Conceitos Matemáticos para No-Limit Holdem (3) - Fold Equity & EV Avançado

Introdução

Neste artigo

• Como um possível fold influencia o EV
  
• Um olhar mais atento a movimentos standard pós-flop
  
• 4-bet por bluff lucrativo
  

Na segunda parte desta série tanto as odds implícitas como implícitas reversas foram apresentadas e calculadas. Viste o primeiro cálculo complexo do EV para um call pré-flop para o valor definido. Neste artigo, vamos concentrar-nos nos movimentos dos teus oponentes, os seus leques de mãos associados e possíveis movimentos de defesa.

Valor esperado tendo em conta possíveis folds

Já que os bluffs e semi-bluffs desempenham um papel importante neste artigo, é importante introduzir a possibilidade de um fold de um oponente para o cálculo do EV. Esta fórmula:

EV = Equity * (Ganho + Investimento) - Investimento

não será suficiente. Não há nenhuma variável para um fold do oponente nesta fórmula. Precisamos, portanto, de uma fórmula mais geral para o cálculo do EV:

EV = Pfold * Pote + (1 - Pfold) * (Equity * (Ganho + Investimento) - Investimento)

A probabilidade de ganhares o pote é Pfold; se não ganhas o pote de imediato usamos o EV. Pfold é a probabilidade do teu oponente fazer fold. Partindo da hipótese Equity = 0 a fórmula pode ser simplificada para:

EV=Pfold * Pote - (1 - Pfold) * Investimento

A perda neste caso é a tua continuation bet. Este é o caso para todos os bluffs puros. Dada a definição de um bluff puro, só podes ganhar se o teu oponente desistir.

Movimentos standard pós-flop: A Continuation Bet

Após raises pré-flop, as continuation bets são provavelmente as jogadas standard mais usadas. Ao examinar o seu EV, estamos a pensar em particular na quantidade de vezes que um jogador acerta uma mão de uma dada categoria. Ao mesmo tempo, precisamos fazer suposições sobre os leques de mão pré-flop e o comportamento pós-flop dadas as diferentes categorias de mãos. Vejamos um exemplo concreto:

SH, 100BB Stack size

Pre-flop: You are MP with XY
You raise 4BB, 1 fold, BU calls 4BB, 2 folds

Flop: (9.5BB) K, 5, 3 (2 Players)
You bet 7BB

O flop é bastante desconectado e, portanto, uma board clássica para uma continuation bet. Sem ter em conta o facto de que acertas com frequência aqui uma mão, vamos agora analisar a seguinte situação.

Perdes sempre se o BU ficar na mão. A aposta ainda é lucrativa? E, se sim, quão lucrativa? Que hipóteses precisam de ser consideradas?

A determinação de leques de mãos não é o tema deste artigo, mas não podes evitar ter que dar ao BU um certo leque de mãos. Este exemplo permite a apresentação de outro conceito: a frequência com que um oponente faz alguma coisa. Pode ser possível que o BU dê cold call com qualquer par de mão e apenas com 30% dos suited connectors. É óbvio que alguns jogadores não darão cold call com qualquer suited connector, enquanto que outros darão cold call a todos eles.

Sem mais informação, pode haver ainda resultados mais realistas se em vez de 0% ou 100% dos cold calls usares um valor intermédio para uma determinada categoria de mão. Podes mudar este parâmetro mais tarde, para ver como o EV total varia.

Para não complicar, vamos supor que existem três possíveis diferentes categorias de mãos para o BU, com a probabilidade relativa de que as jogue (p(Categoria)):

• Pares de mão: 22-99: p(Par de mão)
• Suited connectors 45s-KQs: p(SC)
• Broadways mais fortes AQ, AJ, KQo: p(BW)

Quantas combinações existem para cada um destes leques de mão? Tal como calculado no artigo anterior, cada par de mão oferece seis combinações, assim há 42 combinações para os pares de mão.

Cada mão suited pode ser construída de quatro maneiras diferentes, assim há 33 combinações para suited connectors. Há 16 combinações para mãos não emparelhadas, e assim 41 combinações para as broadways.

