Bluffs sob uma perspectiva teórica do jogo

Introdução

Neste artigo

• A matemática envolvida
  
• Estratégias ideais
  
• O equilíbrio de Nash
  

Os bluffs são uma parte essencial do "jogar poker" e todos os jogadores deverão ter esta arma no seu arsenal. Os jogadores estarão a cometer um erro tremendo não só se nunca fizerem bluff, mas também se o fizerem demasiadas vezes.
Como encontras o balanceamento ideal? Como é que podes dizer que é a altura ideal para fazer bluff, como é que sabes quando e com que frequência deverás fazer bluff a determinados jogadores de maneira a que estejas a jogar lucrativamente contra eles?

Este artigo trata a matemática envolvida num bluff usando uma abordagem teórica de jogo para ilustrar possíveis estratégias.

Será que devo fazer bluff?

Tu estás no river. A board é .

Estás confiante de que o teu oponente tem uma mão feita. Pelas suas acções, tu achas que ele provavelmente tem AA,kk, ou AK. Tu tens .

Um draw falhado. O pote tem $100 e cada um de vocês tem $100. Tu és o primeiro a falar. Se dás check, irás perder. (Ou o teu oponente dá check behind e ganha-te no showdown, ou então ele aposta, e aí tu não terás dinheiro suficiente para o afastar fazendo bluff.) 

Vamos supor que o teu oponente te leu perfeitamente e que antes do river ele te colocou num draw. Para efeitos de simplicidade, vamos supor também que ele pensa que a probabilidade de falhares a cor (ou um gutshot) é de 80%, e ele atribui 20% à possibilidade de poderes ter na mão 87 e no river teres feito sequência.

Se tivesses uma sequência com 87, tu ias querer fazer uma aposta por valor, mas infelizmente desta vez tu não acertaste. Tu tens duas opções: desistes e dás check, ou tentas comprar o pote com um bluff. Vamos supor que quando fazes bluff, vais all in com os teus $100, que é uma aposta do tamanho do pote.
Com que frequência deves fazer bluff?

Como podemos responder a essa questão? 

Para isto, vamos precisar de alguma matemática. Mas não te preocupes, não será muito complicado. Apenas um pouco de álgebra dos nossos primeiros anos de escola e algum senso comum. Oops, quase esquecia - e teoria de jogo, mas isso encaixa-se na parte do "senso comum". 

Traduzindo a questão para números

Vamos precisar de algumas notações. P representará o tamanho do pote, enquanto que B é o tamanho da tua aposta. Vamos representar a probabilidade (vista pelo teu oponente) de teres a mão vencedora com um q. Portanto, no nosso exemplo P = $100, B = $100 and q = 0,20. Se não gostares dos 20% que aqui foram assumidos, podes mudar esse valor, o cálculo continuará o mesmo, apenas o resultado será diferente. Da mesma forma, podes também mudar o tamanho do pote ou o tamanho da tua aposta. Assim, as nossas notações irão generalizar o problema.

Teremos de arranjar uma forma de representar a nossa frequência de fazer bluff e a frequência com que o nosso oponente irá dar call à nossa aposta. O primeiro será x e o segundo será y. Assim sendo, x representa a nossa probabilidade de fazer bluff. Por exemplo, se tivermos uma probabilidade de fazer bluff de 30% (X = 0.3), então a nossa frequência de fazer bluff será a longo prazo de apenas de 30%. Da mesma forma, y representa a probabilidade de o nosso oponente dar call à nossa aposta.

Então a nossa questão inicial é "qual será o valor ideal para x ? " 

A expectativa de ganho e estratégias puras

Se fizeres bluff, o teu oponente ou dá call à tua aposta ( y parte do tempo), ou dá fold (1 – y parte do tempo). Quando ele der call, tu perdes a tua aposta, logo o teu retorno financeiro é negativo: – B. Quando ele dá fold, tu ganhas o pote actual: P. Logo, quando tu fazes bluff, a tua expectativa de ganho é-nos dada por estes dois casos, e é:
   (1 – y)P – yB.

Se deres check, ou seja se desistires, tu não ganhas nada, portanto neste caso a tua expectativa de ganho é zero. Aqui, a tua expectativa de ganho El [l vem de "losing" (perda)] com a tua mão perdedora é:

El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB]

(Conjuga os casos de cima com as respectivas probabilidades).

