oponente faça call (isto é claramente pouco realista, pois não desistiram no turn se completassem o vosso flush).

Se fazer ou não check/raise e comprometerem-se é realmente a melhor linha, é algo que ainda não foi respondido, pois precisariam primeiro de calcular o EV de todas as outras linhas possíveis antes de poderem determinar qual é a melhor.

Então, foi correcto fazer raise e comprometerem-se neste exemplo? Porque é que se deram ao trabalho de fazer tanto cálculo?

Já viram que um committing raise pode ser +EV dependendo nas frequências de call e push do oponente. No entando, este exemplo devia ter mostrado que um push directo seria provavelmente a melhor linha. Sem terem que calcular o EV de fazerem push, podem assumir que levariam muitas vezes o oponente a fazer push com um draw melhor, se fizessem check/raise. E, infelizmente, a vossa equity contra um draw melhor é pior do que contra uma mão feita.

Se fossem então fazer overbet no flop e push, podem assumir que o vosso oponente está predisposto a fazer fold com um melhor flush draw, o que é bom, considerando a vossa equity contra o seu calling range. Se, por outro lado, vocês tivessem um nut flush draw + gutshot, a vossa equity aumenta quando o vosso oponente está disposto a ir all-in com um draw, dado que vocês têm o seu draw dominado.

A força de se um committing raise reside em influenciarem o range de mãos do oponente, de modo a que a vossa equity seja maior do que seria se fossem fazer um push directo. Isto assume que vocês geram a mesma quantidade de fold equity com ambas as linhas, mas que acabarão jogando contra dois ranges de mãos diferentes.

Nota:

O problema da transparência foi ignorado de modo a que se focassem no aspecto matemático. Se a vossa maneira de jogar é demasiado óbvia, estarão a dar informação ao oponente::

• Push directo = draw fraco
• Committing raise = Nut draw + monster

Com o read certo, o vosso oponente poderia ajustar as suas frequência de call e push para criar situações em que vocês precisam de um EV(pós-flop) muito alto para um committing raise ser +EV (vejam a mão exemplo de T, 9).

Quão importante é equilibrarem o vosso range de mãos?

Quando se trata de jogar com draws, a seguinte questão aparece: Quão importante é equilibrarem o vosso range de mãos? É um problema se o vosso oponente souber que o vosso range de mãos é composto por 100% de draws, ou será que ele não pode dar grande uso a esta informação?

Os seguintes exemplos abordarão esta questão de um ponto de vista teórico:

Vocês estão heads up e em posição no turn. O vosso oponente faz uma aposta.

• Range de mãos A) O vosso range é composto apenas por draws e vocês têm 25% de equity contra o range de apostas do vosso oponente.
• Range de mãos B) O vosso range contêm algumas mãos nuts e alguns draws fracos e vocês têm 25% de equity contra o range de mãos do oponente.

Que range de mãos é melhor e qual é a diferença real? Vocês têm o mesmo Ev com ambos os ranges de mão no que toca a valor de showdown. Se vocês fossem então fazer push com todo o vosso range e o vosso oponente call com o seu range de apostas, vocês venceriam 25% dos showdowns em ambas as situações. À primeira vista não parece haver muita diferença.

Quando vocês pensam em como jogar contra o range de mãos do oponente, vocês notam que as vossas opções são limitadas com o range de mãos A. A melhor maneira de jogar a vossa mão seria fazer call à aposta do turn com base no odds e outs e depois fazerem bluff/raise no river. Se completarem, fazem aposta/raise para valor. Se falharem, ainda têm a frequência de bluff certa para manterem o oponente a fazer call aos vossos raises para valor quando atingirem. A maior desvantagem disto é de que têm de esperar pelo river para poderem confrontar o oponente com uma decisão difícil que o levará a cometer erros.

