无限注德州扑克中的数学概念(1) - 期望收益&范围

简介

这篇文章的主要内容

• 为什么数学在扑克中很重要
  
• "赢率"的含义
  
• 如何计算你的期望收益（EV）
  

在这个系列中，你将学习无限注德州扑克中基础和高级的数学概念。你将学会理解数学上的联系并找到可行的方式来运用到线上扑克中。这里的主要焦点是从一手牌各种可能的决定中进行精确计算或评估。

你在视频中，论坛上和策略文章里经常会看到"这是+EV"的说法,我们将在后面作更详细的讲解，这意味某个决定是正确的，即它将产生收益。

目前一切顺利，但玩家有不同的观点时就会引发一个问题。玩家A说"它是+EV"但玩家B说"不可呢, 它是-EV或至多是+-0 EV"，这该怎么办呢? 我们该如何继续呢?

在很多情况下，我们没有用数学概念来解决问题。但数学经常能我们明确的结论或至少给我们提供讨论的基础。这些情况特别是这个系列的讨论焦点。

第1部分 - EV（期望收益）&Ranges（牌的范围）

第一部分包含对于数学上的术语和定义的介绍。纯粹的数学原理是很基础的，不会吓到任何人。这里的内容不会超过高中数学并且只是基础知识。知道这些概念不是必须的。

介绍完基础的数学术语后，我们将解释一个更重要的扑克术语: 赢率（equity）。它将帮助你作出最初的分析并得出结论。最后，我们将利用一些简单的例子来说明如何把这些新概念应用到扑克中。

数学上的基本原理

这个部分将介绍数学公式。我们将尽量用数学上的知识来进行详细解释。你不必记住所有的公式。

让我们从期望收益(EV)开始。问题是:什么是EV?

这个术语被用在随机数学中，随机数学是与概率相关联的一个数学分支。它涉及像抛硬币这样的随机试验。所有的实验都有可能的结果并被标记为xi (在这个抛出正面或抛出反面的例子中，i表示给所有可能的结果指定数字)。

结果会以一定的概率p(xi)发生(i 也是给结果的数字编号)，例如50%。随机事件的期望收益是不断重复实验后的结果。

在这个单独的例子中，期望收益E(X)是N种可能不同结果的总和:

如果你感觉这个部分太数学化，你可以跳到与扑克有更多关联的部分(从牌的范围开始)。但为了真正理解这些概念，我们建议你尽力通过数学这一关。

单个的结果可以相加，这一点很重要。有个例子是三个玩家参与一手牌的情况。

你必须分别检验所有可能的情形(没有玩家跟注，玩家A跟注，玩家B跟注，以及玩家A和玩家B同时跟注)。每种情况必须根据可能的结果和相应的发生概率进行分析。采用树形图是说明这种计算的合适方式，你将在这篇文章的下个部分看到。

根据钱的数额计算的期望收益在扑克中被称为EV。为了在逻辑上理解这一点，你可以给结果附上数值，即面朝上计为+1，面朝下计为-1。

采用抛硬币的例子便于记录所有结果。可能的结果是: x1 = 1, x2 = -1加上相应的发生概率。

p(x1) = 0.5, p(x2) = 0.5.

p(x)表示事件x发生的概率。因此，期望收益是:

EV=x1 • p(x1)+x2 • p(x2) = 0.5 • 1+0.5 • (−1) = 0

希望这个结果没有让你吃惊。确实，这是一个很基础的例子。让我们看一个稍微复杂的例子来再次说明这个概念。比方说，某个赌场提供如下的游戏:

扔一次骰子要花10个筹码。如果你扔出1, 2或3，你输掉所有的筹码，扔出4赢得5个筹码，扔出5赢得20个筹码，扔出6赢得30个筹码。这个游戏是+EV吗?

为了确定EV，我们需要查看所有可能的结果。在这个例子中，对应骰子的每个数字有6种不同的结果。有3个数字产生同样的结果，我们可以一起处理。这引出下面的方程式:

x1 = −10, p(x1) = 1/6 +1/6 + 1/6 = 1/2
x2 = −5, p(x2) = 1/6 (你输掉一半的筹码),
x3 = 10, p(x3) = 1/6
  以及
x4 = 20, p(x4) = 1/6

现在，我们知道计算EV所需所有变量。在这个例子中，EV是:

                     扔出1,2或3的结果                4的结果                 5的结果                   6的结果

显然，世界上没有那个赌场会提供+EV的游戏来与他们对赌。

让我们看一个与扑克相关的简单例子。

FR , 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with AA

6 folds, CO raises 4BB, Hero raises 12BB, 2 folds, CO is All-In.