Claro que a primeira parte dá zero, e podemos omitir isso, ficando com

El = x[(1 – y)P – yB].

Se tu sabes que  o teu oponente nunca dá call (y = 0) - por exemplo, ele está sem ligação à internet - a tua expectativa de ganho será simplesmente:

El, y=0 = xP

Para maximizar a tua expectativa de ganho tu tens de escolher x = 1, o que quer dizer que deves fazer bluff sempre.

Por outro lado, se tu sabes que o teu oponente dá sempre call (y = 1), a tua expectativa de ganho será:

El, y=1 = – xB

Para maximizar isto, agora terás de escolher x = 0, o que quer dizer que nunca deves fazer bluff. (Lembra-te do mantra "nunca faças bluff a um calling station!")

Em linguagem de teoria de jogo, acabámos de calcular a tua melhor resposta conhecendo a estratégia do teu oponente nos 2 casos especiais. Mas estes exemplos foram os extremos, referidos como estratégias puras. Na vida real o teu oponente será mais imprevisível. Ele dará call à tua aposta com alguma probabilidade (não será 0 nem será 1). Em teoria de jogo, dizemos que ele tem uma estratégia mista.

Estratégias ideais

É interessante que o teu oponente possa escolher uma frequência de call y, quando a tua expectativa de ganho é a mesma independentemente da estratégia que escolhas (isto é, independentemente do x). Vamos chamar esta frequência de call de yopt, no sentido que é o valor óptimo de y).

É muito fácil obter o valor de yopt. Se tiveres interessado nos detalhes, irás encontrá-los no apêndice. Aqui está o resultado final: 

yopt = P/(P + B).

No nosso exemplo, P = B = $100, logo yopt = 1/2. Se o teu oponente der call exactamente metade das vezes, tu poderás superá-lo. Quando o teu oponente joga de acordo com a estratégia y = yopt, a tua expectativa de ganho será:

El,y=yopt = x[PB/(P + B) – PB/(P + B)] = 0.

(Só tens de colocar o resultado que obtivemos para yopt na equação geral que obtivemos para El). Como x não aparece na equação (aliás nada aparece, só o zero) seja qual for a estratégia (seja qual for o x) que escolhas, não poderás aumentar ou diminuir a tua expectativa de ganho.

É interessante verificar que o yopt depende apenas do tamanho do pote e do tamanho da aposta. É independente de q, por exemplo. Isto mostra que yopt não é o ideal de y num sentido universal. Se por exemplo q = 1, por exemplo o teu oponente tem a certeza de que tens a mão vencedora, ele não te irá dar call metade das vezes - aliás, ele nunca te dará call! Então, ele escolheria a estratégia correspondente a y = 0. Veremos mais tarde em que sentido o yopt é ideal.

Pela mesma lógica, tu podes escolher x de forma a que, seja qual for a estratégia (seja qual for o y) que o teu oponente escolha, a sua expectativa de ganho será sempre a mesma. Tal como antes, iremos identificar este valor especial de x com xopt. No entanto, é um pouco mais complicado conseguir o valor de xopt. Passando os detalhes à frente, chegamos à expressão:

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)].

(Se estás interessado nos cálculos que levaram a esta expressão, primeiro terás de obter {a expectativa de ganho do ponto de vista do teu oponente no apêndice}. Com isso, {ver 'obtendo o valor de xopt no apêndice} é fácil.) Se fazes assim tantas vezes bluff com a tua mão perdedora, {ver 'a expectativa de ganho do teu oponente' no apêndice} será:

Eop = (1 – q)P – qPB/(P + B).

Como não há nenhum y nesta equação, ele simplesmente não pode alterar a sua expectativa de ganho.

No nosso exemplo P = B = $100 e q = 0.2, logo xopt = 1/8. Se tiveres um 1/8 de probabilidade de fazeres bluff, o teu oponente não te poderá superar, mesmo que ele seja muito observador e conhecedor da tua estratégia (isto é, mesmo que ele saiba que x = xopt). Se fizeres bluff com maior ou menor frequência, o teu observador oponente poderá explorar a tua estratégia procurando a melhor resposta correspondente. Portanto, se estás a enfrentar um oponente muito bom, o xopt irá fornecer-te a estratégia ideal.