Se, tal como o range de mãos B, o vosso range é composto de algumas mãos nuts e alguns draws fracos, podem achar a linha certa no turn e fazerem raise com as vossas mãos para valor e semi-bluff com os vossos draws. Ainda têm a hipotese de fazerem call à aposta do turn e depois fazerem raise para valor no river com as vossas mãos nuts e equilibrarem o vosso range de mãos ao fazerem bluff com os vossos draws.

Terão mais opções e mais facilidade em jogarem a vossao mão e a equilibrar os vossos range de mãos em situações específicas em que têm um range misto, pois podem representar um conjunto de diferentes mãos.

A qualquer altura o vosso oponente pode situar-vos num tipo claro de mão, ele terá mais facilidade em jogar contra o vosso range e vocês terão mais dificuldade em equilibrar as vossas linhas. Vocês terão sempre um EV mais alto com um range misto do que com um polarizado.

Fazendo semi-bluff e frequência de bluff

Podem encontrar artigos dedicados aos semi-bluffs na secção Gold. Por enquanto abordár-se-á de forma puramente matemática os semi-bluffs.

Começa-se por se ver semi-bluffs all-in.

De maneira a determinarem o EV de um um semi-bluff, precisam dos seguintes dados:

• Fold equity : f
• Equity vs. calling range do oponente: E
• Tamanho do pote: p
• O tamanho da vossa aposta : b

EV(All-In Semibluff) = f * p + (1-f) * (E * (p+b) - (1-E) * b)

Com este termo determinam o vosso lucro depois de um fold e depois adicionam o vosso lucro/perda depois de um call. Obviamente que têm lucro sempre que o oponente faz fold, o que significa que um semi-bluff apenas pode ser -EV quando o oponente faz call. E acontece que esta parte do termo mostra que a vossa equity contra o range de mãos do vosso oponente desempenha um grande papel no que toca a ter lucro ou perda.

O termo mais importante é então:

EV(Opponent calls) = E * p - (1-E) * b

Vocês têm lucro sempre que este termo é maior do que zero. Reescrevam o termo com b e p à esquerda para verem o papel que a equity desempenha.

0 < E * p - (1-E) * b
(1-E) * b < E * p
b/p < E / (1-E)

Segue-se uma tabela com os rácios tamanho de aposta/tamanho do pote e quantidade minima de equity necessária para +EV:

Vêm imediatamente: Quanto maior for a vossa equity, maior o rácio b/p pode ser para o vosso semi-bluff ser proveitoso.

Se conseguirem estimar o calling range do vosso oponente de tal maneira precisa que vos permita também estimar a vossa equity contra o seu range, podem usar esta tabela para fazerem all-in semi-bluff raises perfeitos, pois conseguem criar situações, em que apenas ganham. E lembrem-se: Ambos os termos não têm um valor positivo. O que conta é o EV final depois de adicionarem ambos os termos.

O segundo caso, e mais complicado, é o non-all-in semi-bluff raise.

Uma reflexão matemática sobre a situação torna-se muito dificil, pois há muitos pressupostos possíveis que podem fazer sobre possíveis futuras acções. Se tiverem um nut draw forte, podem-se basear na reflexão sobre committing raises de modo a examinarem o vosso jogo de um ponto de vista matemático.

Isto não é tão fácil quando se trata de draws fracos, pois vocês ainda têm mais opções depois do flop. Voces podiam ...

• Ou fugirem da vossa mão, ou
• verem uma carta com que podem fazer bluff e representar uma diferente mão feita ou um draw diferente.

Infelizmente, é impossível de fazer uma análise matemática simples.

Um problema que pode surgir com non-committing semi-bluffs é de que o vosso oponente pode fazer raise e forçar-vos a fazer fold. Isto deixa um "sabor amargo" quando vocês podiam ter tido uma carta grátis se não tivessem feito semi-bluff, e acabam por ter de fazer fold e perder toda a vossa pot equity.

Seguem-se umas reflexões matemáticas que devem fazer luz sobre a situação.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Pré-flop: Hero em Button com 5, 4
3 folds, Hero faz raise para $7, SB faz fold, BB faz call.

