Hierzu ein Beispiel:
Range1 = { AKs }
Range2 = { AA }
AA reduziert um AdKd => 1 Kombo bleibt übrig
AA reduziert um AhKh => 1 Kombo bleibt übrig
AA reduziert um AsKs => 1 Kombo bleibt übrig
AA reduziert um AcKc => 1 Kombo bleibt übrig
=> Im Mittel bleiben also 1 Kombo in AA übrig
=> Man wichtet also AA mit 16.6%, da nur eine der urspünglich 6 Kombos noch enthalten ist.
Das verstehe ich nicht ganz, denn es sollten jeweils 3 Kombos übrig bleiben.
AA reduziert um AdKd -> bleiben A:c A:s, A:c A:h und A:s A:h = 3 Kombos übrig.
Die anderen entsprechend.
Reduzierung um 0,5 Karten:
Mit meiner Methode aus meinem letzten Post sollte das kein Problem sein, weil man immer nur mit ganzzahligen Karten rechnet. Die Reduzierung um 0,5 Karten entspricht einer Verteilung der Wahrscheinlichkeiten über die Anzahl der Karten, über die reduziert werden muss.
Beispiel 1:
0,5 Karten zu reduzieren kann sein
50% um 0 Karten reduziert
50% um 1 Karte reduziert
Geht es um AA, das um 0,5 Asse reduziert wird, rechnet sich das zu
50% * 6 Kombos + 50% * 3 Kombos = 4,5 Kombos.
Das unterscheidet sich übrigens vom Ergebnis der binomischen Formel. Ich denke, die ist hier auch nicht anwendbar. Beweis im nächsten Beispiel.
Beispiel 2:
Eine Reduktion um 0,5 Asse könnte auch aus folgender Verteilung kommen:
0: 75%
1: 0%
2: 25%
3 = 4: 0%
Daraus resultieren
75% * 6 + 25% * 1 = 4,75 Kombos für AA.
Diese Verteilung ist nicht so unrealistisch wie sie aussieht, siehe Beispiel 3. Sie zeigt, dass es auf die Verteilung ankommt, weil sich das Ergebnis von Beispiel 1 unterscheidet. Die Angabe um 0,5 Asse zu reduzieren ist nicht ausreichend, um korrekt reduzieren zu können. Wir müssen tatsächlich ausrechnen, wie oft um 0, 1, 2, 3, 4 Asse mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten reduziert werden muss. Zum Glück können wir das, weil wir die Ranges kennen.
Beispiel 3:
Range1 = 50% AA, 100% KK = insgesamt 9 Kombos
Range2 = AA
Wir rechnen erst mal aus, wie sich die Wahrscheinlichkeiten für die Reduktion verteilen. Aus Range1 geht hervor, dass entweder um 0 Asse oder um zwei Asse reduziert werden muss. Um 1 Ass muss nie reduziert werden, weil in Range1 keine Kombo mit nur einem Ass existiert.
Also:
0 Asse: 6/9 = 66,7%
2 Asse: 3/9 = 33,3%
-> 66,7*6 + 33,3*1 = 4,335 Kombos
Beispiel 4:
Range1 = 50% AA, 60% AKs, 70% KK
Range2 = AA
Jetzt sind die Zahlen mal etwas krummer und es sind auch Kombos mit nur einem Ass dabei. Range1 schlüsselt sich auf in
2 Asse = 50% * 6 Kombos = 3
1 Ass = 60% * 4 Kombos = 2,4
0 Asse = 70% * 6 Kombos = 4,2
Insgesamt 3 + 2,4 + 4,2 = 9,6 Kombos
Damit ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten zu
2 Asse = 3/9,6 = 0,3125
1 Ass = 2,4/9,6 = 0,25
0 Asse = 4,2/9,6 = 0,4375
-> Reduktion für Range2 = 0,3125*1 + 0,25*3 + 0,4375 * 6 = 3,6875
Trotz krummer Zahlen bleibt alles leicht beherrschbar.
Beispiel 5:
3 Ranges:
Wenn man Range1 und Range2 hat, um die Range3 reduziert werden soll, dann hat man das Problem, dass Range1 und Range2 auch schon voneinander abhängen und sich gegenseitig reduzieren. Ich denke, diese Reduktion ist kommutativ, so dass es egal ist, mit welcher Range man anfängt.
Man kann aber das ganze Verfahren iterativ anwenden und das macht es leicht beherrschbar.
Man erhält folgende Kette:
Range1 Wahrscheinlichkeit Asse 0: x0 -> Range1 Anzahl der Asse 0: y00
........................................................................................1: y01
........................................................................................2: y02
Range1 Wahrscheinlichkeit Asse 1: x1 -> Range1 Anzahl der Asse 0: y10
........................................................................................1: y11
........................................................................................2: y12
usw. bis man alle y(i,j) für i,j = 0,..,2 ausgerechnet hat.
Sei Z= Gesamtanzahl der Kombos für (Range1 x Range2)
Dann summiert man für die gesuchten gesamten Wahrscheinlichkeiten erst mal die Kombos
0 Asse: y00
1 Asse: y01+y10
2 Asse: y02+y11+y20
3 Asse: y12+y21
4 Asse: y22
Auf die Wahrscheinlichkeiten für Range1+Range2 kommt man, in dem man die so gewonnene Zahl der Kombos durch Z teilt. Ab da geht es dann wie in Beispiel 4 weiter.
Also
0 Asse: y00 / Z = y0 = Wahrscheinlichkeit, dass in Range1 und Range2 kein Ass vorkommt
-> Range3 muss für diese Wahrscheinlichkeit nicht reduziert werden.
Dieses Verfahren kann leicht für noch mehr Ranges erweitert werden.
4 Ranges:
Da man aus Range1 und Range 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen für 0, 1, 2, 3, 4 Asse bekommt, kann man diese verwenden, um für Range3 z01 - z22 auszurechnen. Das geht analog zu oben.
Der Rechenaufwand dieses Verfahrens steigt nur mit O(n), mit n = Anzahl unterschiedlicher Ranges, was ganz nett ist.
Darstellung
Ich finde die Darstellung in der Kartenmatrix mit einer Dezimale hinter dem Komma gut. Eine andere Möglichkeit wäre, eine Kombo mit einer Prozentzahl darzustellen, aber da man sich am Ende doch für die Anzahl der Kombinationen über die gesamte Range interessiert, ist die Prozentzahl nur für die Range1 aus den obigen Beispielen brauchbar, wenn die Range einstellt, um die reduziert werden soll.
So a la der Gegner raist AA zu 80% und zu 20% callt er, und da er geraist hat, hat er die AA Kombos mit 80%. Die Möglichkeit einer solchen Feineinstellung würde ich in das Auswahlfenster für die Farbwahl der Karten setzen, weil man meistens gar keine Feineinstellung haben will, sondern ein schnelles Ergebnis.
, wobei n die Anzahl der übrigen Karten sind und k die Anzahl der Karten, die wir auswählen (bei Texas Hold'em logischerweise immer 2). Berechnet wird das ganze dann nach dieser Formel hier: