无限注德州扑克中的数学概念（2）- 组合性和成败比高级理论

简介

这篇文章的主要内容

• 从数学的观点看起手牌的范围
  
• 潜在成败比和反向潜在成败比所充当的角色
  
• 复杂的期望收益分析
  

在第一篇文章中你学会了如何在不同的局面中计算期望值，也看了一些简单的例子. 在接下来的这篇文章中，我们将看到期望收益计算中的特殊情况和局面。 (期望值计算).

在这篇文章中，我们会用数学的观点来看一看牌的范围，特别是潜在成败比和反向潜在成败比。运用我们介绍的方法，你也能在比前一篇文章中提到的更复杂的情况中计算期望收益。相比于那些使用第一篇文章中的分析方法解答的问题，你也能解答更多不同的问题了。

牌力范围的数学运算

牌的“范围”这个术语在之前已经介绍过了，它包含一些被挑选出来的牌. 在期望收益的计算中，很多问题都是围绕着可能性的。在各种各样的情况中， Equilator能够解答在全部可能的起手牌中，一些特定的起手牌出现的百分比，比如说，出现TT+，AQ+的可能性占所有起手牌总数的4.68% 。

一个重要的问题就是：你的对手有多大的可能性持有某一手牌？ 4.68%会是以下问题的答案：一个牌手有多大的可能性持有TT+,AQ+，以及这个范围内的任意两张牌的组合？现在你也可以发问: 一个牌手持有TT+,AQ+，那他持有AA,KK的可能性有多大？

这样继续计算百分比可能会变得有些乏味. 首先，你需要在 Equilator中只选择AA,KK.这大概占所有起手牌的0.9%。在TT+,AQ+的范围内，AA,KK出现的可能性是 0.9/4.68 = 0.192 = 19.2%. 如果你想探讨一些特定的不同花色或者部分范围内的某一手特定的牌，这个方法将很快变得更加复杂。比如说：一个牌手持有TT+,AQ+.那他持有XsYs（也就是AsKs或AsQs）的可能性是多大？

这里有一个直接的计算方法可以解决这个复杂的问题。在德州扑克中总共有1326种不同的起手牌， 也就是 52 * 51 / 2. 其中的 52 表示第一张牌出现的可能性. 如果你想知道一共有多少种起手牌，你需要把每一张牌和其余的每一张牌联合起来，一旦已经选择了第一张，你就只能从剩下的51张牌里选择了，也就是52*51=2652.

然而，在扑克中你持有AsKs或KsAs是没有区别的，这就是为什么不同的起手牌数只是2652的一半：也就是上面提到的 52*51/2 = 1326. 用相同的方法你也可以计算某一特定范围的牌是由多少种不同的组合组成的。一个表示可能组合的数量的图表：

为了在以后能继续计算，我们必须解释一下这些组合的数量是如何计算出来的。 你肯定会用到一副牌并且计算，这是相当枯燥乏味的。从逻辑上考虑，这个可能性组合的数量计算更容易理解。如果你想要某个对子,你的第一张牌有四种选择。之后的第二张牌还有三种选择。你需要把这个结果除以2，这是为了不把AsAd和AdAs当做不同的组合。

一手同花牌，第一张牌有8种可能性 (比如说67s，第一张可能是6也可能是7). 第二张牌, 你只剩下一个选择，8的一半等于4. 一手非同花的牌，例如XsYd，第一张牌也是有8种可能性 (4 X, 4 Y), 但是在这种情况下的第二张牌只有3个 (如果你选择了 Xs, Ys 就不再是一个选择了，那会使牌变成同花牌). 8*3/2 等于12. 当然，计算可能组合数量的不同方法还有很多。

底池成败比，潜在成败比，和反向潜在成败比

利用成败比和补牌数的概念, 你至少能计算出一个跟注的期望收益并在牌桌上作出一个决定。我们在这个系列的文章中略去了对成败比和补牌数的规则的直接解释- 请在铜牌策略部分查看更多这方面的资料. 潜在成败比和反向潜在成败比的概念更加有趣，通常可以在很多的期望收益计算中发现它们。