Flop: ($15) K, T, 2
BB dá check, Hero aposta $12, BB faz call.

Turn: ($39) A
BB dá check, Hero ?

Será que vocês devem fazer um semi-bluff com o vosso gutshot ou devem fazer check behind e esperarem atingir? E apenas continuarão a jogar se atingirem uma sequência depois do check behind?

Esta não é uma questão facilmente solucionável sem qualquer informação sobre o tamanho das stacks. Vocês e o vosso oponente começaram a mão muito deep:

Hero $409
BB $500

As vossas duas opções no turn são um semi-bluff pot size ou um check behind.

Para a análise matemática irão assumir que o vosso oponente irá fazer check/raise 1/3 das vezes e fold nas outras 2/3. Vocês irão fazer fold a um check/raise.

O EV de um bluff é fácil de determinar:

EV(Bluff) = 2/3 * $39 - 1/3 * $39= +$13

Um semi-bluff seria +EV. Mas e quanto ao vosso EV depois de fazerem check behind? Se completarem a sequência podem assumir que conseguirão tirar lucro do vosso oponente x% das vezes. As odds de completarem um gutshot são 4:44 -> 1:11.

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (x * $429 + (1-x) * $39)

Se conseguirem tirar lucro do oponente 33% das vezes que atingem, o EV para o check behind será:

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 * (1/3 * $429 + (1-1/3) * $39)
EV(check) = 0 + 1/11 * 1/3 * $429 + 1/11 * 2/3 * $39
EV(check) = 0 + $13 + $2.36 = +$15.36

O Semi-bluff é então +EV. Mas e então um check behind? Se completarem uma sequência, irão tirar lucro do oponente x% das vezes.

As odds de completar são 4/44
EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (x * 1100 + (1-x) * 100)

Se conseguirem tirar lucro do oponente 33% das vezes (tal como 33% de aposta c/r all-in), o vosso EV será:

EV(check) = 10/11 * 0 + 1/11 (1/3 * 1100 + 2/3 * 100)
EV(check)= 0 + 1/11 * 1/3 * 1100 +1/11 * 2/3 * 100
= 0 + 33.33 + 6.06 = 39.39

Fazer check tem um EV maior do que fazer semi-bluff, embora um semi-bluff também seja +EV. Podem trabalhar a matemática um pouco para verem exactamente qual a frequência com que devem tirar lucro ao oponente para o EV(check) ser maior do que o EV(semi-bluff).

13 < 1/11 *429x + 1/11 * 42.9 *(1-x)
13 < 39x + 39/11 - 39/(11x)
13 < 39x + 3.54 - 3.54x
9.45 < 35.46x
x> 9.45/35.46
x > 0.2667 -> 27%

Segundo os pressupostos, fazer check behind é mais proveitoso do que fazer semi-bluff quando conseguem tirar lucro ao oponente 27% da vezes em que completam.

Este exemplo assume um olhar relativamente negativo sobre o check behind, pois foi negligenciada a possibilidade de atingirem um par no river e ganharem o pote (depois de fazerem check down). Também não se mencionou quaisquer situações de bluff +EV para o river.

Mas ainda falta responder à questão: Qual é a melhor altura para se arriscarem a enfrentar um check/raise e a terem de fazer fold? Começar-se-á por apresentar os factores que desempenham um papel na resposta desta questão:

• A probabilidade de levarem o oponente a fazer fold.
• A probabilidade de fazerem check/raise à vossa mão.
• A probabilidade de completarem o vosso draw.
• As vossas odds implícitas caso completem.

Estes factores estão todos estreitamente relacionados e não podem ser analizados individualmente. No entanto, vocês podem chegar a algumas conclusões gerais:

Nesta altura devem definir o valor de um draw e quais os factores que podem influenciar o valor de um draw.

• O vosso draw tem muitos outs.
• Os stacks efectivos são grandes.
• O vosso oponente é um calling station.
• Estão num draw para o nuts.