O BU tem (combinações de mãos) com (probabilidade):

As probabilidades de dar cold-call estão entre 0 e 1. Esta fórmula pode ser ilustrada olhando para um jogador que só dá cold-calls a pares de mão. Para ele p(SC)=p(BW)=0 e p(Par de Mão) = 1. Assim, a probabilidade de ter um par de mão é:

42 * p(Par de Mão) / [33 * p(SC) + 41  * p(BW) + 42 * p(Par de Mão)] = 42 * 1 / (33 * 0 + 41  * 0 + 42 * 1) = 1

O que fará o BU quando é confrontado com uma aposta? Isso depende da sua própria mão, o que levanta a questão: Com que frequência irá o BU acertar um tipo de mão com o seu leque de mãos?

Os leques de mãos dados abrem a possibilidade do BU não estar a segurar nada, ou seja, menos do que Ás carta alta, ou ter um gutshot com 67s ou mesmo o próprio Ás carta alta .

Como outra opção, ele podia ter um par/top pair com 45s, 56s e 22, 44, 66-99. Além disso, há top pair com KQs e ambos os sets com 33 e 55. Como só estamos interessados no EV da aposta, independentemente da nossa própria equity, apenas precisamos de determinar a probabilidade de um fold para as suas diferentes mãos.

Todas as percas podem ser resumidas como pf(Miss), gutshots como pf(Gutshot), Ás carta alta como pf(AceHigh), pares como pf(Pair), top pair como pf(TopPair) e sets como pf(Set). Os dois últimos serão quase sempre 0 e só são mencionados para manter a equação completa.

Juntámos todas as variáveis necessárias. Como já foi dito, olhamos para a continuation bet como um bluff puro, ou seja, o EV da aposta sem a hipótese de ganhar o pote de qualquer outra maneira. O EV pode ser calculado através de uma diferenciação de casos baseada em categorias de mãos pré-flop, para podermos continuar a variar as probabilidades do cold-call.

Explicação: O primeiro termo das três subdivisões representa a probabilidade para uma das três categorias de mãos do leque de mãos pré-flop do BU. A parte que é multiplicada pelo primeiro termo dá-nos o EV para um bluff puro depois do flop, contra o leque de mãos do oponente. As probabilidades respectivas, ou seja, p(Set) ainda têm de ser calculadas. Como já foi dito, pf(Set) é a probabilidade do fold para esta categoria de mãos.

O BU recebe um set se tiver 33 ou 55. A probabilidade de ter 33 ou 55 num leque de mãos 22-99 é inicialmente de 2/8. No entanto, precisamos ter em conta que um dos 3s e dos 5s já está na board, por isso só há na realidade três, em vez de seis, possíveis combinações para ter 33 ou 55.

No total existem (6*6 + 2*3 =) 42 combinações possíveis, seis das quais são um set: 6/42 = 0,14. Em todos os outros casos, o BU tem um par < top pair. p(Par1) é portanto 36/42 = 0,86.

p(Par2) é a probabilidade de um par/top pair com um dos suited connectors (acerta com 45s e 56s). Fora dos quatro iniciais para 45s, 56s e KQs há três que sobram, ou seja um total de 3*3+6*4 = 33 combinações são possíveis. Como tal, p(Par2) = 6/33 = 0,18.

Para o gutshot, são possíveis quatro das 33 combinações, assim p(Gutshot) = 0,12. Para top pair há 3/33 = 0,09. Nos outros 20/33 casos, o BU não acertou nada portanto p(Perda) = 20/33 = 0,61.

Para as broadways há nove combinações possíveis para KQ (KQs é calculado com SCs) dado o Rei bloqueado. Junta a isto 2 * 16 combinações de AQ e AJ e terás um total de 41 combinações. Destas, a probabilidade de Ás carta alta é dada por p(AceHigh) = 32/41 = 0,78 e isto para p(TopPairBW) = 9/41 = 0,22. Agora todas as probabilidades são conhecidas. Antes de começarmos a discutir os resultados, para o bem da claridade, todas as probabilidades são novamente ilustradas na tabela.

Agora precisamos de fazer suposições sobre o comportamento do BU no que diz respeito ao fold. O seu leque de mãos no flop foi separado em categorias: set, top pair, par, gutshot e perda. É óbvio que o EV da aposta vai ser muito influenciado pela probabilidade de um fold.

Como um número tão elevado de variáveis não pode ser ilustrado num gráfico, vamos olhar para cinco conjuntos diferentes de valores, juntamente com o seu respectivo EV. Podes claro supor valores diferentes e usá-los para os teus cálculos.

Esperávamos esta tendência: quanto mais loose o nosso oponente, mais baixo o EV. No entanto, é bastante notável o EV relativamente elevado da continuation bet contra o jogador médio. Ele não faz demasiados folds e fazer-lhe bluff, não tendo em conta a nossa equity, é lucrativo. O limite situa-se entre o jogador médio e o jogador loose. Contra ele, deves pensar seriamente sobre a rentabilidade de uma continuation bet ou até mesmo deixar de fora os bluffs puros.

Movimentos standard pós-flop: Bluff contra continuation bets no flop

Agora vamos olhar para o cenário inverso. Numa situação semelhante, pensa onde podes fazer cold-call pré-flop, se podes fazer bluff, e quão lucrativo poderia ser.

O método para calcular o resultado é semelhante ao exemplo anterior. Para começar, definimos as probabilidades para certas mãos pós-flop tendo em conta o leque de mãos e a board. Tendo em conta os diferentes resultados possíveis, podemos aproximar o EV. Contrariamente ao exemplo anterior, não vamos olhar para cada passo com o mesmo nível de detalhe.

6max, 100BB Stacks

Pre-flop: You are BU
2 folds, CO raises 4BB, You call 4BB, 2 folds

Pot: 9.5BB

Flop A: K, 9, 7

Flop B: A, T, 9

Flop C: 2, 7, 9

CO bets 7BB, You raise 23BB

Não deve haver qualquer história especial entre ti e o CO. O leque de mãos pré-flop do CO supostamente é 22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o, 76o, ou seja aproximadamente 31% das mãos. Podemos supor que o CO não te conhece e que vai fazer continuation bets 100% das vezes. Esta situação é muito mais fácil de descrever e requer menos suposições do que um possível cenário check-call, check-fold e check-raise. As seguintes categorias de mão entram em jogo:

• Top Pair+
• Par Médio
• Par < Par Médio (P < MP)
• OESD, FD (sDraw)
• Gutshot (wDraw)
• Tudo o resto (Ar)

Neste cenário, até Ás carta alta não deve valer mais do que qualquer outra mão com outs top-pair contra o oponente desconhecido do CO. Para simplificar, a fórmula a ser usada é:

pf * Pote – (1 – pf ) * Raise = pf * (Pote + Raise) – Raise

O Raise neste caso é de 23BBs, o Pote é 9,5 + 7BBs.

Tal como no último exemplo:

EV =
P(TopPair+) * ( pf(TopPair) * ( Pote + Raise ) - Raise)+
P(Par Médio) * ( pf(Par Médio) * ( Pote + Raise ) - Raise)+
P(P < MP) * ( pf(P < MP) * ( Pote + Raise ) - Raise)+
P(sDraw) * ( pf(sDraw) * ( Pote + Raise ) - Raise)+
P(wDraw) * ( pf(wDraw) * ( Pote + Raise ) - Raise)+
P(Ar) * ( pf(Ar) * ( Pote + Raise ) - Raise)

As probabilidades necessárias para diferentes flops:

No Flop B os straight draws baixos, assim como os flush draws baixos, são tratados como draws fracos. Top pair + flush draw é contado como top pair. Mesmo aqui,  destacam-se as enormes diferenças entre flops. No Flop A existem todas as categorias de mãos feitas, mas não há muitos draws e uma pouco Ar. No Flop B, o agressor normalmente vai acertar algo, enquanto que o seu leque de mãos de cartas baixas no flop está altamente polarizado.

Para uma melhor compreensão, a tabela também lista as probabilidades combinadas de mãos tipo ar  (ar, draw fraco e par/par médio) para cada flop.

De forma a calcular o EV, é preciso aproximar as probabilidades do fold das possíveis mãos. Os casos de pf(TopPair) ≠ 0 vêm de situações onde os jogadores tight podiam fazer fold a pares de mão fracos (especialmente no Flop B e C com Ases fracos ou um 9 com um kicker fraco).

Este resultado, ou um semelhante, era de se esperar. Alguns jogadores podem ter considerado o Flop C como sendo o melhor flop para fazer bluff. O facto disto não ser o caso aqui é em grande parte causado pelo facto do flop ser 9 carta alta. Num flop 7 carta alta, um bluff seria muito mais lucrativo porque um top pair é muito menos provável.

Resumindo, torna-se claro que a continuation bet por si só não é uma estratégia suficiente pós-flop. Um jogador necessita retirar-se de vez em quando (tal como o jogador médio) e raramente fazer fold aos seus draws ou mãos feitas, para evitar que seja fácil fazer-lhe bluff.

