Hallo hab da mal ne frage,vielleicht ist ja jemand da der damit kein problem hat.
Gesucht die erste Ableitung von:
(x^2)^ln(ax)
-->^= hoch
Gruß
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((partial d))/((partial d)x)((x^2)^(log(a x))) = (x^2)^(log(a x)) ((2 log(a x))/x+(log(x^2))/x)
lasst mal das zusammenfasses aussen vor. Da dies nicht nötig ist in der Klausur.
Kettenregel ist richtig jedoch ist die Aufgabe mehrfach verschachtelt.
(x hoch 2) hoch (ln(ax))
Kettenregel= 1.äußere Ableitung(in der äußeren ist noch eine Kettenregel), 2.mal innere nicht abgeleitet, 3.mal innere ableitung.
1. Äußere Ableitung (ln(ax))' = 1/ax * a
2. innere nicht = x^2
3. innere abgeleitet = 2x
Ergebniss: 1/ax * a * x^2 * 2x
Was meint ihr?
Mein erster Post ist falsch, hatte die Klammern nicht ausreichend gesetzt:
Maple sagt:
Denke das sollte stimmen. Die Rechnung "per Hand" hab ich jetzt nicht gemacht. Mach ich nachher, falls Interesse besteht und ich mehr Zeit habe.
Original von Zensationell
lasst mal das zusammenfasses aussen vor. Da dies nicht nötig ist in der Klausur.Kettenregel ist richtig jedoch ist die Aufgabe mehrfach verschachtelt.
(x hoch 2) hoch (ln(ax))
Kettenregel= 1.äußere Ableitung(in der äußeren ist noch eine Kettenregel), 2.mal innere nicht abgeleitet, 3.mal innere ableitung.
1. Äußere Ableitung (ln(ax))' = 1/ax * a
2. innere nicht = x^2
3. innere abgeleitet = 2xErgebniss: 1/ax * a * x^2 * 2x
Was meint ihr?
Die Ableitung von ln(ax) ist 1/x. Warum? Weil ln(ax) = ln(a)+ln(x) und ln(a) ist konstant. (jedenfalls gehe ich davon aus, das a konstant ist)
Ich würds spontan so differenzieren:
x^(2ln(ax)) = e^ln(x^(2ln(ax))) = e^(2ln(ax)*ln(x))
=> d/dx e^(2ln(ax)*ln(x)) = e^(2ln(ax)*ln(x)) * (2ln(ax)*ln(x))'
= e^(2ln(ax)*ln(x)) * (2ln(x)/x + 2ln(ax)/x)
= x^(2ln(ax)) * (2ln(x)/x + 2ln(ax)/x)
und wolfram-alpha bestätigt das Ergebnis.
Original von emetic
Mein erster Post ist falsch, hatte die Klammern nicht ausreichend gesetzt:
Maple sagt:
Denke das sollte stimmen. Die Rechnung "per Hand" hab ich jetzt nicht gemacht. Mach ich nachher, falls Interesse besteht und ich mehr Zeit habe.
Habe von Hand das gleich raus:
Kettenregel liefert:
ln(a*x) * (x^2)^(ln(a*x)-1) * 2*x
= 2* ln(a*x) * (x^2)^ln(a*x) / x
Original von Zensationell
lasst mal das zusammenfasses aussen vor. Da dies nicht nötig ist in der Klausur.Kettenregel ist richtig jedoch ist die Aufgabe mehrfach verschachtelt.
(x hoch 2) hoch (ln(ax))
Kettenregel= 1.äußere Ableitung(in der äußeren ist noch eine Kettenregel), 2.mal innere nicht abgeleitet, 3.mal innere ableitung.
1. Äußere Ableitung (ln(ax))' = 1/ax * a
2. innere nicht = x^2
3. innere abgeleitet = 2xErgebniss: 1/ax * a * x^2 * 2x
Was meint ihr?
deine Äußere Ableitung ist falsch:
u^ln(a*x) muss abgeleitet werden. das ist gleich ln(a*x)* u^(ln(a*x)-1)
nun setzt du für u=x^2 ein. Dann geht das 1/x^2, dass durch die -1 im Exponenten entsteht mit dem x der inneren Ableitung weg und es bleibt ne 2/x übrig.