Os três últimos pontos são um assunto de odds implícitas, que são claramente apenas importantes se vocês virem a carta do river e tiverem mais acção.

Isto pode contradizer a vossa intuição; podem pensar que devem apostar para valor e tentar aumentar o pote, pois a vossa mão tem algum valor. Podem então fazer uma aposta para valor ainda maior se melhorarem no river.

Mas isto não está inteiramente correcto. Lembrem-se, quando calculam o EV(semi-bluff), o valor da vossa mão não é importante. O vosso lucro vem quando o oponente faz fold. O valor do vosso draw não interessa quando fazem check behind, pois podem ter mais ganhos no river se o vosso valor aumentar, o que significa que o EV(check) geral aumenta.

Comparem as texturas de mesa neste exemplo de mão:

Mesa 1: Q, 9, 9, 5
Mesa 2: Q, 9, 5, 2

Vocês têm J, T em ambas as mesas.

Em qual mesa devem fazer check behind, e em qual pensariam em fazer semi-bluff?

Lembrem-se do argumentos anteriores. Vocês têm odds implícitas menores na mesa 1, o que significa que o vosso draw tem menos valor. Vocês estão apenas num draw para sequência, enquanto que oponentes podem estar em draws para flush ou full house. Isto significa que vocês podem completar e mesmo assim perder num showdown caro.

Isto diminui o EV de fazer check nesta mesa. Vocês não têm este problema na mesa. Aqui estão apenas num draw para o nuts e não têm que se preocupar em perder para uma melhor mão se completarem. É por isso que a mesa 1 é mais adequada para um semi-bluff com um OESD do que a mesa 2.

Quanto mais fraco for o vosso draw, mais adequada é a situação para o semi-bluff. Se vos fizerem check/raise, podem simplesmente fazer fold (e perder menos equity ao fazerem o fold).

Outro conceito que devem ter em mente quando seguram um draw e não estão a fazer semi-bluff all-in é a "pressão de apostas futuras".

Podem usar um semi-bluff para aplicarem pressão em oponentes fracos e possivelmente gerar ainda mais fold equity, pois o vosso oponente estará geralmente sentado numa mão marginal e enfrenta odds implícitas reversas quando vocês têm um grande stack com que podem disparar.

1$/2$ No-Limit Hold'em (6 handed)

Vocês estão a jogar ao vivo. Estão no turn e esqueceram o que aconteceu na ronda de apostas anterior. Esqueceram-se até da vossa própria mão, mas não querem olhar para ela de novo, pois isto pode dar aos oponentes um read. O que vocês sabem que é que não podem apostar por valor.

Turn: J, T, 7, 6

O vosso oponente faz-vos check e vocês consideram fazer uma aposta para o tamanho do pote. Dêm um olhar a dois diferentes cenários:

• Vocês não têm chips no vosso stack e foram all-in.
• Vocês ainda têm 4 vezes o tamanho do pote no vosso stack, depois de terem feito uma aposta para tamanho do pote no turn.

Em qual cenário põem um oponente, com uma mão como KJ, KT (ou mesmo uma mão feita mais fraca), sob mais pressão?

O vosso oponente vai ter mais dificuldade em tomar a decisão correcta quando vocês têm um grande número de chips ainda no vosso stack, apesar de ele ter a mesma mão na mesma mesa. Ele tem que pensar duas vezes sobre fazer call esta aposta do turn e como irá reagir a outra aposta no river. Se ele não tiver dois pares/trio, qualquer carta no river vai ser perigosa.

No primeiro cenário, ele teria odds de 1:2 depois do vosso push all-in e provavelmente conseguiria fazer call com o seu top pair. Mas já no segundo cenário ele tem um problema. Ele não só tem de fazer call a esta aposta, como se arrisca a ter de pagar ainda mais para checar ao showdown - e durante isto tudo numa situação de odds implícitas reversas.

Ele sabe que vocês são um bom jogador e que fazem o número correcto de bluffs no river com busted draws, razão pela qual ele não sabe se deve fazer call nesta situação.

