Математика покера - Дельта-оддсы

Введение

В данной статье

• В чём заключается концепция "дельта-оддсов"
  
• Математическое обоснование дельта-оддсов
  
• Как эту концепцию можно использовать в игре

Данная статья заняла 4-е место в конкурсе статей в апреле 2011-го года

С концепцией предполагаемых оддсов вы можете познакомиться в следующих статьях:

Математика покера - Предполагаемые пот-оддсы

Оддсы и ауты, прямые и обратные предполагаемые оддсы

Что делать, если вы пытались защитить свою готовую руку против рук-дро, но следующая карта всё же закрыла возможное дро соперника? В данной статье вы познакомитесь с математическим обоснованием процесса принятия решения при данном сценарии.

Вопрос звучит следующим образом:

"Ставку какого размера я ещё могу коллировать в том случае, когда возможное дро моего соперника закрылось после того, как я защитил свою руку?"

И, соответственно, наоборот:

"Сколько денег я должен дополнительно выиграть у своего оппонента в том случае, когда моё дро закрылось после того, как оппонент защитил свою комбинацию?"

В данной статье мы дадим ответ на первый вопрос. Как можно легко догадаться, ответ на второй вопрос можно логически вывести из первого.

Как вам известно, на дровяных бордах вы должны защищать свою комбинацию при помощи ставок, чтобы заставить соперника платить за возможность собрать своё дро. Если возможное дро всё же закрывается, то линия и размер ставки, с помощью которых он будет извлекать вэлью из вашей руки, которая теперь стала недостаточно сильна для выигрыша шоудауна, остаётся на усмотрение соперника.

$0,5/1 No-Limit Hold’em (6 handed)

Stacks & Stats
UTG
Hero ($126.09)
CO
BU
SB
BB ($217.6)

Preflop: Hero is MP with
1 fold, Hero raises to $3,5, 3 folds, BB calls $2,5

Flop: ($7,5) (2 Players)
BB checks, Hero bets $5,5, BB calls

Вы делаете ставку со своей готовой рукой, чтобы максимизировать вэлью и защититься от возможных дро. Чтобы раздача соответствовала теме статьи, предположим, что у оппонента здесь флеш-дро. (Естественно, вы всегда должны задавать сопернику диапазон, а не отдельную комбинацию. Упрощение было сделано для того, чтобы рассмотреть актуальный для данной статьи сценарий).

BB:

С флеш-дро у оппонента 9 аутов (для простоты мы не будем проводить процесс дисконтирования). Вероятность, что на тёрне закроется флеш, составляет приблизительно 19%. Это соответствует оддсам 4.2:1. Пот-оддсы, которые вы своей ставкой предлагаете оппоненту, равны (7.5+5.5):5.5 ≈ 2.4:1.

Дельта-оддсы, долг и убытки

Вам известно, что вы должны продолжать розыгрыш, когда предлагаемые пот-оддсы больше ваших оддсов. Также вы теоретически должны покидать раздачу, когда ваши оддсы больше пот-оддсов. В таком случае любое дро при определённом размере ставки должно сбрасываться уже на флопе. Однако концепция предполагаемых оддсов часто оправдывает продолжение игры. Чтобы узнать, в каких сценариях можно оставаться в розыгрыше, несмотря на плохие пот-оддсы, мы сначала вычислим разницу между пот-оддсами и оддсами:

  Итак:

Дельта-оддсы (Δ-оддсы) - это разница между оддсами и пот-оддсами. В данном случае она составляет 4.2 - 2.4 = 1.8.

Сумма, которую оппонент должен возместить (его долг), в том случае, когда его дро закрывается, легко рассчитывается по следующей формуле:

Долг = Δ-оддсы * Ставка
[Δ-оддсы = Оддсы - Пот-оддсы]

В данном примере эта сумма равна 1.8 * $5.5 = $9.9. Таким образом, при выходе ещё одной бубны ваш соперник должен дополнительно выиграть у вас $9.9, чтобы разыграть своё дро с положительным математическим ожиданием.