Contra um oponente 'Médio', apesar do EV positivo em dois dos três casos, nem sempre é aconselhável investir 23BBs para lutar por um lucro incerto de 0,7BBs (quando se tem em conta as variáveis estimadas).

Como uma outra possibilidade contra o jogador tight, o float deve ser tomado em consideração no Flop C. Devido ao aumento do número de aproximações do comportamento do teu oponente, o cálculo do float só funciona contra um jogador que escolhe linhas muito simples. Ainda supomos que a nossa equity é 0%. Se o jogador aposta novamente, deves desistir. Se o jogador faz check, deves apostar 15BBs num pote de 23,5BBs e se receber call, irá perder.

Assim o EV é:

EV=p(Check/Fold)*(Pot+BetFlop) - p(Bet)*(YourCallFlop) - p(Check/Call(Raise))*(YourCallFlop+YourBetTurn)

Agora precisamos de determinar as probabilidades com que o CO irá jogar as seguintes linhas no turn:

• Check-fold
• Check-call(raise)
• Aposta

Estas são as nossas aproximações. Agora a parte um pouco mais complicada: a determinação das probabilidades de acordo com as diferentes categorias de mãos para as diferentes cartas do turn.

O EV do float resulta para +5,28BBs. É menos do que o bluff-raise na mesma situação, no entanto é também gerlmente menos arriscado. O EV é menor, especialmente porque a suposição lhe dá menos hipóteses de desistir das mãos ~top pair no flop. Se costumas esperar que um 9 faça Check/Fold e não Check/Call, o EV de um float irá melhorar.

O 4-Bet por Bluff

O 4-bet por bluff short-handed é um tema especialmente importante. Devido à agressividade antes do flop, é importante olhar para 4-bets como, entre outras coisas, um bluff. Os leques de mãos dos teus oponentes vão depender muito da combinação da tua própria imagem e do teu histórico. É por isso que, se desejas englobar os resultados aqui representados no teu jogo, precisas de ter cuidado especial com os leques de mãos do teu oponente para uma 3-bet ou um all-in contra ti.

É óbvio que os resultados só irão igualar os teus se os leques de mãos forem relativamente realistas. A situação é a seguinte:

SH, 100BB Stacks

Pre-flop: You are BU with ??
3 folds, You raise 4BB, fold, BB raises 14BB, You raise 31BB

Vamos olhar para o teu EV dada a suposição de que irás sempre perder se o teu oponente não desistir (o que neste caso é uma suposição realista):

Darias call a 69BBs num pote de 131,5BBs, por isso é necessário um mínimo de 34,41% de equity. Em comparação, vê esta tabela com equities de diferentes leques de mãos. A equity da mão é dada na respectiva linha.

Como podes ver, nesta situação não podes fazer 4-bet/fold a pares de mão baixos contra qualquer leque de mãos, mas podes sempre fazê-lo com A2s e 67s, e com AQ apenas contra o leque de mãos tight. Nota que se fazes 4-bet também tens de fazer fold contra o leque de mãos tight. Contra o leque de mãos loose podes conseguir recuperar o teu dinheiro com AQ. Isto é algo que deves saber de forma a não cometeres um erro caso o teu bluff falhe. Obviamente, ainda temos de determinar o EV do bluff. Este pode ser calculado simplesmente utilizando a fórmula que está no início deste artigo:

EV=Pfold * Pote - (1 - Pfold) * Investimento

O pote são as 18,5BBs que podemos ganhar, Perda são as -27BBs que serão perdidas se a BB não desistir. Assim, a probabilidade do fold necessário é cerca de 59%. Para leques de mãos possíveis, isto significa o seguinte.

Se o teu oponente se lança all-in pré-flop com QQ+, AK (34 combinações), ele tem de fazer 3-bet pelo menos a 83 combinações para fazer uma 4-bet lucrativo. Isto seria o caso para um leque de mãos de 77+, T9s, AQ+ ou um leque de mãos como 44+, AK ou TT+, AJ+, KQ+. Se ele for all-in pré-flop com um leque de mãos AQ+, TT+ (62 combinações) no entanto, ele deve fazer 3-bet pelo menos a 151 combinações para ser lucrativo em termos de bluff. Isso seria para 22+, A2s-A5s, A9s+, AQo+, KQ+ ou 22+, AQ+, A2s+, T9s ou leques de mãos semelhantes.