相对于底池成败比，潜在成败比是对那些还没有投入底池但是你期望对手将会投入底池的一笔钱的一个估量。在玩听型牌的时候潜在成败比非常重要。期望收益分析如果不考虑到潜在成败比的话，一手听型牌通常会在翻牌圈面临必须弃牌的命运。另一方面，如果在一个更加现实的分析中考虑到潜在成败比的话，通常会得到不同的结果。
有一个关于潜在成败比的例子，你们可能已经知道了: 对子在翻牌前的跟注-20 规则. 它要求可能的潜在成败比至少是你为了看到翻牌而必须付出的代价的20倍。然而对于期望收益计算，现实的潜在成败比更加中肯，就是说不是你能赢到的最大数量的钱而是平均起来的盈利 (当两种收益确定互相联系在一起).

它差不多是潜在成败比的精确的对立面. 它是对你在一手牌中最终没有拿到最好的牌而受到的损失的一个估量。特别是你击中了听型牌但仍然不能获胜的情况。另外，玩一手受控的牌也会导致很大的反向潜在成败比：你击中了可能很强的牌，但不能赢得底池。

在大多数情况下，潜在成败比和反向潜在成败比都可以被估算甚至精确计算，并以此来找到进行期望收益分析的方法。有了它们的帮助，你在不全押的时候能更加准确地了解自己的处境。接下来的文章中会有一个关于这方面的例子。

关于计算的例子

就期望收益计算而论，对牌的范围的考虑以及潜在和反向潜在成败比都只是基本的理论概念。为了说明它们的影响，我们来看几个复杂性不断增加的例子。另外，为了使情节更加真实，把对手假设得更强一些也是很有必要的。

这里试图在特定的假设下将期望收益转变成暗三条的收益。首先，有下面这些条件:

筹码量:

UTG 100BB
Hero 100BB

翻牌前: Hero 在 BU 拿着 4, 4
UTG 加注到 4BB, 弃牌, Hero 跟注 4BB, 弃牌

这里出现了第一个假设:盲注是被忽略的。严格的讲，你应该将每一个可能的情况考虑到期望收益的分析中。然而，我们会把自己限定在一个共同的特别情况下；否则，如果没有有效的特别的信息，计算会变得非常庞大和不便。
下一个假设影响UTG位置的牌手。他的牌的范围会是TT+,AQ+。另一个假设是UTG常常在翻牌圈下注而你只会用暗三条继续下去。

在翻牌圈看到剩下的一个或两个4的概率是

3 * (2 * 48* 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) + 3 * (2 * 1 * 48) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0.118

2/50是击中剩下的两个4的其中一个的可能性。为此，我们会假设翻牌圈的另外两张牌都不是4，就是 48/49 (一个4在牌面上而且它不应该是最后一个4) and 47/48 (一张4已经发出来了，另一张不是4的牌也已经发出来了). 把它们相乘来得到在特定情况下出现一张4的概率。

因为在什么地方出现4对你是不太重要的，所以再乘以3.同样的，在三张牌中出现两张4有三种可能性 (第一张和第二张，第二张和第三张或者第一张和第三张).在这里第一张4的成败比是 2/49 ，第二张4的成败比是1/48，最后一张随即的其他牌的成败比是47/47。

更进一步地简单化地讲:我们只看有一张4的情况 . 它的概率是 3 * (2 * 48* 47 ) / ( 50 * 49 * 48 ) = 0.1200, 而得到四条的概率是 0.00245. 因此在翻牌圈得到暗三条的概率是得到四条的45倍多，这就是为什么我们为了计算的简便而忽略四条的原因。利用这些条件，我们能做一个初步的计算：

期望收益 = 0.880 * (-4BB) + 0.120 * 期望收益(暗三条)

期望收益(暗三条) 还是有待确定的。因为它是基于不同的牌面结构的，它之所以有意义是因为它能更好的确定在特定的假设下对手的每一手牌的期望收益，然后把它们相加起来。 让我们开始用AQ和AK看看，为了简便，忽略任何击中同花听型牌的可能性。

AQ击中一对A或更好的牌， P(A) = 2 * ( 3 * 46 ) / ( 47 * 46 ) = 0.12766,击中一对Q， P(Q) =2 * ( 3 * 41 ) / ( 47 * 46 ) = 0.114，击中三条Q，P(三条Q) = 1 * ( 3 * 2 ) / ( 47 * 46 ) = 0.0028. 相加:

P(A+):=P(A)+P(三条Q) = 0.13046

P(Q)的概率比 P(A)的低是因为这两种对子组合是用A计算的。总共只有两张牌可以形成一个击中。因此P(Q) = 2 * (3 * 44)/(47 * 46) = 0.12211.