Original von TheFlying
deine Äußere Ableitung ist falsch:u^ln(a*x) muss abgeleitet werden. das ist gleich ln(a*x)* u^(ln(a*x)-1)
nun setzt du für u=x^2 ein. Dann geht das 1/x^2, dass durch die -1 im Exponenten entsteht mit dem x der inneren Ableitung weg und es bleibt ne 2/x übrig.
Falsch.
u^ln(ax) ist abgeleitet nicht ln(ax)*u^(ln(ax)-1), weil der Exponent nicht konstant ist.
Nur mal ein kleines Beispiel zur Verdeutlichung: e^ln(x) = x, die Ableitung davon also gleich 1.
Nach deiner Rechnung wäre die Ableitung aber ln(x) * e^(ln(x) - 1), was offenbar ungleich 1 ist.
Ein anderes Beispiel:
a^x leitet man folgendermaßen ab:
a^x = e^ln(a^x) = e^(x*ln(a))
Ableitung der e-Funktion: e(f(x))' = f'(x) * e(f(x))
Daher folgt für die Ableitung von a^x: (x*ln(a))' * e^(x*ln(a)) = ln(a) * e^(x*ln(a)) = ln(a) * e^(ln(a^x)) = ln(a) * a^x
Also haben wir: a^x ist abgeleitet ln(a) * a^x und nicht x*a^(x-1)
Abgesehen davon möchte ich an die Regel
(a^b)^c = a^(b*c)
erinnern.
Original von TheFlying
Original von emetic
Mein erster Post ist falsch, hatte die Klammern nicht ausreichend gesetzt:
Maple sagt:
Denke das sollte stimmen. Die Rechnung "per Hand" hab ich jetzt nicht gemacht. Mach ich nachher, falls Interesse besteht und ich mehr Zeit habe.
Habe von Hand das gleich raus:
Kettenregel liefert:
ln(a*x) * (x^2)^(ln(a*x)-1) * 2*x= 2* ln(a*x) * (x^2)^ln(a*x) / x
Könntest du mir einmal für dumme mal schritt für schritt aufschreiben wie du da ran gehst?!? Also etwas detailierter? Bin jetzt völlig durcheinander..
Die Lösung von Soov ist die Gleiche wie meine - nur hinten hängt noch nen Term dran. Der ist, wenn ich das komplizierte Zeug von Wolfram Alpha richtig verstanden habe, entstanden, weil Soov die Konstante a als Funktion a(x) eingegeben hat. Kann mich natürlich auch täuschen, aber denke mal, dass ansonsten das gleich rauskommt.
Original von Zensationell
Original von TheFlying
Original von emetic
Mein erster Post ist falsch, hatte die Klammern nicht ausreichend gesetzt:
Maple sagt:
Denke das sollte stimmen. Die Rechnung "per Hand" hab ich jetzt nicht gemacht. Mach ich nachher, falls Interesse besteht und ich mehr Zeit habe.
Habe von Hand das gleich raus:
Kettenregel liefert:
ln(a*x) * (x^2)^(ln(a*x)-1) * 2*x= 2* ln(a*x) * (x^2)^ln(a*x) / x
Könntest du mir einmal für dumme mal schritt für schritt aufschreiben wie du da ran gehst?!? Also etwas detailierter? Bin jetzt völlig durcheinander..
(x^2)^(ln(ax))'
= ln(ax)*(x^2)^(ln(ax)-1)*2x
= ln(ax)*(x^2)^(ln(ax)*2x/(x^2)
= ln(ax)*(x^2)^(ln(ax)*2/x
Kann man das irgendwo in nen hübsches Bild umwandeln lassen? Finde es auch etwas unübersichtlich.
Ja, stimmt natürlich nicht. Also soov hat völlig recht:
Die Kettenregel lautet richtig: (u^v)' = d (u^v)/ du * du/dx + d(u^v)/ dv * dv/ dx
Alles hübsch einsetzen, gelegentlich zusammenfassen und dann steht das da, was soov schon vor ner Stunde von WA abgeschrieben hat ;-)