Matematika: V čem vám pomůže znalost očekávané hodnoty (EV)?
Úvod
V článku se dočtete
- EV = (případný zisk) * (pravděpodobnost výhry) - (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry)
- Jak stanovit nejlepší postup
- Jak využít vzorec pro EV ke zlepšení vaší hry
Očekávaná hodnota nějaké akce nám říká, jak velký zisk nebo ztrátu z této akce v průměru zaznamenáme. V pokeru lze vždy stanovit "správnou" akci tím, že určíme EV všech akcí, které v daný okamžik můžeme provést, a vybereme tu s nejvyšší očekávanou hodnotou.
Pokud se například rozhodujete mezi callem a foldem, můžete si spočítat EV a budete přesně vědět, které rozhodnutí je pro vás výhodnější. Samozřejmě se již umíte v situacích call/fold rozhodovat podle odds a outů, ale naučit se počítat EV je další fází vašeho vývoje.
V tomto článku se naučíte počítat EV určité akce a zvolit si nejlepší možnou akci v dané situaci. Dále vám ukážeme, jak lze použít očekávanou hodnotu k rozboru již odehraných her, díky čemuž si budete moci odpovědět na otázky typu "Co by se stalo, pokud bych zahrál handu takto?" nebo "Jaké okolnosti by musely nastat, abych v této situaci zahrál all-in?".
Abyste byli schopni pochopit obsah tohoto článku, je naprosto nezbytné rozumět konceptu odds a outů. Možná bude také potřeba osvěžit si základy matematiky v oblasti lineárních rovnic a pravděpodobnosti.
Jak spočítat očekávanou hodnotu nějaké akce
Představte si, že vám někdo nabídne jednu ze dvou obálek. V jedné obálce je €5 a ve druhé je €20, ale vy nevíte, ve které obálce je která částka.
Jednu z těchto dvou obálek si můžete koupit za €10. Otázka zní, měli byste si ji koupit? Odpověď lze zjistit pomocí očekávané hodnoty každé z akcí. EV vám říká, kolik peněz v průměru získáte/ztratíte, pokud by vám bylo umožněno dané rozhodnutí provádět opakovaně.
K výpočtu potřebujete 4 hodnoty:
- Kolik můžete ztratit?
- Kolik můžete získat?
- S jakou pravděpodobností vyhrajete?
- S jakou pravděpodobností prohrajete?
EV je zkratka pro očekávanou hodnotu a zde je vzorec pro její výpočet.
Vlastně zde poměřujete možné zisky s možnými ztrátami. Tím dostáváte očekávanou hodnotu vašeho rozhodnutí: jaký bude konečný výsledek mého rozhodnutí? Můžeme vidět, že tento vzorec rozlišuje mezi výhrou a prohrou, ale obecně můžeme obě zahrnout pod pojem "výsledek". Pokud je výsledek kladný, připisujete si zisk, pokud je záporný, utrpíte ztráty.
Náš obecnější vzorec je tedy:
Vzorec zohledňuje následující skutečnosti:
- Co se může stát?
- Výsledekx: Kolik získáte nebo ztratíte, pokud nastane událost x?
- Pravděpodobnostx: Jak je pravděpodobné, že nastane událost x?
Jednoduše stanovíte výsledek konkrétního rozhodnutí místo toho, abyste rozlišovali mezi zisky a ztrátami. Pokud je hodnota kladná, pak v průměru na tomto rozhodnutí vyděláte. Pokud je záporná, pak v průměru budete na tomto rozhodnutí přicházet o peníze.
Přesnou EV můžete spočítat, pokud vezmete do úvahy všechny přípustné výsledky dané situace. Začněte tím, že si stanovíte, co se může přihodit a kolik v každé takové situace vyhrajete/prohrajete. Následně si stanovíte pravděpodobnosti pro každý uvažovaný výsledek. Pak už jen vynásobíte případné zisky a ztráty jejich pravděpodobnostmi a na konci sečtete výsledky.
V našem příkladě je pravděpodobnost vybrání kterékoli obálky stejná, a sice 50%. Obálku A s €5 si vyberete v 50% všech případů a obálku B s €20 si zvolíte ve zbylých 50% všech případů.
