[Geschlossen] Facharbeit: Taylorreihen

Was genau soll denn der Inhalt sein und welchen Tiefgang soll es haben? Was studierst Du denn?

Facharbeit klingt nach Abi.
Ich kann Dir leider nicht helfen bzgl. Literatur. Ich bin kein Mathematiker, aber in meinem Studium hab ich die Taylorreihen ausschließlich zur Approximation von Funktionen kennengelernt. Was Mathematiker damit noch so alles anstellen können, weiß ich nicht aber Approximation ist ein sehr wichtiges Anwendungsgebiet, das man auch sehr anschaulich erklären kann.

Original von beninho111Was Mathematiker damit noch so alles anstellen können, weiß ich nicht aber Approximation ist ein sehr wichtiges Anwendungsgebiet, das man auch sehr anschaulich erklären kann.

das stimmt. gibt aber auch beispiele, wo die taylorreihe die funktion nicht approximiert.

wichtige anwendungen gibts z.b. in der funktionentheorie (komplexe analysis). wenn du etwas tiefer gehen willst, dehne das ganze auf laurentreihen aus. damit kann man etwa schön singularitäten von funktionen untersuchen. vermutlich geht das aber für schüler zu tief.
x
was ich dir empfehle: taylor im mehrdimensionalen. die herleitung kann man sehr umfangreich gestalten und interessant ist es denke ich auch.

du kannst auch die eponentialfunktion nehmen und daraus die trigonometrischen funktionen etc herleiten.

bücher: nimm irgendein Analysisbuch für 1. semester (evtl. auch 2.) für mathematiker. wenn du zugang zu ner unibibliothek hast, schau dich einfach um und such dir das verständlichste aus. kann dir jetzt speziell keins empfehlen, daich mich nicht mehr daran erinnern kann welche ich verwendet habe.

Original von Knudsen

Original von beninho111Was Mathematiker damit noch so alles anstellen können, weiß ich nicht aber Approximation ist ein sehr wichtiges Anwendungsgebiet, das man auch sehr anschaulich erklären kann.

das stimmt. gibt aber auch beispiele, wo die taylorreihe die funktion nicht approximiert.

f : IR -> IR, f(x) = e^{-1/x}, für x > 0 und f(x) = 0, für x <= 0 ist unendlich oft differenzierbar, aber die Taylorreihe konvergiert nicht gegen f.

wichtige anwendungen gibts z.b. in der funktionentheorie (komplexe analysis). wenn du etwas tiefer gehen willst, dehne das ganze auf laurentreihen aus. damit kann man etwa schön singularitäten von funktionen untersuchen. vermutlich geht das aber für schüler zu tief.
x
was ich dir empfehle: taylor im mehrdimensionalen. die herleitung kann man sehr umfangreich gestalten und interessant ist es denke ich auch.

Mehrdimensional in der Schule? Auf keinen Fall! Höchstens noch mit komplexen Zahlen die Laurentreihendarstellung, was aber auch schon zu weit vom Thema führen würde, sondern nur als Ausblick gedacht wäre

du kannst auch die eponentialfunktion nehmen und daraus die trigonometrischen funktionen etc herleiten.

ich denk auch dass mehrdimensionale TR nicht so geeignet sind für ne Facharbeit, weils halt mehrdimensionale Analysis voraussetzt. ein erstsemester buch für mathematiker/informatiker/ingenieure ist glaub ich ne gute einführung.
zu den anwendungsbeispielen: ich hab mal gehört dass taschenrechner z.b. sinus, cosinus usw durch taylorreihen approximieren.

Ganz gut an Matheliteratur zu dem Thema ist "Otto Forster - Analysis 1". Kann zwar sein dass das teilweise schon zu tief greift, aber die Sachverhalte sind zumindest halbwegs anschaulich erklärt und so. Da würde ich aber eher etwas mehr Einarbeitungszeit einplanen, allein um die ganzen unbekannten Symbol zu verstehen usw.

Effektiv machst du mit Taylorreihen nichts anderes als aus einer Funktion heraus ein Polynom zu erstellen dass dann diese Funktion approximiert. Das ganze klappt aber nur um einen bestimmten Punkt herrum, nämlich den Punkt um den du die Reihe entwickelst.

Einer der Haupthintergründe dafür ist: Es gibt Funktionen die so hässlich sind dass man sie kaum abgeleitet oder irgendwie bestimmt kriegt. Für die lässt sich dann aber evtl eine Taylorreihe aufstellen mit der man dann deutlich besser arbeiten kann.

Umfang und Art der Arbeit wären aber schon hilfreich

erstmal Danke für die rege Beteiligung...
Mein Bruder hat Zugang zu ner Uni Bibliothek und der nimmt mir jetzt Otto Forster - Analysis 1 mal mit. Danke für den Tipp.