现在期望收益与期望收益(暗三条)更加不相关了. 期望收益(暗三条)是由对手不同手牌的单独的期望收益组成的。你只计算了第一部分，也就是

期望收益(暗三条,AQ) = 期望收益(未击中) * P(未击中) + 期望收益(A+) * P(A+) + 期望收益(Q) * P(Q).

与AQ相对的期望收益.

期望收益的一些部分仍然是未知的. 为了避免计算变得越来越复杂，在转牌圈击中的概率没有被计算在内。如果对手没有击中，你只能得到他 ¾ 底池的继续下注，也就是 9.5*3/4 = 7.125BB，P(未击中) = 1 - P(A+) - P(Q) = 0.74743.

击中一个A的话，你会得到他桌上的全部筹码，虽然没有100%的赢率，这仍是待定的. 如果你想做一个精确的计算，你需要从不同牌的单独赢率中计算总的赢率。

因为两对和三条是不太可能的，就像上面表现的，一个顶对的赢率大约是3%，忽略其他的独立情况我们把它提高到5% .

期望收益(A+) = 0.95*(96+9.5)BB – 0.05 * 96BB = 100.225BB - 4.8BB = 95.4BB 

击中一个Q的话，你就要区分牌面上是否有K. 不管你是否注意到这个区别 - 最后结果的变化都是很小的.主要的是你做这样一个计算所依据的原理。
首先，牌面上有K的概率应该被计算上.是 4/46 = 0.09.另外，你需要估计一个牌手将会投入筹码的平均值。应该是30BB.我们得到的最后结果是

期望收益(Q) = 0.09*30BB + 0.91*( 0.975 * (96+9.5)BB – 0.025 * 96BB) = 94.1BB

因此，全部的计算是:

期望收益(暗三条,AQ) = 期望收益(未击中) * P(未击中) + 期望收益(A+) * P(A+) + 期望收益(Q) * P(Q) = 7.125BB * (0.75) + 95.4BB * (0.130) + 94.1BB * (0.120) = 28.4BB

如果你的对手持有AQ,在假设得条件下你会平均赢下28.4BB 。对AK可以使用相同的计算方法.很幸运，对AK的期望收益是相同的， 仅有的一点不同是是否会用AQ得到第二个对子 - 这个概率是很小的. 如果你忽略了这个情况，期望收益就是：期望收益(暗三条, AK) = 29.7BB.

现在我们来计算对口袋对子的期望收益. 为此，我们会做如下假设: 你的对手只会用高对破产，用第二高的对子会平均投入30BB. 这个收益肯定是变化的.这就是为什么我们不能固定的使用它来检验结果和收益变化的相关性。在转牌圈的牌面变化会被忽略。我们把对口袋对子的期望收益分成三个部分:

• 对手在翻牌圈击中高对并且你击中暗三条 P(暗三条，高对)
• 对手在翻牌圈击中次高对并且你击中暗三条 P(暗三条，次高对)
• 对手在翻牌圈击中暗三条并且你击中暗三条 P(暗三条，高暗三条)

这里有一个计算口袋对子总的期望收益的公式:

期望收益(暗三条，口袋对子) = P(暗三条，高对) *期望收益(高对) + P(暗三条，次高对) * 期望收益(次高对) + P(暗三条，高暗三条) * 期望收益(高暗三条)

对所有口袋对子的期望收益是对每个对子的期望收益的总和，乘以各自的概率就是UTG现在持有的牌的概率。

首先我们会计算独立的概率然后是相对应的期望收益。P(口袋对子，高暗三条)对所以对子都是一样的. 连同四条的概率我们得到P(暗三条，高暗三条)= 2 * ( 2 * 44 ) / ( 47 * 46 ) + ( 2 * 1 ) / ( 47 * 46 ) = 0.08233.这是在翻牌圈会出现与你的对手持有的口袋对子相同的一张或两张牌，并且你击中暗三条的概率。

一个牌手已经击中一对高对当

• 他没有击中暗三条
• 没有比他的对子更高的牌出现

一个暗三条的成败比被确定为P(暗三条，高暗三条)=0.0823.有A的话，在翻牌圈就不可能出现比他还高的牌了. 意思就是在所有情况下牌手不是击中暗三条，就是击中高对。因此高对的成败比是1- 0.0823.