To také znamená, že v polovině všech případů vyhrajete €5 a ve zbylých případech vyhrajete €20. Mimo to však ve 100% případů přijdete o €10.
Výše uvedené dosadíme do našeho vzorce:
- Přijdete o 10 eur ve 100% případů, protože je to poplatek za hru.
- Vyhrajete €5 v 50% všech případů.
- Vyhrajete €20 v 50% všech případů.
To lze vyjádřit jako:
EV = výhra(obálka A) * 50% + výhra(obálka B) * 50% – ztráta(sázka) * 100%
EV = 5 eur * 50% + 20 eur * 50 % - 10 eur * 100%
Po úpravě vidíme 50% z 5 (€2.50) + 50% z 20 (€10) - 100% z 10 (€10). Výsledek nám řekne, kolik bychom v průměru získali/ztratili v případě, že bychom přistoupili na hru s obálkami a jednu si zakoupili.
EV = 2.50 eura + 10 eur – 10 eur
EV = 2.50 eura
To znamená, že v průměru dosáhnete zisku €2.50 pokaždé, kdy přijmete nabídku. Výsledkem je kladná hodnota, což znamená, že toto rozhodnutí je EV+. V pokerové komunitě a na PokerStrategy se setkáte s výrazy "EV plus" a "EV minus" velice často. Nyní již víte, co to znamená.
Jak dělat správná rozhodnutí pomocí EV
Co do této chvíle vypadalo triviálně, se výrazně zkomplikuje, když začnete rozebírat reálné situace. Pokud se dostanete do situace, kdy se musíte na turnu rozhodnout mezi callem a foldem, udělejte prostě toto: Spočítejte si EV callu a EV foldu. Porovnejte výsledky a vyberte si ten s vyšší EV.
Pojďme si nejprve ukázat jeden obecný příklad. Máte dvě možné události: A a B. Pravděpodobnost, že nastane událost A, je 80%, a pravděpodobnost B je 20%.
| Událost A nastane | Událost B nastane | |
| Pravděpodobnost | 80% | 20% |
V našem příkladě si můžete vsadit na to, zda nastane situace A, nebo B. Pokud si vsadíte na událost A a ta se skutečně stane, vyhrajete €2, ale pokud se netrefíte, pak přijdete o €4.
Nebo můžete vyhrát €4 tím, že trefíte událost B, ale v této variantě přijdete o €2, pokud nastane událost A.
| Událost A nastane | Událost B nastane | |
| Vsadíte na událost A | Vyhrajete 2€ | Prohrajete 4€ |
| Vsadíte na událost B | Prohrajete 2€ | Vyhrajete 4€ |
Zda je výhodnější vsadit na událost A nebo B, zjistíte tak, že si spočítáte očekávanou hodnotu sázky na událost A a porovnáte ji s očekávanou hodnotou sázky na událost B.
EV = (případná výhra) * (pravděpodobnost výhry) - (případná prohra) * (pravděpodobnost prohry)
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
EV sázky na událost A vychází z toho, že vyhrajete €2 v 80% všech případů a prohrajete €4 ve 20% všech případů. Pojďme zjistit přesnou hodnotu.
EV(A) = 2€ * 80% - 4€ * 20%
EV(A) = 1.6€ - 0.8€
EV(A) = 0.8€
Výsledná hodnota je kladná, což znamená, že vsadit na událost A se vám vyplatí. V průměru z každé sázky na událost A vyděláte €0.80. Nyní se pojďme podívat na událost B.
EV(B) = 4€ * 20% - 2€ * 80%
EV(B) = 0.8€ - 1.6€
EV(B) = -0.8€
Výsledná hodnota je záporná. V průměru přijdete o €0.80 pokaždé, kdy vsadíte na událost B!
Porovnáte EV obou možných rozhodnutí a vidíte, že EV události A je výrazně vyšší než EV události B.
EV(A)>EV(B)
Zisk 80 centů na jedné straně a ztráta 80 centů na straně druhé. Vaší nejlepší volbou je evidentně vsadit na událost A. Tento princip je jednou ze základních metod v pokeru.