Com que frequência um jogador desses - muito bom - irá dar call à tua aposta? Isso é-nos dado pelo yopt. Se tu estás a jogar de acordo com a estratégia onde x = xopt, ele poderá de facto escolher qualquer estratégia que goste. Nós já vimos que ele não pode aumentar (nem diminuir) a sua expectativa de ganho. Mas se ele não usar a estratégia onde y = yopt - agora independentemente da estratégia que utilizes, o teu valor esperado continuará a ser o mesmo. Mas atenção, se tu escolheres outra estratégia que não seja xopt, o teu oponente poderá explorar o teu jogo ajustando a sua própria estratégia à tua.

Então agora já podemos ver em que sentido xopt e yopt são ideais: eles providenciam estratégias que não são exploráveis. Em teoria de jogo tal par de estratégias (xopt, yopt) denominam-se "equilíbrio de Nash" . Este é um conceito muito importante em teoria de jogo e economia (sim, é o mesmo Nash que viste como herói do filme "A beautiful mind" (mente brilhante), vencedor de um prémio Nobel de economia!). Agora ficamos a saber que também desempenha um papel muito importante na teoria do poker.

Expectativa de ganho em alguns casos especiais

Vamos finalizar com duas tabelas que te mostram ganhos esperados em alguns casos especiais. A primeira tabela mostra o teu ganho para o teu draw falhado (mão perdedora), calculado para o exemplo dado:

A expectativa de ganho do teu oponente será então o contrário da tua mais os $100 que já estão no pote. (Ele fica com a tua perda na ronda de apostas, mais o pote actual. Claro que quando ganhas o pote, a tua perda será -$100 e ele recebe zero. Ou dito de outra forma: quando a tua expectativa de ganho é zero, a tua stack mantém-se intacta - a mesma que tinhas quando o river chegou. Assim sendo, o pote não pode ser teu, mas alguém o terá de levar - portanto esse pote será do teu oponente. Em linguagem de teoria de jogo, podemos dizer que o nosso jogo de exemplo - porque já estamos no river - não é um jogo de soma nula (um jogo onde ninguém ganha).

Enquanto que tu sabes quando estás a fazer bluff e quando estás a apostar por valor, o teu oponente não o sabe. Por isso para ele (e provavelmente para ti também), a tabela que se segue será mais educativa. Esta tabela dá-te a expectativa de ganho para a mistura das tuas mãos vencedoras com as tuas mãos perdedoras. Em situações semelhantes, estarás à frente 20% das vezes e estarás atrás 80% das vezes. Desta forma, em média, a tua expectativa de ganho será qEw + (1 - q)El. (e outra vez, o contrário disto mais os $100 no pote actual dita a expectativa de ganho do teu oponente, Eop).

Conclusão

Quando estás a enfrentar um bom oponente, a tua melhor escolha é usar a estratégia demonstrada pelo equilíbrio de Nash: xopt. Neste caso, o teu oponente irá jogar pela estratégia fornecida por yopt. Se ele não fizer isso, ele estará a cometer um erro (afinal ele não é assim tão bom jogador), e tu poderás explorar este erro, encontrando a melhor resposta à sua estratégia. Se ele tem tendência a dar-te call muitas vezes, então deves reduzir a tua frequência de bluffs. Se ele raramente dá call, então deves fazer bluff mais vezes. Se conseguires saber a frequência actual com que ele costuma fazer bluff, então podes calcular o quanto menos (ou mais) deverás fazer bluff, maximizando a tua expectativa de ganho, tal como como fizemos no exemplo acima.

Apêndice

Se y = yopt, a tua expectativa de ganho será o mesmo para todos os valores de x. Vejamos primeiro x = 0. Aqui não podes ganhar nada, e tal é reflectido na fórmula:

El, x=0 = 0.

Agora x = 1. Então a nossa equação para El é:

El, x=1 = (1 – yopt)P – yoptB.

Como El, x=0 terá de ser o mesmo de El, x=1, temos:

(1 – yopt)P – yoptB = 0,

que nos dá:

(1 – yopt)P = yoptB,
P – yoptP = yoptB,
P = yopt(P + B),

e finalmente:

yopt = P/(P + B).

{a expectativa de ganho do ponto de vista do teu oponente}, {a expectativa de ganho do teu oponente}:

Agora vamos olhar para a mão através dos olhos do teu oponente. Primeiro anotamos a sua expectativa de ganho, Eop. Como, ao contrário de ti, ele não sabe se tu estás à frente ou se estás atrás, a sua expectativa de ganho vai depender também do q, logo é um pouco mais complicado:

Eop = – qyB + q(1 – y)0 + (1 – q)[xy(P + B) + x(1 – y)0 + (1 – x)P].

O primeiro termo corresponde ao caso em que quando tens a mão vencedora, tu apostas e ele dá call, perdendo a sua aposta. O segundo termo representa o caso em que tens a mão vencedora e ele dá fold, não ganhando (nem perdendo) nada. O resto corresponde aos casos em que ele está à frente. A primeira parte em parêntesis rectos corresponde ao caso em que tu fazes bluff e ele dá call, ganhando o pote actual mais a tua aposta. A parte do meio corresponde ao caso em que tu fazes bluff e ele dá fold, não ganhando nem perdendo nada, enquanto que o último termo representa o caso em que tu desistes e ele ganha o pote (seja por ter feito check depois de ti ou seja por ter apostado, forçando-te a largar a mão).

Omitindo os termos que dão zero obtemos:

Eop = (1 – q)[xy(P + B) + (1 – x)P] – qyB.

Se o teu oponente soubesse que tu nunca fazes bluff (x = 0), qual seria a sua melhor resposta? Ele nunca te daria call, claro. Isto pode ser visto através da equação acima, se substituirmos o x por 0.

Eop x=0 = (1 – q)P– qyB.

Para maximizar isto, temos de escolher y = 0 (nunca dá call).

Por outro lado, se o teu oponente soubesse que tu fazes sempre bluff (x = 1), a melhor resposta já não é tão óbvia. Para x = 1 obtemos:

Eop x=1 = (1 – q)y(P + B) – qyB = y[(1 – q)(P + B) – qB].

se

(1 – q)(P + B) – qB > 0,

y = 1 (dá sempre call) irá maximizar a expectativa de ganho do teu oponente.

se

(1 – q)(P + B) – qB < 0,

deveremos optar antes por y = 0 (nunca dá call).

(1 – q)(P + B) – qB < 0

significa

(1 – q)(P + B) < qB,
P + B – qP – qB < qB,
P + B < q(P + 2B),

dando finalmente:

q > (P + B)/(P + 2B).

No nosso exemplo, quando P = B = $100, se q > 2/3, o teu oponente nunca vai dar call à tua aposta (mesmo que ele saiba que tu apostas sempre; e por isso num caso destes deves fazer sempre bluff), enquanto que se q < 2/3, ele irá dar sempre call (se ele sabe que fazes sempre bluff). Repara que este valor especial de q também depende do tamanho do pote e do tamanho da aposta.

se x = xopt, a expectativa de ganho do teu oponente será a mesma para todos os valores de y. Tal como antes, comecemos por y = 0. A nossa equação para Eop é:

Eop y=0 = (1 – q)(1 – xopt)P.

Agora y = 1. Desta vez obtemos:

Eop y=1 = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB.

Como Eop y=0 tem de ser o mesmo do que Eop y=1, obtemos

(1 – q)(1 – xopt)P = (1 – q)[ xopt (P + B) + (1 – xopt)P] – qB,

que nos dá:

qB = (1 – q) xopt (P + B)

[(1 – q)(1 – xopt)P aparece em ambos os lados, logo anula-se um], obtendo-se finalmente

xopt = qB/[(1 – q)(P + B)].

1 Quando trabalhamos com probabilidades, geralmente escrevemos 0.2 em vez de 20%, 0.5 em vez de 50%, etc. Neste contexto, a probabilidade de um evento impossível ocorrer é de 0 (0%), enquanto que uma "coisa certa" tem uma probabilidade de 1 (100%). A probabilidade de tudo o resto tem obrigatoriamente de estar entre 0 e 1.