Como podem ver, a vossa mão é secundária (podiam ter QJ, 88, 85 etc.) quando muitos draws fracos e fortes são possíveis. A diferença principal é a decisão que o vosso oponente tem que tomar, mesmo que ele tenha o mesmo TP em ambos os cenários. Os stacks restantes levam o oponente a pensar duas vezes antes de fazer call a uma aposta no turn e a pagar de novo no river, pois ele sabe que a carta do river vai ser perigosa e que não consegue melhorar muito a sua mão.

No primeiro cenário ele tem odds de 1:2 e pode fazer um call confortável, pois não tem que se preocupar com mais custos. As suas odds implícitas reversas são:

(Aposta para tamanho do pote no turn + quantidade x) : (Aposta para tamanho do pote no turn + quantidade x + Tamanho do pote no turn)

Se vocês fizerem check no river, elas serão as mesmas 1:2 tal como depois de fazer push. Contudo, se vocês forem all-in no river, elas serão de 5:6. Esta é uma diferença enorme e é uma situação muito desconfortável para o vosso oponente.

Aquilo que devem tirar disto tudo é que devem tender a apostar de novo no turn quando têm um draw e um stack restante e acham que o oponente vai fazer fold a uma aposta de valor x no turn devido à pressão de apostas futuras, quando de outras maneira ele teria feito call a uma aposta de valor x no river depois de um check behind no turn, dado que ele não teria que se preocupar com odds implícitas reversas.

Frequência de Bluff

Já se falou acerca das frequências de bluff algumas vezes durante este artigo, razão pela qual conclui-se agora dizendo exactamente o que são as frequências de bluff.

A razão pela qual fazem um bluff ocasional com um busted draw, apesar de não terem equity é para porem o oponente em situações em que não sabe se deve fazer call à vossa aposta, porque tem medo de vos dar lucro demasiadas vezes. Se conseguirem encontrar o rácio correcto entre apostas para valor e bluff através de aposta, o vosso adversário não conseguirá tirar partido da vossa estratégia.

Necessitam de dois parametros para calcularem tal frequência de bluff:

• O tamanho do pote : p
• O tamanho da vossa aposta: b

A frequência de bluff é então definida por estes parametros:

B = b / (b + p)

O vosso oponente nunca saberá se devia ter feito call à vossa aposta no river, quando vocês jogarem com esta frequência de bluffs. Para o vosso oponente, EV(Call) = EV(Fold).

Além de quererem perturbar o oponente, também querem ter lucro quando fazem bluff. Para calcularem este lucro, precisam de estimar a probabilidade do oponente fazer fold ao vosso bluff. Por outras palavras, fold equity.

EV(Bluff) = f * p - (1-f) * b
0 > f * p - (1-f) * b
f > b/(b+p)

Se o vosso oponente faz fold mais vezes do que b / (b + p), vocês tiram proveito do vosso bluff. Se ele faz fold com menos frequência, vocês terão lucro com as vossas apostas para valor. O vosso oponente não se conseguirá adaptar à frequência de bluff perfeita.

Os bluffs são fáceis de descrever de um ponto de vista matemático, a arte reside em por a teoria na prática. Vocês simplesmente não conseguirão saber quantas vezes terão de fazer bluff para equilibrarem perfeitamente as vossas apostas para valor. Também não conseguirão estimar a vossa fold equity com 100% de exatidão, pois isto varia de um oponente para o outro e não aumentar automaticamente o tamanho da aposta.

Conclusão

Leiam os outros artigos na secção Gold de modo a desenvolverem uma compreensão concreta de como se joga com draws. Este artigo apenas foi focado no aspecto matemático e destinou-se a melhor a vossa compreensão do No Limit Hold'em.

Vocês praticamente não têm tempo de calcular o EV de todas as vossas opções enquanto jogam; felizmente isto não é necessário. O importante é arranjarem tempo para estudarem a teoria fora das mesas, pois isto ajudar-vos-á a tomar as decisões correctas nas mesas.