多么愉快的情况。你拿到AA并有机会在翻牌前全押。这是一个简单跟注的情况。显然，你将获得收益(EV大于0)。

要是想知道确切的EV该怎么办?首先，我们需要确定可能的结果。你可能会赢得底池中的所有筹码，来自对手的100BB，你已经投入的12BB和1.5BB的盲注(总共113.5BB)。

我们称之为结果x1 = 113.5 BB。

跟注的另一种可能性是损失88BB，因此结果x2 = −88BB

现在，我们需要确定两种结果的发生概率。如果你猜测对手持有QQ, KK, AA或AKs，你占有底池的份额是77.3%，这给对手留下 22.6%的份额。

因此，你的EV是:

EV = x1p(x1) + x2p(x2) = (113.5 • 0.773 − 88 • 0.226)BB = (87.73 − 19.9)BB = 67.8BB

在某些情况下，期望收益的部分结果是其它特殊情况下的期望收益，我们可以采用树形图来分析。通过这种方式，你可以列出所有的结果和可能性来总览全局并计算总体的EV。

与往常一样，总体EV是所有可能的结果乘以他们单独发生概率的总和。

重要提示:

第二层事件的可能性是它在第二层的可能性乘以来自第一层相关分支的可能性。

为了纵观全局，你在一个分支的底部写下一个事件的结果并在分叉上写下这个事件发生的概率。EV是所有事件分别乘以各自发生概率的总和。

这是一个扔骰子游戏的示意图，规则如下:

玩这个游戏不花钱。如果你扔出1, 2或3，你失败；扔出4或5赢得一块巧克力；扔出6获得继续游戏的机会，如果你又扔出6就赢得3块巧克力，其它情况赢得2块巧克力。

因此，EV是:

0.5 • 0+0.33 • 1+0.16 • 0.16 • 3+0.16 • 0.83 • 2 = 0.5 • 0+0.33 • 1+0.16 • (0.16 • 3+0.83 • 2) = 0.694.

如果存在很多可能的结果，采用这种格式就特别有帮助，但它与直接计算没有实质的差别。它只是帮助你把整体的情况形象化。

这个部分用到很多数学知识，但也不是不可能理解。首先看个例子可能更容易些。

波动偏离是扑克中另一个很重要的术语。波动偏离不能帮助你计算EV，但它在你扑克生涯中永远陪伴着你，因此，理解它很重要。在数学术语中，波动偏离用来衡量随机事件偏离它的EV的程度。

在扑克中，波动偏离用来解释即使是世界上最好的玩家也有上风期和下风期。下面是相关的公式:

它看上去不是特别简明，但并非如此。它是变量X与理论上期望收益之差的平方的期望收益。波动偏离衡量与数学上的期望收益的平均平方偏离。它用来计算标准的偏差:

这是波动偏离的平方根。它确保标准偏离总是正数。标准偏离成为一个更加"实际的"衡量，因为它给你提供一个偏离期望收益的平均值。

对于正常的分布曲线，68.3%的结果处在期望收益的一个标准偏离内。95%的结果小于两个标准偏离。

让我们看一个扑克中的例子。玩家A有资金$2,000，玩家B给他提供下面的交易:

玩家A拿到AA,玩家B拿到随机牌并玩到摊牌。玩家A可以选择一次投入所有的资金$2,000(情形1)或下十次注每次投入$200。让我们看计算的结果。

情形1的EV是:

0.85 • $2000 + 0.15 • (−$2000) = $1400

在情形2中，我们做十次相同的实验:

10 • (0.85 • $200 + 0.15 • (−$200)) = $1400 与情形1一样。

情形1的标准偏离是$1428.3(计算会用很大篇幅而在此省略)，情形2的标准偏离是$451。在情形2中破产的风险是极小的5.7665• 10⁻⁷% = 0.00000057665%, 但在情形1中有15%。

偏离EV的可能结果越多，标准偏离越大。与情形1相比，一个NL50玩家更情愿在情形2中冒险投入资金。

比直接计算标准偏离更有趣的是下面的观察:像Pokertracker这样的扑克工具能够用BB/100来计算标准偏离。如果你有足够庞大的数据，根据赢率和标准偏离，你可以为变化的牌量计算不同的结果。

不看详细的解释，下面的观察更加有趣: 根据实际的标准偏离，利用数学上的模拟，无限注大筹码玩家波动60个买入是很有可能发生的，而且这的确发生在一个具有4BB/100赢率的玩家身上。

现在，我们已经分析期望收益，波动偏离和标准偏离以及树形图，你已经挺过数学这一关的介绍和解释。在介绍赢率和范围这些概念后，你将看到几个计算EV的简单例子。

牌的范围（Hand ranges）

我们将在第二部分更详细地分析牌的范围。目前，给个基本的解释就足够。什么是牌的范围?