对K来说，有四张A是可能出现的高牌。因此这个高对的概率是 1-0.0823-2*(4*44) / (47*46).

牌面上有一张A的成败比是 2*(4*44) / (47*46).以此类推，对Q来说有两张可能出现的高牌会导致这个给定的概率。在图表中表示，成败比是：

对各个独立对子的期望收益还没有最终确定.

根据前面的假设，如果对手击中一个高对，他通常会全押。在这种情况下，你对手的赢率在10%左右, 因此期望收益(高对)是:

期望收益(高对) = 0.9 * (96+9.5)BB – 0.1 * 96BB = 85.3BB. 如果你的对手击中了一个高暗三条，你只有大约5%的赢率.因此期望收益(高暗三条)是 0.05*(96+9.5)BB-0.95*96BB = -85.92BB.

这两种收益是独立的，当你的对手的牌存在的补牌数是有意义的时候。对对子的期望收益我们用这个表格表示:

所有必要的可能性和期望收益都被计算出来了. 现在必须把它们联合起来.

期望收益 = 0.88 * (-4BB) + 0.12 * 期望收益(暗三条) = 0.88 * (-4BB) + 0.12 *(P(AK) * 期望收益(AK) + P(AQ) * 期望收益(AQ) + P(AA) * 期望收益(AA) + P(KK)* 期望收益(KK) + P(QQ)*期望收益(QQ) + P(JJ)*期望收益(JJ) + P(TT)*期望收益(TT))

为了得到一个数值，我们还要确定一个牌手多久会持有每一手给定的牌。总的来说，牌手在他的范围内有62种不同的组合。AK和AQ分别有16种，每个对子有6种。 P(AK) = P(AQ) = 16/62 = 0.258, P(AA) = P(KK) … = 6/62 = 0.097.

因此，总的期望收益是:

期望收益=0.88*(-4BB) + 0.12 *(0.258*29.7BB + 0.258*28.4BB + 0.097*71.2BB + 0.097*62.2BB + 0.097*52.3BB + 0.097*41.5BB + 0.097*29.9BB ) = 1.27BB

这个收益对一个好的满员桌牌手来说是相对较低的，也是低于真实收益的。一个可能的原因就是好的满员桌牌手通常会找有利的地方玩，即使他没有击中暗三条。因此他没有击中暗三条的话期望收益也是大于-4BB的.

计算中能用我们能变化的变量来看看结果是怎样改变的。例如你在没有对子的时候，与一个持续下注相比，你能从AK和AQ那里获得更多。

你的对手可能在转牌圈诈唬或者他已经击中了。这里我们可以提高一点期望收益来看看它会产生什么影响。他可能会用第二高的对子投入更多。通过我们能改变的收益，总的期望收益包括以下几个部分：

如果你没有击中，你失去了你的翻牌前跟注: 期望收益=(1-P(暗三条))*(-4BB)

如果你击中了暗三条:

-而且你的对手持有AK:

P(暗三条)*(P(AK)*(期望收益(AK,未击中)*P(AK,未击中s)+P(AK,K+)*期望收益(AK,K+)

成败比和期望收益都被计算出来了.

-你的对手持有AQ:

P(AQ)*(期望收益(AQ,未击中)*P(AQ,未击中)+期望收益(AQ,A+)*P(AQ,A+)+期望收益(AQ,Q)*P(AQ,Q)

-你的对手持有AA:

P(AA)*(P(AA,高对)*期望收益(高对)+P(AA,次高对)*期望收益(次高对) +P(高暗三条)*期望收益(高暗三条)

P(AA,次高对) 为 0.