To je základní princip pokeru. Povšimněte si nuance ve formulaci. Nesnažíte se najít akci, která bude mít nejvyšší zisk, ale akci, která má nejvyšší očekávanou hodnotu. V některých situacích je nejlepší akce EV-, což znamená, že na této akci budete dlouhodobě prohrávat. Ale může to být nejlepší možné rozhodnutí v případech, kdy všechny ostatní možnosti mají ještě nižší EV.
Očekávaná hodnota v Texas Hold'emu
Předpokládejme, že jste ve hře proti jedinému soupeři na turnu.
Držíte: T
9
Board: 6
7 2 4
Máte gutshot na postupku a potřebujete trefit osmičku. Jste si jistí, že soupeř drží overpár - něco jako dvě queeny nebo kingy.
Vaše outy jsou v tomto případě čisté a k výhře potřebujete jednu ze čtyř osmiček v balíčku. Pomáhají vám 4 ze 46 karet, které v balíčku zbývají. Pravděpodobnost, že trefíte osmičku na riveru, je proto 4/46, což je 8.7%.
Pokud přijde jakákoli jiná karta, pak prohrajete. V balíčku tedy zbývá 46-4=42 karet, které vám nepomohou. Pravděpodobnost, že prohrajete, je tedy 42/46, což je 91.3%.
Teď už nám zbývá pouze stanovit případné zisky a ztráty. V potu je $5. Váš soupeř vsadil $1. To znamená, že můžete vyhrát $6.
Vaše ztráta je $1, který musíte zaplatit za call.
EV callu je tedy:
EV(call) = (případný zisk) * (pravděpodobnost výhry) - (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry)
EV(call) = $6 * 8.7% - $1 * 91.3%
EV(call) = - $0.39
Záporná hodnota znamená, že v průměru na tomto rozhodnutí budete prodělávat. Můžete očekávat ztrátu ve výši $0.39 z každého $1, který takto investujete; jinak řečeno, z každého $1, který investujete, se vám vrátí jen $0.61. Nic moc investice a jasný případ EV-.
Tady se ovšem nezastavíme. Už sice víme, jakou ztrátu můžeme očekávat z našeho callu, ale potřebujeme ještě stanovit EV pro všechny přípustné akce, abychom zjistili, které rozhodnutí je nejlepší.
EV foldu je vždy nula.
EV(fold) = $0
Neinvestujete tedy žádné další peníze, což snižuje vaše případné další ztráty na nulu. Stejné lze ovšem říci i o výhrách, protože těžko můžete vyhrát handu, když foldnete. Na tomto místě se mnoho lidí ptá: "A co peníze, které jsme již do handy investovali v předchozím průběhu?" Odpověď: Na tyto peníze zapomeňte - už nejsou vaše.
Porovnáním EV všech přípustných akcí dospějeme ke správnému rozhodnutí:
EV(fold) = $0
EV (call) = -$0.39
EV(fold) > EV(call)
Zde je jasně vidět, že je pro vás výhodnější foldovat než callovat.
Další využití
Hrát dobře poker znamená v konkrétních situacích dělat rozhodnutí s nejvyšší EV. Kdykoli je očekávaná hodnota nějaké akce vyšší než 0, vždy provedením této akce generujete zisk.
Jakmile si začnete pohrávat se vzorcem pro EV (což byste měli udělat například během analýz odehraných her, ve kterých si nejste jistí, zda jste se rozhodli správně), můžete si položit otázku typu: Jak velký by musel být pot, aby se vyplatilo s gutshotem dorovnat sázku $1? Pojďme si to ukázat.
Velikost potu znamená pro naše účely "případný zisk":
EV(call) = (případný zisk) * (pravděpodobnost výhry) - (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry)
Zajímá nás, ve kterém okamžiku se EV přehoupne přes nulu:
EV(call) > 0
Vzorec můžeme upravit tak, abychom viděli, jak velký musí být pot na to, abychom dostali kladnou EV:
EV callu je > 0, když:
(případný zisk) * (pravděpodobnost výhry) - (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry) > 0
Nyní musíme zvládnout pár věcí naráz. Nelze vyloučit, že si budete muset oprášit své znalosti z hodin matematiky, abyste neměli problémy pochopit následující úpravy naší nerovnice, ale snad ani ne.
