Hallo,
da keine Antworten, Vorschläge oder nachfragen kamen, dachte ich, das Interesse sei nicht gegeben, aber so kann man sich täuschen :P.
Deine Lösung ist natürlich richtig, hätte auch nichts anderes erwartet.
Zuerst sollte mal klar sein, dass es keinen Unterschied macht, wer welche Karte ziehen muss, um zu gewinnen, da die Wahrscheinlichkeiten für alle gleich sind.
a) kann man prinzipiell auf zwei Arten lösen, die brutale und die hübsche :P. Ich zeige es für allgemeines n, in unserem Fall müsste man einfach n=52 setzen.
Spieler A gewinnt ja, wenn er sofort seine Karte zieht, wenn beide Spieler sie nicht ziehen und er sie dann zieht, wenn beide Spieler zweimal ihre Karte nicht ziehen und er dann erfolgreich ist usw, also:
P(A Gewinnt) = 1/n * Summe(((n-1)/n)^(2k)) = 1/n * Summe((((n-1)/n)^2)^k)
Das ist natürlich eine geometrische Reihe, deren Grenzwert bekannt sein sollte, man rechnet es also aus und es kommt heraus: n/(2n-1) Das war die brutatele Methode.
Die hübsche geht über den Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit. H1 sei das Ereignis, dass Spieler 1 gleich im ersten Zug gewinnt. H2, das Ereignis dass er in einem späteren Zug gewinnt. Dann ist P(A gewinnt|H1)= 1 und P(A gewinnt|H2) = 1-p, wobei p=P(A gewinnt), also:
P(A gewinnt) = p = 1/n*1 + (n-1)/n * (1-p).
Wenn man nach p auflöst, kommt genau n/(2n-1) heraus.
Zusammenfassend kann man sagen, dass A eine etwas bessere Gewinnchance hat, diese für großen n aber immer kleiner wird.
b) ist ganz einfach. Es handelt sich dabei um eine geometrische Verteilung, deren Erwartungswert als 1/p bekannt ist. p ist in diesem Fall die Wahrschienlichkeit die richtige Karte zu ziehen, also 1/n.
Kann man hier eigentlich irgendwie LaTex Code einfügen, dann wäre das alles wie übersichtlicher und besser lesbar!?