Zum Umfang und Art der Arbeit:
Es ist halt ne Facharbeit(13. Klasse) ---> sollten so ca. 10-20 Seiten werden.
Das Thema wurde ziemlich offen gelassen: Also es heißt eg bloß Taylorreihen. Den einzigen Hinweis den mein Lehrer mir bisher mehr oder weniger gegeben hat, war, dass eben die Anwendungen nicht ganz unwichtig sind.

Zu den mehrdimensionale TR: Mein Bruder(studiert grad Physik an der LMU) hat auch gmeint, dass ich die sozusagen als Ausblick anschneiden könnte. Das würde zumindest die Facharbeit en bisschen füllen. Also eg hatt ich das schon vor... Ist das denn tatsächlich viel zu tief und schwierig?

Andwenungen:
Das mit den trigonometrischen Funktionen ist schon ganz interessant, werd ich bestimmt mit reinpacken.
Aber gibts vll noch Anwendungsbeispiele, die nicht nur die mit der theoretischen Mathematik zu tun haben, sondern halt auch mit dem "praktischen Leben"; vll in der Technik, Forschung, Software?

Danke auf alle Fälle für die Beiträge

Original von TheAnalyst
Zu den mehrdimensionale TR: Mein Bruder(studiert grad Physik an der LMU) hat auch gmeint, dass ich die sozusagen als Ausblick anschneiden könnte. Das würde zumindest die Facharbeit en bisschen füllen. Also eg hatt ich das schon vor... Ist das denn tatsächlich viel zu tief und schwierig?

ich find es ehrlich gesagt nicht so schwierig wie von jemanden oben behauptet, weil man nciht so viel aus mehrdimensioneler analysis braucht. man braucht mehrdimensionale ableitungen, wenn du das verstanden hast, ists dem eindimensionalen fall sehr ähnlich.

Original von TheAnalyst
Andwenungen:
Das mit den trigonometrischen Funktionen ist schon ganz interessant, werd ich bestimmt mit reinpacken.
Aber gibts vll noch Anwendungsbeispiele, die nicht nur die mit der theoretischen Mathematik zu tun haben, sondern halt auch mit dem "praktischen Leben"; vll in der Technik, Forschung, Software?

richtig praktisches fällt mir leider grade net ein.

ein beispiel aus der elektrodynamik:
um die felder (elektrisch, magnetisch) einer ladungsverteilung zu bestimmen, benutzt man oft taylor (exakte lösungen sind oft nicht möglich). dein bruder weiß sicher mehr

vielleicht kannst du noch irgendwo erwähnen, dass die formel für die kinetische energie T=1/2 m v² die quadratische näherung der tatsächlichen kinetischen energie ist, und dass es sinn macht, bis 0,1c diese näherung zu verwenden etc.

schau dir doch mal das an, ist mein skript für analysis I.
Kapital 3.4, seite 207 handelt um taylor-approximation:

http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2009/other/analysis1_itet/Inganalysis_3.pdf

ist ne coole sache, aber leider oft recht ungenau (das merkt man ziemlich schnell, wenn man ein paar taylor reihen bestimmen musste)

Original von Knudsen

Original von TheAnalyst
Zu den mehrdimensionale TR: Mein Bruder(studiert grad Physik an der LMU) hat auch gmeint, dass ich die sozusagen als Ausblick anschneiden könnte. Das würde zumindest die Facharbeit en bisschen füllen. Also eg hatt ich das schon vor... Ist das denn tatsächlich viel zu tief und schwierig?

ich find es ehrlich gesagt nicht so schwierig wie von jemanden oben behauptet, weil man nciht so viel aus mehrdimensioneler analysis braucht. man braucht mehrdimensionale ableitungen, wenn du das verstanden hast, ists dem eindimensionalen fall sehr ähnlich.

Ähm, so "einfach" für einen Anfänger ist das nun doch nicht. Mehrdimensionale Taylorreihen brauchen nicht nur partielle Ableitungen, sondern auch n wenig Lineare Algebra (Gradient, Hesse-Matrix als Bilinearform, kovariate Tensoren), sonst verfällt man dem Index-Chaos und das bringt keine Einsichten in die Struktur der Taylorreihe.

Original von TheAnalyst
Andwenungen:
Das mit den trigonometrischen Funktionen ist schon ganz interessant, werd ich bestimmt mit reinpacken.
Aber gibts vll noch Anwendungsbeispiele, die nicht nur die mit der theoretischen Mathematik zu tun haben, sondern halt auch mit dem "praktischen Leben"; vll in der Technik, Forschung, Software?

richtig praktisches fällt mir leider grade net ein.

ein beispiel aus der elektrodynamik:
um die felder (elektrisch, magnetisch) einer ladungsverteilung zu bestimmen, benutzt man oft taylor (exakte lösungen sind oft nicht möglich). dein bruder weiß sicher mehr

vielleicht kannst du noch irgendwo erwähnen, dass die formel für die kinetische energie T=1/2 m v² die quadratische näherung der tatsächlichen kinetischen energie ist, und dass es sinn macht, bis 0,1c diese näherung zu verwenden etc.