EV(call) je > 0, když:
(případný zisk) * (pravděpodobnost výhry) - (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry) > 0, což lze vyjádřit jako:
(případný zisk) * (pravděpodobnost výhry) > (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry), což lze vyjádřit jako:
(případný zisk) > (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry) / (pravděpodobnost výhry)
Nyní jsme izolovali naši neznámou proměnnou na levé straně rovnice a můžeme tedy dosadit hodnoty, které známe, čímž se dopracujeme k výsledku.
(případná ztráta) = $1
(pravděpodobnost prohry) = 42/46
(pravděpodobnost výhry) = 4/46
Tím dostáváme tento výsledek:
(případný zisk) > (případná ztráta) * (pravděpodobnost prohry) / (pravděpodobnost výhry)
(případný zisk) > $1 * (42/46) / (4/46)
(případný zisk) > $1 * 1932/184
(případný zisk) > $10.5
To znamená, že pot musí být vyšší než $10.50, aby investice $1 s gutshotem byla zisková. Již byste měli znát odds pro gutshot na turnu, které jsou 1:11. Z toho důvodu si můžete dovolit docallovat v případech, kdy v potu je alespoň 11x více, než máte docallovat.
Metoda očekávané hodnoty vás přivede ke stejnému výsledku, ke kterému byste se dopracovali pomocí výpočtu odds. Ve skutečnosti je mezi těmito přístupy velice jednoduchý vztah. Jak jsme již zmínili výše - pravděpodobnost, že trefíte jeden z vašich čtyř outů na postupku, je 4/46, což odpovídá šanci 8.7%.
Jinými slovy: Postupku v této situaci trefíte přibližně jednou ze 12 případů (100% / 8.7%). Proto jsou odds 11:1 ve váš neprospěch, což znamená, že ze 12 případů 11krát svůj out netrefíte a 1krát ano. Jak si můžete povšimnout, EV je přímo převoditelná na odds, které v sobě zahrnují také pot odds.
Základní myšlenka obou principů je shodná, jen jsme k témuž výsledku došli jiným způsobem.
Závěr
Pojďme si na závěr shrnout to nejdůležitější z tohoto článku. Očekávanou hodnotu spočítáte tak, že porovnáte případné prohry s případnými výhrami.
EV = (případná výhra) * (pravděpodobnost výhry) - (případná prohra) * (pravděpodobnost prohry)
EV vám říká, kolik v průměru vyhrajete/prohrajete.
Na výhry a na prohry můžete nahlížet jako na výsledek a používat tak jednodušší vzorec:
EV = Pravděpodobnost1 * Výsledek1 + Pravděpodobnost2 * Výsledek2 + ... + Pravděpodobnostn * Výsledekn
Kladný výsledek znamená, že dosahujete zisků, záporný výsledek pak signalizuje ztráty.
Při rozboru situace musíte vzít v úvahu všechny přípustné události, jejich jednotlivé pravděpodobnosti a kolik v každé z těchto situací vyhrajete nebo prohrajete. Pak už jen dosadíte tyto hodnoty do vzorce a zjistíte EV dané akce.
Pokud máte na výběr z většího množství akcí a chcete zjistit, která z nich je pro vás nejpříznivější, spočítáte si očekávanou hodnotu každé z těchto akcí. Poté už jen porovnáte EV jednotlivých akcí a pochopitelně si vyberete tu s nejvyšší EV.
Nyní jste se dozvěděli, jak do své hry zakomponovat novou matematickou úroveň tím, že jste schopni určit EV konkrétních rozhodnutí v dané situaci. Zpočátku se tyto výpočty mohou jevit jako komplikované, ale opravdu nejsou, což uznáte sami, jakmile si na ně zvyknete. Pokud narazíte na nějaký problém, neváhejte se na něj zeptat na našem fóru.
Mnoho článků a konceptů, na které v budoucnu narazíte, operuje s výpočtem EV pro všechny přípustné situace. Dejte si čas na zvládnutí konceptu EV, protože je to váš další krok v pokerovém vývoji, poté co jste zvládli koncept odds a outů.
| ODKAZY | |||||||
|
|||||||