ВНИМАНИЕ:

Этот долг нельзя путать с убытками, которые несёт соперник, делая колл. В конечном счёте, нельзя сказать, что он проигрывает $9.9, коллируя ставку в $5.5. Его убытки рассчитываются по следующей формуле:

EV = (Банк+Ставка) * Эквити соперника - Ставка * Ваше эквити

Обратите внимание, что здесь следует использовать эквити от флопа к тёрну (т.е. эквити игрока, собирающего дро при условии, что выйдет только одна карта; эквити тёрна), а не от флопа к риверу. Как вы знаете, его можно вычислить на основе оддсов:

Оддсы: 4.2:1
Эквити тёрна: [1 / (4.2+1)] * 100
Эквити тёрна: ~19%

Итак, убытки оппонента составляют:

EV = ($7.5+$5.5) * 0.19 – $5.5 * 0.81 ≈ –$2

Промежуточный результат:

Коллируя ставку в $5.5 на флопе, ваш оппонент (по-прежнему при условии, что у него здесь флеш-дро) попал в ситуацию, в которой его долг перед самим собой равен $9.9, и понёс убытки в размере около $2. Взаимосвязь между убытками и долгом можно представить следующим образом:

Долг * Эквити = Убытки
$9.9 * 0.19 ≈ $1.9 (небольшая погрешность при округлении)

Turn: ($18,50) (2 Players)
BB checks, Hero bets $14, BB calls

У вашего соперника по-прежнему 9 аутов, и в ~19.5% случаев он будет получать свой флеш на ривере. Оддсы незначительно улучшились до 4.1:1. Своей ставкой в $14 вы предлагаете ему пот-оддсы (18.5+14):14 ≈ 2.3:1. Заново проведём расчёты:

Δ-оддсы = 4.1 – 2.3 = 1.8
Долг = Δ-оддсы * Ставка
= 1.8 * $14 ≈ $25.2
Убытки = (Банк+Ставка) * Эквити оппонента - Ставка* Ваше эквити
= ($18.5+$14) * 0.195 – $14 * 0.805 ≈ –$4.9

Делая колл и на тёрне, оппонент увеличивает размер своего долга. $25.2 должны быть прибавлены к $9.9, оставшимся от предыдущего раунда ставок.

$25.2 + $9.9 = $35.1

Общие убытки на флопе и тёрне составили:

–$2 –$4.9 = –$6.9

Линия безубыточности

River: ($46,5) (2 Players)

Hero:
BB:

Дро закрылось. Ваш соперник теперь должен постараться закрыть долг в размере $35.1, который он накопил, делая коллы на флопе и тёрне. В лучшем случае ему, конечно, хотелось бы выиграть даже больше, чтобы раздача была сыграна с положительным математическим ожиданием.

Данный сценарий на ривере можно изобразить с помощью графика:

Цифры слева от оси Y представляют собой процентные вероятности, что вы заколлируете определённую ставку на ривере (от 0% до 100%). Цифры под осью Х - это размеры ставок в $, которые может сделать ваш соперник (от $0, т.е. чека, до $103, т.е. олл-ина).

Нарисованная красная линия является линией безубыточности вашего оппонента. Она соответствует функции f(x)= 35.1/x*100, выведенной из данного выражения:

Ставка оппонента * Вероятность, с которой вы эту ставку заколлируете = Доход оппонента на ривере

Этот доход должен быть не меньше вышеупомянутых $35.1. Если он падает ниже данной отметки, то на дистанции соперник остаётся в минусе. Если же он её превышает, то оппонент будет в плюсе.

Так как ваш оппонент исходит из того, что у него теперь лучшая рука, он должен стремиться выиграть у вас как минимум $35.1. Предположим, он делает ставку именно такого размера. Он вынужден надеяться, что вы будете коллировать её в 100% случаев:

35.1$ * 1.00 = 35.1$ (1.00 соответствует 100%)

Представим, что соперник ставит $70. С какой частотой вы должны коллировать эту ставку, чтобы она была для него как минимум безубыточной?

$70 * x = $35.1
⇔ x = $35.1 / $70
⇔ x ≈ 0.5

Таким образом, вы должны коллировать ставку в $70 приблизительно в 50% случаев, чтобы оппонент разыграл эту раздачу в 0 (т.е. сыграл с околонулевым математическим ожиданием).

Все эти значения представлены на графике в виде красной линии. Например, олл-ин оппонента должен получать от вас колл примерно в трети случаев, чтобы подобный розыгрыш со стороны соперника был оправдан.

В данном примере оппонент ставит вне позиции около полубанка:

BB bets $22.00

Именно здесь он совершает самую грубую ошибку:

$22 * x = $35.1
x = $35.1 / $22
x ≈ 1.6 [!]

Вы должны коллировать эти $22 с вероятностью 160%. Очевидно, что вероятность более 100% математически невозможна, поэтому ставка подобного размера никогда не принесёт вашему противнику прибыль. Она просто-напросто не сможет покрыть ранее понесённые убытки (конечно, если вы не сделаете рейз). Даже без этих расчётов должно быть очевидно, что любая ставка меньше $35.1 является недостаточной.

Ваша вероятность колла

К счастью, решение о том, коллировать ставку соперника или нет, остаётся за вами. Зелёная линия на графике - это оценка вероятности того, что вы заколлируете ту или иную ставку оппонента. Кроме этого, мы добавили две синие линии, соответствующие ставкам в 23.25$ и в 46.5$ (полбанка и полный банк). Согласно данным предположениям, вы будете коллировать ставку в полбанка в 85% случаев, а ставку в полный банк реже, чем в 5% случаев.

Конечно, существуют мнения, оспаривающие консервативность, на основе которой здесь была нарисована зелёная линия. Вполне возможно, что она будет проходить рядом с отметкой в 100% вплоть до ставки, к примеру, в $24, где она будет резко падать до 0%.

Это обосновывается высказываниями вроде "Я буду коллировать любую ставку вплоть до полубанка", которые можно часто встретить в разделах оценки рук. Однако различия в принципах рисования зелёной кривой никак не опровергают дальнейшие расчёты: суть остаётся той же. Зелёная кривая на графике всегда будет находиться ниже красной. Для вашего соперника это означает следующее:

Независимо от того, сколько будет поставлено на ривере, в долгосрочном периоде он понесёт в этой раздаче убытки. Таким образом, его ошибка была совершена где-то между префлопом и тёрном (на ривере он никак не может компенсировать принятые ранее –EV-решения).

Зелёная кривая слишком лузового игрока, который не в состоянии расстаться со своей оверпарой, вероятно, выглядит следующим образом:

В зелёной области находятся размеры ставок, при которых красная кривая проходит ниже кривой вероятности колла. Так, если оппонент сделает ставку от $37 до $68, то он сыграет данную раздачу в плюс и оправдает свои решения, принятые в предыдущих раундах торговли.

Для сравнения:

Низкая вероятность вашего колла не позволяет оппоненту сыграть в плюс, сколько бы он ни поставил. Заштрихованная область демонстрирует, что зелёная кривая на графике нигде не оказывается выше красной.

Убытки оппонента

Размер убытков оппонента также можно изобразить графически. Это имеет значение в том случае, когда закрылось ваше собственное дро, и вы хотите минимизировать убытки/максимизировать прибыль (≙ по максимуму компенсировать свой долг).

Выигрыш (оппонента) = Долг - Вероятность колла * Ставка

Ось Х опять же представляет собой возможные ставки, а ось Y - это размер долга в долларах. При ставке в $25 долг уменьшается до $15, а убытки, соответственно, до $2.85.

Долг * Эквити = Убытки
$15 * 0.19 ≈ $2.85

Калькулятор предполагаемых оддсов

Данный калькулятор позволяет рассчитывать описанные в статье переменные. При возникновении потребности и в случае достижения соглашения я могу им поделиться.

Все цифры говорят сами за себя. В качестве примера для расчётов была использована раздача, на основе которой в данной статье объяснялась теория.

В чём заключается практическая польза данной теории?

Вы можете ввести в вышеупомянутый калькулятор количество своих аутов. Это касается не только ситуаций, когда у вас флеш-дро или стрейт-дро, но и более общих случаев, когда вы находитесь позади, но считаете, что у вас есть определённые ауты.

Далее, в зависимости от ситуации у вас есть возможность указать размеры банка и ставки оппонента на флопе, на тёрне или и на флопе, и на тёрне.

Если появится подсказка, гласящая, что "Пот-оддсы > Оддсы" или "Пот-оддсы = Оддсы", вы будете знать. что продолжение игры однозначно имеет положительное математическое ожидание, и вам предстоит выбрать лишь между коллом и рейзом.

Когда (так будет в большинстве случаев) "Оддсы > Пот-оддсы", вы сразу увидите, каков будет размер вашего долга в случае колла.

В нашем примере было вычислено, что долг на флопе составляет $9.9. Противник (будучи игроком, собирающим дро) теперь должен оценить, сможет ли он выиграть у вас данную сумму на будущих улицах, если сейчас сделает колл и получит нужную карту. Факторы (тип оппонента, позиция и т.д.), на основе которых проводится оценка, уже были подробно описаны в других статьях и колонках по предполагаемым оддсам.

Я, со своей стороны, считаю здесь колл вполне приемлемым, т.е. не вижу в нём какой-либо ошибки. На тёрне же дела уже обстоят совершенно по-другому. Делая колл на этой улице, сопернику придётся выигрывать на ривере около $35, если придёт третья бубна. Взглянем ещё раз на графики. Расположение красной линии можно точно рассчитать математически, зелёная же кривая является лишь грубой оценкой. На тёрне соперник уже не может исходить из того, что в случае колла он сможет выиграть достаточную сумму денег в следующем раунде торговли. Здесь он совершает решающую ошибку.

Кроме этого, он демонстрирует непонимание темы данной статьи, делая на ривере ставку меньше 35.1$ (при условии, что у него действительно было флеш-дро).

Так как в приведённом примере вы играли именно данную роль, то ваша линия розыгрыша в подобных ситуациях уже была объяснена. Вы можете точно определить движение не только красной, но и зелёной линии, устанавливая размер своих ставок и решая, с какой вероятностью вы будете коллировать ту или иную ставку соперника. При этом вы должны следить за тем, чтобы красная линия никогда не оказывалась ниже зелёной, иначе вы рискуете предоставить сопернику возможность разыграть руку с положительным математическим ожиданием.

Заключение

Некоторые игроки могут поставить под сомнение практическую пользу этих математических выкладок. Многие инстинктивно отказались бы от колла на тёрне, не используя никаких формул и не вводя никаких переменных в калькулятор (за столом на это так или иначе нет времени).

Также всем уже давно известна необходимость защиты и, соответственно, ставки на тёрне достаточного размера (возможность чек/рейза не учитывалась, но в данной статье мы вообще не рассматривали выбор между коллом и рейзом, так как при введении в расчёты фактора фолд-эквити, они становятся несколько более сложными).

Тем не менее, некоторым игрокам эта статья будет полезна. Теперь вы не только знаете, "почему" необходимо защищать свои руки и учитывать наличие предполагаемых оддсов, но и можете точно рассчитать математическое ожидание тех решений, которые раньше считали пограничными, что позволит вам оптимизировать свою игру в подобных ситуациях точно также, как вы это делаете, используя ICM в режиме пуш/фолда, который наступает в поздней стадии турниров SNG.

Кроме этого, данную теорию можно использовать как фундамент для последующей оптимизации важных решений, например, на префлопе (в частности, с карманными парами). Её также можно расширить на те ситуации, когда вы не знаете, находитесь ли вы впереди или позади.

В конце концов, игра хедз-ап является наиболее часто встречающимся сценарием в покере. В подобных ситуациях один игрок всегда находится позади, т.е. тянет дро (пусть это даже всего лишь бэкдорное флеш-дро), а другой игрок, находясь впереди, должен защищать свою комбинацию.