Original von ChrisA3
Ganz gut an Matheliteratur zu dem Thema ist "Otto Forster - Analysis 1". Kann zwar sein dass das teilweise schon zu tief greift, aber die Sachverhalte sind zumindest halbwegs anschaulich erklärt und so. Da würde ich aber eher etwas mehr Einarbeitungszeit einplanen, allein um die ganzen unbekannten Symbol zu verstehen usw.

Der Forster ist zwar nett, aber schätzungsweise 70% aller Mathestudenten aus dem Grundstudium blickt bei dem Buch nicht wirklich durch, ..., is so

Ich empfehle für Schüler lieber die Schaum-Reihe: viele Beispiele und Aufgaben, mit dem man den Stoff einüben kann.

Die kannte ich garnicht, aber wenn du es sagst wird es wohl stimmen. Ideal ist der Forster sicherlich nicht für Schüler, da braucht es schon Einarbeitungszeit. Bin selber grade im Grundstudium (glaub ich.. drittes Semester Bachelor) und kam mit dem Buch ganz gut zurecht, aber als Schüler ist es wahrscheinlich wirklich nicht einfach. Selbst Wikipedia ist ja oft kaum benutzbar, da man als Schüler nicht in der Sprache und noch weniger in der Denkart eingearbeitet ist.

Aber das Kapitel über Taylorreihen habe ich trotzdem noch als kurz und leicht in Erinnerung sein, da mag ich mich aber auch täuschen.

Ein praktisches und einfaches Beispiel ist das Fadenpendel, bei dem ja für die einfache Lösung sinx = x für kleine x gesetzt wird. Diese Vereinfachung basiert z. B. auf der Taylorreihe der Sinusfunktion, da bei kleinen x die späteren Terme so klein werden, das sie vernachlässigbar sind.

Einfache physikalische Anwendung: Zusammenhang zwischen spezieller Relativitätstheorie und der Schulphysik.
Wenn man die relativistische Gesamtenergie
E=(m0*c^2)/(1-(v/c)^2)^0.5
nach (v/c)^2 entwickelt, kommt man auf die bekannte Schulformel
E=m0*c^2 + 1/2 * m0*v^2 (Ruheenergie + kinetische Energie).

Omg Jungs was hier teilweise für einen Schüler empfohlen wird ist imo total abwägig.
Mehrdimensionale Analysis??? Um sich da soweit reinzuarbeiten um das zu verstehen müsste er mehr Zeit investieren als die meisten Schüler für alle schriftlichen Abiprüfungen zusammen lernen.

Könnt ihr euch nicht mehr an euer erstes Semester errinern? Oder daran wies davor auf der Schule war?

Imo solltest du von sowas Abstand nehmen und dich voll und ganz auf das eindimensionale konzetrieren. Das wird schwer genug sein sich da reinzulernen und imo ist das Thema Taylorreihen fürs Abi schon relativ anspruchsvoll. Nicht weil das Thema an sich so schwer wäre sondern weil du dafür Hochschulliteratur brauchst und dich da in Sprache und Denkweise reinzuarbeiten ist das verdammt schwere an der Sache.

habe genau das gleiche thema für meine facharbeit bin wohl auch noch nicht viel weiter als du...
aber du wirst wohl nicht drum rumkommen standardwerke wie z.b. forster oder heuser auszuleihen.war heute in der uni bibliothek und habe gleich mal 10 bücher mitgenommen.
btw wenn du bisschen googelst findest du ganze facharbeiten darüber. natürlich darfst dus nicht genau nachmachen aber als orientierung hilfts auf jedenfall...

Kannst auch noch Beispiele aus der Physik nehmen, wenn du z.B. ein Teilchen in einem Potential betrachtest, kannst du eine Taylorentwicklung des Potentials um das Minimum machen und wenn du die nach dem quadratischen Term abbrichst hast du einen angenehm rechenbaren harmonischen Oszillator.

Ein Beispiel dazu hat jarrik bereits genannt, wie ich gerade sehe

so... also erstmal vielen Dank für die Vorschläge, einige davon werd ich sicherlich versuchen einzubauen.
Jetzt hätt ich noch eine Frage zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen:
Hat die eine Bedeutung für die Taylorreihe? Lohnt es sich die zu erläutern oder ist des Zeitverschwendung?
Thx....

anwendung findet es auch in der nachrichtentechnik