-你的对手持有KK:

P(KK)*(P(KK,高对)*期望收益(高对)+P(KK,次高对)*期望收益(次高对)+P(高暗三条)*期望收益(高暗三条)

-你的对手持有QQ, JJ或 TT:

对所有的口袋对子计算都是一样的。当下移时次高对的概率会增加：

+P(QQ)*(P(QQ,高对)*期望收益(高对)+P(QQ,次高对)*期望收益(次高对)+P(高暗三条)*期望收益(高暗三条))+ P(JJ)*(P(JJ,高对)*期望收益(高对)+P(JJ,次高对)*期望收益(次高对)+P(高暗三条)*期望收益(高暗三条))+ P(TT)*(P(TT,高对)*期望收益(高对)+P(TT,次高对)*期望收益(次高对)+P(高暗三条)*期望收益(高暗三条))) 

这里有一个关于概率的已经计算出的列表，期望收益也在这个列表中，大部分都很值得探讨:

对于 期望收益(AK,未击中), 期望收益(AQ,未击中) 和期望收益(次高对)变化的收益，总的期望收益是:

期望收益= 1,62BB

正如你所看到的，期望收益主要依靠这些收益。如果你想在没有击中的情况下提高期望收益，你也会到达一个可以实现真实收益的范围。然而这是非常难估算的，这就是为什么我们在这里不考虑这些的原因。

此外你也能在这里发现无限注德州扑克的一个重要特点: 摊牌前发生的情况对比赛的最后结果是非常重要的。意思就是你应该在大量的计算之后重新审视你的比赛，特别是在你没有击中的情况下，关键就是你能在多大程度上复制并运用好这个暗三条期望收益的例子。

从这个方向分析会是文章接下来的主题.在这之前，我们要祝贺那些目前为止能读下来并理解这些分析的读者：我们打赌不是所有人都能做到这一点。

随着这个部分的结束你也会发现两个事实: 数学分析是非常重要的并且是能帮助牌手进步的。然而它永远不能取代经验和与其他牌手的交流。而且，它是非常乏味冗长的。

潜在成败比

接下来，是对听型牌的打法做更加严密的分析。为了做一个更加彻底的试验，你需要用到潜在成败比.接下来的情况我们从一个跟注站的观点出发:

100BB 筹码量

翻牌前: Hero 在 CO 持有 XYo, 跟注站在 BU 持有 A,2
弃牌, Hero 加注到 4BB, BU 跟注 4BB, SB 跟注 3.5BB, BB 跟注 3 BB.

翻牌: (16BB) 5, 9, K (4名牌手)
SB 过牌, BB 过牌, Hero 下注 14BB, BU 跟注 14BB, SB 跟注 14BB, BB 弃牌

转牌: (58BB) 6 (3名牌手)
SB 过牌, Hero 下注 45BB, BU 跟注

我们会给定 Hero 牌的范围是 55, 99, KK, AA, AK, KQ. BU有21.5%的赢率. 我们在这里分析一下BU的最后一个跟注。一个跟注站会经常跟注，如果是你就不会这样做吗？你确定这里的这个跟注是错误的？我们来看看。不考虑潜在成败比的期望收益是

期望收益 = 赢率 * (能赢得的钱的数量 + 投入) - 投入

在这种情况下，能赢得的钱的数量是(58+45)BB，投入 -45BB. 我们可以用已知的公式计算出需要的赢率，赢率=投入/(能赢得的钱的数量 + 投入). 对手会赢得 58BB + 2*45BB，如果没有击中则会损失45BB。所以他需要的赢率为30%.由于赢率变得很低，期望收益为 -13.2BB.

当BU在河牌圈时击中会怎么样呢？底池有148BB，Hero还有37BB。不论河牌怎么样，Hero都不能在河牌圈弃牌 - 这也被称为套入底池。然而，能赢得的钱的数量的变化需要在期望收益公式中调整。如果击中的话，BU不仅会赢得底池和转牌圈的下注，还会额外赢得 Hero剩余的37BB。

在例子中的这种情况下，能赢得的钱的数量 = (58+45+37)BB, 鉴于如果BU即使有好的成败比也不在河牌圈跟注的话，投入仍然是45BB。有了这个调整，一个不赔不赚的跟注的赢率只有24%，期望收益增加到-5BB. 虽然在河牌圈的底池已经很大了，它扩大了四次。

