Nash equilibrium -纳什均衡點和诈唬/跟注的频率

前言

博弈论是数学中的一个领域，它主要任务是分析那些在游戏中有冲突的局势。博弈在这个位置的含义是，有很多的参赛者共同竞争一个资源，每个参赛者都有自己策略，而这个策略要能在不同的条件下，同样能够赢得一定的利润。

博弈论的一个中心词汇就是所谓的纳什均衡点(nash equilibrium)，它描述了一个状态，在这个状态下玩家之间达到一个策略上的均衡，对于对手的同一个举动他们经常变换他们的最好的对策，如果只是单一的运用他们的策略，那么谁也不能增加自己的利润。

这篇文章能让你们洞察游戏理论，纳什均衡点作为一个有效的策略，它实际应用于譬如确定下注和跟注的频率(betting and calling frequencies)。为了能够更好的理解这篇文章需要一些矩阵的基础知识。

关于博弈论的简单介绍

博弈在数学上的含义在于:

• 玩家的数量
• 每个玩家所掌握纯策略的数量
• 一张图，归类出对于每个策略（这里指，每个玩家选择一个策略）相对应的元组，通过这些元组来制定每个玩家的赢利。当玩家决定了自己的策略并且按照策略来游戏，就可以通过这张图得出最终的结果。

在接下来的文章里我们先来只观察两个玩家。那么这个游戏就很容易通过两个m x n 矩阵A 和B来表达。玩家1可以选择的策略为S1,...,Sm 那么玩家2可以选择的策略为S'1,...,S'n。如果玩家1选择了策略Si并且玩家2选择了策略S'j，那么对于
玩家1得到的赢利为Aij，玩家2则为Bij。

玩家1得到的赢利:

如果，例如 A=B=I2 (2x2 的单位矩阵)，那么每个选手的赢利为单位1，在他们都同时选择策略1或者策略2的情况下。如果不是这种情况，他们各自的赢利就是0。

玩家用不止一种策略（混合型策略）也是可能的。这就意味着，许多纯策略都有自己被运用的机率，这些机率的总和当然为100%。那么这个混合型策略可以通过一个向量p来表示，这个pi表示的就是第i个策略的机率。

如果玩家1运用混合型策略p，以及玩家2运用混合策略q，那么它们分别的赢利为pAq 以及pBq。（这里的计算要结合到只有纯策略的情况，特别是在纯策略的情况下所建立的矩阵。）

当策略p能够给玩家1带来最大的支出，那么玩家1的策略p就是对于玩家2的策略q的最好对策，就是说，当:

pAq >= p'Aq 对于玩家1的所有策略p'。

同样类推玩家2的策略q是玩家1的策略p的最好对策，当:

pBq >= pBq'对于玩家2的所有策略q'。

玩家1的策略和玩家2的策略组成一对(p,q)，这就是纳什均衡点，当p是q的最好对策并且q是p的最好对策。每个游戏都至少存在一个纳什均衡点，这里就不加以证明了（当然对于单纯策略的游戏的就不一定了）。

一个纳什均衡点并不一定要帕累托最优。帕累托最优指得是这样的状态，一个游戏者在不损害其他游戏者的利益前提下使自己的赢利为最大，并且这个状态不再改变。

同样的，帕累托最优策略也不一定是均衡。最著名的例子就是囚徒困境。同样的还有一些有意思得关于均衡的术语像进化稳定策略以及相关均衡，我们在这里就不加以详细解释了。

如果这两个玩家运用纯策略，那么有一个很简单的方法适用于计算纳什均衡点。解释这个方法要基于之前的例子A=B=I2。

玩家1的策略p可以以(a,1-a)这样的形势表现出来，其中a 属于 [0,1], 那么玩家2的策略也可以以(b,1-b)这样的形势表现出来，其中b 属于 [0,1]。人们现在寻找的是相对于玩家2的策略玩家1所能做出的最好策略，人们可以通过比较策略(1,0) 和 (0,1)的赢利得到（这里指在纯策略的情况下它们分别在矩阵中对应的两行）。

玩家1选择了第一行，那么他的赢利就是b，如果他选择了第二行，那么赢利是1-b。如果第一行是最好的对策，得到b>1-b 导出b>0,5，那么a=1。如果第二行为最好对策导出b<0,5，那么a=1。当b=0,5时就意味着无论怎样赢利都为1/2，所有的策略在这里都是最好的答复。

由此类推玩家2的最好对策。因为矩阵的对称性当a>0,5人们可以直接得到b=1，而当a<0,5时人们可以直接得到 b=0，当a=0,5时，为[0,1]中的任意值。

纳什均衡点在理论上是一对策略，这两个策略各自是对方的最佳策略。在图形上人们可以用两个集合的焦点来表示纳什均衡点。

这个游戏的纳什均衡点是((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) 和 ((0.5,0.5),(0.5,0.5))。

下注/跟注的频率

我们来观察下面的情形：玩家1（不利位置）和玩家2（有利位置）处于河牌圈，玩家2的一手牌的强弱已经很清楚了。玩家1知道，他的牌是否比玩家2的好，而玩家2也知道玩家1知道。

如果玩家1的一手牌能够击败玩家2的，那么他就会按照期望值下注(玩家2一般都会选择最来玩最终过牌(check behind)，因为玩家1知道他的牌是不是比玩家2的好。)问题是，他是不是应该诈唬或者要多频繁的诈唬，这个当然取决于他的对手。譬如对付一个跟注站(call station)那么他当然不应该诈唬，但是对付一个非常弱的对手就应该。同样的，对于玩家2，他跟注或者弃牌也取决于玩家1。

我们可以用下面的游戏模拟出这个场景:

• 玩家1拥有 (纯) 策略诈唬或者不诈唬。一个混合型的策略(a,1-a)意味着，当玩家1下注了，那么他诈唬的机率为a (而不是，当他持有差牌时，其中有a的情况是在诈唬...详细情况请看第三段)。

• 玩家2有 (纯) 策略跟注或者弃牌。那么一个混合策略(b,1-b)就意味着，当玩家1下注，他有b的可能性跟注。

对于对手策略的最好对策是相当好算得（玩家1下注的大小为底池大小的x倍）:

为了让跟注有利可图，玩家2必须有x*Pot / (x+2) * Pot = x/x+2的情况占有优势。当a=1时，这就意味着对于策略(a,1-a)他的最好对策为弃牌（就是(0,1)，并且b=0）如果 a < x/(1+2x)。

当a>x/x+2时，他的最好对策为跟注 (就是(1,0)，并且b=1) 。当a=x/x+2这种状况对于每个b 属于 [0,1]的策略都是最好的答案。

为了玩家1诈唬的更有利可图，就必须在x*Pot/((x+1)*Pot) = x/(x+1)的情况能够诈唬成功，这就是说在x/x+1的情况玩家2会选择弃牌。

这就意味着，玩家1在(b,1-b) 并且 b>x/x+1的情况下最好对策是永不诈唬(就是说 (0,1) ，或者说 a=0), 在b的情况下则要一直诈唬 (就是说 (1,0) 或者 a=1)，如果在b=x/x+1这样的情况就意味着无论哪种选择都是最好的对策。

这样我们得到了唯一的纳什均衡点 x/(1+2x),1-x/(1+2x),(x/(x+1)),1-x/(x+1))。

纳什均衡点的实际意义

这里我们站在玩家2的位置来观察这个局势。我们设x=1, 就是说玩家1下了相当于底池大小的注(Potsize-Bet)。此时策略的纳什均衡点为(0.5,0.5)。当人们随机的以机率为50%选择跟注50%的机率选择弃牌，这样就不易被利用，就是说，对手不能通过好的决策来改善他的期望值。

无论他的哪一个策略对于我们的策略都是同样好的对策。当然策略(0.5,0.5)也不一直是玩家1策略的最好对策。我们当然希望能够作出更好的对策。譬如对手是一个岩石型的玩家，那么就很容易预测出他的策略并选择出最好的对策。人们在这里就不会选择那50%的可能去跟注。

一个好的对手在这样的情况下会一直改变他的策略并且尝试让自己适应我们的游戏风格，当我们尝试适应改变，他们则会一只在来尝试适应我们等等，最好是能比我们的对手先行一步，并且能比他们更高一级的思考。那么我们就能够估测出，在此时对手会不会尝试诈唬呢，这样就可以很好的计划自己下一步的策略。

人们也可能遇到在这方面比自己强的对手。对于这样的对手最好用不会被利用的策略。就算是对手比我们能更好地读牌(reads)，在这个情况下也并得不到什么盈利。（因为人们可以运用纳什均衡点的策略，当局面是反过来的时候，人们同样可以赢回之前的损失。）

注意

a) 当人们在50%的情况下会坚持一个规则，那么当然也会有偶然的情况譬如被不明因素所影响。像手表的秒针或者在河牌圈的牌都可以在这里作为一个简单的随机数发生器来运用，譬如遇到一张偶数的牌而跟注了，因为一张奇数的牌而弃牌。但是当这个系统太明显了或者对手太用心了，这种情况也是可以预测的。

b) 像在文章第二节那里讲的，玩家1的策略(a,1-a)表示玩家1在a的情况诈唬，而不是只有当玩家一持有差牌，有a的情况诈唬。这个信息再次并不能说明什么。人们必须计算，在所有的牌中有多大的机率人们可能遇到真正希望得到的牌。

像JT42这样的公共牌。很明显的玩家1有一手听型派（顺子或者同花），而玩家2已经有了成手牌。在河牌圈是一张6而人们持有KQ并想知道，应该多频繁的诈唬，这个频率应该相当于人们多频繁能遇到一手同花。

假如(A9-A5, A3, A2, 97, 87, 86, 76, 75, 65, 53)是一个现实中的起手牌范围，一共有14手牌。有同样的概率遇到一个没有成型的听型派 (busted Straight Draw)。（相当于KQ 和98的每7个组合，就算是之前人们没有想到可以遇到两端顺子听型牌以及同花听型牌(OESD+FD)。）

当人们希望以1/3的机率来诈唬，那么就需要额外的7手牌来虚张声势(7/(14+7)=1/3)。当人们持有一手没有成型的听型牌(busted Straight Draw)，那么就必须有50%的情况来诈唬：(7/14 = 1/2)。

人们在这里排除了98这种情况（可能因为翻牌前的行为），那么只有33%的情况是没有同花，所以人们应该一直诈唬。

c)人们现在站在玩家2的位置，对手差不多以一定的频率来诈唬，而这个频率是吻合纳什均衡点的，当人们手持有"Blocker"(阻止成为一手成型派的牌)，那么就要跟注。因为这张牌正是你对手希望得到的牌。

像b)里的例子，假如人们持有AJ，那么14手牌中的7手来诈唬一手同花是不可能的，因为这手牌有尖子（阻止了这手牌成型）。按照b)中介绍的方法来诈唬这手未成型的听型牌是一个错误的频率，因为他把他得到一手同花的概率计算高了。在这个情况人们实际上是50%的情况诈唬而不是33%。

同样的情况例如，在河牌圈是一张9而不是6，人们持有QQ。对手在这里下注想让对方认为自己持有KQ，但是一半的情况KQ这个组合在这里是不可能的。