ich hol mal ein bisschen weiter aus um das ganze zu erklären
die formel dort oben spiegelt den erwartungswert wieder. nehmen wir zunächst einmal einen handelsüblichen würfel:
ein würfel hat 6 seiten mit den augenzahlen 1-6, was die werte für p(x1) bis p(x6) wären.
x1 bis x6 wären die wahrscheinlichkeiten, dass jede zahl gewürfelt wird, die wäre beim würfel immer 1/6 für jede zahl, dass heißt folglich der erwartungswert für einen würfel wäre:
E(X) = 1/6 * 1 + 1/6 * 2 + ... + 1/6 * 6 = 3.5
Das heißt, wenn man unendlich oft den Würfel würfeln würde, würde am Ende im Durchschnitt 3.5 rauskommen, was dann den Erwartungswert wiederspiegelt.
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Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine gewisse Hand beim Poker eintritt wird da zunächst anders berechnet:
Für die die es interessiert einfach mal eine Beispielrechnung.
Das Poker-Deck besteht aus 52 Karten, davon halten wir 2 (zumindest im Holdem), somit sind 50 Karten unbekannt.
Angenommen wir sind im Flop und halten einen OESD mit 2 Overcards. Dadurch, dass wir 3 weitere Karten am Flop sehen sind nur noch 47 Karten unbekannt.
es gibt nun also 8 Karten um den OESD zu hitten und 6 um das Top-Pair zu hitten. Sind also 14 Karten, die uns die Nuts bringen. Diesen Wert teilt man einfach durch die Anzahl verbleibender Karten im Deck und schon hat man die Wahrscheinlichkeit mit der nächsten gedealten Karte die Nuts zu erhalten:
14/47 = 0.298 = 29.8%.
Wenn noch 2 Karten gedealt werden verdoppelt sich der Wert nahezu.
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An der Stelle kommt wieder unser Erwartungswert von oben ins Spiel. Angenommen wir haben diese Beispielhand mit einem OESD und 2 Overcards am Flop.
Angenommen Pot liegt bei $2 und der Gegner raist um $1.
Wir müssten also $1 investieren um einen Pot von $4 gewinnen zu können. Das wäre ein Verhältnis von 1:4. Nun nehmen wir dieses Verhältnis und multiplizieren es mit der Wahrscheinlichkeit die gegebene Hand zu gewinnen:
E(X) = 59.6% * 4 = 0.596 * 4 = 2.384
Ist der ermittelte Wert größer als 1, lohnt sich ein Call, ist er kleiner als 1 nicht.
Wenn man diese Rechnung übrigens umstellt, bekommt man das normale Odds/Outs-Verhältnis raus: Wenn wir unseren investierten Beitrag durch den Gesamtpot teilen, erhalten wir eine Zahl kleiner 1. In diesem Fall wäre das 10/40, was genau 0.25 entspricht. Wenn man nun die 0.25 durch unsere Wahrscheinlichkeit 0.596 teilt, erhalten wir wieder die 2.384.
Für unseren $1 den wir in diesen Pot investiert haben, hätten wir also im Durchschnitt $2.384 herausbekommen, was einen Gewinn von $1.384 im Durchschnitt macht!
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Die ganze Rechnung ist allerdings sehr vereinfacht dargestellt und vernachlässigt dabei die handverbesserungen des gegners. dazu kommt dann noch, dass man die karten des gegners ja nicht kennt und theoretisch seine komplette handrange berechnen müste.
Angenommen man hält zwei undercards gegen 2 Overcards, dann müsste man zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der man selbst seine Hand verbessert und dazu noch die Wahrscheinlichkeit mit der der Gegner seine Hand nicht verbessert (selbes rechenprinzip, man nimmt einfach nur die Anzahl karten die ihm nichts bringen, oder berechnet die Wahrscheinlich mit der er seine Hand verbessert und zieht den Wer am Ende von 100 ab). Dazu kommt noch, dass er ja nicht nur ein Pair hitten kann, sondern auch noch die Wahrscheinlichkeiten für Flushes, Straights, etc.
Da das ganze für den Kopf einfach viel zu viel Aufwand wäre, kommt man da ohne Programme sowieso nicht weiter, da tut man sich mit Programmen, die die Equity berechnen leichter. Man sollte da eher hin und wieder die eigenen Hände eingeben, dem Gegner ne Range geben und versuchen sich die Werte ansatzweise zu merken. Kopfrechnen tuts hier leider nicht mehr.
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ich hoffe das hat nen bisschen geholfen 