O Card Removal Effect

Além da equity da tua mão contra o leque de mãos all-in do teu oponente, há um outro factor que afecta o lucro de uma 4-bet: a probabilidade do seu sucesso.

Até agora, ignorámos um aspecto neste contexto: a probabilidade de um push não é independente da tua própria mão (aqui vamos supor que é 100% provável que o oponente faça fold ou push). Considerando isto, o leque de mãos do teu oponente consiste basicamente em duas partes, o "leque de mãos all-in" e o "leque de mãos fold". O facto de teres ou não determinadas cartas vai mudar e muito as probabilidades entre os dois leques de mãos. Este efeito é conhecido como card removal effect. Cartas específicas são removidas do leque de mãos do oponente porque fazem parte da tua própria mão.

Se estás em dúvida numa potencial situação 4-bet por bluff, joga sempre as mãos que irão minimizar a probabilidade do teu oponente ir all-in. Se queres quantificar esta diferença em vez de apenas dizer "Eu tenho um Ás e isso é bom porque o oponente irá all-in com muitas mãos AX", também vais ter que ter em conta que as probabilidades para vários leques de mãos 3-bet mudaram devido à tua própria mão.

Na prática, fazes isto ao contar todas as combinações existentes. Vamos apresentar algumas tabelas que representam as probabilidades de vários leques de mãos 3-bet e leques de mãos all-in. Vamos olhar para dois leques de mãos all-in diferentes, um tight com QQ+, AK e um loose com TT+,AQ+.

Vamos olhar também para dois leques de mãos 3-bet (o que pode parecer extremamente diferente na prática). Um que realça fortemente pares com 22+, AQ+ e outro com poucos conectores: 77+, AQ+, 67s-89s. A tabela seguinte mostra o número de combinações diferentes para os leques de mãos específicos, com e sem o card removal effect. Isto é feito para: AQ, AJ, KQ, A2.

Para resumir melhor, vamos referir-nos aos respectivos leques de mãos como 1) & 2) e a) & b). Como já podes ver, o número de combinações possíveis pode mudar muito. Por exemplo, ter AQ diminuirá a probabilidade do leque de mãos all-in tight em (34-24) / 34 = 0,294, ou seja, quase por 30%.

A partir desta tabela, também podemos obter outras tabelas para várias probabilidades. Estas vão mostrar a probabilidade do oponente ir all-in para cada uma das 4 combinações possíveis no leque de mãos 3-bet e no leque de mãos all-in. Para sermos capazes de estabelecer uma comparação, vamos olhar para cada um dos cenários com e sem o card removal effect. As percentagens são calculadas dividindo o número de combinações do leque de mãos all-in pelo número de combinações do leque de mãos 3-bet. Se um oponente faz 3-bet com a) e vai all-in com 1), a probabilidade para isto é de 34/110 = 0,309, ou seja, cerca de 31%, se não levares em consideração o card removal effect.

Vamos supor que tens AJ, terias a tabela a seguir:

Se tens A2, a tabela ficaria assim:

Se tens KQ, seria assim:

Na maioria dos casos, a probabilidade de um all-in vai diminuir cerca de 10% devido às blockers. Deve ficar claro que, na teoria dos jogos, as mãos a que não podes dar call lucrativo serão mais adequadas para uma 4-bet por bluff. Fora de posição, este é frequentemente o caso para todas as mãos que mencionámos aqui. Em posição, deves claro considerar dar call com mãos mais fortes.

Tem sempre em mente a equity da tua própria mão durante o jogo. Como já foi ilustrado, não é possível jogar 4-bet/fold com mãos que tenham um bom desempenho contra vários leques de mãos. Em vez disso, terás muitas vezes que dar call a um all-in, o que não irá melhorar visivelmente o teu EV (o teu call é apenas ligeiramente +EV). No entanto, isto aumentaria muito a variância. Se deves fazer 4-bet/call com AQ ou 4-bet/fold com A2 numa situação específica tem de ser decidido durante o jogo. Os prós e os contras de cada um não fazem parte da nossa análise aqui.

Conclusão

Esta é a terceira parte. Na próxima parte, vamos olhar para a 4-bet por bluff de uma diferente perspectiva. Também vamos analisar várias situações pós-flop e olhar para a análise G-Buck.

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