牌的范围是一个玩家在某种游戏情况下会采用同样方式处理的很多牌。这意味着他会以同样的方式玩范围中所有的牌。这是一个很重要的概念，你要意识到任何玩家在任何情况下不是在玩一手特定的牌，而是某个范围的牌。

这意味着，你在计算可能性时需要考虑对手的整个范围。同样，你作决定时总要考虑对手用哪些范围的牌如何对你的行动作出反应。你的对手可能用范围中的一部分牌以一种方式反应，用范围中剩下的牌以不同的方式反应(即他可能跟注，或者可能弃牌)。

某个范围的牌通常用'+'标记，它包含最弱的牌加上所有更好的牌。同花和非同花分别用"s"和"o"标识。如果没有特定说明，它包括两种。例如：AK包含AK的所有16种组合。QQ+, AQs, AK包含QQ, KK, AA, AQ的所有四种同花组合，AK的所有组合。

赢率（Equity）

你可能听过"赢率"这个术语。这是另一个源自数学的术语。它描述任何玩家在特定情况下获胜的可能性。

赢率是一手牌或某个范围的牌与另一手牌或另一个范围的牌相互比较而在某一点上占有的底池份额。这种底池的份额允许平分底池的可能性，因此，它通常稍微有别于获胜的可能性。

手工计算你的赢率在技术上是可行的。下面是一个简单的例子:

玩家A持有A, K

玩家B持有A, 2

牌面是7, 8, K

玩家A和玩家B的赢率是多少?

你应该考虑到所有可能的结果。玩家B在打中同花且玩家A没有形成葫芦时将获胜，或者他在转牌圈或河牌圈打中2。

在转牌圈或河牌圈出现2的可能性是3/45 * 2/44

理由:

这副牌中还剩三张2，即2, 2, 2。在转牌圈打中2的可能性是我们希望出现牌的数目除以这副牌余下的数目。这副牌还余下45张。你知道2x2张牌，因为玩家A和B持有它们，并且还知道翻牌圈的三张牌。

在河牌圈，你有两张希望得到的牌且还剩44张牌，因此1/330 = 0.3%。

考虑打中同花的可能性。在转牌圈打中同花的可能性是9/45。如果转牌不是K,玩家A无法获胜，他是死听。这种情况下，计算如下:

玩家B有8/45=17.7%的可能性立刻获胜,玩家A有1/45的机会在河牌圈打中四条或葫芦。出现2xA, 1xK, 3x7, 3x8这些牌，这种情况有9/44 = 20.5%的机会发生。

对于玩家A，1/45(转牌出现K的可能性) * 35/44 (玩家A既没打中四条也没打中葫芦) % = 1.7%，他输给玩家B。

到目前为止，玩家B有19.7%的赢率。现在，你必须评估转牌圈没有出现 的情况。如果转牌是7, 8或K,玩家B在河牌圈需要一张 （但不是K）。如果这些牌没有出现在转牌圈，那么所有的 将在河牌圈帮助玩家B。

对于玩家B，第一种情况意味着: 9 (A, 7, 8或K但不是K) / 45 * 8/44 = 3.63%, 第二种情况意味着24 (没有, 没有A, 7, 8或K)/45 * 9/44 = 10.9%。玩家B的总体赢率是 = 35.76%。

你看到计算变得非常冗长。因此，计算更复杂的情况变得不切实际。但是，有各种工具能让你的生活更轻松。采用数值积分法，这些工具只花几秒就能计算所有的赢率，即使是很复杂的情况。

像PokerStrategy.com Equilator这样的工具能够计算任何情况下的赢率。它除了能计算AA对KK这样单个牌之间的赢率，你还能够比较QQ+, AK对JJ+, AQ, AK这样的范围并计算赢率。

不同的牌面结构和"死"牌(没有用在计算中)能够通过这种方式进行分析。为了对赢率形成感觉，你可以看看下面的表格:

形成对赢率的感觉极其重要。在某些情况下采用简单的方法计算近似的赢率是可行的，但你通常只是没有足够的时间。

因此，你自己的经验将成为最重要的指导。你应该记住基本的赢率并在游戏时准确地判断它们。事后，你可以通过分析你的决定来提高对赢率的感觉。现在我们回到第一部分介绍的一个术语:

