翻牌后全压的期望价值

简介

在这篇文章中

• 在一个翻牌后全压的情况中估测对手的范围
  
• 用估测出的范围判定EV
  
• 以弃牌率为变量计算翻牌后EV的一般模式
  

玩家们经常讨论的都是翻牌前全压的EV。但我们也可以把计算EV的等式运用到翻牌后的决定中。假设有N种可能的结果，EV就可以这样得出：

假设我们有一个单挑底池，存在两种结果——对手弃牌，或者跟注。为了判定每种结果的可能性，我们必须仔细剖析对手的范围，判断目前这个范围包含多少组合的牌；如果我们全压，这些牌中有多少会弃牌。如果他弃牌，我们的收益就是目前底池的大小；而如果他跟注，我们的“收益”本身就是一个期望价值的计算，这个计算是取决于面对对手跟注范围我们的胜率。

我们说得具体些，看看在一手刚玩过的牌里这样的计算。接着我们会分析把期望价值与弃牌率相关联的函数。

$35 180-man SNG - Blinds $25-$50

Preflop: Hero is on the button with
4 folds, MP2 calls $50, 2 folds, Hero raises to $175, 2 folds, MP2 calls $125

Flop: ($425) (2 players)
MP2 checks, Hero bets $220, MP2 calls $220

Turn: ($865) (2 players)
MP2 checks, Hero?

对手剩$1200的筹码，我们剩的比他多。我们的问题是，这里半诈唬全压的EV是多少？

缩小他的范围

我们会开始通过一条条街地缩小对手的范围来回答这个问题。

翻牌前他可能用一个比较宽的范围跟注，可能是任意一个对子，（除了大对，我们假设他会用大对加注），任意一个同花的A，起脚牌是9或以上的非同花的A，任意一个大顺牌，还有中间同花连牌。

当他跟注我们翻牌的下注时，我们可以更进一步把他的范围缩小到下面的分类。

暗三条： 22, 55（他也许会用这两手牌过牌/加注，但保守起见，我们还是会把它们留在他的范围内。）（6种组合）。

一对：A2s, A5s, 65s, A9, T9s, 98s, 33, 44, 66-88（57种组合）

听牌： 87s, JTs （他可能会弃掉，不过我们会排除其他卡顺和只是高牌的牌）， As3s, As4s, As6s-As8s, AsTs, AsKs, 7s6s, KsTs （16种组合）。

如果我们在转牌全压，他的跟注范围大概是：任何一个暗三条，9，K，组合听牌还有坚果同花听牌。具体来说，他的跟注范围内的牌如下：

22, 55, A9, 98s, T9s, 8s7s, As3s, As4s As6s-As8s, AsTs, AsKs, 以及 KsTs （33种组合）

基于这些假设，对手会用在他范围之内的79种组合中的33种跟注我们转牌的全压。所以他跟注的概率是41.8%，弃牌的概率是剩下的58.2%。

EV计算

既然我们已经有了对手的范围，那么我就算算如果对手跟注，我们的EV是多少。

根据Equilab的计算，面对他的跟注范围我们有31.6%的胜率。所以，如果他跟注，我们有68.4%的几率输掉有效剩余筹码量中剩下的$1200的筹码。剩下还有31.6%的概率我们可以赢到底池中间的$865，再加上$1200，总共$2065的筹码。

所以，如果我们被跟注，那么EV是：

EV = 31.6% x $2065 + 68.4% x (-$1200) = -$168.2

现在我们已经有了需要代入转牌全压EV等式的所有数据：

EV =概率 (他弃牌) x 收益 (他弃牌) + 概率 (他跟注) x 收益 (他跟注)

= 58.2% x $865 + 41.8% x (-$168.2) = $433.1

所以，基于我们的假设，转牌半诈唬全压的EV是+$433。

在接下来的几节内容中，我们的目标是通过判定用弃牌率表示的全压EV函数来推广这一结论。

计算关于弃牌率的被跟注“收益”函数

在我们可以判定关于弃牌率的全压EV函数之前，我们首先要写出关于弃牌率的被跟注收益的函数。

设：

Pf = 对手弃牌概率 

Pc = 对手跟注概率 

Rf = 对手弃牌收益

Rc = 对手跟注收益

由于结果空间是二元的，所以Pc = (1 – Pf)。Rf是一个常数。如果另外设对手打到转牌的范围是个常数，当被跟注概率是对手跟注范围的函数（也就得到弃牌率），Rc也就的确是关于我们胜率的Pf函数。

从把Rc与Pf相关联的函数中我们可以发现什么？假设对手面对我们转牌全压会弃掉的牌如下：

JTs, 87s, A2s, 33-44, 66-88, 65s, A5s, 7s6s, AsXs, 9X, KsTs, AsKs, 22, 55

我们接着就可以通过代入Rc EV等式判定关于Pf的Rc函数：

（所有数据点请见附录。）

正如我们所预料的，Rc随着Pf的增加而递减：对手跟注范围越小，面对他越紧越强的范围我们的赢率就越低。但有趣的是，这个函数并非严格地递减：当对手弃掉较大的同花听牌时，我们可以看到一个暂时的上升，因为面对这些牌我们的赢率特别低。

关于弃牌概率的EV函数

现在我们已经把转牌半诈唬全压EV等式中的每一项都化成了一个常数或者Pf的函数，所以现在就可以分析关于弃牌率的转牌半诈唬全压EV函数了。

我们首先观察到的是这个EV函数是恒正的。这个结果说明要么对手弃牌足够多，目前底池大小的直接收入就可以让这个全压有利可图；要么他跟注的范围非常宽，面对他的范围我们的胜率高到叠加的部分证明全压是对的。

对结果的说明

对这些结果有两个重要说明。

首先，范围的假设是至关重要的。如果你正在打这手牌，那么在前面的一条街上可能会把对手放在一个窄得多的范围上。很明显，这样的变化会严重影响全压的收益。

其次，全压是有利可图的并不就严格说明其他打法不会更有利。计算下较小的注或后面观让的EV需要许多更多的假设。例如，面对一个非常弱且被动的玩家，如果你认为他在河牌会打得很直白，那么在后面观让可能收益更大。尽管如此，不用半诈唬全压去抓住一个这么高的正筹码期望，你需要一个强大的理由。

考虑到所需要的假设和计算，我最后想说的一个问题是这个方法的实用性。你能够估计范围，数出牌的组合数，并且在16桌同开的session中计算胜率吗？答案大概是否定的，除非你是个专家。

但是，把计算翻牌后全压EV的这个流程给过一遍的好处是非常大的，你会对重要的因素更加熟悉。在这篇文章的例子中，在我们假设的前提下，这个全压会这么有利可图的最大原因是在转牌的时候，底池对于剩余有效筹码来说已经非常大了，而且K是用来诈唬的很好的一张牌，可以让对手弃掉范围中的许多组合。而且，如果他跟注，我们的组合听牌仍有很好的胜率。

最后，如果你养成在牌桌下估算翻牌后全压胜率的习惯，那么你在游戏中识别有利的翻牌后全压机会的能力就会很快提高。

附录：EV等式数据点

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