到目前为止一切顺利。因此跟注站在这犯了一个错误，在这种情况下弃牌才是正确的决定。让我们改变更多的变量来看看，从转牌圈到河牌圈，考虑到潜在成败比的期望收益是:

   期望收益 = 赢率* (能赢得的钱的数量+潜在的盈利 + 投入) - 投入

潜在的盈利既可能是剩余的筹码，也可能是你期望平均赢得的某一部分底池。如果Hero只下注2/3底池 (只有40BB)而不是45BB也就是3/4底池的话，情况会怎么样的呢？潜在成败比会从37BB增加到42BB，需要的赢率会缩小到 22.2%，跟注会有 -1.3BB的期望收益。

如果两位牌手都拿着130BB的筹码而不是100BB来开始牌局，情况又会怎么样呢？在转牌圈做45BB的下注，Hero在河牌圈时还剩(130-4-14-45) = 67BB的筹码，底池已经有148BB了。如果在河牌圈出现黑桃， Hero同样也不会放弃他手中的牌。现在期望收益是怎么变化的呢？

赢率，能赢得的钱的数量和投入仍然是不变的，潜在成败比从37BB增加到67BB. 在这种情况下，一个不赔不赚的跟注需要的赢率是20%，跟注的期望收益已经变成了正数，为+1.225BB.变量的一个小小的变化导致跟注站在转牌圈的跟注变得有利可图，而不再是一个错误。相对的，在给定的类似这样的情况下，你也必须跟注，即使它并不是唯一的好方法。

为了得出一个大体的表述，你应该看看以下的方案:

让我们假设底池在转牌圈有一个为1的收益，你在转牌圈分步计算了所有进一步的下注。现在的问题是赢率，在转牌圈下注的大小和在河牌圈的潜在成败比之间存在什么关联。一些基本的数学关联是:

期望收益 = 赢率 * (底池 + 2 * 下注 + 潜在的盈利 ) - 下注

为了确定不同收益之间的关联，假设期望收益 >= 0是比较合适的，期望收益在很极端的情况下为0. 现在我们有了三个选择去做一个二维平面图:

• 在给定潜在盈利的情况下赢率和下注的关系(就像例子2中一样，潜在成败比代表剩余的筹码)
• 在赢率给定的情况下下注和潜在盈利的关系 (当你能对你的对手们的起手牌赢率做一个很好的估算的时候)
• 在下注给定的情况下潜在盈利和赢率的关系 (获得一种关于所必须的赢率和对于固定下注大小的潜在盈利的感觉)

这个关系表明如果你明确地知道你在河牌圈能得到多少时，应该下多大的注。下面的图表明，潜在成败比被定为0.5，也就是一半底池的下注。

利用这个你能感觉出哪些下注是可以跟注的而哪些是不可以的。

利用这个你学到了你需要什么样的潜在成败比，什么样的赢率去在转牌圈跟注一个3/4底池的下注。

通过这个图你也可以为你的比赛得到一些感觉。即使在河牌圈有相当高的潜在成败比，你也需要15%的赢率去做一个不赔不赚的跟注。

我们看看最后一种可能的情况，当假设赢率为20%时，需要的潜在成败比和下注大小之间的关系是怎么表现的，在需要的潜在成败比与零的交叉部分，你可以用一手听型牌跟注，仅仅是由于你投入底池的大小。在这里是1/3底池大小。

现在，我们可以处理更多的一般情况了。这些结论连同图表对我们掌握一手牌的赢率和不同下注轮的下注大小之间的作用力是非常重要的。

然而，如果你想做翻牌圈 -> 河牌圈的计算，那将会更复杂。这里需要考虑两种情况: 如果你在转牌圈击中了，你需要估算潜在成败比，如果你没有击中也是一样。这里你需要估算你将面对什么频率的下注(和它们的大小) ，这是为了估算你在转牌圈未击中而在河牌圈击中的潜在成败比。结果就是，依靠相同法则的相同类型的期望收益分析是可能的。

结论

这个系列的第二部分结束了。你阅读和了解了一手牌中复杂的期望收益分析，也熟悉了(反向)潜在成败比的影响。在下面的部分中你会用到这两点。在下一个部分，我们将看到对手们在考虑到期望收益后，会针对你的牌做出什么行动，并且我们会特别关注诈唬的内容。

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