赢率与期望收益直接相关。

牌发到最后摊牌，每个玩家都有一定的赢率，总计为“1”。当重复很多次后，任何玩家的平均收益就是他的赢率所占份额。

采用赢率的概念，你能够自己作基本的赢率分析计算。这篇文章的结尾处有一些例子说明如何去做。

一般的EV计算

你游戏时没法计算EV,那计算它又有何帮助呢? 计算EV是有帮助的，因为你在玩了一手牌后能够用它来分析你的打法。这种分析非常重要，你希望提高技术，希望有一个科学的结论，而不是凭空想象。

有些人学习计算EV并努力理解它，这些人将比只依靠他们“想法”的人更成功。计算EV的目标不仅仅是计算纯粹的期望收益，你还能形成对全局的感觉。如果对手弃牌，你会赢多少，如果你打中补牌，你会赢多少，等等。

计算EV时通常会引出某些问题: 我能跟多大的加注?对手最多有多少筹码能让我全押?我跟注对手的哪些范围才能有利可图?你的EV能让你回答这些问题。

最重要的问题是: 我有正EV吗，还是我应该弃牌?

弃牌的EV总是零。就数学而言，它非常简单。如果你决定弃牌，你就只有一个可能的结果。与弃牌关联的价值是零，因为你弃牌时不必支付任何东西。弃牌没有不确定性，所以它的可能性总是1。

因此，你的EV是: EV= 0 * 1 = 0。弃牌总是EV中性的。因此，任何弃牌决定的EV是0或更大。

从0EV开始是你的参考点。你的实际状况是EV>=0。如果我们假设EV=0，我们得到一个等式而不是一个不等式。只要你保留所有常数（除了一个可变的常量），你就能解决寻求的问题。从实际上说，这意味着:

如果你知道底池的大小和下注的大小，你就能计算所需的赢率，反之亦然。通过这种方式，你能计算出进一步行动的条件或者立刻得出结论。如果规定EV (>) = 0，你可以明确对赢率或对对手行动的要求。如果你想选择某种下注方式，你应该知道变化应该趋于+EV的方向，而不是-EV的方向。

对简单EV计算的说明

你最好系统地计算你的EV，就像我们在数学介绍部分所做的。首先，你需要所有可能的结果。在简单的情况下，结果通常是底池的输赢或者你需要跟注的大小。

EV有几种等价的表达方式。现在，我将采用下面的一种:

EV = Equity * Win + ( 1-Equity ) * Loss

"Win"代表你能赢得的钱的数量，"Loss"是你承担的损失数量。

现在，我们结束乏味的理论，让我们看一些例子:

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with A, 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks

Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB raises 10BB, UTG2 folds, MP1 raises 15BB, CO folds, Hero?

问题是: Hero能跟注吗?

如果你坐在牌桌上，你就必须要立刻作决定。但事后，你可以坐下来并设法计算你的EV。

EV = Equity * Win + ( 1-Equity ) * Loss

在这个情况下，我们只看你的直接收益。因此，底池有: (6+5+10+15)BB = 36BB。可能的损失是-15BB，这是你必须跟注的数额(损失是负数)。

赢率的问题仍然存在。但是，你需要知道对手的牌来计算你的EV。在没有任何假设的情况下，你可以计算EV=0时的赢率，这是一个良好的起点。

EV ≠ 0 = Equity * 36BB + ( 1 – Equity ) * ( -15BB )
= Equity * ( 36BB + 15BB ) - 15BB
15BB = Equity * ( 51BB )
15/51 = Equity

你需要在稍低于33%的情况下获胜(确切是29%)。我们知道坚果同花听牌的赢率。如果你在转牌圈打中补牌，并且你能赚更多的钱，跟注是可以接受的。你肯定能跟注，不是吗?

不尽然!

这个分析忽略了两个重要因素。首先，你不确定支付15BB就能看到转牌。通常，SB或BB将再次加注，这会让你的计算更加复杂。现在，你必须按照下面的方式计算EV:

EV = P(无人加注) * ( Equity * Win + ( 1 – Equity ) *Loss) + P(有人加注) * (有人加注的结果)

P(有人加注)  = ( 1- P(无人加注))

[1 - P(无人加注)]是你跟注后对手再加注的可能性，你还没有看到最终的结果。这会变得非常复杂，因为所有不同的可能性会导向不同的路径。

这里还有一个问题: 你不能确定你将收到底池中属于你的份额。赢率计算假设你将看到摊牌。但为了看到摊牌，你可能必须投入比在翻牌圈投入的更多的钱，即使翻牌圈没有进一步的加注，他们也将在转牌圈下注。

因此，你应该只计算在转牌圈打中补牌的可能性，而不是计算从翻牌圈到河牌圈的赢率。这个可能性大致是8/45，即17% (你希望看到一张，而且它没有让牌面成对)。要不然，你可以采用从转牌圈到河牌圈的赢率。

你几乎没有足够的赢率来跟注。我们还没有考虑你在转牌圈成牌后可能赢得比目前底池更多的钱。

但情况是你不是最后终结行动的玩家，仍然有人可能在你后面加注(这种可能性也很高)，另外，跟注不能让你有利可图，这足以让你作出弃牌的最好决定。

如果你除了获利和亏损而没有其它选择，EV=Equity * Win + (1-Equity) *这个公式才有效。如果除了这两点还有其它的情况，公式将变得更加复杂。你必须在计算中包括所有可能的结果，采用树形图将变得更清楚。我们稍后将在这个系列中采用这个公式。

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is BU with A 2
1 fold, UTG2 calls, 1 fold, MP1 calls, 2 folds, CO calls, Hero calls, SB calls, BB checks

Flop: 3, 8, T (Pot: 6BB)
SB bets 5BB, BB calls 5BB, UTG2 folds, MP1 calls 5BB, CO folds, Hero?

这个情况类似，但Hero是最后行动的玩家。Hero能够跟注并看到转牌，或者弃牌。我们再次采用这个公式:

EV! = 0 = Equity * Win + (1-Equity) * Loss
= Equity * (6BB + 5BB+5BB+5BB) + (1-Equity ) *( -5BB )
= Equity * (6BB + 5BB*4) – 5BB
5BB/(6BB+5BB*4) = Equity = 0.19 = 19%

如果我们再次分析同花听牌从翻牌圈到转牌圈的赢率，我们会再次倾向于跟注。加上免费看河牌的可能性或在转牌圈赢钱的可能性，跟注比其它的选择都更好。

EV分析如何有帮助呢? EV分析给你提供数学上的根据。当你考虑准确的底池大小和下注大小以及赢率后，你能够检查你作出的决定是否是最佳的。

复杂的情况会产生太多的变量，你难以考虑周全，当具体的EV分析不可行时，其他好玩家的建议就特别有帮助。超越来自数据库的统计分析，其他玩家的个人经验成为最好的指导。

最后一个全押的重要例子

Full-ring, 100BB Stacks

Pre-flop: Hero is CO with Q J
UTG+1 calls 1BB, 5 folds, Hero raises 5BB, BU calls 5BB, SB folds, BB folds, UTG+1 calls 4BB

Flop: A, K, 5 (Pot: 16,5BB)
UTG+1 checks, Hero bets 14BB, BU raises 36BB, UTG+1 is All-In, Hero?

Hero能够跟注吗? 让我们看看变量。如果你没有成牌，你损失81BB。

我们应该作进一步(实际的)假设: BU在你跟注后不会弃牌。他必须在300BB的底池中跟注59BB，他几乎总会跟注。因此，你能赢得215.5BB (100BB来自UTG+1和BU, 1.5BB是死钱，14BB是Hero已经投入的钱)。因此，你需要达到下面的赢率才能让跟注收支平衡:

81/( 301.5 ) = 0.27=27%

如果你的赢率超过27%，你就能跟注。这里，我们采用一个非常确实的工具，通过分析最差的情况来估算你的赢率。对此，你给对手派牌，这些牌对你可能是最糟糕的。

如果你仍然有足够的赢率(或者赢率非常接近)，你可以推测跟注是有利可图的，因为最差的情况很少出现。在这个例子中，最差的组合可能是三条和另一手同花听牌。同花听牌偷走你的一些补牌，而三条是目前最强的牌，并且它能反听葫芦来打败你的同花。结果是:

赢率分析
牌面	A K 5
	赢率	胜	平	负	起手牌
玩家 1	28.57%	28.57%	0%	71.43%	Q J
玩家 2	70.43%	70.43%	0%	29.57%	AA
玩家 3	1%	1%	0%	99%	T 9

因此，跟注明显是有利可图的。你的赢率不可能比这种情况下的赢率还差。注意，顺子和同花听牌是听坚果牌。如果情况不是这样，计算会变得更加复杂。

总结

在这篇文章中，你已经学习基本的数学概念和无限注德州扑克中的术语以及如何运用它们。

在此系列的第二部分，为了分析更复杂的例子，我们将讲解牌的范围，弃牌率以及潜在成败比和反向潜在成败比。

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